2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何綜合壓軸題

幾何綜合壓軸題

修煉內(nèi)功

特殊三角形性質(zhì)及判定

特殊四邊形性質(zhì)及判定化歸思想

\整體思想

/分類思想

勾股定理方程思想

全等和相似

三角函數(shù)

1.【問題情境】:

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動(dòng)如圖1,已知矩形紙片

泉5---3A.召_____g

BMCBQMBM

圖1圖2備用圖

(1)【動(dòng)手實(shí)踐】：

如圖1,威威同學(xué)將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕為BN,連接

MN,然后將紙片展平，得到四邊形ABMN,則折痕BN的長度為一.

(2)【探究發(fā)現(xiàn)】：

如圖2,勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形ABMN剪下，取AN邊中點(diǎn)E,將△4BE沿BE折疊得

到△4B3,延長BA交MN于點(diǎn)F.點(diǎn)Q為BM邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊MN上一動(dòng)點(diǎn)，將PMQP沿

PQ折疊，當(dāng)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M，落在線段BF上時(shí)，求此時(shí)(tcm/PQM的值；

(3)【反思提升】：

明明同學(xué)改變圖2中Q點(diǎn)的位置，即點(diǎn)Q為BM邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p仍是邊MN上一動(dòng)點(diǎn)，按

照(2)中方式折疊9MQP,使點(diǎn)M，落在線段BF上,明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)Q的位置，發(fā)現(xiàn)在

某一位置/QPM與⑵中的/PQM相等，請直接寫出此時(shí)BQ的長度.

2.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接

PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)：30。。的角:

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照⑴中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q,連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí),NMBQ="CBQ=。；

②改變點(diǎn)P在AD上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合),如圖3,判斷/MBQ與NCBQ的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用

在⑵探究中,已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當(dāng)FQ=lcm時(shí),直接寫出AP的長.

3.將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB',,記旋轉(zhuǎn)角為a連接BB，,過點(diǎn)D作DE

垂直于直線8次，垂足為點(diǎn)E,連接DB；CE,

⑴如圖1,當(dāng)a=60。時(shí),ADEB的形狀為,連接BD,可求出器的值為

Ml

(2)當(dāng)(00<a<360°且aC90。90。時(shí),

①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請

說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)B1,E,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出黑的值.

4.如圖⑴,已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對角線AC上,(GE18C,,垂足為點(diǎn)E,GF1CD,

垂足為點(diǎn)F.

圖⑴圖⑵圖（3）

⑴證明與推斷：

①求證:四邊形CEGF是正方形：

②推斷:等勺值為______；

BE

⑵探究與證明：

將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角（（0<a<45。）,,如圖⑵所示,試探究線段AG與

BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運(yùn)用：

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖⑶所示，延長CG交AD于點(diǎn)

H.

①求證:AAHGsACHA.

②若AG=8,GH=2a,則BC=

5如圖1,在△4BC中,N4CB=90°,AC=BC=3,點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A,B

重合）,以CD為邊作正方形CDEF,連接AE,AF.

B

(1)觀察猜想

當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí),線段BD與AF的數(shù)量關(guān)系是一，ZCAE的度數(shù)是，/CAE—

⑵探究證明

當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行

證明；如果不成立，請說明理由.

⑶解決問題

當(dāng)BD=企時(shí)，請直接寫出線段AE的長.

6.已知，在△4BC中,AB=4C,,點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn),.乙BDE=NA且DB=DE,連接BE,EC,

其中整=k.

問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1,若乙4=60。,NBCE與/A怎樣的數(shù)量關(guān)系?k的值為多少?直接寫出答案.

類比探究:⑵如圖2,若黑=|,點(diǎn)D在AC的延長線上，4BCE與乙4有怎樣的數(shù)量關(guān)系?k的值

DCZ

為多少?請說明理由.

拓展應(yīng)用：(3)如圖3,在RtAABC中,ABAC=90°,ZB=AC=10?D為AC上一點(diǎn),以BD為邊,

在如圖所示位置作正方形BDEF,點(diǎn)0為正方形BDEF的對稱中心，且。4=2企,請直接寫

出DE的長.

7.在四邊形ABCD中.點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為對角線BD上的一點(diǎn),且EF1AB.

(1)若四邊形ABCD為正方形；

①如圖1,請直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系；

②將△EBF繞點(diǎn)、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE、DF,猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)

系并說明理由；

⑵如圖3,若四邊形ABCD為矩形,BC=mAB,,其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)a(0。<a<90。)得到△E'BR連接請?jiān)趫D3中畫出草圖，并求出.4E'與DF'的

數(shù)量關(guān)系.

8.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在.△OAB和AOCD中,0A=OB,OC=OD.^AOB=乙COD=40°,,連接AC,BD交于

點(diǎn)M.填空：

①靠勺值為—；

②“MB的度數(shù)為

(2)類比探究

如圖2,在.△。4B和AOCD中，N71OB=乙COD=90。,4。48=ZOCD=30°?連接AC交BD

的延長線于點(diǎn)M.請判斷.等勺值及/AMB的度數(shù)，并說明理由；LAMB

DU

(3)拓展延伸

在⑵的條件下，將△。。。繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若。。=1,

OB=6，請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.

9.解答題

⑴如圖1,AABC和VADE都是等邊三角形,連接BD、CE,求證,BD=CE;

A

B圖1

［類比探究］

⑵如圖2,AABC和VADE都是等腰直角三角形,.UBC=AADE=90。,,連接BD,CE.求蔡的

值.

⑶如圖3,AABC和VADE都是直角三角形，乙4BC=^ADE=90。有=祭=2.連接BD、

CE,延長CE交BD于點(diǎn)F,連接AF.若N4FC恰好等于90°,,請直接寫出此時(shí)AF,BF,CF之間

的數(shù)量關(guān)系.

C

B圖3

10.如圖1,已知矩形ABCD中.AB=[BCQ是矩形ABCD的中心，過點(diǎn)。作。E14B于E,

作(OF1BC于F,得矩形BEOF.

(1)線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是____直線AE與CF的位置關(guān)系是.

(2)固定矩形ABCD,將矩形BEOF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,連接AE、CF.那么(1)

中的結(jié)論是否依然成立?請說明理由；

⑶若AB=8?當(dāng)矩形BEOF旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)。在CF上時(shí)(如圖3),設(shè)OE與BC交于點(diǎn)P,求PC的

長.

11.⑴如圖1，正方形ABCD的中心為點(diǎn)O,正方形OABC與正方形ABCD的邊長相等正方形

OAEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化?如果變化，重疊

部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？

請寫出結(jié)論并證明.

結(jié)論:_______________________

證明:_______________________

【提出問題】“其他形狀相同的兩個(gè)圖形，在類似上述旋轉(zhuǎn)的過程中，上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否

依然成立?”現(xiàn)對正三角形進(jìn)行研究.

⑵如圖2,正三角形ABC的中心為點(diǎn)O,正三角形OAB與正三角形ABC的邊長相等，

邊OA經(jīng)過點(diǎn)B.正三角形OA'B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(cr(O°<a<120°),,運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正

三角形重疊部分的面積是否發(fā)生變化?如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重

疊部分的面積與正三角形ABC的面積有何關(guān)系?請寫出研究過程.

B'