2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)【一輪復(fù)習(xí)講義】第35講 空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第35講空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示(精講)

題型目錄一覽

①空間向量的線性運(yùn)算

②空間共線'共面向量定理的應(yīng)用

③空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

、知識點(diǎn)梳理

一、空間向量及其加減運(yùn)算

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也可用有

向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量”的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是8,則向量4也可以記作AB,

其模記為卜|或

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)3重合時，AB=0.

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.

空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

與向量。長度相等而方向相反的向量，稱為。的相反向量，記為-a.

(4)空間向量的加法和減法運(yùn)算

?OC=OA+OB=a+b,BA=OA-OB=a-b.如圖所示.

H

②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律

a+b=b+a,ya+b^+c=a+\b+c\

二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

(1)數(shù)乘運(yùn)算

實數(shù)X與空間向量。的乘積2。稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)4>0時，2a與向量。方向相同；當(dāng)4<0時，向量

彳。與向量〃方向相反.急?的長度是a的長度的囚倍.

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：A(a+b)=Za+Ab,X(〃a)=(Ma.

(3)共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，?平行于

b,記作a//Z?.

(4)共線向量定理：對空間中任意兩個向量“，b僅wO),a//b的充要條件是存在實數(shù)X,使。=4方.

(5)直線的方向向量

I為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線.對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存在

實數(shù)f,使OP=OA+/a①，其中向量a叫做直線/的方向向量，在/上取=則式①可化為

OP=Q4+MB=OA+?O3-OA)=(l-t)OA+3②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)/=工，即點(diǎn)尸是線段4?的中點(diǎn)時，OP^-(OA+OB\,此式叫

做線段AB的中點(diǎn)公式.

(6)共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量。，作OA=a,如果直線。4平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說明向量

a平行于平面平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

(7)共面向量定理

如果兩個向量a,6不共線，那么向量P與向量。，6共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使

p=xa+yb.

推論：①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使AP=xAB+yAC；或?qū)臻g

任意一點(diǎn)0,有OP-OA=xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,滿足向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+zOC(其中

x+y+z=l)的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面；反之也成立.

三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

(1)兩向量夾角

已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作OA=。，OB=b,則NAOB叫做向量a,6的夾角，記作

(。力)，通常規(guī)定如果那么向量a,6互相垂直，記作a_Lb.

(2)數(shù)量積定義

已知兩個非零向量4,b,則,Mcos(a,b)叫做a,b的數(shù)量積，記作eb,即。方二忖麻網(wǎng)4弓.零向量

與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，a-a=\^.

(3)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

(彳°)力=/1(“?/2),a-b=ba(交換律)；

a-(b+c^—a-b+a-c(分配律).

知識點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

(1)設(shè)〃=(%,〃2M3)，〃=(4也也),貝Ua+〃=+4,%+匕2,。3+4)；

a_Z?=(q一4,％一仇,/_"3)；

Xa=,Aa2,Aa3)；

a-b=。向+a2b2+a3b3；

a//b僅wO)=>q=勸］,a2=Ab2,%=Ab3

a_Lbnaxbx+a2b2+a3b3=0.

(2)設(shè)A(X]，x，Zi),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(馬一%，丫2一%，Zz一4).

這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

①已知Q=，b=(4也也)，則忖=+22+；

|/?|==也2+%2+b；；

a-b=。向+a2b2+a3b3；

%b[+a2b2+a3b3

J。；+0；+a；??；+b/+b；

②已知A(玉,%,zJ,B(x2,y2,z2),則網(wǎng)=-2)+(X-%f+(4-z?y,

或者d(A,B)=|A5].其中d(A,8)表示A與8兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

(4)向量。在向量6上的投影為忖cos(a,b)=^-^-

'/\b\

二、題型分類精講

題型二空間向量的線性運(yùn)算

策略方法用基向量表示指定向量的方法

⑴結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

⑶利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

【典例1】在空間四邊形ABC。中，G為△BCD的重心，E,F,H分別為邊CD,和8C的中點(diǎn)，化簡

下列各表達(dá)式.

(I)AG+|BE+|CA；

(2)|(AB+AC-AD).

【答案】⑴A尸

(2)FH

【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可;

（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可求解;

【詳解】⑴根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得++=+++

=AB+-BE+1-BE+-CA=AB+BE+~CA=AE+-CA

33222

=-AC+-AD+-CA=-AD=AF.

2222

(2)分別取AB,AC的中點(diǎn)P,Q,連接PH,QH,則四邊形APHQ為平行四邊形，且有

^AB=AP,^AC=AQ,AP+AQ=AH,^AD=AF,

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，^^AB+AC-AD^=AH-^AD=AH-AF=FH.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2022?全國?圖二專題練習(xí)+26-3c）—3（a—2Z?—c）=（）

555359

A.——a-4cB.——a+4b-2cC.——Q+7力+—cD.——a-5b——c

222222

【答案】c

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】+2b-3c）-3（4-2b-c）=——i7+7Z?+—c.

故選：C

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在斜棱柱438-43℃中,AC與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)M,=

A4,=c,則MG=()

B.——a——b—c

2222

11,-117

C.——a+—b+cD.——a——b+c

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用a/,c表示出MG即可得.

【詳解】CiM=AM-ACl^^AB+ADy(AB+BC+CC^=-^a-^b-c,

MC]=-C]M=—6z+—Z?+c.

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD,底面A3CD為平行四邊形，M,N分別為棱BC,PD

上的點(diǎn)，=7,PN=ND,設(shè)AB=a，AD=bA尸=c，則向量MN用｛〃，"。｝為基底表示為（)

Cn3

A.ClH—bH—cB.—

3262

C171?

C.ci—bH—cD.

3262

【答案】D

【分析】由圖形可得MN=MC+a）+￡W，根據(jù)比例關(guān)系可得MC=gA。，DN=：DP,再根據(jù)向量減法

DP=AP-AD＞代入整理并代換為基底向量.

【詳解】MN=MC+CD+DN=-AD-AB+-DP=-AD-AB+-（AP-AD]=-AB--AD+-AP

3232,/62

即MN--a——b+—c

62

故選：D.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在四面體O-ABC中，E為Q4的中點(diǎn)，CF=gcB,若

OA=a,OB=b,OC=c,貝!］斯=（）

112114

A.—a——zb——cB.——a——7b+—c

233233

121112

C.——a+—bZ+—cD.——a+—bz+—c

233233

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】如圖所示，因為E為。4的中點(diǎn)，CF=；CB,且QA=a,OB="OC=c,

12121

貝!］跖=Ob-0￡=（03+3尸）一wQA=Z?+§3C—］a=b+§（OC—O3）—/Q

,2/7、1112

=b+-（c-b）——a=——a+—zb+—c.

32233

故選：D.

二、多選題

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，M是四面體。48。的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P

2

在線段AN上，且AP=3PN,ON=-OM,設(shè)O4="，OB=b，OC=c，則下列等式成立的是（）

O

M

B

A.OM=—b——cB.AN=-b+—c-a

2233

C.AP——h—c—aD.OP——ci—h—c

444444

【答案】BD

【分析】由于a,6,c不共面，可以作為基底，將尸表示出來即可.

【詳解】由圖可知，OM=1（OB+OC）=1（Z7+C）,A錯誤；

r\r\-|ii

AN=ON-OA=—OM—OA=—x—（b+c]-a=—b+—c—a,B正確；

332、133

4n3…3/17111713人口

AP=—AN=—\-b+—c-a\--b+—c——a,C錯誤；

44（33J444

OP=OA+A,P=QH—bH—c—a=-ciH—bH—c,D正確!；

444444

故選：BD.

三、填空題

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在長方體ABC。-A耳CQi中，設(shè)A5=Q，AD=b，朋=以若用向量〃、

UUU

b>c表示向量ag,貝UAC]=

【答案】a+b+c

【分析】根據(jù)空間向量的加法法則求解即可

UUUULUUUUUULLULUUUUUUU11i

【詳解】由題意，ACl=AB+BC+CCl=AB+AD+AAx=a+b+c

故答案為：a+b+c

7.（2023?高三課時練習(xí)）已知在四面體0-A8C中，點(diǎn)M在線段04上，且OM=2MA,點(diǎn)N為8C中點(diǎn)，設(shè)

0A=a，0B=b，OC=e，則MN等于.

211

【答案】

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則即可求解.

:【詳解】如圖所示：

O

C

可知：MN=MO+ON=——OA+-(OB+OC]

32、7

211

即MN=——a+—b+—c,

322

211

故答案為：-+―.

題型二空間共線、共面向量定理的應(yīng)用

畬策略方法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較

三點(diǎn)(P,A,3)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,3)共面

"=7或且同過點(diǎn)PM^=xM^+yM^

對空間任一點(diǎn)。，0p=0X+tA^對空間任一點(diǎn)。，O^=O^+xMX+yMh

對空間任一點(diǎn)。，OP=xOM+y0^+(1-X-

對空間任一點(diǎn)。，Op=xOk+(l-x)Ob

y)彷

【典例1】己知向量。=(1,1,0)/=(-1,0,2),若。+6與平行，則實數(shù)1的值為()

A.—B.-C.—2D.2

22

【答案】c

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量共線定理求解即可

【詳解】因為力=(1,1,0)/=(-1,0,2),

所以3+1=k(l,l,0)+(-1,0,2)=(左一1,k,2),

2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因為Za+6與2a-6平行，所以存在唯一實數(shù)％,使上a+Z?=〃24-b),

k—l=3A

k=—2

所以（女一1,匕2）=丸（3,2,-2）,所以左=22,解得

2=-1，

2=-22

故選：C

一3__\__

【典例2】。為空間任意一點(diǎn)，^OP=-OA+-OB+tOC,若A、B、C、尸四點(diǎn)共面，貝曠=（）

48

A.1B.--C.—D.—

284

【答案】C

【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出f的值.

【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：OP=xOA+yOB+zOC,且A、B、C不共線，

若A、B、C、尸四點(diǎn)共面，則x+y+z=l,

31

因為。為空間任意一點(diǎn)，^OP=-OA+-OB+tOC,且A、B、C、尸四點(diǎn)共面，

48

311

所以，7+l+z=b解得/=!?

488

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量a=（2m+1,3,w—1）,b=Q,m,—m）,且allb，則實數(shù)根的

值等于（）

3

A.-B.-2

2

C.0D.3或—2

2

【答案】B

【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)m=0時，G=(1,3,-1),b=(2,0,0),

a與b不平行，,m^O,Va!lb，

.2m+1_3_m-1

>?--------=—=-------解得m=—2.

2m—m

故選:B

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在下列命題中:

①若向量a,6共線，則向量a,6所在的直線平行;

②若向量所在的直線為異面直線，則向量&涉一定不共面；

③若三個非零向量a,b,c兩兩共面，則向量a,6,c共面；

④已知空間的三個不共面向量。力,c,則對于空間的任意一個向量P,總存在實數(shù)x,y,z使得

p=xa+yb+zc.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】①②空間向量a,b共線不代表所在直線平行，且空間任意兩向量都共面，即可判斷；③利用四面體

四條側(cè)棱說明即可；④根據(jù)空間向量基本定理即可判斷.

【詳解】①若向量。力共線，則向量a,。所在的直線平行或重合，錯誤；

②若向量。,6所在的直線為異面直線，由向量位置的任意性，空間中兩向量可平移至一個平面內(nèi)，故共

面，錯誤；

③若三個向量a,b,c兩兩共面，如下圖：顯然a,6,c不共面，錯誤；

④已知空間的三個不共面向量a也c,則對于空間的任意一個向量p,根據(jù)空間向量基本定理知：總存在實

數(shù)尤,y,z使p=尤°+zc,正確.

所以正確的個數(shù)是1,

故選：B

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)向量04,08,OC不共面，空間一點(diǎn)尸滿足。尸=xQA++zOC,則

A,優(yōu)C,P四點(diǎn)共面的一組數(shù)對（x,y,z）是（）

c

A-QH）B.-mjD.6羽

【答案】c

【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗證得到答案.

【詳解】空間一點(diǎn)尸滿足。尸=xO4+yOB+zOC,若A,3,C,P四點(diǎn)共面，則x+y+z=l

選項A：x+y+z=：+g+g=!|xl.判斷錯誤；

選項B：x+>+z=-J+煲=wl.判斷錯誤；

4364

131

選項C：%+y+z=—：+：+7=l,判斷正確;

442

選項D：犬+y+z=—：1+2：+：1=5gwl.判斷錯誤.

3326

故選：C

4.（2022.全國?高三專題練習(xí)已知］=（2,-1,3）/=（-1,4,-2）,0=（7,5,；1）,若〃也0三向量共面，則％等于（）

62「八-64n65

A.—B.9C.—D.—

777

【答案】D

【分析】由a,b，c共面，設(shè)c=ma+nb，列方程組即可求出k的值.

【詳解】a,b,c共面，

工設(shè)—〃（孤"為實數(shù)）,即（7,5,丸）=皿2,—1,3）+〃（—1,4,—2）,

2m-n=l

.AcATIZB3317o65

..<-m+4n=5,解得m=——,n=一,2=——.

c、.777

3m-2n=A.

故選：D.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知〃=（2,1,—3）,B=（-1,2,3）,2=（7,6,孫若a,b,c三向量共面，則4=

（）

A.9B.3C.-9D.-3

【答案】C

【分析】利用空間向量的共面定理得到C=MQ+泌，再利用空間向量相等的性質(zhì)及坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【詳解】因為〃，b,C三向量共面，

所以存在實數(shù)加，明使得c=ma+nb，

即（7,6"）=M（2,1,—3）+〃（—1,2,3）二（2加一〃，機(jī)+2上一3機(jī)+3幾）,

7=2m-n

所以＜6=機(jī)+2〃,解得;1=一9,

4=-3m+3n

所以2=—9.

故選：C.

二、多選題

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若｛a,b,c｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

A.a+b+c,a-b,2b+cB.a-b,a-c,b-c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a—2b,6b—3a,—c

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量共面的知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確選項.

【詳解】選項A,因為a+6+c=（a-〃）+（26+c）,所以a+b+c,a-6,2b+c共面；

選項B,因為a-。=（a-c）-僅-c）,所以a-6,a-c,6-c共面；

選項C,a+26,a-26在a*構(gòu)成的平面內(nèi)，a+c不在這個平面內(nèi)，不符合.

選項D,因為a-26,66-3a共線，所以a-246b-3a,-c共面.

故選：ABD

三、填空題

7.（2023?高三課時練習(xí)）已知向量2=（8,3,x）,b=（2y,6,5）,若a//b，則x+y的值為

21

【答案】y

【分析】由a//b，則a=代入坐標(biāo)，建立等式，解出即可.

【詳解】解:由題知a/小所以a=&，&R,即（8,3,x）=〃2y,6,5）,

121

故有3=64,解得a=不，故x+y=§.

x=54.一

LJ

x=—

I2

故答案為:T21

8.（2023?高三課時練習(xí)）已知點(diǎn)41,2,1）,5（-1,3,4）,0（1,1,1）,若AP=2PB，則1尸臼=.

【答案】顯

3

【分析】令P（x,y,z）,利用空間向量的數(shù)量關(guān)系求P坐標(biāo)，進(jìn)而求pc的坐標(biāo)，利用空間向量模的坐標(biāo)表示

求|PD|.

【詳解】令尸(無,y,z),則AP=(xTy-2,z-D，PB=(-l-x,3-y,4-z),

1Q

由”=2尸3，即（1T,y—2,z—1）=2?（—1一羽3—y,4—z）,可得尤二—§,）；=§,z=3,

,'尸（—H'3），故=（］，—1—2）,

：.\PD\=^~.

3

故答案為：叵

3

9.（2023?高三課時練習(xí)）已知。二（2,—1,3）,6=（—1,4,—2）,c=（7,5,2）.若〃、b、d三向量共面，則實數(shù)

2二.

【答案1y

【分析】由題意可得，存在實數(shù)x,y,使c=xa+yb,列出方程組，即可求得答案.

【詳解】因為不平行，且日、b、C三向量共面，

所以存在實數(shù)x,y,使c=M+yb,

7=2x-y/

17

所以5=r+4y,解得丁=了,

A=3x-2y，匚

io63

Z=—

7

故答案為：y

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)C（2a+l,a+l,2）在點(diǎn)*2,0,0）、4。,-3,2）、8（8,-1,4）確定的平面上,

則實數(shù)。=.

【答案】16

【分析】利用空間向量共面定理，寫出向量坐標(biāo)，列出方程組，求解方程組可得答案.

【詳解】由已知得：PC=（2a-l,fl+l,2）,JR4=（-l,-3,2）,P5=（6,-l,4）；

因為A,B,C,P四點(diǎn)在同一平面上，所以存在尤,yeR,使得尸C=xPA+yP3,

以（2a-1,6/+1,2）=x（_1,_3,2）+y（6,_1,4）=（_x+6%_3x_y,2x+4y）,

2a-l=-x+6y

所以＜a+\--3x—y，解得〃=16.

2=2x+4y

故答案為：16.

31

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）。為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)不共線，^OP=-OA+-OB+tOC,

48

若尸，A,B,。四點(diǎn)共面，則實數(shù)/=_.

【答案】I

O

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共面充要條件推理計算作答.

【詳解】因A,B,C三點(diǎn)不共線，P,A,B,C四點(diǎn)共面，則對空間中任意一點(diǎn)O,有OP=OA+xAB+yAC,

31

即有0尸=（1一x—y）OA+xOB+yOC,^OP=-OA+-OB+tOC,

48

:3

因此x=1,解得f=L

oo

y=t

所以實數(shù)/=

o

故答案為：—

o

12.（2023秋?山東?高階段練習(xí)）已知空間四邊形A8C0的對角線為AC與5。，M,

N分別為線段A5,CD上的點(diǎn)滿足AM=gA5,ON=；DC,點(diǎn)G在線段MN上，且滿足〃G=2GN，若

AG=_rAB+yAC+zA。，貝！|x+y+z=

【答案】w7

【解析】以AB,AC,AD作為空間向量的基底，利用向量的線性運(yùn)算可得AG的表示，從而可得尤,-z的值,

最后可得x+y+z的值.

12

【詳解】AG=AM+MG=-AB+-MN,

y.MN=AN-AM=AN-^AB,

iy（1、12

^AG=AM+MG=-AB+AAN--AB\=-AB+-AN,

111Q

而A7V=AO+DN=AO+—DC=AT>+—（AC—AD）=—AC+—AD,

44、,44

所以47=。5+4!4?+3利」45+以。+以0,

93（44J962

因為ABAC,AO不共面，故％=[=]，z=（，

9o2

7

所以無+y+z=§,

7

故答案為：—

13.（2023?上海?高三專題練習(xí)）在正方體A5CD-A5GR中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCZ）和24cle的中

心，若點(diǎn)尸滿足。尸=〃zD4+〃￡）M+左LW,其中切、〃、k&R,S.m+n+k=l,則點(diǎn)P可以是正方體表面

上的點(diǎn).

【答案】4（或C或AC左邊上的任意一點(diǎn)）

【分析】因為點(diǎn)「滿足￡）2=相。4+"/）河+左￡＞可，其中m、〃、kwR,且/"+"+左=1,所以點(diǎn)A,M,N三點(diǎn)

共面，只需要找到平面AAW與正方體表面的交線即可.

【詳解】解：因為點(diǎn)P滿足。P="?￡）A+〃BW+左DV,其中加、小kwR,且加+〃+左=1,

所以點(diǎn)AM,N三點(diǎn)共面，

因為點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和BB￡C的中心，

所以CN=4N,AM=A/C,

連接MN,A4,則MNA用,所以一AC與即為經(jīng)過A,M,N三點(diǎn)的平面與正方體的截面，

故點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)耳（或C或AC與邊上的任意一點(diǎn)）

故答案為：B,（或C或AC與邊上的任意一點(diǎn)）

【點(diǎn)睛】此題考查空間向量基本定理及推論，同時考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬

于中檔題.

題型三空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

畬策略方法空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

設(shè)向量a,b所成的角為6,則cos0-

?"二，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角

求長度_運(yùn)用公式1a\2=a?%可使線段長度的計算;

（距離）;問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題；

解決垂利用a_Lb0a,b=0(aW0W0),可將垂

直問題:直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

【典例1］已知正四面體O-A8C的棱長為1,如圖所示，求:

(1)04OB;

(2)(0A+0B)(CA+CB)；

(3)|0A+0B+0C|.

【答案】(吟

(2)1

(3)76

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐問運(yùn)算，即可求解.

【詳解】(1)解：在正四面體Q4BC中，|OA|=|O@=|OC|=1,K{OA,OB)=^OA,0C)=(OB,0C)=60°,

可得OA-OB=|OA||Ofi|cosZAOB=1X1XCOS60°=1.

(2)解：由向量的運(yùn)算法貝！I，nIW(OA+OB).(CA+CB)=(OA+OB)?(OA-OC+OB-OC)

22

=(OA+OB)\OA+OB-2OC)=OA+2OAOB-2OAOC+OB-2OBOC

=l2+2xlxlxcos60°-2xlxlxcos60°+l2-2xlxlxcos60°=1+1-1+1-1=1.

(3)解：由|OA+03+OC-/OA+OB+Ocj=^l2+12+12+(2xlxlxcos60°)x3=瓜.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知正四面體ABCD的棱長為1,且BE=2EC，

則AE-CZ)=()

A.-B.--C.--D.-

6633

【答案】C

【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.

【詳解】因為潴=2淺，所以CE=：CB.

根據(jù)向量的減法法則，得AE=CE-G4=；CB-C4,

所以AE.C。=（gC2一CA\^CD=1（CB.CZ））-CA.CD

=-||CB||cr）|cos—j-|CA||cD|cos-=-xlxlx--lxlx-

3）3322

故選：C.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點(diǎn)E、P分別是8C、

AD的中點(diǎn)，則AE-A尸的值為（）

A.a2B.-a2C.-a1D.3/

244

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算運(yùn)算律可得AE-AE=9（AB.A￡?+AC.A￡））,在根據(jù)數(shù)量積的定義求其值.

4

【詳解】由題意，和AC,A￡＞之間夾角均為60。，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有

AE-AF=^（AB+AC）-^AD

=^（ABAD+ACAD）

——(Q2COS60+Q2COS60)——Q?

44

故選：C

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在正三棱柱ABC-A4cl中，若A5二叫，則AB^BC｛上的投影向量為（）

A--BCtB./c；C.爭G口.-*G

【答案】B

【分析】如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，可得知,8C「根據(jù)投影向量的求法，代入公式，即可得答案.

【詳解】過4作4A，AG,分別以A2,4G，A|A為x,y,z軸正方向建系，如圖所示,

則A(0,0,2),B[(A1,0),B?,2),G(0,2,0),

所以的=(G,1,-2),BC；=(-73,1-2),

BC]

所以A片在g上的投影向量為|做卜。5<AB,BCfG.

,XK|2

故選：B

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知a==(0」,l),c=(l,0,l),P=a-b，4=4+?-C,則p-q=()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可.

【詳解】因為a=(1,1,0),6=(O,l,l),c=(1,0,1),

所以p=a-5=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0-1),

q=a+2)-c=(1,L0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1),

則]p-q=lx0+0x3—=

故選：A.

(i反、

5.(2023秋?北京?高三北理工附中?？茧A段練習(xí))已知平面向量。=(O,LO),b=\0,--,^-,貝必與6的

夾角為()

兀2兀兀5兀

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】A

【分析】由題意可得〃+。=（0」,也），設(shè)a與a+b的夾角為凡由cos。=-求解即可.

22\a\^\a+b\

【詳解】解：因為a=（o,i,o）,人

所以a+Z;=（0，d）,

設(shè)〃與〃+〃的夾角為。，

￡

則cos*"?+》）=24，

\a\-\a+b\1x12

又因為6e[0,兀],

所以6吟

故選：A

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知i,/次為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，a=i+2j+3左，則.在i方向上的投影數(shù)量為（）

A.1B.-1

C.714D.-714

【答案】A

【分析】利用投影向量的定義求解即可

【詳解】因為。=7+2/+330"為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，

所以a在i方向上的投影數(shù)量為得=。"=。+2/+3左）"=f+2）」+3h，=f=1,

故選：A

7.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-A4cl中，底面邊長和側(cè)棱長均相等,

乙BM=NQ3=60。，則異面直線A4與SC1所成角的余弦值為（）

rV2

42

【答案】A

【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向

量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與BCX所成角的余弦值即可.

【詳解】設(shè)A4(=c,AB=a,AC=b,棱長均為1,

由題意，a-b=lxlxcos60=—,bc=—,a-c=—,

AB{=a+c,BCX=b-a-\-c,

AB].BQ=(a+c)-(Z>-a+c)=1-l+|+|-1+l=l,

|AB1|=J(a+c)=~+2a,c+c-=Jl+1+1=>/3,

|BC1|=J(C-4+CJ=Vi+i+i-i+i-i=叵，

AB】?BQ岳

z.cos(Agic)

???異面直線AB,與B3所成角的余弦值為逅,

6

故選：A.

8.（2023?江蘇淮安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體A3CZ）中，AB=3,BC=4,CD=5,DA=6,貝UACM的

值為（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.

【詳解】因為=+BD=BC+CD，

^\^ACBD=^AB+BC^BC+CD^=ABBC+ABCD+BC2+BCCD

=16+ABBC+ABCD+BCCD

又AB+BC+CD=AD，所以（A3+BC+CD『=由，

2.2.22

BRnPAB+BC+CD+2ABBC+2ABCD+2BCCD=AD，

即32+42+52+2AB-BC+2ABCD+2.BCCD=62>

所以AB/C+ARCD+BCCr>=-7,

所以AC5O=9.

9.（2023秋?福建莆田?高三莆田一中?？奸_學(xué)考試）如圖，平行六面體ABCO-4qGR的底面A3CD是矩

形，ABf，AD=立,M=272,且ZAA￡>=NAAB=6O°,則線段AQ的長為（）

A.2A/6B.2非C.>/26D.3g

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由AG=AC+CG，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)

果.

【詳解】由AC；=AC+CCj,可得=AC/=（AC+CCJ=3+24℃弓+”:，

因為底面為矩形，AB=垃,AD=6,M=272,

所以AC。=|AC|2=2+2=4,CC：=|ccj=8,

又ACCG=（AB+AO）.CG=ABCG+ADCG

=|AB|-|CCI|-COS60°+|AD|.|CCI|-COS60°=V2X2>/2X|+V2X2A/2X1=4,

所以Mj=|AC『+2AC-CG+|CG「=4+2X4+8=20,貝!）|時=26

故選：B

10.（2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)尸在棱長為2的正方體的表面上運(yùn)動,則PAPB

的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取A3中點(diǎn)。，連接尸。，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得.

【詳解】取中點(diǎn)。，連接P。，如圖，

當(dāng)P在正方體表面上運(yùn)動時，運(yùn)動到2或G處時，尸。最大,

所以POL=DD+DA2+AO2=9,

所以PAPB的最大值為8.

故選：C

二、多選題

11.（2023秋?福建莆田?高三莆田八中校考階段練習(xí)）設(shè)〃、b為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正

確的有（）

人a-bb2II2

A.-----=一oB.a=\a\

aaII

C.（a'b\=a-b2D.（a-b\=a-la-b+b2

【答案】BD

【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，向量不能作除法，A錯；

對于B選項，a2=|?|2,B對；

對于C選項，（口同=（忖.|*。$他硝=卜|Wcos2^a,b^<ab,C錯；

/\222

對于D選項，（a-bj=a-2a'b+b,D對.

故選：BD.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下面四個結(jié)論正確的是（）

A.空間向量°乃（。=0,6*0）,若aj_b,貝1」分6=0

13

B.若空間四個點(diǎn)P