2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺提升-圖形規(guī)律探索題（含解析）

專題04圖形規(guī)律探究題

典型一：周期姓問題

圖形規(guī)律

探索

題型二：加律粒出建

典例剖析

[例1](2024?河師大附中?？?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形附4的直角邊困在

y軸的正半軸上，且如尸44=1,以。(2為直角邊作其次個(gè)等腰直角三角形十以物3為直角邊作第三個(gè)等

腰直角三角形以34,…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形以2必4。24,則點(diǎn)4皿的坐標(biāo)為

【解析】解：由題意知：4(0,1),4(1,1),〃2=44=&,6M3=2,

.?.4(2,0),

同理，4(2,—2),4(0,—4),4(—4,—4),4(—8,0),4(—8,8),4(0,16).......

每隔8個(gè)點(diǎn)恰好處于同一坐標(biāo)系或象限內(nèi)，2024+8=252........1,

即點(diǎn)為124在y軸正半軸上，橫坐標(biāo)為0,

各點(diǎn)縱坐標(biāo)的肯定值為：2°,2°,21,21,22,22,23,23,……

20244-2=1008...1,

可得點(diǎn)擊網(wǎng)的縱坐標(biāo)為：21008,

故答案為(0,21008).

【變式1T】(2024?濟(jì)源一模)如圖，在一個(gè)單位為1的方格紙上，△444,△444,△444,…，

是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2,4,6,…的等腰直角三角形.若△444的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,0),

4(1,-1),4(0,0),則依圖中所示規(guī)律，4曲的橫坐標(biāo)為()

【解析】解：

視察圖形可知，奇數(shù)點(diǎn)在x軸上，偶數(shù)點(diǎn)在象限內(nèi)，

所以力2024在x軸上，

Ai,As,As,Ais...144-3在x正半軸，4A—3=2024,22=505.5,所以及如不在x正半軸上;

4(0,0),4(-2,0),An(—4,0),A15(-8,0)……,

3=4X0+3,7=4Xl+3,11=4X2+3,15=4X3+3,...,2024=4X504+3,

A-2X504=-1008,

即4024的坐標(biāo)為(—1008,0),

故答案為：A.

【變式1-2](2024?洛陽三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形勿回繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后

得到正方形》1團(tuán)Q,稱為一次旋轉(zhuǎn)，依此方式，……,繞點(diǎn)0連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形02019比

019。019,假如點(diǎn)力的坐標(biāo)為(1,0),那么點(diǎn)發(fā)019的坐標(biāo)為

【答案】(-A/2,0).

【解析】由旋轉(zhuǎn)及正方形性質(zhì)可得：

5(1,a),5(—1,1),笈(一應(yīng)，0),8(—1,-1),序(0,-V2),以(1,-1),片(&,

0),4(1,1),……

/.3604-45=8,

2024+8=252....3,

...點(diǎn)&24落在X軸負(fù)半軸上，

即J8>024(—A/2,0),

故答案為：(一血,0).

【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)/順指針旋轉(zhuǎn)到△/反。的位置，點(diǎn)反。分別落在

點(diǎn)區(qū)、G處，點(diǎn)為在x軸上，再將繞點(diǎn)用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△461G的位置，點(diǎn)C在x軸上，將臺(tái)G

繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△44G的位置，點(diǎn)4在x軸上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)A(3,0),B(0,4),則點(diǎn)

3

【答案】D.

【解析】解：由圖象可知點(diǎn)與期在第一象限,

,：OA=~,小4,ZAOB=90°,

3

在七△ai4中，由勾股定理得：AB^—,

3

可得：灰(10,4),以(20,4),&(30,4),-

點(diǎn)員)24橫坐標(biāo)為10080.

故答案為：D.

【變式2-1](2024?開封二模)我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”(如

1,3,6,10-)和“正方形數(shù)”(如1,4,9,16-),在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m,

最大的“正方形數(shù)”為n,則加〃的值為()

.

???

??????

???.........................

????

???????

?????????

?????????

A.33B.301C,386D.571

【答案】C.

【解析】解：由圖形知：

第〃個(gè)三角形數(shù)為1+2+3+.“+片小+1),

2

第〃個(gè)正方形數(shù)為〃2,

,n(n+l)

當(dāng)t〃=19時(shí)，△——=190<200,

2

當(dāng)〃=20時(shí)，△——=210>200,

2

所以最大的三角形數(shù)：勿=190；

當(dāng)?shù)?14時(shí)，/?2=196<200,

當(dāng)?shù)?15時(shí)，方=225>200,

所以最大的正方形數(shù)：77=196,

貝！J研刀=386,

所以答案為：C.

壓軸精練

1.如圖，邊長為1的菱形/四中，廬60。.連接對角線/C,以4C為邊作其次個(gè)菱形力笫〃，使

/04年60°；連接/G,再以陽為邊作第三個(gè)菱形陽GZ,使/加6=60°；…，按此規(guī)律所作的第〃個(gè)

菱形的邊長為.

【答案】（6）7.

【解析】解：：四邊形力以力是菱形，/的廬60°,：.AB=BO1,ZACB^ZCAB=3Q°,

:.A0乖，止有），

同理可得：AG=^3AC=(⑺)1AG=4?>AG=3yl3=(6)。...

第〃個(gè)菱形的邊長為：（出廣，

故答案為：（.）.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，//阱30°,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,0）,過點(diǎn)/作陽」如，垂足為點(diǎn)4,

過4作軸，垂足為點(diǎn)4；再過點(diǎn)4作A^kOB,垂足為點(diǎn)A；再過點(diǎn)屈作軸，垂足為點(diǎn)4…;

這樣始終作下去，則4翊的橫坐標(biāo)為（

3?(@)2024D-.(走)2024

2222

【答案】B.

【解析】解：：/〃廬30°,點(diǎn)力坐標(biāo)為（2,0）,

.?.以=2,

0An=(立)-0A=2.-.^024=2X)2期=3.(巫)由

22222

故答案為：B.

3.(2024?安陽一模)如圖，函數(shù)丁=(一武"一"的圖象記為Cl,它與x軸交于點(diǎn)。和

-2x+8(2<x<4)

點(diǎn)加，將Cl繞點(diǎn)和選擇180°得泛，交x軸于點(diǎn)22……,如此進(jìn)行下去，若點(diǎn)戶(103,㈤在圖象上，則

〃的值是()

【解析】解：由圖可知：橫坐標(biāo)每間隔8個(gè)單位，函數(shù)值相同，即函數(shù)圖象重復(fù)周期為8,1034-8=12……

5,當(dāng)x=5時(shí)，7=—2,即77F—2,

故答案為：A.

4.(2024?鄭州二模)如圖，彈性小球從點(diǎn)P(0,1)動(dòng)身，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球遇到正方形的8c

的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次遇到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為PA-2,0),第2次遇到

正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P”……，第n次遇到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn,則點(diǎn)/^oi9的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【答案】D.

【解析】解：依據(jù)圖象可得：4(-2,0),L(-4,1),一((),3),秋】2,4),據(jù)(-4,0),R(0,1),月(—2,0)

20244-6=336....3,

即K024(0,3),

故答案為：D.

5.(2024?偃師一模)如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC,已知信60°,點(diǎn)方在y軸上，OA=\,

先將菱形"6c沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為

B，,員,…,貝IJ5。19的坐標(biāo)為()

C.(1345,—)D.(1346,0)

2

【解析】解：連接4G如圖所示.

,：ZAB(=6Q°,；.△/況■是等邊三角形.

：.A(=AB.：.AC=OA.

：.A(=1.

由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4.

：2024=336X6+3,

點(diǎn)名向右平移1344(即336X4)到點(diǎn)8mA.

:用的坐標(biāo)為(2,0),

期的坐標(biāo)為(1346,0),

故答案為：D.

6.(2024?新鄉(xiāng)一模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)J(-3,0),B(0,4),對△如6連續(xù)作旋轉(zhuǎn)

變換，依次得到△1，A2,A3,A4,…，則△2024的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()

C.(8076,—)D.(8064,—)

55

【答案】A.

【解析】解：：點(diǎn)/(-3,0)、6(0,4),

由勾股定理得：AB=5,

由圖可知，三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)，經(jīng)驗(yàn)一次循環(huán)前進(jìn)的水平距離為：12,

2024+3=673,直角頂點(diǎn)在x軸上，

673X12=8076,

...△2024的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(8076,0).

故答案為：A.

7.(2024?西華縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2x和尸-x的圖象分別為直線Z,12,

過點(diǎn)(1,0)作x軸的垂線交Z于點(diǎn)4,過點(diǎn)4作y軸的垂線交心于點(diǎn)4,過點(diǎn)4作x軸的垂線交，于點(diǎn)

4,過點(diǎn)4作y軸的垂線交心于點(diǎn)4,…依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)“詡的坐標(biāo)為.

【解析】解：由圖可知：4(1,2),Ai(-2,2),4(-2,-4),4(4,-4),4(4,8),…,

,.,2024=504X4+1,

...點(diǎn)力2024在第~■象限,

,.*2024=1008X2+1,

：.A2^((-2)〃，2(-2)")(〃為自然數(shù)).

...4泌的坐標(biāo)為((-2)1008,2(-2)1008)=(21008,21009).

故答案為:(21008,21009).

8.(2024?鄭州聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形的6c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方

形勿出G,依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次得到正方形。2。2赤。24G期，假如點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,0),那么

點(diǎn)5-024的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(0,&)C.(-應(yīng)，0)D.(-1,1)

【答案】D.

【解析】解：???四邊形/8c是正方形，力=1,

：.B(1,1),

連接留在歐△勿笈中，由勾股定理得：必=&,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OB=OBi=OBi=OBi=--=,

：.Bi(0,及)，笈(-1,1),序(-&,0),…，

360+45=8,每8次一循環(huán)，2024+8=252....2,

點(diǎn)為24的坐標(biāo)為(-1,1).

故答案為：D.

9.(2024?安陽二模)將直角三角形紙板。16按如圖所示方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，5在x軸上,

OB=4,的=26將三角形紙板繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°,則第2024秒時(shí)，點(diǎn)力的對應(yīng)點(diǎn)2

的坐標(biāo)為()

4(-3,-G)B.(3,-y/3)C.(-3,73)D.(0,2>/3)

【答案】A.

【解析】解：3604-60=6,

即每6秒一循環(huán)，

20244-6=336....3,

即2024秒時(shí)，點(diǎn)A與其對應(yīng)點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)。對稱，

=4,//必=30°，

可得：可3,后),

.?.第2024秒時(shí)，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(一3,-73),

故答案為：A.

10.正方形26切的位置在坐標(biāo)中如圖所示，點(diǎn)4，的坐標(biāo)反別為(1,0)、(0,2),延長力交x軸于

點(diǎn)4,作正方形/出GC,延長G片交x軸于點(diǎn)4,作正方形45GG,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2024個(gè)

正方形的面積為

34032

【答案】5

【解析】解：:四邊形口是正方形,

：.AD=AB,NDAB=/AB俏N=ZDOA,

ZAD(KZDAO=90°，N為決N掰4=90°，

：.ZADO-ZBAAlf

?；NDOA=/ABAi,

：.￡\DOA^/\ABAi,

.OABA1

??------------——,

ODAB2

由勾股定理得：AB=AD=布,

3/s

...第2個(gè)正方形的邊長相反?=」，面積=

2

同理，第3個(gè)正方形的面積為：-x

第4個(gè)正方形的面積為

.,.第2024個(gè)正方形的面積為：52

3

即答案為：5

11.（2024?鄭州模擬）如圖所示，一動(dòng)點(diǎn)從半徑為2的。。上的題點(diǎn)動(dòng)身，沿著射線幽。方向運(yùn)動(dòng)

到。。上的點(diǎn)出處，再向左沿著與射線/I。夾角為60°的方向運(yùn)動(dòng)到。。上的點(diǎn)42處接著又從42點(diǎn)動(dòng)身，

沿著射線A2O方向運(yùn)動(dòng)到0。上的點(diǎn)A3處，再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運(yùn)動(dòng)到0。上的點(diǎn)幽

處；……按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2017處，則點(diǎn)力2017與點(diǎn)題間的距離是

44

【答案】4.

【解析】解：由圖分析可知，4點(diǎn)與4點(diǎn)重合,

20244-6=336........1,

即點(diǎn)42017與4重合,

:。。的半徑為2,

...點(diǎn)A2017與點(diǎn)A0間的距離是4.

12.（2024?洛寧縣模擬）如圖，由一些點(diǎn)組成形如正多邊形的圖案，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第〃

（〃>0）個(gè)圖案須要點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】n+2n.

【解析】解：由圖知，第1個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為3+0X3,第2個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為4+1X4；第3個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為5+2

X5；第4個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為6+3X6……

第〃個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為：（加2）+（72—1）（72+2）=n+2,n,

即答案為：n+2n.

13.（2024?泌陽三模）如圖所示的坐標(biāo)系中放置一菱形小8C,已知信60°,點(diǎn)8在y軸上，OA=1,

先將菱形如比1沿x軸的正方形無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次，點(diǎn)6的落點(diǎn)分別是印，加，

Bi,……，則加024的坐標(biāo)為

【答案】（1345.5,A/3）.

【解析】解：由題意知：OB=y/3OA=y/3,即6（0,出）,

'-B\.的縱坐標(biāo)為：,橫坐標(biāo)為：A/3X=—,

222

即夕i（3,立），

22

2024=336X6+1,

求得：52024(336X4+-,后)，即位024(1345.5,百),

2

故答案為：(1345.5,