江蘇蘇州市2024年高一年級(jí)下冊(cè)期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題 答案

高一期中調(diào)研試卷

數(shù)學(xué)

2024.04

注意事項(xiàng)

學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：

1.本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.

2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題

卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須

用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚.

4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠

筆.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（3-i）（4-i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2兀

2.已知單位向量石的夾角為手，則『―q=

A.1B."C.#D.3

1

3.i是虛數(shù)單位，則Z=「的共軌復(fù)數(shù)是

1-1

11.11.?.

A.-+-1B.---1C.1-1D.1+i

2222

b+c

4.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若a=l,M135°,則一二一）7的值為

sinn+sinC

B,昱7

c.yj2D.25yz

2

5.已知向量點(diǎn)（3,-4）,石=（2,0）,貝而在B上的投影向量為

A.（3,0）C.3D.6

6.下列命題正確的是

A.AB-AC=BC

B.若向量Z=（2023,2024）,把Z向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為（2025,2024）

C.在△ABC中，麗?天心〉0是△ABC為銳角三角形的充要條件

D.在△ABC中，若入為任意實(shí)數(shù)，且有X^Cfi|-G4+|G4|-Cfi）則尸點(diǎn)的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心

7.蘇州國(guó)際金融中心為地處蘇州工業(yè)園區(qū)湖東CBD核心區(qū)的一棟摩天大樓，曾獲2020年度CTBUH全球

高層建筑卓越獎(jiǎng).建筑整體采用“鯉魚跳龍門”之“魚”作為象征主題，以“魚躍龍門”為設(shè)計(jì)理念，呈鯉

魚飛躍之勢(shì)寓意繁榮昌盛，大樓面向金雞湖，迎水展開，如魚尾般曼妙的弧線，從水面沿裙房一直延伸至主

塔樓，某測(cè)量愛好者在過國(guó)際金融中心底部（當(dāng)作點(diǎn)。）一直線上位于。同側(cè)兩點(diǎn)A,8分別測(cè)得金融中心

頂部點(diǎn)P的仰角依次為30°,45°,已知A3的長(zhǎng)度為330米，則金融中心的高度約為

A.350米B.400米C.450米D.500米

8.在平行四邊形ABC。中，E為CD的中點(diǎn)，BF=^BC,AF與BE交于點(diǎn)G,若麗=鼠BC=b,

貝ijBG=

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在△ABC中，下列說法正確的是

A.若A〉5>C,貝"sinA>sin5>sinCB.若A〉3>C,則sin2A>sin2B>sin2c

C.若A>B>C,則cosA<cosB<cosCD.若A>B>C,貝！Jcos2A<cos25<cos2c

10.z,z是復(fù)數(shù)，下列說法正確的是

12

A.若Z2<0,則Z是純虛數(shù)

11

B.若日卜聞，則Z；=Z；

C.若Z,Z互為共朝虛數(shù)，則Z,Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱

1212

D.若Z2—Z2>0,則Z2>Z2

1212

11.已知尸是邊長(zhǎng)為1的正六邊形廠內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，且通AB+XAF,九eR,則下列正確

的是

A.△PCD的面積為定值B.m九使得1Aq>|中|

C./CPO的取值范圍是卷,￡D.四的取值范圍是［1，7可

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知分為兩個(gè)不共線的非零向量，若左Z+B與￡—2石共線，則左的值為.

13.ZvlgC中，若sin|A+：3則sin人-J

5

14.已知△ABC的外接圓半徑為1,則福?就的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，且同="，Z2的虛部為2.

(1)求復(fù)數(shù)Z；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z、Z2、Z-Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,求福的值.

16.(15分)

已知向量礪，礪不共線，點(diǎn)尸滿足礪xOA+yOB,x,yeR.證明：

1

(1)若注產(chǎn)則點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn);

(2)%+丁=1是4、B、P三點(diǎn)共線的充要條件.

17.(15分)

在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)A、2、C滿足:A在x軸的正半軸上,C的橫坐標(biāo)是一等，|函||逝||亞|匕

OAOB=^-.記NA05=a,ZAOC=ft,a是銳角，P是鈍角.

(1)求cos(a-B)的值;

(2)求P—2a的值.

18.（17分）

如圖，在平面四邊形ABC。中，已知AQ=1,CD=2,AABC為等邊三角形，記NADC=a.

（2）若ae],兀，求△A3。的面積的取值范圍.

19.（17分）

某高一數(shù)學(xué)研究小組，在研究邊長(zhǎng)為1的正方形4BCO某些問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以在不作輔助線的情況下，用

高中所學(xué)知識(shí)解決或驗(yàn)證下列有趣的現(xiàn)象.

若尸,。分別為邊AB,ZM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AP。的周長(zhǎng)為2時(shí)，尸。有最小值（圖1）、/PCQ為定值（圖

2）、C到尸0的距離為定值（圖3）.請(qǐng)你分別解以上問題.

（1）如圖1,求尸。的最小值；

圖1

（2）如圖2,證明：/PC。為定值;

圖2

（3）如圖3,證明：C到尸。的距離為定值.

圖3

高一期中調(diào)研試卷

數(shù)學(xué)參考答案

2024.04

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分

題號(hào)12345678

答案DCBCADCB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分

題號(hào)91011

答案ACDACAC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.解：

（1）設(shè)2=a+bi,貝牛|,z2=（4+歷）=。2—加）+2（1歷，

因?yàn)?2+核,Z2的虛部為2,

。2+拉=2

所以《

lab=2

a=1fa=-1

解得：］,［或。，

b=l［b=-1

又復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，

所以<71，故［=1+1

b=l

(2)因?yàn)閦=l+i,所以z2=(l+i>=2i,z-z2=l+i-2i=l-i,

所以A（l/），5（0,2）,C（l,-1）

ABAC=(-1,1)?(0,-2)=-2

16.證明:

(1)因?yàn)橛挟a(chǎn):的，所頭。P}_OA-\-^-OB,即2apOA+OB,

所以麗—風(fēng)=礪—而，所以衣=而

所以尸是線段AB的中點(diǎn)

（2）充分性：

若x+y=1,則y=1-x,

所以O(shè)RxOA+(1-x)0B,

所以加—赤=》麗—x礪

AOB

所以而xG-)xBA,

所以A、B、P三點(diǎn)共線

必要性：

因?yàn)锳、B、尸三點(diǎn)共線,

所以存在實(shí)數(shù)x滿足：BP=xBA

叱彷）,

所以礪—旅x即OP-OB=xOA-xOB

所以O(shè)RxOA+(1-x)0B,

所以x+y=1

綜上所述，%+丁=1是4、8、P三點(diǎn)共線的充要條件

17.解:

（1）因?yàn)閨?A||0B|1,點(diǎn)5(cosa,sina),

所以O(shè)A-OB==COSOC

5

所以cosa=~^~

又a為銳角，所以sina=Jl—cos2a=弓§,

因?yàn)殁g角P的終邊與單位圓O的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是一1二,

所以cosP=-Z^,sin(3=J1—COS2B=)

所以cos(a-P)=cosacosP+sincesinp亭+芷x旦—巫

51010

2小sin「=*cos…邛

(2)由(1)知sinacosa=

5

至x至J

所以sin2a=2sinacosa=>2

555)

3

cos2a=2COS2a-1-1

5

所以sin(p-2a)sinpcos2a-cosPsin2g與

10I5j10J52

因?yàn)閍為銳角,

八兀

所以0<a<,,

所以0<2a<兀，

又cos2a<0,

所以2ae1爹,兀

又眥如

所以2a—Pe

所以B-2ag

18.解:

(1)在八4。中，由余弦定理，AC2=AZ)2+CD2-2AD-CD-cosa=-2x2xcos—=3,

3

所以AC=J5;所以ND4C=90。，

又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，

所以MAC6,且/84。=/34。+/￡>4。=150。，

所以S—AB?AD-sinNBAD=

AABD2

(2)不妨設(shè)ZDAC=0.

在△AC。中，由余弦定理，

AC2=AD2+CD?-2ADCD-cosa=l+4-2x2xcosa=5-4cosa,

AC^+AD^一DC25-4cosa+1-4l-2coscc

COSP

2ACAD2ACAC

ACCDAC2

在△AC。中，由正弦定理,'即敬=而百

sinZADCsinZDAC

2sina

所以sinP=

AC

IsinP+^EcosP

所以工￡—AB-AD-sinZBAD=—AC-sin-AC-

222"2J

—sina+且Xl-2cosa)sina/

+4,

24I34

、(711

又因?yàn)閍￡—，

12y

71

所以a—可w

所以sin|a-

即△AB。的面積的取值范圍為

19.解:

(1)設(shè),

因?yàn)锳A尸。的周長(zhǎng)為2

所以PQsin?+PQcos。+PQ=2

_22

=所以p。

sin0+cos0+1

Wsin0+撲1

因?yàn)椤鉫

0+；<1,

所以<sin

所以l<0>sin|e

<J2,

2

所以物272-2

V2+1

即尸。的最小值為2淄-2

圖1

(2)設(shè)NPC5=a,NQC￡)=[3,則尸5=tana,DQ=tanP,

所以AP=1—tana,AQ=1-tanP,PQ=J(1-tana)2+(1-tanP)2

因?yàn)椤?尸。的周長(zhǎng)為2,

所以2=]—tana+1-tanP+J(l-tana)2+(l-tanP)2

tana+tanP=J(l-tana)2+(1-tan0?

所以tana+tanP=1-tana.tanP

即tan(a+P)=l,

717U