高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

基礎(chǔ)部要打牢掌握程度

1強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分

［知識(shí)能否憶起］

一、兩個(gè)向量的夾角

1.定義

已知兩個(gè)非零向量a和6,作。4=a,OB=b,則乙/如=9叫做向量a與6的夾

角.

2.范圍

向量夾角。的范圍是0°W9W180°,a與6同向時(shí)，夾角9=0°；a與b反向時(shí)，夾角。=180°.

3.向量垂直

如果向量a與6的夾角是90°,則a與b垂直，記作aJ_6.

二、平面向量數(shù)量積

1.已知兩個(gè)非零向量a與〃則數(shù)量|a||引?cos?叫做a與方的數(shù)量積，記作a?4即a?6=

Ia||引cos9,其中。是a與6的夾角.

規(guī)定0?a=0.

當(dāng)且_16時(shí)，9=90°,這時(shí)a?6=0.

2.a-6的幾何意義：

數(shù)量積a?6等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影161cos。的乘積.

三、向量數(shù)量積的性質(zhì)

1.如果e是單位向量，貝l］a?e=e?a

2.a_Lb<^>a?力=0.

3.a"a=|a|2,\a\=yja,a.

a,?b

4.cos3=ag.（。為a與b的夾角）

5.Ia?6|W|a||引.

四、數(shù)量積的運(yùn)算律

1.交換律\a*b-b*a.

2.分酉己律：（司+6）,c-a9c+b?c.

3.對(duì)幾ER,九（a?5）=（九a）?b二a?（九5）

五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)己二(血㈤，b-(A,&),則：

1.a?b=+&也.

2.a_L+儂+=0.

3.\a\-/：+奇.

a,ba\bi+_—

4'C0S=+成a

［小題能否全?。?/p>

1.已知向量a,6和實(shí)數(shù)兒下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()

A.\a\=yja?aB.|a?b\=|a\<|b\

C.A(a0b)=Aa0bD.|a?Z?||a|,\b\

解析：選B|a?b|析a|?|引|cos。|,只有a與6共線時(shí)，才有以?二二|a||引,可知B是錯(cuò)誤

的.

2.已知IH=4,1引=3,a與，的夾角為120。，則6在a方向上的投影為()

3

A.2B.~

3

C.-2D.--

3

解析：選D|b\cos0-3cos120°=

3.(?重慶高考)設(shè)x￡R,向量a=(x,l),b-(1,-2),且a_L6,則|a+引=()

A.mB.平

C.275D.10

解析：選B?/al.b,a?b-0,BPx-2=0,x-2.

?*.a-(2,1),a=5,〃=5,\a+b\=yj—"b一①-yja+2a?1)-yj5+5=y[10.

4.已知向量a和向量6的夾角為30°,|a|=2,\b\=/,則向量a和向量6的數(shù)量積a?斤.

解析：a-6=2x/義半=3.

答案：3

5.已知|a|=l,〃/=6,a?(b-a)=2,則向量a與6的夾角。二.

解析：:a?(b-a)=a9b-a=2,a,b=2-va=3.

a?b31JI

■■-cos"=可▼=而=5..?向量a與"的夾角為了.

JI

里塞,一

口水■3

1.對(duì)兩向量夾角的理解

(1)兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，

應(yīng)通過移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角.

(2)兩向量夾角的范圍為[0,JI],特別當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0,共線且反向時(shí)，其

夾角為11.

(3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍.

2.向量運(yùn)算與數(shù)量運(yùn)算的區(qū)別

⑴若a,6ER,且”6=0,則有a=0或6=0,但a?6=0卻不能得出a=0或6=0.

⑵若a,b,cER,且aWO,則由a6=ac可得6=c,但由a?Z)=a,c及aWO卻不能推出6=

c.

⑶若a,Z),cER,則a{bc)=(ab)c(結(jié)合律)成立，但對(duì)于向量a,"c,而(a?6)?c與a?(b?c)

一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的.

⑷若a,6GR,則la?引=㈤?|引，但對(duì)于向量a,b,卻有|a?引W㈤㈤,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a

//b時(shí)成立.

昌高■點(diǎn)”關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

*?-

典題導(dǎo)入

［例1］⑴若向量己二(1,1),b-(2,5),c-(3,x)滿足條件(8m-6)?c=30,貝1J才二()

A.6B,5

C.4D,3

(2)(?浙江高考)在△Z6C中，〃是6c的中點(diǎn)，AM=3,BC=10,則45?就=,

［自主解答］(l)8a-6=8(l,1)-(2,5)=(6,3),

所以(8a-6)?c=(6,3)?(3,x)=30.

即18+3x=30,解得x=4.

(2)如圖所示，AB=AM+MB,AC=AM+MC-*=AM-

A

MB,

AB-AC=.(AM+MB)?(AM-MB)=AM2-MB=|AM2-MB|2=9-25=-

16.

［答案］(DC(2)-16

由題悟法

平面向量數(shù)量積問題的類型及求法

(1)已知向量46的模及夾角6,利用公式a?6二1a||引?cos。求解；

(2)已知向量a,6的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.

以題試法

1.⑴(?天津高考)在△/及7中，乙/=90°,48=1,心2.設(shè)點(diǎn)產(chǎn),。滿足4尸=445,AQ=(1

一A)恁，4ER.若50?CP=-2,貝〕J1=()

12

--

A.3B.3

4

C.-D,2

解析：選B由題意可知BQ=AQ-AB=(1-A)AC-ABCPAP-AC=AAB-

Zd,且A5?AC?=0,故50?CP=-(1一X)1A爐=-2.又|45|=1,|可亍|=2,代

2

入上式解得A=亍

JI

(2)(?江西高考)已知兩個(gè)單位向量8,金的夾角為彳，若向量A二&-22,人2=38+4金，貝IJ8》

解析:bi=ei-2a,=3&+4/

則b\?bz=9\-2a)?(3&+4o)=3e：-28?&-8送.

JI

又因?yàn)閑1，&為單位向量，夾角為了，

所以6i,2>2=3—2X；—8二3—1-8二-6.

答案：-6

兩平面向量的夾角與垂直

典題導(dǎo)入

［例2］(1)(?福州質(zhì)檢)已知隆=1,\b\=2,a與6的夾角為120。,a+b+c=0,則a與c的夾

角為()

A.150°B,90°

C.60°D,30°

(2)(?新課標(biāo)全國卷)已知a與6為兩個(gè)不共線的單位向量，孑為實(shí)數(shù)，若向量a+b與向量Aa-b垂

直，則《=.

［自主解答］⑴b-1X2Xcos120°=-1,c=-a-b,a'c-a'=-a'a-a'b

=-1+1=0,a_Lc.

與c的夾角為90°.

(2)a與人是不共線的單位向量，力a1=1引=1.

又ka-b與6垂直，「.(a+b)?(ka-6)=0,

BPka+ka?b-a?b一6-0.

:.k-\+ka?b-a?b=G.

即左一1+kcos。-cos9=0(。為a與b的夾角).

/.(A-1)(1+cos9)=0.又a與b不共線，

/.cos9聲一L：.k=1.

［答案］(DB(2)1

?>一題多變

若本例⑴條件變?yōu)榉橇阆蛄縜,b,c滿足㈤=1引=1c1,a+b=c,試求a與6的夾角.

解：設(shè)㈤=0(0>0),a,6的夾角為。、由題設(shè)知(a+42=濟(jì)即2勿2+2加059=m,得cos9=

又0°WJW180。，所以0=120。，即a,6的夾角為120°.

由題悟法

1,求兩非零向量的夾角時(shí)要注意：

(D向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；

(2)數(shù)量積大于。說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量

積小于。且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角.

2.當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a及1a|,1引或得出它們的關(guān)系.

以題試法

2.⑴設(shè)向量a=(x-1,1),6=(-x+l,3),則a(a-⑻的一個(gè)充分不必要條件是()

A.x=0或2B,x=2

C.x=1D.x=±2

(2)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+X6(4GR),向量d如圖所示，則()

A.存在才〉0,使得向量c與向量d垂直

B.存在2>0,使得向量c與向量d夾角為60°

C.存在才〈0,使得向量c與向量d夾角為30°

D.存在1>0,使得向量c與向量d共線

解析：(1)選Ba=(x-1,1),a-6=(x-1,1)-(-x+1,3)=(2x-2,-2),故a_L(a-6)=2(x-

l)2-2=0=x=0或2,故x=2是a_L(a-6)的一個(gè)充分不必要條件.

⑵選D由圖可知d=4a+36=4a+，故D正確；對(duì)于A,由圖知若向量c與向量d垂直，則有

八〈0；對(duì)于B,若才〉0,則由圖觀察得向量c與向量d夾角小于60°；對(duì)于C,若"0,則向量c與向量

d夾角大于30

平面向量的模

典題導(dǎo)入

［例3］設(shè)向量a,6滿足|a|=1,|a-引=:，a?(a-Z?)=0,貝『2a+引=()

A.2B,2y［3

C.4D,473

［自主解答］由a?(a-6)=0,可得a?6=a'=l,

由|a-引=4，可得(a-6)°=3,即#-2a?6+?=3,解得1=4.

故(2a+b)2=4a2+4a,b+If=12,故12a+引=2A/3.

［答案］B

由題悟法

利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：

(1)\a\2-a=a,a；

(2)|a+b\2=(,a+=金±2a?b+b2

(3)若力貝力一二、/3+/.

以題試法

3.(?聊城質(zhì)檢)已知向量a=(sinx,1),6=(cosx,-1

⑴當(dāng)心6時(shí),求|a+引的值;

⑵求函數(shù)F(x)=a?(b-a)的最小正周期.

解：⑴由已知得a二0,

\a+b\-yl~a+b~~~-yla+2a?b-^I)-yla+

I~2~~2~13

A/sinx+1+cos^r+-=-

1

22

-sinX1

(2)f(x)=a?b-a—sinACOS-2--1

11-cos2x3\I2(吟

二］sin2x--------=^sin^+TJ-2,

二函數(shù)f(x)的最小正周期為「

平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

*?

典題導(dǎo)入

［例4］(?太原模擬)已知f(x)=a?4其中a=(2cosx,-/sin2x),b-(cosx,1)(JTER).

(1)求F(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在△/及7中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,f(A)=-1,a=?AB-AC=3,求邊長6

和C的值(力c).

［自主解答］(1)由題意知，/(^)=2cos2jr->\^3sin.2x=1+cos2x-/sin2x=1+2cos(2x+~^)

??"(￡)的最小正周期T=Ji,

"：y=cosx在［2A兀，2kTI+兀］(AEZ)上單調(diào)遞減，

JIJIit

令2k+2A兀+兀，得k八+—

?Joo

JIJI

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間kuAlt+—,AEZ.

OO

(2),/f(A)=1+2cos(22+-yj二一1,

二.cos(2Z+§)=-1.

JIJI7JiJI

又不2/+—o*.2A+—=兀.

oOo

JI

?/AB?AC=3,即歷=6,由余弦定理得a-Z?2+2AcosA-(Z?+c)2-ibc,7=(Z?+c)2-18,

b+c=5,

又b>c,b-3,c=2.

由題悟法

向量與其它知■識(shí)結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識(shí)的“交匯處”的命題要求，又加強(qiáng)了對(duì)雙基

覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時(shí)，把問

題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問題.

以題試法

4.(1)(?朔州調(diào)研)質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力凡R,A(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知

R,凡成60°角，且凡凡的大小分別為2和4,則E的大小為().

A.2巾B.2^/5

C.2D.6

(2)若〃為△/8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足("5-MC?)?(1施+Afd-2加)=0,則△/優(yōu)■為

()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

解析：(1)選A由已知條件我+K+R=0,貝片=片+肩+2出||K|cos60°=28.

因此，肉=2巾.

(2)選B由(M5-MC)?{MB+MC-2MA)=0,可知C5?(AB+AC)=0,設(shè)6c的中點(diǎn)

為D,貝IJA5+恁=2%。，故C5?A力=0.所以C5，A。.又，為寬的中點(diǎn)，故△/!回為等腰三角

形

盟|解題修躥要高舉—抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.(?豫東、豫北十校階段性測試)若向量a=(x+1,2)和向量6=(1,-1)平行，貝IJ|a+引=()

A.y/10B.羋

C.^2D.當(dāng)

解析：選C依題意得，-(x+1)-2X1=0,得3,故a+(-2,2)+(1,-1)=(-1,1),

所以|a+6|='~—―2+12=^/2.

2.(?山西省考前適應(yīng)性訓(xùn)練)已知向量3=(2,3),A=(-4,7),則a在6方向上的投影為()

A.-^13B.

o

C.A/65D.羋

U

a.*b2X—4+3X7\l65

解析：選D依題意得，向量a在6方向上的投影為丁=_42+二=*]

3.已知4及C為平面上不共線的三點(diǎn)，若向量A5=(1,1),A=(1,-1)，且〃?AC=2,貝BC

等于()

A.-2B.2

C.0D.2或-2

解析：選Bn-BC=n'(BA+AC)=n-BA+n-AC=(1,-1)?(-1,-1)+2=0+2=2.

4.(?湖南高考)在△/比'中，48=2,47=3,A5?5C=1,則%=()

A.4B.于

C.2y[2D.乖

解析：選A.AB-BC且/6=2,

1=AB||BCcos(n-8,|BCcosB=

在△/8C中，A(^=A^+B(^-2AB?BCcosB,

即9=4+初-2X2X(-J.

BC=y[3.

5.已知非零向量a,6滿足|a+引=|a-6|=2變|a|,貝Ua+6與a-6的夾角《為()

O

A.30°B,60°

C.120°D,150°

解析：選B將|a+引=g-引兩邊同時(shí)平方得3?6二0；

將la-引=2g|a1兩邊同時(shí)平方得4=9a2,

OO

a+b,a-ba-D1

d

所以cos=\a+b\.\a-b\=~T~=2-

三

6.如圖，在△48。中，ADVAB,BC=y[3BD,|A￡)|=1,則ACAD=()

A.273B.3小

c.f

D.y[3

解析：選D建系如圖.

設(shè)8(檢0),〃(0,1),C〈xc、yc),BC-{xc-XB.yc),

BD=(-沏1),

,/BC=y[3BD,:.xc-XB=-小XB=XC=(1-A/3),XB,yc二五AC=

(G-小)XB,y/3),AD=(0,1),AC?AD=小.

7.(?“江南十?！甭?lián)考)若|司=2,\b\=4,且(a+6)，a,則5與6的夾角是

解析：設(shè)向量&6的夾角為。.由(a+6)_LH得(a+6)?3=0,gp|a|2+a?b=0,,/\a\=2,a*b

1

引

引

4a*cose-4又-4cose--2兀2兀

->->--2即飛二，向量a,6的夾角為飛-

2

兀

答案-3-

8.(?新課標(biāo)全國卷)已知向量a,b夾角為45。，且?=1,|2a-6|=巫，則必=.

、歷

解析：；a,6的夾角為45。，|a|=1,?6二|a|?|引?cos45。=|b\,

|2a-Z)|2=4-4X^-b\+|Z>|2=10.|b\=3^2.

答案：372

9.(?大連模擬)已知向量a=(2,-1),6=(x,-2),c=(3,y),若a〃友(a+Z>)1(A-c),M(x、

y),My,X),則向量MN的模為.

解析：,ra〃仇.\jr=4..-.b=(4,-2),

/.a+b-(6,-3),b-c-(1,-2-y).

0/(a+6)_L(b-c),「.(i+6),(6—c)=0,

即6—3(—2—y)=0,解得y=-4.

丁?向量MN-(—8,8),|MN|-8yl^.

答案：8噂

10.已知(1,2),b=(-2,77),3與b的夾角是45°.

⑴求6；

⑵若。與6同向，且a與。-司垂直，求c.

解:⑴」a?b=2n-2,\a\\b\=yjn+4,

2/7-2A/2

.-.cos45°=------------==^—

3n-16/7-12=0(/7>1).

2

.??〃=.6或〃=-勺(舍)...b=(-2,6).

⑵由⑴知，a?b-10,|a|2=5.

又丁。與，同向，故可設(shè)。=幾6(幾>0).

o

a)a-,

H251

H21——

-o.A-6--2-

?a10

c=W=(-1,3).

11.已知?=4,|引=8,〃與6的夾角是120。.

⑴計(jì)算:①|(zhì)a+引,②|44-2引；

⑵當(dāng)A為何值時(shí)，(a+28)，(Aa-加？

解：由已知得，a?6=4X8X(-1j=-16.

⑴①,二|a+引之二，+2a?b+I)

=16+2X(-16)+64=48,

\a+b\=4^3.

②14a-2b\2=16a2-16a?6+4〃

=16X16-16X(-16)+4X64=768,

\4a-2b\=16

⑵,：Xa+2b)J_(ka-b),

(a+2/>)?(ka-b)=0,

ka+(2k-1)a,b-2/?2=0,

即164-16(24一1)-2X64=0.

.t.k=-7.

即"=一7時(shí)，。+2上與檢一6垂直.

12.設(shè)在平面上有兩個(gè)向量a=(cosa,

(1)求證：向量a+b與a-b垂直；

⑵當(dāng)向量第a+6與a-mb的模相等時(shí)求a的大小.

解：⑴證明：因?yàn)?a+6)?(a-Z?)=\a\2-\b\2=(cos2a+sin2a)-(j+=0,

所以a+b與a-6垂直.

⑵由|<a+6|=恒-小引,兩邊平方得

31a|2+2y[3a?b+\b\2-\a\2-2y[3a?b+3\b\2,

所以2(|a|2-|Z?|2)+4/a?b=0.

而|a|二|b|,所以a?b=G,

貝，一，Xcoso+^^XsinQ=0,艮11cos(。+60°)=0,

所以4+60°=k?180°+90°,

即a=k*180°+30°,kEZ.

又0°WQ<360°,貝1J。=30°或。=210°.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.已知兩個(gè)非零向量司，6滿足|a+引=2-引，則下面結(jié)論正確的是()

A.a.//bB.al.b

C.\a\=\b\D.a+b-a-b

解析：選B因?yàn)閨a+6|二|"6|,所以(a+b)2=(a—。)?，即a?6=0,故a_Lb.

2.(?山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)四診)△/回的外接圓的圓心為。，半徑為1,若43+AC=24。，且|OA|

=IACI,則向量氏4在向量6。方向上的射影為()

A3A/3

A.-B.~~

C.3D.-4-

解析：選A由已知條件可以知道，△/回的外接圓的圓心在線段用的中點(diǎn)。處，因此△/肉是直角

三角形，且人=7.又|041=ICA所以乙C=k，2B=K4B=小,AC=1,故5A在5c上的射

乙OO

—JI3

影IBA|cos—=-

3.已知AB-(6,1),BC=(x,y),CD=(一2,-3).

(1)若求x與y之間的關(guān)系式；

⑵在⑴條件下，若恁求x,y的值及四邊形/灰力的面積.

解：(1):AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),

DA=-AD=(-x-4,2-。,

又?「5C〃ZXi且5。=(x,y),

x(2-y)-y(-x-4)=0,

即x+2y=0.①

(2)由于AC?=AB+BC=(x+6,y+1),

BD=BC+CD=(x-2,y-3),

又ACLBD

所以恁?sb=o,

即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.②

聯(lián)立①2)化簡，得7-2了-3=0.

解得y=3或y=T.

故當(dāng)y=3時(shí)，x=-6,

此時(shí)AC=(0,4),BD=(-8,0),

]

所以源產(chǎn)萬|AC|?BD|=16;

當(dāng)了=-1時(shí)，x=2,

此時(shí)ad=(8,0),BD=(0,-4),

SABCD=^\ACI,BDI=16.

I飛臨備選題|

1.△/a1中，ZB邊的高為CD、若CB=a,CA=b、a?b=0,

162則AD

-X--

1122

--6