2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練：零點（學(xué)生版全國）

專題2-3零點

【題匹】水平線法：參變分別

【典例分析】

2x-^,x>l,

已知函數(shù)〃x)={2'函數(shù)g(x)=/(x)-機，則下列說法錯誤的是()

2

33

A.若m<一萬，則函數(shù)g(“無零點B.若m>-5,則函數(shù)g(“有零點

C.若-53<機<53，則函數(shù)g(九)有一個零點D.若m>33,則函數(shù)g(“有兩個零點

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.分別參數(shù)。得常數(shù)函數(shù)(含參水平線)

2.函數(shù)畫圖，須要運用到復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,

【變式演練】

1.已知函數(shù)y(x)={：+；：X；；

若函數(shù)y=〃3x—2)-。恰有三個不同的零點，則

實數(shù)。的取值范圍是—

f|log2x|,0<xW2

2.己知函數(shù)f(x)=lx2_|x+5,x>2，若函數(shù)g(x)=f(x)-m存在四個不同的零點，則

實數(shù)m的取值范圍是.

3.已知函數(shù)f(x)=t|x+2|-l,xW0,若函數(shù)y=f(x)-m+1有四個零點,零點從小到大

依次為a,b,c,d,則a+b+cd的值為()

A.2B.-2C.-3D.3

【題型二】基礎(chǔ)圖像交點法

【典例分析】

設(shè)函數(shù)<(x)=log2X—(g)，，力(x)=l0glx—(；廠的零點分別為玉,T2，則()

A.0<<1B.XJXJ=1C.1<<2D.xxx2>2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.暴、指、對、對勾、雙曲等函數(shù)之間圖像交點。

2.可以借助二分法、單調(diào)性奇偶性等找尋交點所在區(qū)間。

【變式演練】

1.已知函數(shù)/(x)=X?-2ax-2alnx(aeR),則下列說法不正確的是()

A.當(dāng)。<0時，函數(shù)y=/(x)有零點B.若函數(shù)y=/(x)有零點，則。<2

C.存在。>0,函數(shù)y=/(x)有唯一的零點D.若函數(shù)y=/(x)有唯一的零點，則

a<2

2.設(shè)f(x)=?1)'g(x)="g2X，則h(X)=f(x)-g(x)的零點個數(shù)是

3.已知函數(shù)/'(x)=|x-4卜:有三個不同的零點，則上的取值范圍是.

【題型三】分段函數(shù)含參

【典例分析】

Ix+1%Wa

已知〃x)=2；-c，若。=。，方程"x)=0的解集是_____;若方程〃x)=0的

\x—JX+2,X>tz

解集中恰有3個元素，則a的取值范圍是.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

屬于“動態(tài)函數(shù)”畫圖法

1.參數(shù)在分段函數(shù)定義域分界點處。

2.函數(shù)圖像的“動態(tài)”探討點，多從特殊點，交點，單調(diào)性變更點，奇偶性等處找尋。

3.引導(dǎo)學(xué)生多畫分解圖。

【變式演練】

1.己知函數(shù)f(x)=［。國"［北其中勿>0.若存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的方程f(x)

1%-2mx+4m,x>m,

=6有三個不同的根，則實數(shù)/可能的值有()

A.2B.3C.4D.5

(x-tz)2,x<0

2.設(shè)acR,函數(shù)/(%)=1八，若函數(shù)g(x)=/W-3有且僅有3個零點，則a的

x-\---a,x>0

JQ

取值范圍是.

C3

%xJa

3.已知函數(shù)f(x)=1'一'若存在實數(shù)6,使函數(shù)g(x)=/(%)一匕有兩個零點，則a的

x,x>a.

取值

范圍是()

A.(-oo,-l)o(0,+co)B.(-co,0)0(1,+co)C.(-oo,0)D.(0,1)

【題型四】探討直線斜率(臨界是切線)找尋交點關(guān)系

【典例分析】

'25.,

x—x—3,x—1x

已知函數(shù)/(x)=2，則函數(shù)g(x)=/(x)-二的零點個數(shù)為

-71-U+2)2,-3<%<-12

A.1B.2C.3D.4

【提分秘籍】

基本規(guī)律

當(dāng)分別參數(shù)較困難時，可以“分別函數(shù)”，一般狀況下，一側(cè)多為直線，一側(cè)是可以探討出

圖像的函數(shù)。

1.交點(零點)的個數(shù)和位置，多借助切線來找尋確定。

2.切線雖然大多數(shù)可以通過導(dǎo)數(shù)來解得，但對于如一元二次等常見函數(shù)的切線，可以通過方

程聯(lián)立解決，這樣可以簡化一些計算。

3.對于圓和圓錐曲線部分圖像所獲得的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)求切線難度大，圓和圓錐曲線求切線的方

法要留意總結(jié)駕馭。

【變式演練】

2%>m

；4,(，若方程/(耳-%=0恰有三個根，那么實數(shù)機的取值

{X十T-X十X-"2

范圍是()

A.[—1,2)B.[-1,2]C.[2,+oo)D.(-℃,-1]

|x2+2x|,x<0

2.已知函數(shù)/(%)=<1若關(guān)于％的方程〃x)=a(x+3)有四個不同的實數(shù)根,

一,x>0

則實數(shù)”的取值范圍是()

A.卜8,4-26')B.(4++oo)

C.[0,4-2百]D.(0,4-2@

2

3,已函數(shù)八>)+2=當(dāng)xe(0,l]時,/(x)=x2,若在區(qū)間(-叫內(nèi),

/加+1)

8(力=*力-心+1)有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是—

【題型五】“放大鏡”函數(shù)的交點

【典例分析】

l-x,0<x<l

小)=3(1),0

已知函數(shù)"X)為偶函數(shù)，且當(dāng)尤>0時,則當(dāng)2,2)時，方程

〃司=&[的根有()個

A.3B.5C.7D.9

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“似周期函數(shù)”或者”類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要留意以下幾點辨析：

L是從左往右放大，還是從右往左放大。

2.放大(縮小)時，要留意是否函數(shù)值有0。

3.放大(縮小)時，是否發(fā)生了上下平移。

4.“放大鏡”函數(shù)，在找尋“切線”型臨界值時，計算簡潔“卡殼”，授課時要著重講清此

處計算。

【變式演練】

,,fx-l,l<x<2,

L定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足：①當(dāng)XW[1,3)時，〃x)=。。②

[3—X,2<x<3,

/(3x)=3/(x).

(7)/(6)=;

(萬)若函數(shù)尸(x)=/(x)-a的零點從小到大依次記為再,％2「，X“，,則當(dāng)ae(l,3)時，

x,+x2+++x2?=.

/、「llnx\,0<x<e/、/、

2.己知函數(shù)〃x)='1函數(shù)網(wǎng)力=/(同一就有2個零點，則實數(shù)a

j(ze—x)9e<xv

的取值范圍是.

sin7ix,xG[0,2]

3.對于函數(shù)〃x)=1、，下列5個結(jié)論正確的是(把你認(rèn)為正

-/(x-2),xeM(2,4w)

、2

確的答案全部寫上).(1)任取石,々目0,+?0,都有|〃為)-〃々)歸2；

(2)函數(shù)了=〃力在[4,5]上單調(diào)遞增；

(3)f⑸=2寸(x+2k)(KwN),對一切xe[0,+oo)恒成立第

(4)函數(shù)丁=/(“一111(了一1)有3個零點；

(5)若關(guān)于％的方程〃"=制機<0)有且只有兩個不同的實根不，x2,則玉+々=3.

【題型六】函數(shù)變換:

【典例分析】

X2—mx,x>0

已知函數(shù)/(幻=若關(guān)于X的方程/(x)+/(-%)+2=0有且僅有四個互不相等

尤2—2x,尤<0

的實根，則實數(shù)卬的取值范圍是()

A.(一8,7]B.(6,+8)C.(2+8)D.[8,+8)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用函數(shù)性質(zhì)，推導(dǎo)出中心對稱，軸對稱等等函數(shù)圖像特征性質(zhì)。

【變式演練】

x,-l<x<0

1.設(shè)函數(shù)〃X)=1"n八〃，若方程〃x)=2r在區(qū)間(T1)內(nèi)有且僅有兩個根，則

[〃尤T)

實數(shù)f的取值范圍是()

A.[-B.(-<?,0)C.D--J。]

(3—4x丫v0

2.己知函數(shù)〃尤)=2'1'c，若關(guān)于x的方程2/(同一“一力-％=0有且只有3個實

\x—x+Z,x>(J,

數(shù)根，則實數(shù)人的取值范圍是.

Y

3.已知函數(shù)，=/(x)對于xeR恒有“2-幻+/(*)=2,若/(x)與函數(shù)gQ)=一的圖像的

x-1

點交為(和”),(々，%)???(%,yn),則點+%)+(x2+y2)+...+(%?+yn)=

【題型七】對數(shù)函數(shù)確定值“積定法”

【典例分析】

Ix+21,x<0

f(x)={

設(shè)函數(shù)|IOg2X|<X>0,若關(guān)于X的方程小)=2有四個不同的解X1，々,、3,4,且

1

X1<X2<X3<X3則的取值范圍是（）

A,H,+°°）B.（-8,3）c.[-3,3）D.（-3,3]

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對于f(X)=|10gaX|,"Oga*戶a若有兩個零點，則滿足

10<Xj<l<x2

2.X]X2=1

3.要留意上述結(jié)論在對稱軸作用下的“變與不變”

【變式演練】

1.已知西，%是方程ef+2=|lnx|的兩個解，則()

A.0<<—B.-<xrx2<1C.1<xrx2<eD.x{x2>e

ee~-

(|log2x|,x>0

2.已知函數(shù)f(x)=+2x+2,xW0,方程f(x)-b=。有四個不相等的實數(shù)根

XI,X2,X3,X4,且滿足：XI<X2<X3<X4,則硬上電的取值范圍是()

XIX3+X2X3

A.(-00,-2)B.[-3,-2A/5]C.(-3,-2)D.(-00,-2^/2]

工已知函數(shù)/⑺九0<x<3

(其中〃￡氏)，若/(%)的四個零點從小

3<x<6

4

到大依次為再，%，/，％4，則XZ+XZ的值是()

Z=1

A.16B.13C.12D.10

【題型八】高斯函數(shù)型

【典例分析】

設(shè)國表示不超過光的最大整數(shù)，如==已知函數(shù)=Ixl左（%>。），若

x

方程/（x）=0有且僅有3個實根，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.B.C.D.

23344556

【提分秘籍】

基本規(guī)律

取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

1.具有“周期性”

2.一端是“空心頭”，一端是“實心頭”

3.還可以引入“四舍五入”函數(shù)作對比

【變式演練】

1.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)xeR,

用國表示不超過x的最大整數(shù)，y=國也被稱為“高斯函數(shù)”，例如[2,1]=2,[3]=3,

[-1,5]=-2,設(shè)%為函數(shù)〃尤）=log2尤一士一1的零點，則[即=（）.

尤

A.2B.3C.4D.5

2.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有'‘?dāng)?shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀(jì)念數(shù)

學(xué)家高斯，人們把函數(shù)y=[x],xeR稱為高斯函數(shù)，其中[可表示不超過了的最大整數(shù).設(shè)

{x}=x-[x],貝!1函數(shù)/（x）=2尤{x}-x-l的全部零點之和為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.高斯函數(shù)/（力=田（國表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），若函數(shù)g（x）=e，-eT-2的零

點為看,貝1Jg"（x（））]=（）

【題型九】與三角函數(shù)結(jié)合

【典例分析】

cos(27rx-27ca)x<.a

設(shè)aGR,函數(shù)函x）=X*，若函數(shù)Ax）在區(qū)間。+8）內(nèi)恰有6

—2(Q+1)%+Q2+5

個零點，則a的取值范圍是(

9511B.(：,2]U(|,y]

A.(2,—]U(——]

42,4

911711

C.(2,—]U[—，3)D.2)U：,3)

447

【提分秘籍】

基本規(guī)律

與三角函數(shù)結(jié)合時，三角函數(shù)供應(yīng)了

1.多中心，多對稱軸。

2.周期性

3.正余弦的有界性。

4.正切函數(shù)的“漸近線”性質(zhì)

【變式演練】

1.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(2-x)+/(x)=0,當(dāng)xe(O,l］時，/(x)=-log2x,若函

數(shù)歹(x)="r)-sin(萬x),在區(qū)間［-1,〃?］上有10個零點，則機的取值范圍是()

A.［3.5,4)B.(3.5,4］C.(5,5.5］D.［5,5.5)

2.若函數(shù)”元)=元2-〃國+竿+。有且只有一個零點，又點P(3a,l)在動直線

11X+1

機(x_l)+“(y_l)=。上的投影為點M若點M3,3),那么的最小值為.

3.函數(shù)/5)=1^+25皿槨-；)］在工€［一3,5］上的全部零點之和等于

|尤-1|2

【題型十】借助周期性

【典例分析】

函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃x-1)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［O,l］時，〃尤)=￡,若函數(shù)

8(力=〃力-犬-。恰有一個零點，則實數(shù)6的取值集合是()

A.kEzB.(2A+g,2A+g),kEz

八",1"，C,"1,15、,

C.4k—,4kH—I，左￡zD.I4kH—,A4kkez

I44)I44

【提分秘籍】

基本規(guī)律

本專題，講清楚【典例分析】這道題，在周期函數(shù)中，與切線的關(guān)系。可以利用周期平移對

稱等距等等函數(shù)性質(zhì)，求出對應(yīng)的切線截距。當(dāng)做選擇題來分析講解(雖然本題可以“秒殺”

解除)

【變式演練】

1.定義在R上的偶函數(shù)〃勸滿足了(2-x)=/(x),且當(dāng)工e［l,2］時,/(x)=lnx-x+1,若函數(shù)

g(x)=/(》)+〃比有7個零點，則實數(shù)機的取值范圍為.

A-I(l-l8n25l-6ln2A)I(ln26-l5ln28-l))B-1(ln62-l，ln82—lJ)

l-ln2l-ln2l-ln2In2-1

C.D.

868'6

2.已知定義域為R的奇函數(shù)滿足/(X+1)=〃3T),當(dāng)xe(O,2］時,f(x)=-x2+4,

則函數(shù)y=/(x)-。eR)在區(qū)間［-4,8］上的零點個數(shù)最多時，全部零點之和為

2x0<x<l

3.已知函數(shù)y=/(x)的定義域是。+8),滿足/。)=12一?+5l<x<3,阻

—2x+83<x<4

/(尤+4)=/(尤)+。，若存在實數(shù)“，使函數(shù)g(x)=/(x)+%在區(qū)間［0,2021］上恰好有2021個零

點，則實數(shù)a的取值范圍為

賽送秦新?？级亻泔?/p>

一爐+4%—2,%>1

1.已知函數(shù)/(X)=(11]，函數(shù)g(x)=/(x)-丘有三個零點，則左的取值范圍是

5卜+1|人1

xH---4,x>0

x

2.(多選題)已知函數(shù)〃力=，若關(guān)于x的方程f(|x|-2)=上有6個不同的

x+1

,x<0

x

實數(shù)根，則實數(shù)A的值可以是()

A.0B.1D.1

3.(多選題)關(guān)于x的函數(shù)/(尤)=(必一1)2_|尤2_]卜左,給出下列四個命題，其中是真命題

的為().

A.存在實數(shù)左，使得函數(shù)恰有2個零點;

B.存在實數(shù)左，使得函數(shù)恰有4個零點;

C.存在實數(shù)左，使得函數(shù)恰有5個零點;

D.存在實數(shù)左，使得函數(shù)恰有8個零點;

4.給出定義：若+；(其中機為整數(shù))，則加叫做與實數(shù)x“親密的整數(shù)”記

作｛x｝=m,在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f(x)=|尤-｛尤｝|的四個說法：

①函數(shù)v=/(x)在(0,1)是增函數(shù)；

k

②函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線彳=](%€2)對稱；

③函數(shù)y=/(x)在卜左+：)(%eZ)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)xe(0,2)時，函數(shù)g(x)=/(X)-2X2-1有兩個零點.

其中說法正確的序號是.

5.已知函數(shù)/。)="+1+產(chǎn)一叫g(shù)(x)=or+l,其中。>0,若/(x)與g(x)的圖像有兩個交點,

則。的取值范圍是

6.對于實數(shù)。和6,定義運算“*“：”*6=]：：一"?'""?,設(shè)/(x)=(2x—l)*(x—l),且關(guān)于

[v-ab,a>b

X的方程為/(x)=m(meR)恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是.

x-21+x一萬，

則函數(shù)y=""-x+g的零點個數(shù)為

7.設(shè)函數(shù)〃x)=";若

x+2)(x-\—j,x<0,