高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）多面體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注棱柱①底面互相平行.②側(cè)面都是平行四邊形.③每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐①底面是多邊形.②側(cè)面都是三角形.③側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn).三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可以看作底.三棱錐又稱為四面體.棱臺(tái)①上、下底面互相平行，且是相似圖形.②各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn).③各側(cè)面為梯形.可用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐（2）旋轉(zhuǎn)體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注圓柱①圓柱有兩個(gè)大小相同的底面，這兩個(gè)面互相平行，且底面是圓面而不是圓.②圓柱有無數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等..圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓錐①底面是圓面.②有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點(diǎn).③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓臺(tái)①圓臺(tái)上、下底面是互相平行且不等的圓面.②有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點(diǎn).③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球①球心和截面圓心的連線垂直于截面.②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：SKIPIF1<0.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.2．空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念①光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；②光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；③光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.（2）三視圖的畫法規(guī)則①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖：正側(cè)俯②畫法規(guī)則ⅰ)正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對(duì)正”；ⅱ)側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”；ⅲ)俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等”.③線條的規(guī)則ⅰ)能看見的輪廓線用實(shí)線表示；ⅱ)不能看見的輪廓線用虛線表示.（3）常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺(tái)等腰梯形等腰梯形兩個(gè)同心的圓球圓圓圓3．空間幾何體的直觀圖（1）斜二測(cè)畫法及其規(guī)則對(duì)于平面多邊形，我們常用斜二測(cè)畫法畫它們的直觀圖.斜二測(cè)畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是：①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.（2）用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?⑤畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系①原圖形與直觀圖的面積比為SKIPIF1<0，即原圖面積是直觀圖面積的SKIPIF1<0倍，②直觀圖面積是原圖面積的SKIPIF1<0倍.二、空間幾何體的表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l）側(cè)面展開圖底面面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0側(cè)面面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，也就是展開圖的面積.2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式幾何體體積柱體SKIPIF1<0(S為底面面積，h為高)SKIPIF1<0(r為底面半徑，h為高)錐體SKIPIF1<0(S為底面面積，h為高)SKIPIF1<0(r為底面半徑，h為高)臺(tái)體SKIPIF1<0(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，SKIPIF1<0(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)（1）柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系（2）一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；（3）等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.3．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為SKIPIF1<0，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為SKIPIF1<0.球的切、接問題（常見結(jié)論）（1）若正方體的棱長為SKIPIF1<0，則正方體的內(nèi)切球半徑是SKIPIF1<0；正方體的外接球半徑是SKIPIF1<0；與正方體所有棱相切的球的半徑是SKIPIF1<0．（2）若長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則長方體的外接球半徑是SKIPIF1<0．（3）若正四面體的棱長為SKIPIF1<0，則正四面體的內(nèi)切球半徑是SKIPIF1<0；正四面體的外接球半徑是SKIPIF1<0；與正四面體所有棱相切的球的半徑是SKIPIF1<0．（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．（5）球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．三、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．平面的基本性質(zhì)名稱圖形文字語言符號(hào)語言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)ASKIPIF1<0l，BSKIPIF1<0l，且ASKIPIF1<0α，BSKIPIF1<0α?l?α公理2過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使ASKIPIF1<0α，BSKIPIF1<0α，CSKIPIF1<0α公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)SKIPIF1<0直線a，則A和a確定一個(gè)平面SKIPIF1<0推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面SKIPIF1<0?有且只有一個(gè)平面SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面SKIPIF1<0?有且只有一個(gè)平面SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線PSKIPIF1<0α，且PSKIPIF1<0β?α∩β=l，PSKIPIF1<0l，且l是唯一的公理4———l1———l2———l平行于同一直線的兩條直線平行l(wèi)1∥l，l2∥l?l1∥l22．等角定理（1）自然語言：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（2）符號(hào)語言：如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.圖（1）圖（2）3．空間兩直線位置關(guān)系的分類空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式：（1）從有無公共點(diǎn)的角度分類：SKIPIF1<0（2）從是否共面的角度分類：SKIPIF1<04．異面直線所成的角（1）異面直線所成角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.（2）異面直線所成角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是SKIPIF1<0.（3）兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.5．直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類（1）直線和平面位置關(guān)系的分類①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類：SKIPIF1<0②按是否平行分類：SKIPIF1<0③按直線是否在平面內(nèi)分類：SKIPIF1<0（2）平面和平面位置關(guān)系的分類兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.（1）唯一性定理①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．②過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．③過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．④過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．（2）異面直線的判定方法經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡(jiǎn)記為：線線平行?線面平行圖形語言符號(hào)語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行2．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)記為：線面平行?線線平行圖形語言符號(hào)語言SKIPIF1<0作用①作為證明線線平行的依據(jù)．②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).3．平面與平面平行的判定定理文字語言一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)記為：線面平行?面面平行圖形語言符號(hào)語言a?β，b?β，SKIPIF1<0，a∥α，b∥α?α∥β作用證明兩個(gè)平面平行4．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.簡(jiǎn)記為：面面平行?線線平行圖形語言符號(hào)語言SKIPIF1<0作用證明線線平行1．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．（2）如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)平面垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線．（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等．（4）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．（5）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（6）如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．（7）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．（8）如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行．五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下：定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．2．直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡(jiǎn)記為：線線垂直?線面垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，SKIPIF1<0?l⊥α作用判斷直線與平面垂直在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線.3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.簡(jiǎn)記為：線面垂直?線線平行圖形語言符號(hào)語言SKIPIF1<0?SKIPIF1<0作用①證明兩直線平行；②構(gòu)造平行線.4．平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作SKIPIF1<0.圖形表示如下：5．平面與平面垂直的判定定理文字語言一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)記為：線面垂直?面面垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥α，SKIPIF1<0?α⊥β作用判斷兩平面垂直6．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)記為：面面垂直?線線平行圖形語言符號(hào)語言SKIPIF1<0作用證明直線與平面垂直7．直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于SKIPIF1<0；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于SKIPIF1<0.因此，直線與平面所成的角α的范圍是SKIPIF1<0.8．二面角（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.（3）二面角的范圍：SKIPIF1<0.1．垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線．（3）過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．（4）過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．（5）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．（6）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．（7）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．六、空間向量與立體幾何1．空間直角坐標(biāo)系定義以空間一點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，具有相同的單位長度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)平面通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.2．空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)（1）空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0來表示，記作SKIPIF1<0，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).（2）建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．3．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式（1）距離公式①設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為空間兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0兩點(diǎn)間的距離SKIPIF1<0.②設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為SKIPIF1<0.（2）中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0.4．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.牢記兩個(gè)推論：（1）對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.（2）如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直線，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使SKIPIF1<0，其中向量SKIPIF1<0叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式.5．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使SKIPIF1<0.牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使SKIPIF1<0；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有SKIPIF1<0.6．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底.（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.（3）SKIPIF1<0不能作為基向量.7．空間向量的運(yùn)算（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量.（2）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作SKIPIF1<0，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè).（2）若直線SKIPIF1<0，則該直線SKIPIF1<0的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作SKIPIF1<0，有無數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線向量.平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為SKIPIF1<0.在平面內(nèi)找出（或求出）兩個(gè)不共線的向量SKIPIF1<0，根據(jù)定義建立方程組，得到SKIPIF1<0，通過賦值，取其中一組解，得到平面的法向量.9．利用空間向量表示空間線面平行、垂直設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0.（1）線線平行：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；線面平行：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；面面平行：若SKIPIF1<0