新北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊同步培優(yōu)練習(xí)全冊全集

1知識點一認(rèn)識勾股定理精練版P1我們可以通過求網(wǎng)格中大正方形的面積來探索勾股定理．在求正方形網(wǎng)格中大正方形的面積時，一般采用數(shù)格子和圖形割補(bǔ)兩種方法：數(shù)格子時，直接數(shù)出大正方形內(nèi)部所包含的完整的小方格的個數(shù)，將不足一個方格的部分進(jìn)行適當(dāng)拼湊，拼出若干個完整的小方格，將它們相加即可；圖形割補(bǔ)時，通常是將圖形分割成幾個格點三角形和幾個網(wǎng)格正方形，再將所分割成的各三角形和網(wǎng)格正方形的面積求出來相加即可.勾股定理的定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和例1如圖①,在直角三角形外部作出3個正方形.(1)正方形A中含有個小方格，即A的面積是；(2)正方形B中含有個小方格，即B的面積是；(3)正方形C中含有個小方格，即C的面積是；解析：通過觀察、拼湊可以直接得出圖中A，B，C三個正方形的面積及它們之間的關(guān)系，再按照同樣的方法計算圖②中幾個正方形的面積，發(fā)現(xiàn)同樣滿足這個關(guān)系.AC′知識點二勾股定理的簡單應(yīng)用精練版P11．已知直角三角形的兩邊求第三邊.2．已知直角三角形的一邊，確定另兩邊的關(guān)系.23．證明線段的平方關(guān)系.例2如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了米的路，卻踩傷了花草.解析：根據(jù)勾股定理求得AB的長，再進(jìn)一步求得少走的路的米數(shù)，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2+答案：4第2課時勾股定理的驗證及其應(yīng)用知識點一勾股定理的驗證精練版P2勾股定理的證明方法較多，中外數(shù)學(xué)史上關(guān)于勾股定理的證明一般是用拼圖法來驗證的.拼出圖形→找出圖形面積的表達(dá)式→建立等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)出勾股定理.113知識點二勾股定理的應(yīng)用精練版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三邊之間的關(guān)系.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,則斜邊AB稱為弦，較短直角邊BC稱為勾，較長直角邊AC稱為股，BC2＋AC2=AB2.這就是勾股定理.(1)勾股定理成立的前提條件是“直角三角形”，在銳角三角形和鈍角三角形中不存在這一結(jié)論.(2)應(yīng)用勾股定理時應(yīng)分清直角邊與斜邊．在一些Rt△ABC中，斜邊未必是c.(3)應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計算時，若沒有明確直角邊與斜邊，應(yīng)分類討論.例1“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為()解析：觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積－4個直角三角形的面積，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的答案：C易錯點沒有明確直角邊和斜邊用勾股定理時，若題目沒有指明誰是斜邊，應(yīng)按未知邊是斜邊或是直角邊兩種情況分類討論.4注意：此題易錯誤地認(rèn)為AB2＝225.原因是沒有分清AB邊是直角邊還是斜邊，只是模糊地記住了勾股定理的原形，而沒有注意到題目中并沒有給出明確的條件．因此，對于此類問題我們應(yīng)該分情況討論.2一定是直角三角形嗎知識點一勾股定理的逆定理精練版P3如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．(此判別條件也稱為勾股定理的逆定理)利用三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是不是直角三角形，把數(shù)與形有效地統(tǒng)一起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.溫馨提示：(1)在判別一個三角形是不是直角三角形時，a2＋b2是否等于c2需通過計算說明，不能直接寫成a2＋b2=2.(2)驗證一個三角形是不是直角三角形的方法是：當(dāng)(較小邊長)2＋(較大邊長)2＝(最大邊長)2時，此三角形為直角三角形；否則，此三角形不是直角三角形.例1判斷由線段a，b，c組成的三角形是否為直角三角知識點二勾股數(shù)精練版P3勾股數(shù)有無數(shù)組.一組勾股數(shù)中，各數(shù)的相同整數(shù)倍得到一組新的勾股數(shù)，如：3，4，5是勾股數(shù)，9，12，15也是勾股數(shù).勾股數(shù).解析：判斷的時候，要緊扣兩個條件：(1)是否符合a2＋b2＝c2，即兩個較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方；(2)它們是不是正整數(shù).5(3)中的各數(shù)都不是正整數(shù)，所以這組數(shù)不是勾股數(shù).(4)雖然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整數(shù)，所以這組數(shù)不是勾股數(shù).注意：判斷勾股數(shù)的方法步驟：(1)確定三個數(shù)是正整數(shù)；(2)確定出最大數(shù)；(3)計算較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)易錯點運用邊的關(guān)系識別直角三角形時，忽視最大邊，從而造成判斷錯誤運用直角三角形的判別條件判斷一個三角形是否為直角三角形時，首先要確定最長邊，不能盲目地計算或想當(dāng)然地認(rèn)為某一邊為最長邊.例3已知三角形的三邊長分別是m2－1，2m，m2＋1所以此三角形為直角三角形.注意：此題易認(rèn)為2m為最大邊，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，從而得出三角此類題時，一定要找準(zhǔn)最大邊.3勾股定理的應(yīng)用知識點一確定幾何體上的最短路線精練版P5柱體和長方體的展開圖是一個長方形．求柱體或長方體上兩點之間最短距離，需要把柱體或長方體展開成平面圖形，依據(jù)兩點之間線段最短，以最短路線為邊構(gòu)造成直角三角形，再利用勾股定理求解.例1有一個圓柱形油罐，如圖所示，要從A點環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點的正上方B點，問梯子最短需要多長？(已知油罐的底面周長是12m，高AB是5m)解：將圓柱形油罐的側(cè)面沿AB剪開展成一個平面圖形，如圖所示，沿AB′建梯子最節(jié)省材料(兩點之間，線段最6注意：由于梯子要繞著曲面建，因此最短路線應(yīng)將曲面展成平面后，再依據(jù)“兩點之間，線段最短”來確定.知識點二利用勾股定理解決生活中的長度問題精練版P5由勾股定理的知識，可以解決與直角三角形相關(guān)的一些實際問題．在解決實際問題時，應(yīng)具體問題具體分析，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理加以解決.勾股定理的逆定理主要用來說明一個三角形為直角三角形．在實際問題中，有些線段的求解、角的求解在很大程度上轉(zhuǎn)化為在直角三角形內(nèi)求解．因此，熟練地判斷一個三角形是否為直角三角形是首先要解決的問題.例2小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度.解析：根據(jù)題意尋找出繩子長度與旗桿高度之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程．解方程求得結(jié)論.解：設(shè)旗桿高x米，則繩長(x＋1)米．依題意易錯點將長方體展開時，忽視展開方式不唯一對長方體來說，由于一般情況下，長、寬、高不相等，則展開得到的距離也不相同，故對此問題應(yīng)把可能出現(xiàn)的情況考慮全，分別計算，經(jīng)過比較求出最短距離.例3有一個長方體紙盒，如圖所示，小明所在數(shù)學(xué)小組研究由長方體的底面A點到長方體中與A點相對的B點的最7解：將四邊形ACDF與四邊形DCEB展開在同一平面，如圖(1)所示.所以最短距離為圖(2)所示線段AB的長度，AB≈18.44.注意：解決長方體相對頂點表面最短距離問題，要全面考慮，先將所有路線都找出來，避免出現(xiàn)漏解，再通過計算找到最短路線.章末知識匯總8類型一勾股定理與面積的綜合應(yīng)用例1已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰直角三角以△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰直角三角形ADE，…，依此類推，第7個等腰直角三角形的面積是，第n個等腰直角三角形的面積為．解析：要求等腰直角三角形的面積，只需求腰長的平方即可.11n－2.注意：等腰直角三角形的面積是腰長平方的一半，利用整體代換解決．整體代換是數(shù)學(xué)一種重要方法.類型二直角三角形判定方法的實際應(yīng)用例2如圖所示，點A是一個半徑為400m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B，C兩個村莊，現(xiàn)要在B，C園？請通過計算說明．過點A作AD⊥BC，垂足為D.如圖所示．9所以此公路不會穿過該森林公園.注意：(1)根據(jù)“垂線段最短”只需計算最短距離．(2)求直角三角形斜邊上的高經(jīng)常用“等面積法”.類型三利用勾股定理解決實際生活中的最值問題要在河邊建一自來水廠，向A，B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬元，請你在河流l上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)解：如圖所示，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，交CD于點M，點M即為所求．連接AM，則MA+MB最?。鰽′E⊥BD交BD的延長線于點E.注意：(1)解決實際問題時，應(yīng)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(2)費用最少即要求管道最短，問題便轉(zhuǎn)化為“在直線CD同側(cè)有兩點A，B，試在CD上找一點M，使MA＋MB最小”．探究中要把握問題的實質(zhì)，注意問題的轉(zhuǎn)化.知識點一非有理數(shù)的存在精練版P9整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了不是有理數(shù)的數(shù)，比如面積為5的正方形的邊長，設(shè)該正方形的邊長為x，則x2＝5，這里x既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，也就是說沒有一個有理數(shù)的平方是5，現(xiàn)實生活中存在著大量的不是有理數(shù)的數(shù).例1以下各正方形的邊長不是有理數(shù)的是()92EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(9),16)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(9),16)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(3),4)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(3),4)＝8，8不能寫成一個整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方.答案：C知識點二估計數(shù)值的大小精練版P9用x表示正方形的邊長，若x2＝2，則x既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，我們可以用無限逼近的方法估計x的值，從而求出之間，所以x的十分位上的數(shù)是4，用同樣的方法可以確定其他數(shù)位上的數(shù).(1)估計x在哪兩個整數(shù)之間.(2)如果把x的結(jié)果精確到十分位，估計x的值．如果精確到百分位呢？用計算器驗證你的估計值.解析：此題首先根據(jù)勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪兩個完全平方數(shù)之間，其他數(shù)位依次類推.注意：本題采用了無限逼近的方法，即將x的范圍逐漸縮小，使得x2越來越接近某個數(shù)，滲透了用有理數(shù)近似地表示無理數(shù)的思想.知識點三無理數(shù)的概念精練版P9無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．例如，圓周率π=3.14159265…是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此它是一個無理數(shù)．再如，溫馨提示：(1)無理數(shù)是一種與有理數(shù)不同的數(shù)，要區(qū)分“無限不循環(huán)小數(shù)”與“無限循環(huán)小數(shù)”的差別，前者不能化為分?jǐn)?shù)，后者可以化為分?jǐn)?shù)．事實上，有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示．反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up17(有限小數(shù)),無限循環(huán))無限不循環(huán)小數(shù)無理數(shù)ππ答案：Aπ注意：π是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，－7不是分?jǐn)?shù)，是一個無理數(shù).易錯點錯把π當(dāng)成有理數(shù)，把無限循環(huán)小數(shù)當(dāng)成無理數(shù)π是無理數(shù)，無理數(shù)除以非零有理數(shù)仍是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，區(qū)別有理數(shù)與無理數(shù)時，應(yīng)注意觀察所給的數(shù)據(jù).ππππ注意：學(xué)生很容易把2看成有理數(shù)，以為它是分?jǐn)?shù)，事實上，它是一個無理數(shù)．也很容易把345.202·看成無理數(shù)，錯誤原因是對無理數(shù)的概念認(rèn)識不清，誤以為無限小數(shù)都是無理數(shù)，事實上，只有無限小數(shù)中的無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).知識點一算術(shù)平方根的概念與性質(zhì)精練版P11定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為a，讀作“根溫馨提示：(1)特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即0＝0.(2)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，也就是說，當(dāng)式子a有意義解析：因為求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的運算與正數(shù)的平方運算是互逆的，所以我們可以借助平方運算來求這些數(shù)的算術(shù)平方根.2EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(5),6)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(25),36)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(25),36)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(5),6)注意：(1)在求a的算術(shù)平方根時，若a是有理數(shù)的平方，a的算術(shù)平方根就不帶根號；若a不是有理數(shù)的平方，a的算術(shù)平方根就帶有根號，如13.(2)由于求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根常借助于平方運算，所以熟記常用完全平方數(shù)對求一個數(shù)的算術(shù)平方根有著事半功倍的效果.知識點二平方根的概念與性質(zhì)精練版P111．定義：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).2．性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根.溫馨提示：一個正數(shù)a必有兩個平方根，一個是a的算術(shù)平方根a，另一個是－a，它們互為相反數(shù)，這兩個平方根合起來可以記作±a，讀作“正、負(fù)根號a”.例2判斷下列各數(shù)是否有平方根．若有，求出其平方根；若沒有，請說明理由.解析：根據(jù)平方根的性質(zhì)判斷一個數(shù)是否有平方根；根據(jù)平方根的定義可直接化簡求值.(2)因為(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根.因為(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±(-1）2=±1.(3)因為(－1)31＜0，所以(－1)3沒有平方根.注意：判斷一個數(shù)有沒有平方根，就是確定該數(shù)的性質(zhì)符號(是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零).知識點三開平方精練版P11定義：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù).溫馨提示：(1)開平方時，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)．(2)平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方是一種運算，是求平方根的過程．(3)平方和開平方的關(guān)系是它們互為逆運算，可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確.22解析：從算術(shù)平方根的定義出發(fā)，可直接推出結(jié)果.9知識點四a2與(a)2(a≥0)的性質(zhì)＝－溫馨提示：(1)a的取值范圍不同，公式(1)中a的取值可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非負(fù)數(shù).(2)運算順序不同，公式(1)中a先平方再開平方，而公式(2)中a先開平方再平方.解析：對于a2與(a)2(a≥0)這兩種形式要注意區(qū)分.＝－注意：運用a2＝|a|化簡時，一定要先判斷出a的符號，然后才能化簡.易錯點不完全理解題意而出錯若“算術(shù)平方根”和“平方根”兩個概念出現(xiàn)在一個題中，或在同一題中兩次出現(xiàn)同一概念，應(yīng)注意進(jìn)行兩步運注意：本題易將36的算術(shù)平方根誤認(rèn)為是36的算術(shù)平方根，而得到錯誤答案6.本題實際上是求6的算術(shù)平方根.知識點一立方根的概念與性質(zhì)精練版P133a表示，讀作“三次根號a”，其中a叫做被開方數(shù)，3是根指數(shù)．注意根指a表示，讀作“三次根號a”，其中a叫做被開方數(shù)，3是根指數(shù)．注意根指數(shù)“3”不能省略.例1下列說法正確的是()答案：A知識點二開立方精練版P131．定義：求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方，a叫做被開方數(shù)．開立方與立方互為逆運算.2．重要公式：①(a)3＝a3＝a；②-aa.運用這兩個公式求負(fù)數(shù)的立方根時，可先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可，即三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面．例如1251255.知識點三立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系精練版P131．區(qū)別：(1)平方根的根指數(shù)是2，能省略，立方根的根指數(shù)是3，不能省略.(2)平方根只有對非負(fù)數(shù)才有意義，而立方根對任何數(shù)都有意義，且每個數(shù)都只有一個立方根.(3)正數(shù)的平方根有兩個，而正數(shù)的立方根只有一個.2．聯(lián)系：(1)都與相應(yīng)的乘方運算互為逆運算.(2)都可歸結(jié)為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來研究，平方根主要通過算術(shù)平方根來研究，而負(fù)數(shù)的立方根也可轉(zhuǎn)化為正數(shù)的立方333a.根來研究，即－aa.例3一個數(shù)的平方等于64，則這個數(shù)的立方根是.33易錯點錯把a(bǔ)的立方根當(dāng)成a的立方根做開方運算時要認(rèn)準(zhǔn)被開方數(shù)，如求81的立方根，被開方數(shù)是81，而不是81.33所以64的立方根是所以64的立方根是4.344注意：本題容易把64的立方根誤以為是64的立方根，從而得錯解為4，解題時應(yīng)先求出64＝4，再求4的立方根.知識點一估算法確定無理數(shù)的大小精練版P171．估算是現(xiàn)實生活中一種常用的解決問題的方法．很多情況下需要去估算無理數(shù)的近似值，估算無理數(shù)經(jīng)常用到“夾逼法”，即通過平方運算或立方運算，通過兩邊無限逼近，逐漸夾逼，確定其所在范圍.其值左右1m都符合題意，答案不唯一．一般情況下，誤差小于1m就是估算到個位，誤差小于10m就是估算到十位.知識點二比較兩個無理數(shù)的大小的方法精練版P171．估算法：用估算法比較兩個數(shù)的大小，一般至少有一個是無理數(shù)無理數(shù)的大致范圍，再作具體比較.3a3．平方法(或立方法)：當(dāng)比較兩個帶根號的無理數(shù)的大小時可用如下結(jié)論：若a＞b≥0，則a＞b；若a＞b，則a3>b.易錯點比較兩個含根號的無理數(shù)的大小時，誤認(rèn)為只比較被開方數(shù)的大小比較兩個含根號的無理數(shù)的大小，可以先確定它們的整數(shù)部分，進(jìn)行比較，若無法比較，則再估計十分位后比較，直到得出結(jié)論為止．也可將兩數(shù)同時平方，比較平方后的數(shù)的大小即可得出結(jié)果.2注意：解本題時易認(rèn)為被開方數(shù)7大于2，而得到錯誤的答案27＞72，因為2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比較兩個無理數(shù)的大小時要比較它們結(jié)果的大小，不能僅比較被開方數(shù)的大?。硗獗绢}中2與7，7與2之間是乘積的關(guān)系.5用計算器開方知識點一利用計算器開方精練版P18利用計算器開方按鍵順序：開平方{再輸入被開方數(shù)開平方{再輸入被開方數(shù){{再按“□”鍵再按“□”鍵開立方開立方再輸入被開方數(shù)再輸入被開方數(shù)最后按“＝”鍵例1用計算器求下列各式的值(結(jié)果精確到千分位).因為結(jié)果精確到千分位，所以答案為1.761.因為結(jié)果精確到千分位，所以答案為1.710.知識點二利用計算器進(jìn)行較復(fù)雜的計算精練版P18此類問題要注意根號下相乘除(或相加減)的按鍵順序，切記“π”值的按鍵順序.例2求5×6-π的值.解：按照教材中型號的計算器的按鍵順序為□5×6－SHIFT×10x則5×6-π的值顯示的結(jié)注意：使用計算器進(jìn)行混合運算時，在運算過程中，要按照算式的書寫順序從左到右按鍵輸入算式，不同的計算器按法按鍵要注意該加括號時加括號.易錯點在求和、差、積、商的算術(shù)平方根或立方根時易出錯在用計算器求和、差、積、商的算術(shù)平方根或立方根時，要注意按鍵順序，在不同型號的計算器中按鍵順序有所不同，有的要注意括號的作用，按鍵時要加括號.例3用計算器求7＋1的值．(精確到千分位)注意：在求“和、差、積、商”的算術(shù)平方根、立方根時，特別容易出現(xiàn)錯誤，不同型號的計算器使用時按鍵順序不同，有的容易漏掉括號等導(dǎo)致答案錯誤.知識點一實數(shù)的概念及分類精練版P19有理數(shù)有理數(shù)整數(shù)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up29(0),負(fù))EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up3(和無限),環(huán)小數(shù))有限小數(shù)無理數(shù)→無限不循環(huán)小數(shù)按大小分零EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up36(2),的)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up36(實數(shù)),分類)正實數(shù)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up11(正有理數(shù)),正無理數(shù))EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up25(正),正)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up25(整),分)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up25(數(shù)),數(shù))有限小數(shù)無理數(shù)→無限不循環(huán)小數(shù)按大小分零例1有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是()答案：B知識點二實數(shù)的相關(guān)概念精練版P19在實數(shù)范圍內(nèi)，一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣，即這些有理數(shù)中的概念在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用．因此可以類比理解：(1)a表示一個正實數(shù)，－a就表示一個負(fù)實數(shù)，a與－a互EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up4(0),－)-221答案：22-2知識點三實數(shù)的運算與比較精練版P19實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用．如：2正數(shù)大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于0；0大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小.解析：(1)用作差法；(2)(3)用平方法.2知識點四實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系精練版P19實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系．也就是說，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)也都可以用數(shù)軸上的一個點來表示.在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.a.解析：作無理數(shù)a，通常需作直角三角形(或矩形)，應(yīng)用勾股定理求得斜邊為a.如圖中的點A.易錯點對實數(shù)的分類方法、概念不清楚導(dǎo)致錯誤EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(5π),4)答案：B注意：易將其中的－3.14和25誤認(rèn)為是無理數(shù)而錯選C或D.或把－4誤認(rèn)為是分?jǐn)?shù)而錯選A.實際上只有3和－4是無理數(shù).第1課時二次根式的概念及性質(zhì)知識點一二次根式的概念及性質(zhì)精練版P211．定義：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被開方數(shù).EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(a),b)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(a),b)商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商.例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式.解析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：①有根號“”；②被開方數(shù)是正數(shù)或0(非負(fù)).知識點二最簡二次根式的概念及其化簡精練版P21一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式.2．化簡二次根式的方法在二次根式的計算中，如果一個二次根式不是最簡二次根式，應(yīng)根據(jù)有關(guān)的運算性質(zhì)將二次根式化為最簡二次根式．在化二次根式為最簡二次根式時有以下方法：①當(dāng)被開方數(shù)是整數(shù)時，應(yīng)先將它分解因數(shù)，再進(jìn)行開方運算.②當(dāng)被開方數(shù)是小數(shù)或帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的形式或?qū)Х謹(jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)的形式，再進(jìn)行開方運算.易錯點不理解二次根式的概念而出錯在二次根式a中，a應(yīng)為大于或等于0的數(shù)或式，即具有非負(fù)性，在化簡時，往往因忽略a的取值范圍出現(xiàn)錯誤.例3化簡a－5）2.注意：要化簡（a－5）2，關(guān)鍵在于確定a－5的符號，由于已知條件未作說明，因此需對a－5的符號再進(jìn)一步化簡.第2課時二次根式的運算知識點一二次根式的乘除精練版P22二次根式相乘時，要注意以下幾點：(2)計算的結(jié)果必須化成符合要求的二次根式；(3)被開方數(shù)相乘的時候，往往不是直接求出乘積，而是考慮先化簡，再求值.aaab二次根式相除時，要注意以下幾點：(1)如果根號前面有系數(shù)，就把各個系數(shù)相乘，仍作為二次根號前的系數(shù)；(2)二次根式除法的兩種情況：①當(dāng)被除式與除式的被開方數(shù)恰好能整除的時候，我們直接運用二次根式的除法法則進(jìn)行運算；②當(dāng)被除式與除式的被開方不能整除時，我們就要采用分母有理化的方法來進(jìn)行.解析：(1)直接運用二次根式的乘法法則進(jìn)行計算；(2)先把除法化為乘法，再運用二次根式的乘法法則進(jìn)行計算.=-5知識點二二次根式的加減及混合運算精練版P22二次根式的加減運算，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.二次根式的混合運算：實質(zhì)上就是有理數(shù)的混合運算與無理數(shù)的混合運算，是對前面學(xué)過的二次根式的乘除法及加減法的運算法則的綜合運用.可直接進(jìn)行合并；(2)先化為最簡二次根式可直接進(jìn)行合并；(2)先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式.＝－易錯點分配律使用不恰當(dāng)，從而導(dǎo)致錯誤只有乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律，在運算中易片面追求簡便而誤用分配律.注意：乘法對加法的分配律可表示為a(b＋c)＝ab＋ac，在運用乘法對加法的分配律時，可將除法轉(zhuǎn)化為乘法，如：(a章末知識匯總類型一實數(shù)的應(yīng)用例1如圖所示，一架梯子AB長25米，斜靠在一面墻上，梯子的底端與墻的距離BC長6米，那么這個梯子的頂端綜上所述，AC不是有理數(shù)，但AC的長度卻是客觀存在的．注意：任何有限小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)(兩個整數(shù)的比)，無限循環(huán)小數(shù)也可以化成分?jǐn)?shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)不可能化成分?jǐn)?shù)，故有理數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，無理數(shù)都不能化成分?jǐn)?shù).類型二利用平方根的性質(zhì)求代數(shù)式的值12答案：1注意：若干個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個非負(fù)數(shù)均為0.類型三立方根的實際應(yīng)用例3現(xiàn)有一塊正方體木塊，體積是125cm3，因需要，現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的正方體小木塊，求每個小正方體木塊的表面積．解：設(shè)每個小正方體木塊的棱長為xcm.2EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(2),8)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(2),8)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(5),2)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(5),2)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(75),2)答：每個小正方體木塊的表面積為2cm2.類型四二次根式的計算12注意：乘法公式如平方差公式、完全平方公式等，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.第三章位置與坐標(biāo)知識點一位置的確定精練版P25要確定平面內(nèi)一個物體的位置，一般需要兩個獨立的數(shù)據(jù)，常見的表示方法有：1．行列定位法：行列定位常把平面分成若干行、列，然后利用行號和列號表示平面上點的位置.如：小明在教室的座位是第四行第三列.2．經(jīng)緯定位法：利用經(jīng)度和緯度確定物體的位置．這種方法在地理上經(jīng)常用.3．區(qū)域定位法：某些市區(qū)地圖常用的方法.如圖所示是某市地圖簡圖的一部分.公園在A1區(qū)，汽車站在A3區(qū)，火車站在C1區(qū)，醫(yī)院在B2區(qū).知識點二有序數(shù)對定位法和方位角加距離定位法精練版P251．有順序的兩個數(shù)a，b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b).如圖，若O點的位置記為(0，0)，則②的位置可記為(2，5)，③的位置可記為(3，1)，①的位置可記為(6，2).2．方位角加距離定位法可.例1氣象臺為了預(yù)報臺風(fēng)，首先要確定臺風(fēng)中心的位置，則下列說法能確定臺風(fēng)中心位置的是()C．北緯28°,東經(jīng)36°答案：C易錯點確定“路徑”位置時易漏掉某些點正確描述物體的運動情況，需將路線上的所有點都描述出來，而不應(yīng)間斷或“跳躍”.例2如圖所示，如果用(2，5)來表示B點的位置，用(4，7)來表示A點的位置，寫出由B點到A點的路徑.注意：方格紙上的“路徑”問題，點與點一定要連貫，不能出現(xiàn)“跳躍”，如(2，5)→(3，6)之間沒有現(xiàn)成的路徑，所以不能“跳躍”過去.2平面直角坐標(biāo)系第1課時平面直角坐標(biāo)系知識點一平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念精練版P271．在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系．如圖所示.2．橫軸(或x軸)，縱軸(或y軸)：通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向．水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，它們的公共原點O稱為直角坐標(biāo)系的原點.3．象限：在平面直角坐標(biāo)系中，兩條坐標(biāo)軸將坐標(biāo)平面分成了四部分．右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．坐標(biāo)軸上的點不在任何一個象限內(nèi)．如圖所示的四個象限，各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征：第一象限()，第二象限()，第三象限()，第四象限().例1下列各點中在第二象限的是()解析：(3，2)在第一象限，故選項A錯誤；(－32)在第三象限，故選項B錯誤；(－3，2)在第二象限，故選項C正確；(32)在第四象限，故選項D錯誤．故選C.答案：C知識點二平面內(nèi)點的坐標(biāo)精練版P271．定義：如圖，對于平面內(nèi)任意一點P，作PM⊥x軸，PN⊥y軸．M，N點對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(a，b)叫做點P的坐標(biāo).例2已知第二象限內(nèi)的點P到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，則P點的坐標(biāo)一定是()解析：由第二象限內(nèi)的坐標(biāo)特征及點P到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，得點P的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即答案：B知識點三平面直角坐標(biāo)系與有序?qū)崝?shù)對之間的關(guān)系精練版P27在直角坐標(biāo)系中，對于平面上的任意一點，都有唯一的一個有序?qū)崝?shù)對(即點的坐標(biāo))與它對應(yīng)；反過來，對于任意一個有序?qū)崝?shù)對，都有平面上唯一的一點與它對應(yīng).溫馨提示：(1)點的坐標(biāo)(a，b)的順序不能顛倒，數(shù)對(a，b)與(b，a)表示的是不同點的坐標(biāo)．(2)字母a，b兩坐標(biāo)軸作垂線，垂足在相應(yīng)坐標(biāo)軸上對應(yīng)的實數(shù)，它們可正可負(fù)．(3)一個點可以用一個實數(shù)對表示，反之，一對有序?qū)崝?shù)對與平面內(nèi)唯一點對應(yīng)，即坐標(biāo)平面上的點與一對有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)關(guān)系.易錯點求點的坐標(biāo)時，易忽略確定坐標(biāo)的符號從而導(dǎo)致錯誤例3若點(6－2x，x＋6)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則該點的坐標(biāo)為.＝－=12，所以該點的坐標(biāo)為(6，6)或(－18，18).注意：坐標(biāo)有正負(fù)之分，距離則是一個長度．因此，此題距離相等的意思是(a，b)中的|a|＝|b|.本題易只考慮其中一知識點一平面直角坐標(biāo)系中由點的坐標(biāo)確定點的位置精練版P28找點的方法：先分別找出該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)在兩條數(shù)軸上的點，再分別作對應(yīng)坐標(biāo)軸的垂線，交點即為所要找的點的位置.例1在直角坐標(biāo)系中描出下列各組點，并將各組內(nèi)的點用線段依次連接起來.解：由點的坐標(biāo)確定點在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，然后依次用線段連接起來，從而得到一個正確的圖形．如圖，它像一個繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)的四葉風(fēng)車.知識點二點的坐標(biāo)特征精練版P28坐標(biāo)軸上的點2.與坐標(biāo)軸平行的直線上的點的坐標(biāo)特征：坐標(biāo)軸[點的坐標(biāo)特征：橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù){(1)若點P在x軸上，則b=;(2)若點P在y軸上，則a=;(4)若點P在第一、三象限的角平分線上，則a(用含b的代數(shù)式表示)(5)若點P到x軸的距離為2，則b=;＝－(4)由第一、三象限角平分線上的點的橫(5)由已知得|b－3|＝2，b－3=±2，b＝5第3課時建立直角坐標(biāo)系知識點建立直角坐標(biāo)系求點的坐標(biāo)精練版P29(1)分析條件，選擇適當(dāng)?shù)狞c作為坐標(biāo)原點；(2)過原點在兩個互相垂直的方向上分別作出x軸與y軸；(3)確定正方向、單位長度等.(1)應(yīng)使盡量多的點在坐標(biāo)軸上；(2)應(yīng)使盡量多的點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；(3)應(yīng)使盡量多的點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為非負(fù)值.例如圖，是游樂城的平面示意圖，請建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系表示各景點的位置.解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則海底世界(0，0)，太空秋千(－4，1)，夢幻藝館(1，3)，童趣花園(4，2)，入口處(4，-1)，激光戰(zhàn)車(－23)，球幕電影(24).3軸對稱與坐標(biāo)變化知識點一圖形的坐標(biāo)變化與軸對稱精練版P30(1)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別乘－1，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸成軸對稱；(2)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別乘－1，所得圖形與原圖形關(guān)于y軸成軸對稱.(1)確定對稱點的坐標(biāo)；(2)根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點；(3)依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形.例1把圖1中的“魚”的頂點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘－1，畫出圖形并說明它與原圖形的關(guān)系.描點、連線如圖2所示，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸成軸對稱.知識點二直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)的關(guān)系精練版P30關(guān)于x軸對稱的兩個點的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對稱的兩個點的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).拓展：關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個點的坐標(biāo)，橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).溫馨提示：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個點都存在著關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點.例2在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，兩面小旗ABCD與A1B1C1D1關(guān)于y軸對稱.(1)對應(yīng)點A與A1的坐標(biāo)有什么共同特點？其他對應(yīng)的點，也有這個特點嗎？(2)在這個坐標(biāo)系里畫出小旗ABCD關(guān)于x軸的對稱圖形A2B2C2D2，它的各個頂點的坐標(biāo)與原來對應(yīng)頂點的坐標(biāo)有什么解：(1)對應(yīng)點A與A1的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，其他對應(yīng)點也有這個特點.(2)描點、連線如圖所示，所得圖形的各個頂點的坐標(biāo)與原來對應(yīng)頂點的坐標(biāo)都具有橫坐標(biāo)相同、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的特點.注意：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)：(1)如果點P1與點P 如果點P2與點P關(guān)于y軸對稱，那么點P2的坐標(biāo)是(－a，b)；(3)如果點P3與點P關(guān)于原點對稱，那么點P3的坐標(biāo)是-b).易錯點混淆對稱點與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系而致錯在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的變化與點的坐標(biāo)的變化關(guān)系易弄錯．誤以為圖形關(guān)于x軸對稱，點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；圖形關(guān)于y軸對稱，點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).例3點P(23)與點Q(2，3)的位置關(guān)系是，若點P與點N關(guān)于y軸對稱，那么點N的坐標(biāo)是.解析：若兩點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則兩點關(guān)于x軸對稱．若兩點關(guān)于y軸對稱，則兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).答案：關(guān)于x軸對稱(－23)注意：此題易混淆圖形的變化與點的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系，出現(xiàn)以下錯解：關(guān)于y軸對稱，點N的坐標(biāo)是(2，3)．解決此類問題時，熟記圖形的變化與點的坐標(biāo)變化的關(guān)系是關(guān)鍵，最好是數(shù)形結(jié)合解答此類問題.章末知識匯總類型一實際生活中的位置確定例1如圖是某市的部分建筑物的平面圖(每個小方格的邊長均為1cm)，借助圖形，回答下列問題：(1)圖書館相對于醫(yī)院的方位角是．圖上距離是cm；(2)如果用(2，4)表示醫(yī)院的位置，則文化宮的位置表示為，(6，10)表示的位置，(2，7)表示 的位置.解析：(1)醫(yī)院和圖書館在一個4×4正方形的對角線頂點上，夾角為45°.(2)位置的數(shù)對表示中，先由已知醫(yī)院位置確定文化宮的位置表示為(7，1)，(6，10)表示陽光中學(xué)，(2，7)表示體育場.注意：確定方位角一般以南北作為主方向，網(wǎng)格中求兩點間的距離一般轉(zhuǎn)化為直角三角形，然后由勾股定理解決.類型二利用平面直角坐標(biāo)系解決幾何問題中的面積問題四邊形ABCD的面積.解：分別過點D，C向x軸作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形ABCD被分割成△DAE和△CBF及梯形DEFC.四邊形ABCD△DAE梯形DEFC△CBF=7＋30＋5＝42.注意：在利用“分割法”時，往往要構(gòu)造“邊在坐標(biāo)軸上的三角形”.類型三探究性問題(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此變換規(guī)律再次將△OA3B3變換成△OA4B4，則A4的坐標(biāo)是 解析：觀察圖形，分別分析、對比各點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可知An的橫坐標(biāo)是按2n變化的，而Bn的橫坐標(biāo)是按2n＋1變化的.第四章一次函數(shù)知識點一函數(shù)的概念精練版P34一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量.對函數(shù)概念的理解應(yīng)抓住以下四點：(2)一個變量變化，另一個變量隨之變化；(3)對于自變量x確定的每一個值，函數(shù)y僅有一個值與之對應(yīng)；(4)函數(shù)不是數(shù)，它是指在一個變化過程中兩個變量之間的關(guān)系.例1下列變化過程中得出的函數(shù)關(guān)系式是否正確？如果錯誤，請寫出正確的結(jié)果；如果正確，請寫出式子中的自變量.(1)小俊計劃用20元購買本子，所能購買的總數(shù)n(本)與單價a(元)之間的關(guān)系式為n＝a；解析：對于(1)，問題中存在兩個變量a，n，且任意確定一個a的值，n都有唯一的值與它對應(yīng)，故(1)正確．(2)也用類似的方法判斷.解：(1)正確，a是自變量．(2)錯誤，應(yīng)為S＝l(30－l)，其中l(wèi)是自變量.知識點二函數(shù)的三種表示形式精練版P34列表法；關(guān)系式法；圖象法.例2星期天晚飯后，小紅從家里出去散步，如圖是她散步過程中離家的距離s(m)與散步所用時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系，則下列描述符合小紅散步情景的是()A．從家出發(fā)，到了一個公共閱報欄，看了一會兒報就回家了B．從家出發(fā)，到了一個公共閱報欄，看一會兒報后，繼續(xù)向前走了一段路，然后回家了C．從家出發(fā)，一直散步(沒有停留)，然后回家了解析：從圖上看，每個時間t對應(yīng)一個距離s，當(dāng)時間t變化距離s不變時，表示原地不動，當(dāng)兩個都變化時說明人在答案：B知識點三函數(shù)的值及自變量的取值范圍精練版P34對于自變量在可取值范圍內(nèi)的一個確定的值a，函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值，這個對應(yīng)值稱為當(dāng)自變量等于a時的函數(shù)值.溫馨提示：(1)函數(shù)反映了兩個變量之間的關(guān)系，而函數(shù)值是一個數(shù)值；(2)一個函數(shù)的函數(shù)值是隨著自變量的變化而變化的，故在求函數(shù)值時，一定要明確是自變量為多少時的函數(shù)值.確定自變量的取值范圍應(yīng)從兩個方面考慮：一是必須使含有自變量的代數(shù)式有意義；二是滿足實際問題的意義．如S=πr2中，若r表示圓的半徑，則r的取值范解析：將自變量的值代入函數(shù)關(guān)系式中，即可求出函數(shù)值.7因為438＜60，所以車不會撞上障礙物.易錯點對函數(shù)的定義理解不透徹而導(dǎo)致不能準(zhǔn)確判斷函數(shù)關(guān)系在對函數(shù)概念的理解中，對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，這一點絕對不能忽略.例4下列四個圖形中，不能表示y是x的函數(shù)的是()解析：根據(jù)函數(shù)的定義分析．選項D中，當(dāng)給定x的一個值時，對應(yīng)的函數(shù)值y有兩個，所以不能表示y是x的函數(shù).答案：D注意：易錯選A或B或C，原因是對函數(shù)定義理解不準(zhǔn)確，誤認(rèn)為不能出現(xiàn)多個自變量對應(yīng)同一個函數(shù)值.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)知識點一一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念精練版P36b＝0時，稱y是x的正比例函數(shù).③常數(shù)項b是任意實數(shù).3．正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).＝－＝－＝－1＝－解析：根據(jù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念可得出答案.解：(1)(3)(5)是一次函數(shù)，(1)是正比例函數(shù).知識點二根據(jù)條件列一次函數(shù)表達(dá)式精練版P36認(rèn)真分析，探究實際問題中的有關(guān)信息，在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.關(guān)系式；(4)注意自變量x的取值范圍，對于實際問題，還要考慮自變量的取值要使實際問題有意義.例2某種茶杯每只5元，如果買這種茶杯x只，共花去y元，那么y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是，它是 函數(shù).解析：根據(jù)相等關(guān)系，x只茶杯的價錢等于y元，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)定義加以確定函數(shù)類型.易錯點在判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)時，易忽略k≠0任意常數(shù)，否則它就不是一次函數(shù)，解題過程中易忽略k≠0這個條件，導(dǎo)致出錯.＝－＝－＝－＝－注意：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y＝kx＋b外，還要注意條件k≠0.本題易忽略k≠0，而導(dǎo)致錯解為m=±2.3一次函數(shù)的圖象知識點一正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)精練版P381．正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過(0，0)和(1，k)兩點的一條直線.2．當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y的值隨x值的增大而減小.溫馨提示：正比例函數(shù)圖象的畫法：作圖時通常取(0，0)與(1，k)兩點，再過這兩點作直線.1＝－＝－(2)正比例函數(shù)，隨著x值的增大，y的值增加得更快；隨著x值的增大，y的值減小得更快.解析：因為正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的一條直線，所以只要再確定原點之外的一個點就可以了；由k的符號性質(zhì)可以判斷y的值隨x值的增減變化情況；由直線與x軸正方向夾角(銳角)的大小，可以判斷y的值隨x值的增加而增加(或減小)的快慢.解：函數(shù)圖象如圖所示.1＝－＝－＝－注意：|k|越大，直線與x軸的夾角(銳角)就越大，y的值隨x值的增加而增加(或減小)得越快.知識點二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)精練版P38當(dāng)k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y的值隨x值的增大而減小.當(dāng)k＜0，b＞0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)k＜0，b＜0時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限.2EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(k),k)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(b),b)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(1),2)1溫馨提示：在同一平面內(nèi)，k相同且b不相同的直線相互平行，它們可以通過相互平移得到，例如直線y＝－2x與y=-2x＋3平行，將直線y＝－2x向上平移3個單位就是直線y＝－2x＋3；同時，k不相同的直線在同一平面內(nèi)一定相交，當(dāng)＝－解析：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，A項中m＜0，n＞0，故mn＜0.兩圖象對m，n的要求相符，故選A.答案：A易錯點忽視函數(shù)圖象存在的多樣性，解題時易漏掉某種情況正比例函數(shù)也是一次函數(shù)，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0且k，b為常數(shù))中的“b”可以等于0，因此，做題時易漏掉“b＝0”這一情況.4一次函數(shù)的應(yīng)用第1課時求一次函數(shù)的表達(dá)式知識點一正比例函數(shù)表達(dá)式的確定精練版P40x，y的對應(yīng)值，就可以求出正比例函數(shù)的表達(dá)式.2．用待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)的表達(dá)式，一般(1)設(shè)：設(shè)所求的正比例函數(shù)表達(dá)式的形式為y＝kx；(2)代：把已知條件(自變量與對應(yīng)的函數(shù)值)代入所設(shè)的表達(dá)式；(4)寫：將所求得的系數(shù)的值代回所設(shè)的表達(dá)式，寫出表達(dá)式.例1已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(31)，求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式.解析：用待定系數(shù)法求解，在y＝kx中，把x用橫坐標(biāo)3代入，y用縱坐標(biāo)－1代入，求出k的值.1解：設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，將點(31)的坐標(biāo)代入得1＝k·3，解得1式為y＝－3x.注意：已知一個點求正比例函數(shù)的表達(dá)式主要是學(xué)會熟練運用其中的四個步驟，求出系數(shù)后一定要代回所設(shè)的關(guān)系式，寫出函數(shù)關(guān)系式，解題才算完整.知識點二一次函數(shù)表達(dá)式的確定精練版P40一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，有兩個未知系數(shù)k，b，要確定一次函數(shù)的表達(dá)式，需要兩個獨立的關(guān)于k，b的條件求得k，b的值．這兩個條件可能以“形”的方式出現(xiàn)，比如已知直線y＝kx＋b上的兩個點；也可能以“數(shù)”的形式出現(xiàn)，比如已知滿足表達(dá)式y(tǒng)＝kx＋b的兩組x，y的值；還可能既以“形”又以“數(shù)”的形式出現(xiàn)．我們要根據(jù)給出的條件靈活處理，進(jìn)而確定一次函數(shù)的表達(dá)式.例2已知一次函數(shù)圖象如圖所示，求出它的函數(shù)表達(dá)式.解：因為圖象過(0，－3)，所以b＝－3；設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx－3，又因為圖象過(2，0)，所以2k－3＝0，得k=2，所以這個函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x－3.注意：確定一次函數(shù)的表達(dá)式，要求出表達(dá)式中k，b的值，函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)就是b的值，再根據(jù)條件列易錯點對函數(shù)表達(dá)式的理解不清而出現(xiàn)錯誤例3已知y與x＋3成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝6.求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.第2課時單個一次函數(shù)的應(yīng)用知識點一單個一次函數(shù)圖象的應(yīng)用精練版P411．在坐標(biāo)系中給出一個一次函數(shù)的圖象，即一條直線(或一條線段或一條射線)，利用所給的特殊點的坐標(biāo)，讀取其中所要表達(dá)的信息，即由自變量的值求出相應(yīng)的函數(shù)值.從背景為一個一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象中獲取信息看圖象獲取信息自變量為x0時，相應(yīng)的函數(shù)值為y0相應(yīng)的函數(shù)值為y0時，自變量為x0相應(yīng)的函數(shù)值為0時，自變量為a；直線與x軸的交點EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(y),x)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(y),x)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(1),1)例1某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價為6元/件，該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點進(jìn)行了為期一個月(30天)的試營銷，售價為8元/件，工作人員對銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪成圖象，圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系，已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中，時間每增加1天，日銷售量減少5件.(1)第24天的日銷售是件，日銷售利潤是元.(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.關(guān)系式為y＝20x.根據(jù)題意得：線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.所以20x=-注意：從函數(shù)圖象中獲取信息，主要觀察橫、縱坐標(biāo)所表示的含義，從因變量隨自變量的變化趨勢、特殊點(包括圖象與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，兩線的交點等)的取值等方面進(jìn)行分析.知識點二一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系精練版P41的一元一次方程.1．方程的解與自變量的取值對應(yīng)：一次函數(shù)的函數(shù)值為某一數(shù)值時，相應(yīng)的自變量即為所得方程的解．如當(dāng)一次函數(shù)軸交點的橫坐標(biāo)，就是求方程3x－4＝03．對于已知一個函數(shù)的縱坐標(biāo)求橫坐標(biāo)或已知橫坐標(biāo)求縱坐標(biāo)，也是把問題化為方程來解.解析：(1)把已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，列方程求解；(2)當(dāng)y＝0時，求出橫坐標(biāo)x的值.＝－＝－注意：把坐標(biāo)代入函數(shù)已知的表達(dá)式，求出未知的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)，也是化為解方程的問題.第3課時兩個一次函數(shù)的應(yīng)用知識點兩個一次函數(shù)的應(yīng)用精練版P42在同一直角坐標(biāo)系中同時出現(xiàn)兩個一次函數(shù)的圖象，即兩條直線，利用所給圖象的位置關(guān)系，交點坐標(biāo)，與x軸，y軸的交點坐標(biāo)，讀取其中所要表達(dá)的信息，一般出現(xiàn)在比較產(chǎn)量、速度、資費等問題中，解題關(guān)鍵是理解交點坐標(biāo)的含義.從兩個相交的一次函數(shù)圖象中獲取信息從兩個相交的一次函數(shù)圖象中獲取信息看圖象獲取信息兩個一次函數(shù)，當(dāng)自變量的值為x0時，函數(shù)值都為y0或當(dāng)函數(shù)值為y0時，自變量的值都為x0當(dāng)自變量的值x＞x0時，函數(shù)值y1＞y2，即對同一自變量x的值，圖象在上面的函數(shù)值大當(dāng)自變量的值x＜x0時，函數(shù)值y1＜y2，即對同一自變量x的值，圖象在下面的函數(shù)值小兩直線的交點坐標(biāo)為(x0，y0)例在圖中，OA，BA分別表示甲、乙兩人的運動圖象，請根據(jù)圖象回答下列問題：(3)兩人同時出發(fā)，相遇時甲比乙多走km.解析：觀察圖象可知兩個函數(shù)分別是正比例函數(shù)和一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式.章末知識匯總類型一利用一次函數(shù)圖象解決問題例1已知直線y＝－x＋4與x軸，y軸分別交于A，B兩點.解析：(1)由題意可令y＝0和x＝0，分別求出對應(yīng)的值，即可得A，B點的坐標(biāo)；(2)由A，B點的坐標(biāo)得OA，OB的長，再由面積公式求解.類型二利用平行求函數(shù)表達(dá)式＝－解析：(1)直線y＝kx＋b的圖象平行于直線y＝－2x，由一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)可知k的值，再代入A點坐標(biāo)即可求解；(2)直接把點P的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式即可求解.＝－＝－＝－＝－＝－類型三一次函數(shù)的實際應(yīng)用例3已知A地在B地的正南方向3千米處，甲、乙兩人分別從兩地同時向正北方向勻速直線行走，他們與A地的距離s(千米)與所行走的時間t(時)之間的關(guān)系如圖所示，其中l(wèi)1表示甲行走的過程，l2表示乙行走的過程.(4)求出l1，l2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，不用寫出自變量的取值范圍.解：(1)由圖可知，甲在追乙，他們相遇后，甲超過乙，因為甲、乙兩人向正北方向勻速直線行走，且A地在B地的正南方向，所以甲在A地，乙在B地.(2)甲是追及者，乙是被追及者，甲2小時后追上乙，此時甲行走了6千米.米/時).第五章二元一次方程組1認(rèn)識二元一次方程組知識點一二元一次方程及解的概念精練版P451．二元一次方程的概念：含有兩個未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項的次數(shù)為1，這樣的方程叫做二元一次方程.xxyxxy二元一次方程必須含有兩個未知數(shù)；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知數(shù)的項的次數(shù)，而不是某個未知數(shù)的次數(shù)，如xy＝2不是二元一次方程，而是二元二次方程.2．二元一次方程的解的概念：能使二元一次方程左右兩邊相等的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解，通常用在任何一個二元一次方程中，如果把其中的一個未知數(shù)任取一個數(shù)，都可以通過方程求得與之對應(yīng)的另一個未知數(shù)的值．因此，任何一個二元一次方程都有無數(shù)個解.知識點二二元一次方程組及解的概念精練版P451．二元一次方程組的概念：含有兩個未知數(shù)的兩個(或多個)一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組.理解時應(yīng)注意：①都是一次方程；②整個方程組含有兩個未知數(shù)；③常用“{”把兩個(或多個)方程聯(lián)合在一起.2．二元一次方程組的解的概念：二元一次方程組中，各個方程的公共解叫做這個二元—次方程組的解．一般情況下，一個二元一次方程組只有一個解，它是一對值，要用大括號括在—起.例1下列方程組中，是二元一次方程組的是()EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(x),1)1解析：A項中含有3個未知數(shù)，B項中x2＋y＝1是二次方程，C項中x＋y＝2分母中含有未知數(shù)，只有D項符合二元一次方程組的定義.答案：D易錯點判斷一個方程是二元一次方程時，易忽略含未知數(shù)的項的系數(shù)不為零的條件對二元一次方程的定義要特別注意如下三個條件：①整式方程；②含有兩個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的項的次數(shù)是1.三個條件缺一不可，而且不能只注意未知數(shù)的次數(shù)而忽略未知數(shù)的系數(shù)而出錯.n＋2≠0，n≠-2，＝－2求解二元一次方程組第1課時代入消元法知識點代入消元法精練版P471．代入消元法的基本思路：通過“代入”達(dá)到“消元”(即消去一個未知數(shù))的目的，從而將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.(1)選擇較簡單的方程，用其中一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，寫成x＝…或y＝…的形式；(2)代入：將(1)中x＝…或y＝…代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)；(3)求一個未知數(shù)的值：解(2)中的一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；(4)求另一個未知數(shù)的值：將求出的一個未知數(shù)的值代入方程組中任一方程，可求出另一個未知數(shù)的值，也可代入(1)中得到的x＝…或y＝…中；解：方程組{＝－＝－將y1代入③,得x＝8＋3×(－1)＝5.所以原方程組的解為{知識點加減消元法精練版P481．加減消元法的基本思路：通過“加減”達(dá)到化“二元”為“一元”，即消元的目的.(1)化——將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等的形式.(2)消——將變形后的兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.(3)求——解一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值.(4)代——把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的一個方程，求出另一個未知數(shù)的值.{1＝－＝－＝－易錯點用加減法消元時，當(dāng)減去一個負(fù)系數(shù)時，容易弄錯符號或出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象在應(yīng)用加減消元法求解二元一次方程組時，可將步驟一步步寫出，以便于及時查找其中的錯誤．在方程兩邊同時乘或除以一個非零數(shù)時，不能漏掉其中任一項．在兩個方程加減時，要注意符號，尤其是在減去一個負(fù)系數(shù)時，要帶著前面的性質(zhì)符號一同計算.解方程組：{解：①-②,得4x＝－4，解得x＝－1.將x＝－1代入①,得－1－y＝5，解得y＝－6.所以原方程組的解是{＝－3應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠知識點列二元一次方程組解雞兔同籠問題精練版P49雞兔同籠問題的特點：題目中分別出現(xiàn)有關(guān)“頭”與“足”的兩個等量關(guān)系，或有兩個內(nèi)容相近，形式相同的等量關(guān)系.列二元一次方程組解實際問題的一般步驟：(1)審清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題中的兩個未知數(shù)；(2)找出涵蓋題目全部含義的兩個相等關(guān)系；(3)根據(jù)找出的兩個相等關(guān)系，列出所需的代數(shù)式，從而列出方程組；(5)檢驗所得的解是否是方程組的解，并且要檢驗其是否符合題意；(6)寫出答案．(包括單位名稱)例1“三足團(tuán)魚六眼龜，共居山下一深池，九十三足亂浮水，一百二眼將人窺，或出或入或來去，倚欄觀看不能知，有人算得無差錯，將酒重斟贈數(shù)杯．”解：設(shè)有團(tuán)魚x條，龜y只，依題意，得{易錯點列方程組解應(yīng)用題時易弄錯等量關(guān)系列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系，在審題時應(yīng)注意挖掘隱含條件，找準(zhǔn)等量關(guān)系．例2某化裝晚會上，男生臉上涂藍(lán)色油彩，女生臉上涂紅色油彩，游戲時，每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂3藍(lán)色油彩的人數(shù)的2倍少1人，而每個女生都看見涂藍(lán)色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩的人數(shù)的5，則晚會上男、女生各有幾人？解：設(shè)晚會上男生有x人，女生有y人．由題意，得{