高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）全冊(cè)配套完整課件

高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）全冊(cè)配套完整課件二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限習(xí)題課機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極限與連續(xù)

第一章一、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義:

定義域

值域圖形:(一般為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性3.反函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射,反函數(shù)為其逆映射4.復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈則復(fù)合函數(shù)為5.初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:利用函數(shù)表示與變量字母的無(wú)關(guān)的特性.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫(huà)線三式聯(lián)立即例1.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下列各組函數(shù)是否相同?為什么?相同相同相同機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.下列各種關(guān)系式表示的y是否為x

的函數(shù)?為什么?不是是不是提示:(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束⑶⑵3.下列函數(shù)是否為初等函數(shù)?為什么?⑷以上各函數(shù)都是初等函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.

設(shè)求及其定義域.5.

已知,求6.

設(shè)求由得4.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.

已知,求解:6.

設(shè)求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、連續(xù)與間斷1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式有2.函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有界定理;最值定理;零點(diǎn)定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例2.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例3.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明f(x)

對(duì)一切

x

都連續(xù)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上連續(xù),且a

c

d

b,例5.

設(shè)在必有一點(diǎn)證:使即由介值定理,證明:故即證:補(bǔ)充題.

證明:若令則給定當(dāng)時(shí),有又根據(jù)有界性定理,,使取則在內(nèi)連續(xù),存在,則必在內(nèi)有界.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、極限1.極限定義的等價(jià)形式(以為例)(即為無(wú)窮小)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則3.無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:

4.兩個(gè)重要極限6.判斷極限不存在的方法～～～～～～～～～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.求極限的基本方法例6.

求下列極限：提示:無(wú)窮小有界機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束～則有復(fù)習(xí):

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

確定常數(shù)a,b

,

使解:原式可變形為故于是而例8.

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.求的間斷點(diǎn),并判別其類(lèi)型.解:

x=–1為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2.

求解:原式=1(2000考研)注意此項(xiàng)含絕對(duì)值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知引言一、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為不變的量（常量）,所涉及的運(yùn)算是常量之間的算術(shù)運(yùn)算.高等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為變動(dòng)的量（變量）,基本運(yùn)算是變量的極限運(yùn)算.

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)以變量作為研究對(duì)象、以極限方法作為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科.整個(gè)高等數(shù)學(xué)是建立在極限理論的基礎(chǔ)之上的.1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊(cè))(下冊(cè))3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無(wú)窮級(jí)數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.注意學(xué)習(xí)方法.比如多聽(tīng)，多練，多想工科專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，考研教材:主要參考書(shū):《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與提高》（上冊(cè)）《高等數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院主編高等教育出版社湛少鋒,胡新啟編武漢大學(xué)出版社第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁極限與連續(xù)

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束預(yù)備知識(shí)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合.組成集合的事物稱(chēng)為元素.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱(chēng)為鄰域中心,

稱(chēng)為鄰域半徑.半開(kāi)區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束是B的子集

,或稱(chēng)B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱(chēng)A若且則稱(chēng)A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,

若設(shè)有集合記作記作必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或二、映射1.映射的概念

某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例1.引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y

軸投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱(chēng)為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱(chēng)為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱(chēng)為映射f

的定義域;Y

的子集稱(chēng)為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)映射若,則稱(chēng)f

為滿(mǎn)射;若有則稱(chēng)f

為單射;若f既是滿(mǎn)射又是單射,則稱(chēng)f

為雙射或一一映射.引例2,3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例2引例2例1.海倫公式例2.如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿(mǎn)射)例3.如圖所示,則有(滿(mǎn)射)

(滿(mǎn)射)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束f稱(chēng)為X

上的泛函X(≠

)Xf稱(chēng)為X

上的變換

Rf稱(chēng)為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱(chēng)為算子.名稱(chēng).例如,2.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱(chēng)此映射為f

的逆映射.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)復(fù)合映射機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束手電筒D引例.復(fù)合映射定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射

,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:

構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱(chēng)為值域函數(shù)圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束自變量因變量(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)則的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

已知函數(shù)解:及寫(xiě)出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱(chēng)使稱(chēng)說(shuō)明:

還可定義有上界、有下界、無(wú)界(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱(chēng)f(x)

無(wú)界.稱(chēng)為有上界稱(chēng)為有下界當(dāng)時(shí),稱(chēng)為I

上的稱(chēng)為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)奇偶性且有若則稱(chēng)

f(x)為偶函數(shù);若則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說(shuō)明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱(chēng)為周期函數(shù)

,若稱(chēng)

l

為周期(一般指最小正周期).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱(chēng)此映射為f

的反函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱(chēng)為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱(chēng)為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

設(shè)函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:例6.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)則3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且備用題證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對(duì)稱(chēng),求證是周期函數(shù).證:由的對(duì)稱(chēng)性知于是故是周期函數(shù),周期為

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)列的極限極限理論的發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期（1）早在古希臘時(shí)期，歐多克斯（約公元前408-355）就提出了窮竭法.這是極限理論的先驅(qū).它指出：“一個(gè)量如減去大于其一半的量，再?gòu)挠嘞碌牧恐袦p去大于該余量一半的量，這樣一直下去，總可使某一余下的量小于已知的任何量.”（見(jiàn)《幾何原本》卷X,1)

我國(guó)莊子(公元前355-275)《天下篇》中說(shuō)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭”，也具有極限的思想。

公元263年，劉徽為《九章算術(shù)》作注是提出“割圓術(shù)”用正多邊形逼近圓周。他說(shuō)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。這是極限思想的成功運(yùn)用。

（2）牛頓（1642-1727）是明確提出極限概念的第一人。牛頓解釋極限的真實(shí)涵義是一些量以“比任何給定的誤差還要小的方式趨近”。但是，牛頓關(guān)于極限的概念還比較含糊，后來(lái)由于柯西（1789-1857，法國(guó)）和魏爾斯特拉斯（1815-1897，德國(guó)）等一些數(shù)學(xué)家的努力，才澄清了極限概念并給出了極限的精確定義。一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當(dāng)

n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限逼近S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積劉徽目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為數(shù)列,記作或稱(chēng)為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂

,否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱(chēng)該數(shù)列的極限為a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N

時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿(mǎn)足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開(kāi)區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明:

此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.收斂數(shù)列具有保號(hào)性.若且有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)則則*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:定理

.

若則有三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.試求下面極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則.1.夾逼準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)（單調(diào)有界原理）(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.設(shè)證明數(shù)列極限存在.證:利用二項(xiàng)式公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無(wú)理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又*3.柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“

–N

”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說(shuō)明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處故極限存在，備用題

設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第一章二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極限定義1

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱(chēng)常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線.A

為函數(shù)一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義2.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱(chēng)常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理1.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:因?yàn)轱@然所以不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則是否一定有第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束？

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的性質(zhì)第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)極限性質(zhì)與運(yùn)算法則1.函數(shù)極限的唯一性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.局部有界性定理1.一、函數(shù)極限的性質(zhì)3.局部保號(hào)性定理3.1若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論:分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.2

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由定理3.1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理3.2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、極限的四則運(yùn)算法則則有定理4.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論:

若且利用保號(hào)性定理證明.說(shuō)明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令定理5.若則有說(shuō)明:

定理5可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例1.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理6.

若且B≠0,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x=3時(shí)分母為0!例2.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例3.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.

設(shè)且

x滿(mǎn)足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理7.

設(shè)且x

滿(mǎn)足時(shí),又則有

說(shuō)明:若定理中則類(lèi)似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求解:

令已知∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)極限四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.問(wèn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

求解法1原式=解法2令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

試確定常數(shù)a

使解:令則故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此備用題設(shè)解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見(jiàn)是多項(xiàng)式,且求故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

第一章一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1.有定義,為確定起見(jiàn),僅討論的情形.有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.有定義,且設(shè)即當(dāng)有有定義,且對(duì)上述

,時(shí),有于是當(dāng)時(shí)故可用反證法證明.(略)有證：當(dāng)“”“”定理1.有定義且有說(shuō)明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理2.且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)時(shí)注例2.

求解:例3.

求解:

令則因此原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求解:

原式=例5.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說(shuō)明:計(jì)算中注意利用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)則從而有故說(shuō)明:

此極限也可寫(xiě)為時(shí),令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

求解:

令則說(shuō)明

：若利用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則原式例7.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩個(gè)趨于及使不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)填空題

(1～2)第七節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第一章二、無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系一、無(wú)窮小第六節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)窮小與無(wú)窮大四、無(wú)窮小的比較當(dāng)一、無(wú)窮小定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮?。浚?/p>

.時(shí)為無(wú)窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小

!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC時(shí),函數(shù)(或)則稱(chēng)函數(shù)為定義1.

若(或)則時(shí)的無(wú)窮小

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中

為時(shí)的無(wú)窮小量.定理1.

(無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類(lèi)似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),有定理2.

有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類(lèi)似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.定理3.

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無(wú)窮小.推論1

.

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2

.

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無(wú)窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿(mǎn)足不等式的

x,總有則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:1.無(wú)窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無(wú)窮大!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿(mǎn)足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理4.

在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束都是無(wú)窮小,但可見(jiàn)無(wú)窮小趨于0的速度是多樣的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、無(wú)窮小的比較定義3.若則稱(chēng)

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱(chēng)

是比

低階的無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的同階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如

,

當(dāng)～時(shí)～～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無(wú)窮小,～且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

證明:證:

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此即有等價(jià)關(guān)系:說(shuō)明:

上述證明過(guò)程也給出了等價(jià)關(guān)系:～～定理5.證:即即例如,～～故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理6.

設(shè)且存在,則證:例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程,

,

為無(wú)窮小,說(shuō)明:無(wú)窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若

=o(

),(2)和差代替規(guī)則:例如,例如,(見(jiàn)下頁(yè)例3)

(3)因式代替規(guī)則:界,則例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例3.求解:原式例4.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系4.無(wú)窮小的比較4.無(wú)窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小,且

是

的高階無(wú)窮小

是

的低階無(wú)窮小

是

的同階無(wú)窮小

是

的等價(jià)無(wú)窮小

是

的k階無(wú)窮小5.等價(jià)無(wú)窮小替換定理常用等價(jià)無(wú)窮小:第八節(jié)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義第七節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

第一章三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可見(jiàn),函數(shù)在點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱(chēng)函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)它在該區(qū)間上連續(xù),或稱(chēng)它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱(chēng)為間斷點(diǎn)

.在無(wú)定義

;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束間斷點(diǎn)分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱(chēng)若稱(chēng)第二類(lèi)間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱(chēng)若其中有一個(gè)為振蕩,稱(chēng)若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)局部有界性

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部保號(hào)性

定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增.在其定義域內(nèi)連續(xù)2、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.

在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)

運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減)(證明略)在[

1,1]上也連續(xù)單調(diào)(遞減)遞增.定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即單調(diào)遞增,例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o(wú)連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求解:原式例3.

求解:

令則原式說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求解:原式說(shuō)明:

若則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時(shí)連續(xù);而故x=1為第一類(lèi)間斷點(diǎn).在點(diǎn)x=1

不連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類(lèi)型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說(shuō)明:

分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類(lèi)型.2.設(shè)時(shí)提示:為連續(xù)函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束答案:x=1是第一類(lèi)可去間斷點(diǎn),續(xù)?反例

x

為有理數(shù)

x

為無(wú)理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?提示:“反之”不成立.第十節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.備用題

確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.解:

間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八節(jié)一、最值定理二、介值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第一章注意:

若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn)

,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,無(wú)最大值和最小值也無(wú)最大值和最小值又如,

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論:

由定理1可知有證:

設(shè)上有界.二、介值定理定理2.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(證明略)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)證:

作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn)使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.證明方程一個(gè)根.證:顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即說(shuō)明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)至少有則則上連續(xù),且恒為正,例2.

設(shè)在對(duì)任意的必存在一點(diǎn)證:使令,則使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證明:小結(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.

任給一張面積為A

的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明至少存在使提示:

令則易證2.

設(shè)一點(diǎn)習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題

至少有一個(gè)不超過(guò)4的證：證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開(kāi)區(qū)間顯然正根.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)與微分

第二章一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)

:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

關(guān)系

:可導(dǎo)可微

應(yīng)用:(1)利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問(wèn)題

(3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限1)推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;2)求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3)由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)存在,求解:

原式=例2.若且存在,求解:

原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)試確定常數(shù)a,b

使f(x)

處處可導(dǎo),并求解:得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束是否為連續(xù)函數(shù)?判別:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)解:又例5.所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法1.正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則

2.熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1)

求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2)

隱函數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)微分法(3)

參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性)轉(zhuǎn)化(5)

高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納;間接求導(dǎo)法;利用萊布尼茨公式.導(dǎo)出例6.設(shè)其中可微,解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.且存在,問(wèn)怎樣選擇可使下述函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù).解:

由題設(shè)存在,因此1)利用在連續(xù),即得2)利用而得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)利用而得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二章微積分學(xué)（17世紀(jì)下半葉創(chuàng)立）的創(chuàng)始人:德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz（萊布尼茨1646-1716）微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton(牛頓1642-1724)一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)的概念

第二章一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類(lèi)似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱(chēng)此極限為記作:即則稱(chēng)函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱(chēng)在若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說(shuō)函數(shù)就稱(chēng)函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.

求函數(shù)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類(lèi)似可證得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.

設(shè)存在,求極限解:

原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線過(guò)下降;若切線與x軸平行,稱(chēng)為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有鉛直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫(xiě)出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有鉛直切線四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱(chēng)此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫(xiě)為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱(chēng)顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?與導(dǎo)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束？2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問(wèn)是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.

設(shè),問(wèn)a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題

解:

因?yàn)?.

設(shè)存在,且求所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖?，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.設(shè)故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,(2)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))例1.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))例2.

求證證:類(lèi)似可證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類(lèi)似可求得利用,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)(3)說(shuō)明:

類(lèi)似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同例6.設(shè)解:記則(反雙曲正弦)其他反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)看教材（P91）自推.的反函數(shù)雙曲正弦四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P91)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.求解:例8.設(shè)解:求先化簡(jiǎn)后求導(dǎo)例9.求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例10.設(shè)求解:內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見(jiàn)P91)注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).1.思考與練習(xí)對(duì)嗎?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)其中在因故正確解法:時(shí),下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于f(a)=0，故3.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.

設(shè)求解:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題

1.

設(shè)解：2.設(shè)解:其