超幾何分布 (典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題02超幾何分布(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

1、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回)，用X表

示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=/N-Mk=m,m+l,m+2,---r

C"N

其中"，N,MwN*，M<N,n<N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},則稱隨機變

量X服從超幾何分布.

2、公式P(X=k尸M中個字母的含義

CN

N一總體中的個體總數(shù)

M一總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))

n一樣本容量

友一樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))

注意：

(1)“由較明顯的兩部分組成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；

(2)不放回抽樣；

(3)注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍.

二、典型題型

題型一：超幾何分布的概率問題

1.(2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末)杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會

之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.2023年9月23日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.

某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚7點前登錄該直播間的前N名觀眾設(shè)置了兩輪"慶亞運、

送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這N名觀眾中抽取15名幸運觀眾，抽中者平臺

會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這N名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為X(幸

運觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為1人).

(1)已知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為q，求N的值;

(2)當(dāng)尸(X=20)取到最大值時，求N的值.

2.（2023?上海普陀?統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，"延遲退休"已成

為公眾關(guān)注的熱點話題之一,為了了解公眾對“延遲退休"的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)

查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

⑴經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；

⑵經(jīng)統(tǒng)計年齡在［50,59）的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選

取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）

3.（2023?全國?高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動.袋中裝有18個除顏色外其余均相

同的小球，其中8個是紅球，10個是白球.抽獎?wù)邚闹幸淮纬槌?個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽到

2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎.求得一等獎、二等獎和三等獎的概率.

4.（2022上?上海虹口?高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┠撑?件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任

意地依次抽出3件進行檢驗.

⑴當(dāng)“=500,"=5000,"=50000,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

（2）當(dāng)“=500,M=5000,n=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

⑶（1）、（2）分別對應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.

題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差

1.(2024上?山東德州?高二統(tǒng)考期末)為落實"雙減"政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計劃實行課后看護

工作.現(xiàn)隨機抽取該小學(xué)三年級的8個班級并調(diào)查需要課后看護的學(xué)生人數(shù)，分布如下：

班級代號12345678

需看護學(xué)生人數(shù)2022273025233221

⑴若將上述表格中人數(shù)低于25人的班級兩兩組合進行看護，求班級代號為1、2的兩個班合班看護的概率;

(2)從已抽取的8個班級中隨機抽取3個班，記3個班中需要課后看護的學(xué)生人數(shù)低于25人的班級數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2.(2024上?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末)2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，

首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又

一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查(滿分100分)，這100名

游客的評分分別落在區(qū)間[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi),統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所

示.

上頻率/組距

0.045----------

0.020-------------

0.010-1-

0.005;---------------1

?！?：06’07’08’0力0務(wù)數(shù)

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表)；

(2)為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50,60),[60,70),

[80,90)的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80,90)的人數(shù)g的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

3.（2024上?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）為增強學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時投籃活動,

記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］這5組,

并得到如下頻率分布直方圖：

（1）估計全班同學(xué)的平均進球個數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

⑵現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在［10,14）,［14,18）,［22,26］內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進行培

訓(xùn)，再從中抽取3人做進一步培訓(xùn).

（i）記這3人中進球個數(shù)在［14,18）的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率.

4.（2023上?河南南陽?高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司

對該地區(qū)〃名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都

在區(qū)間［0.5,1.1］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a,b,c,d滿足

d=c+Q.5=b+1=a+1.5,且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

⑵現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；

②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

5.（2023上?甘肅白銀?高三甘肅校聯(lián)考階段練習(xí)）某商家2023年1月至7月A商品的月

銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份無與A商品的月銷售量V存在線性關(guān)系.

⑴求月份x與A商品的月銷售量了的回歸直線方程；

（2）若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量

不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n__

盯7

參考公式：回歸直線方程f=八+&,其中力=3-宸,方=三---------1344,3=43.

,x；-nx~1=1

i=l

三、專項訓(xùn)練

1.（2024上?湖南常德?高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，

針對這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率x%對每年顧客投訴次數(shù)y

（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率X%和每年顧客投訴次數(shù)V的數(shù)據(jù)作了

初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.

8888

和，Sz￡（王-可2

Z=1Z=1Z=1Z=1

60059243837.293.8

⑴求V關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；若預(yù)計2024年火車的正點率為84%,試估算2024年顧客對火車站投訴的

次數(shù)；

（2）根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標準，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀"，2年為"良好"，若從這8

年中隨機抽取3年，記其中評價“良好"的年數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：經(jīng)驗回歸直線J=%+a的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

、￡%％一〃孫

b=-n--------------，a=y-bx

ED2

i=l

2.（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對

照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.

⑴設(shè)其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)機，并完成下面2x2列聯(lián)表:

<23.4>23.4合計

對照組

實驗組

合計

（ii）根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用

n（ad-bc^甘上77

附：K2=7-------―w——-------------7，其中n=a+b+c+d.

2

P(K>k0)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

3.（2023上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個球，其中紅球

2

有小個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為二.

（1）求加的值；

⑵現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

4.（2023,全國?模擬預(yù)測）為落實節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)

查統(tǒng)計，隨機抽取A型和8型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖.

⑴將使用壽命

超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值c=0.001的獨立性檢驗，判

斷使用壽命是否超過2500小時與型號有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由.

使用壽命

型號合計

超過2500小時不超過2500小時

A型

B型

合計

（2）用分層抽樣的方法從使用壽命不超過2500小時的A型和8型設(shè)備中共抽取16臺，再從這16臺設(shè)備中隨機

抽取2臺，設(shè)其中A型設(shè)備有X臺，求X的分布列和后（刀2）.

⑶現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型

號設(shè)備（更換設(shè)備的時間忽略不計）.A型和8型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)

備每臺每小時分別耗電2度（1度=1千瓦時）和6度，電價為0.75元/度.用頻率估計概率，只考慮設(shè)備的成

本和電費，你認為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備？說明理由.

附：_______"(ad-bcg____

其中〃=〃+6+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（/溫）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

5.(2023?全國-IWJ二課堂例題)一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨

機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).

⑴分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；

⑵分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率:

6.(2022上?上海嘉定?高二校考期中)已知共15張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3

輪發(fā)出，每輪隨機發(fā)出5張卡.

⑴求事件"第1輪無紅色卡牌”的概率Pi;

⑵求事件"第1輪有至少3張紅色卡牌"的概率°?；

⑶求事件"每輪均有紅色卡牌”的概率2.

7.(2022?北京?景山學(xué)校?？寄M預(yù)測)4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的"世界讀書日為了解某地

區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)

生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.15...............................

a................................

SO5

SO4

O3

O.2

O.O1

O.

.OO246

81012141618日平均閱讀時間/小時

⑴從這500名學(xué)生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在(10,12]內(nèi)的概率；

(2)為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

（12,14］,（14,16］,（16,18］三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3

人，記日平均閱讀時間在。4,16］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用尸化）表示這10名學(xué)生中恰有

4名學(xué)生日平均閱讀時間在（8,12］內(nèi)的概率，其中左=0,1,2,10.當(dāng)尸（左）最大時，寫出發(fā)的值.（只

需寫出結(jié)論）

8.（2020?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某省2021年開始將全面實施新高考方案.在6門選擇性考試科目中，

物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將

每科考生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,￡共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、

35%、13%和2%,并按給定的公式進行轉(zhuǎn)換賦分.該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地

理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進行了等級轉(zhuǎn)換賦分.

（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分丫服從正態(tài)分布M75836）.若Y?N（g,令匕幺，則

請解決下列問題：

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分C等級的最低分為實施分層教學(xué)的劃線分，試估計該劃線分大約為多

少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機抽取了該省800名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨立，記J為被

抽到的原始分不低于71分的學(xué)生人數(shù)，求尸4=k）取得最大值時k的值.

附：若〃~N（0,l）,則尸（〃0.8）~0.788,尸（〃1.04）^0.85.

9.（2020?安徽安慶?統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強對"新型冠狀病毒"的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不

受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民

戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.

①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在［3,4）（單位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5戶中購買量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3

戶中需求量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為九求J的分布列和期望；

（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于0.5kg時，則稱該居

民戶稱為“迫切需求戶"，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.

10.（2020上?重慶?高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考

"3+1+2"中的"2"要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦

分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從

高到低劃分為48,C