2025屆云南省曲靖市陸良縣高三第二次模擬考試（B卷）數(shù)學試題試卷含解析

2025屆云南省曲靖市陸良縣高三第二次模擬考試（B卷）數(shù)學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．82．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．3．在中，，，，若，則實數(shù)()A． B． C． D．4．高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數(shù)學成績不低于110分的學生人數(shù)約為（）A．40 B．60 C．80 D．1005．若函數(shù)（其中，圖象的一個對稱中心為，，其相鄰一條對稱軸方程為，該對稱軸處所對應的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象()A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且7．關于函數(shù)，有下列三個結(jié)論:①是的一個周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域為.則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．8．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．9．已知，，則的大小關系為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的定義域為，且，當時，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．811．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．12．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的第5項的系數(shù)為_____.14．已知函數(shù)，則________；滿足的的取值范圍為________.15．設，滿足約束條件，則的最大值為______.16．（5分）有一道描述有關等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列，后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是____________cm．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.18．（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點E，使平面DEM，求的值19．（12分）已知橢圓的焦點為，，離心率為，點P為橢圓C上一動點，且的面積最大值為，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)設點，為橢圓C上的兩個動點，當為多少時，點O到直線MN的距離為定值.20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，證明：21．（12分）如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.22．（10分）已知圓外有一點，過點作直線．(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求函數(shù)導數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.2．C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.3．D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.4．D【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)，根據(jù)題意，得到，求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數(shù)學成績不低于110分的人數(shù)為人，故選:.本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學生分析問題的能力,難度容易.5．B【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導公式，得出結(jié)論．【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中，的圖象過點，，可得，，解得：．再根據(jù)五點法作圖可得，可得：，可得函數(shù)解析式為：故把的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故選B．本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導公式的應用，屬于中檔題．6．B【解析】由且可得，故選B.7．B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出．【詳解】①因為，所以是的一個周期，①正確；②因為，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯誤；③因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當時，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域為，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用．8．B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用，屬于基礎題.9．D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關系，進而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最小；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.10．A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)冪運算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用，屬于中檔題.11．B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.12．B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．70【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為：70.本題考查的是二項式定理，屬基礎題。14．【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到，分和兩種情況討論可得；【詳解】解：因為，所以，∵，∴當時，滿足題意，∴；當時，由，解得.綜合可知：滿足的的取值范圍為.故答案為：；.本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應用，分類討論思想，屬于基礎題.15．29【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，目標函數(shù)是以原點為圓心，以為半徑的圓，由圖可知，此圓經(jīng)過點A時，半徑最大，此時也最大，最大值為.所以本題答案為29.線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.16．【解析】

依題意設前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數(shù)列,則公比，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)離心率以及，即可列方程求得，則問題得解；（2）設直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的，即可求得參數(shù)，則三角形面積得解.【詳解】（1）設，由題意可得.因為是的中位線，且，所以，即，因為進而得，所以橢圓方程為（2）由已知得兩邊平方整理可得.當直線斜率為時，顯然不成立.直線斜率不為時，設直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以，由得將代入整理得，展開得，整理得，所以.即為所求.本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.18．（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)題意證出，，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵為等邊三角形，N是AD的中點，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點Q，連接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在點E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點A的三等分點.本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，考查了學生的推理能力以及空間想象能力，屬于空間幾何中的基礎題.19．（1）；（2）當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.【解析】

（1）的面積最大時，是短軸端點，由此可得，再由離心率及可得，從而得橢圓方程；（2）在直線斜率存在時，設其方程為，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元（）后應用韋達定理得，注意，一是計算，二是計算原點到直線的距離，兩者比較可得結(jié)論．【詳解】（1）因為在橢圓上，當是短軸端點時，到軸距離最大，此時面積最大，所以，由，解得，所以橢圓方程為．（2）在時，設直線方程為，原點到此直線的距離為，即，由，得，，，所以，，，所以當時，，，為常數(shù)．若，則，，，，，綜上所述，當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力．解題方法是“設而不求”法．在直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達定理聯(lián)系已知式與待求式．20．（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進而研究零點個數(shù)問題；（Ⅱ）求導，，由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，求出，利用導數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上無零點；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上唯一零點；當時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，；在區(qū)間上唯一零點；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在無極值點；在有極小值點，即為；在有極大值點，即為，由，即，，2…，，，，，，以及的單調(diào)性，，，，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，，由在單調(diào)遞減，得，即，故.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點到平面的距離；解法二：由條件知點到平面的距離等于點到平面的距離，過點作的垂線，垂足，證明平面，計算出即可.【詳解】解法一：（1）依題意知，因為，所以.又平面平