2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型-圓中的重要模型之隱圓模型（解析版）

圓中的重要模型之隱圓模型

隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中?？碱}，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線的運(yùn)動，

或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，大部分學(xué)生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點(diǎn)定

長、定弦對直角、定弦對定角、四點(diǎn)共圓等，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問題、

旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分。本專題就隱圓模型

的相關(guān)問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、動點(diǎn)定長模型（圓的定義）

若尸為動點(diǎn)，＞AB=AC=AP,則8、C、尸三點(diǎn)共圓，A圓心，半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.

尋找隱圓技巧：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

例1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^AOB的一條直角邊在x軸上,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）；RtCOD中，ZCOD=90°,OD=4&ZD=30°,連接BC,點(diǎn)M是3C中點(diǎn)，連接

AM.將RtCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A"的最小值是（）

A.3B.642-4C.2713-2D.2

【答案】A

【分析】如圖所示，延長及1到E,使得AE=AB,連接OE,CE,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）得到3E=8,再

證明AM是sBCE的中位線，得到AM=（CE；解RtCOZ）得到OC=4,進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以。為圓心,

半徑為4的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)AM有最小值，據(jù)此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長54到E,使得AE=AB,連接OE,CE,

HRtAAOB的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,4),

0AB=4,OB=6,SAE=AB=4,回3￡=8,

回點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)A為BE中點(diǎn)，回AM是8CE的中位線，回AAf=；CE；

在RtCC?中，ZCOD=90°,OD=岷AD=30°,0OC=-00=4,

3

團(tuán)將Rt.：C8以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，回點(diǎn)C在以。為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動,

回當(dāng)點(diǎn)M在線段0E上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)A"有最小值，

mOE=>JBE2+OB2=10>?CE的最小值為10-4=6,回A〃的最小值為3,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考三模)如圖，在Rt^ABC,ZACB=90°,E為AC邊上的任意一點(diǎn)，把BCE沿

BE折疊，得到連接AF.若BC=6,AC=8,則AF的最小值為

【答案】4

【分析】本題考查翻折變換，最短路線問題，勾股定理，先確定點(diǎn)尸的運(yùn)動路線，并確定"最小時(shí)點(diǎn)/所

在位置F'，再求出AA的長度即可.確定點(diǎn)尸的運(yùn)動路線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：03CE沿BE折疊，得到AB產(chǎn)E,51BF=BC=6,

回點(diǎn)P在以2為圓心6為半徑的圓上，設(shè)以8為圓心6為半徑的圓與交于點(diǎn)/工

貝!]8尸'=BC=6,■的最小值為AF的長;

在Rt^ABC中，QBC=6,AC=8,^AB=^BC2+AC2=762+82=10-

0AF,=AB-BF,=lO-6=4,EIAF的最小值為4,故答案為：4.

例3.（2022?北京市?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是2C,8的中垂線，ZEAF=80°,

ZCBD=30°,則ZABC=—,ZADC—.

【答案】40°；60°

【分析】連接AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得A8=AC=A￡),從而得到8、C、。在以A為圓心，A3為半徑的

圓上，根據(jù)圓周角定理可得N，AC=2NOBC=60。，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解.

【詳解】解：連接AC,ZDAF=ZCAF=30°

AE、AF分別是8C、CD的中垂線，.?.AB=AC=A￡>,

:.B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，ZCB￡>=30°,:.ZDAC=2ZDBC=m°,

AFLCD,CF=DF,ZZMF=NC4F=30°,/.ZADC=60°,

AB=AC,BE=CE,：.ZBAE=ZCAE,

又iZEAC=ZEAF-ZCAF=800-30P=50°,ZABC=ZACE=90°-50°=40°.故答案為：40°,60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到8、C、

。在以A為圓心，為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABC。中，AB=6,￡是BC的中點(diǎn).以點(diǎn)C為

圓心，CE長為半徑畫圓，點(diǎn)尸是（C上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊AD上一動點(diǎn)，連接AP,若點(diǎn)。是AP的中點(diǎn)，

連接3/，F(xiàn)Q,則3尸+尸。的最小值為.

【答案】3亞-1

［分析］取點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)M,連接BD、AC兩線交于點(diǎn)O,連接，CP,,過。作ON，AB

1133

于點(diǎn)N,則?=5x3=5,所以點(diǎn)。在以。為圓心，,為半徑的一。上運(yùn)動，求出

ON=AN=BN=3AB=3,則ACV=6+3=9,由勾股定理得=的2+32,=3回,由

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OM,所以當(dāng)“、F、Q、。四點(diǎn)共線時(shí)，

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3M的值最小，所以3尸+尸。的最小值為

BF+FQ=OM-OQ=3y/W--.

【詳解】解：取點(diǎn)5關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)M,連接8。、AC兩線交于點(diǎn)。，連接。Q,CP,MO,過0

?正方形A8CO中，AB=6,E是BC的中點(diǎn)，.?.CE=JBC=3,

113

.,點(diǎn)。是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，；.OQ=5cp=］CE=5，

3

...點(diǎn)。在以。為圓心，萬為半徑的；。上運(yùn)動，

,四邊形ABCD是正方形，:.ACLBD,OA=OB,:.ON=AN=BN=^AB=3,

AM=AB=6,：.MN=6+3=9,OM=\iMN2+ON2=V92+32=3^0，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OM,

???當(dāng)M、F、。、。四點(diǎn)共線時(shí)，尸。+OQ=M/+尸Q+OQ=OM=3jIU的值最小，

.?.BF+FQ的最小值為"+世=0出-00=3亞一:故答案為：3>/10-|.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短公理的應(yīng)用，勾股定理，解題

的關(guān)鍵是正確確定點(diǎn)。的運(yùn)動路徑.

模型2、定邊對直角模型（直角對直徑）

固定線段所對動角/C恒為90°,則A、B、C三點(diǎn)共圓，為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

例L（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，點(diǎn)廠在線段AE上，/ADF=NBAE,則線段正的最小值為.

［答案］曬-2/-2+回

【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為。，以AD為直徑畫圓，連接。3,設(shè)。8與CO的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，證明NDE4=90。,

可知點(diǎn)P在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動到。3與（。的交點(diǎn)「時(shí)，線段BF有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設(shè)AQ的中點(diǎn)為。，以AQ為直徑畫圓，連接02,設(shè)。2與<。的交點(diǎn)為點(diǎn)少，

SZADF=ZBAE,團(tuán)NDE4=NABE=90。，團(tuán)點(diǎn)尸在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動，

回當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到。8與。的交點(diǎn)F時(shí)，線段所有最小值，

0A￡>=4,^AO=OF'=^AD=2,,BO=\J52+22=>

8尸的最小值為，應(yīng)一2，故答案為：A/29-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)尸的運(yùn)動

軌跡是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023上?江蘇蘇州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A,8兩

點(diǎn)，與y軸交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。G上一動點(diǎn)，作CF_LAE于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長為（）

A6a6n

A.----71D.----71C.-----71D.-------71

4323

【答案】B

【分析】連接AC,AG,AD,先由圓周角定理得到點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是以AC為直徑的圓上，且點(diǎn)。在圓

上，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)2出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)廠所經(jīng)過的路徑長為04的長；根據(jù)勾股定理和

銳角三角函數(shù)求得AC=JoA+OC2=2垂)，ZACO=30°,則04所對的圓心角的度數(shù)為60°,利用弧長公

式求得OA的長即可求解.

【詳解】解：連接AC,AG,AD,

EICF1AE,回ZAFC=ZAOC=90°,

團(tuán)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以AC為直徑的圓上，且點(diǎn)。在圓上，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)8處時(shí)，COLAE,點(diǎn)尸與O重合;

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。處時(shí)，回以G(0,l)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于C,。兩點(diǎn)，

51ZCAD=90°SPCA1AE,點(diǎn)廠與A重合，

回當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為04的長；

^GO±AB,G(0,l),AG=2,^OA=yJAG2-OG2=y/3<

團(tuán)OC=OG+CG=l+2=3,回tan/ACO=M=乎，AC=VtM2+OC2=25/3，

團(tuán)NACO=30。，則Q4所對的圓心角的度數(shù)為60。，

團(tuán)Q4的長為刨工8=正兀，即點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長為立兀，故選：B.

18033

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、弧長公式、坐標(biāo)與圖形等知識，正確得到點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡

以及點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長為OA的長是解答的關(guān)鍵.

例3.(2022.內(nèi)蒙古.中考真題)如圖，。是.ABC的外接圓，AC為直徑，若AB=2百，BC=3,點(diǎn)尸從3

點(diǎn)出發(fā)，在二ABC內(nèi)運(yùn)動且始終保持NCBP=NBAP，當(dāng)C,P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑長為

A

【答案】3.

3

【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時(shí)點(diǎn)尸的位

置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長.

【詳解】解：AC為：O的直徑，，/ABC=90°.+ZP3C=90°.

QNPAB=ZPBC,ZPAB+ZABP=90°.ZAPB=90°.

.??點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，且在AABC的內(nèi)部，

如圖，記以A3為直徑的圓的圓心為。一連接OC交工。于點(diǎn)P',連接O7,CP.

QCPNac-q尸,.?.當(dāng)點(diǎn)a，p,c三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)P處時(shí)，CP有最小值,

BC3~

,**AB=273OXB=V3在RtMCO、中，tan/BO?=~^=忑=

/BO1C=60°....副=60兀乂6=昱兀二.。,尸兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為立況

18033

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解

答本題的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AACB中，CA=CB=4,ZACB=90°,點(diǎn)尸為C4上的動點(diǎn)，

連BP,過點(diǎn)A作尸于當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，線段2M的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為（）

A

C.百兀D.2兀

【答案】A

【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為。，連接N。，如圖所示：

為的中點(diǎn)，。為48的中點(diǎn)，...N。為的中位線,

,：AMLBP,：.QN±BN,:.NQNB=90。,

???點(diǎn)N的路徑是以的中點(diǎn)。為圓心，長為半徑的圓交C8于D的Q。，

VCA=CB=4,ZACB=90°,AAB=7204=472，NQBD=45。,：.ZDOQ=90°,

...Q。為。。的1周長，，線段而W的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為：90TTX；X4R昌,故選：血

180一2

在AAPC中，一點(diǎn)“、F為PC、AC的中點(diǎn)，:.MFHAP,MF=-AP,

2

:.ME±MF,即ZEMR=90。，.,.點(diǎn)〃在以EF為直徑的半圓上，

:.EF=-AB=10,.?.點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長為工x2%x5=5萬，故答案為：5萬.

22

模型3、定邊對定角模型（定弦定角模型）

固定線段AB所對同側(cè)動角NP=NC,則A、B、C、尸四點(diǎn)共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相.

尋找隱圓技巧：A8為定值，NP為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓.

1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)4（4,0）的動直線a,6夾角/。區(qū)4=30。，點(diǎn)

M是。8中點(diǎn)，連接4W,貝Ijsin/Q4M的最大值是（）

A3+aRA/3A/65

6236

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，NO班=30。，得出B的軌跡是圓，取點(diǎn)。（8,0）,則AM是的中位線，則求

得/0D3的正弦的最大值即可求解，當(dāng)與uC相切時(shí)，NODB最大,則正弦值最大，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊?Q4C,過點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,則OC=Q4=AC=4,

則C的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為CE=OCxsin60。=2括，13c（2,2#）,

取點(diǎn)。（8,0）,則AM是「OB。的中位線，I3CD=48_2『+（2同=4上，

0/0^4=30°,回點(diǎn)8在半徑為4的C上運(yùn)動，回AM是O即的中位線，SAM//BD,

^\ZOAM=ZODB,當(dāng)50與oC相切時(shí)，NODB最大,則正弦值最大，

在Rt38中，BD=>JCD2-BC2=473f-42=472,

過點(diǎn)B作FB〃x軸，過點(diǎn)C作CF,尸G于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作OGL/G于點(diǎn)G,貝lJ/F=/G

CFFBBC41

國NFCB="BG,…BSBGD,回面=而=而=礪=/

設(shè)CF=a,=則3G=0a,DG=0bEI/（2,26+a）,G（8,傷）回產(chǎn)G=8-2=6,OG=a+2有

2+18解得：2^，DGA/^3+A/6

回〈/7=2+[3sinZ（9DB=sinZGB￡）===

0+2石=回3BD4V26

IBsin/QW的最大值為士標(biāo)，故選：A.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，等邊三角形的性質(zhì)。圓周角定理，得出點(diǎn)8的軌跡

是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊.ABC中，點(diǎn)E在邊AC上自A向C運(yùn)動,

點(diǎn)尸在邊C3上自C向8運(yùn)動，且運(yùn)動速度相同，連接A尸交于點(diǎn)尸，連接CP,在運(yùn)動過程中，點(diǎn)尸的

兀

C.3百D.

2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)A作。4LAC于4,作03,3c于B,連接OC,交A8于。，證明RtACO絲Rt_8CO（HL）,

得。4=06,再證明aACF—5AE（SAS）,可得NA尸8=180。一60。=120。，確定點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑是以點(diǎn)。為

圓心，以。4為半徑的弧48,再由弧長公式求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作。4_LAC于4作03,3c于8,連接。C,交于。,

B

ACS是等邊三角形，:.AC^BC^AB,ZAC3=NC4B=60°,ZAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

OC=OC,.-.RtACO絲RtBCO(HL),.-.OA=OB,OC是AB的垂直平分線，AD=BD=^AB=3,

在RtAADO中，ZZMO=30°,OD=AD?tan30。=若，OA=2OD=243-

AE=CF,：.ACF^,BAE(SAS),.-.ZCAF=ZABE,

,NC4F+ZB4P=60。，:.ZABE+ZBAP6Q°,ZAPB=180°-60°=120°,

???點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑是以點(diǎn)。為圓心，以。4為半徑的弧AB,

.??點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為12°X%X26=M"故選：A.

1803

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡等知識，確定點(diǎn)尸的運(yùn)動軌

跡是解本題的關(guān)鍵.

例3.(2023?成都市?九年級專題練習(xí))如圖所小，在扇形AOB中，OA—3,ZAO8=120。，點(diǎn)C是AB上的

動點(diǎn)，以BC為邊作正方形3C￡>E,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動至點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

【答案】點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為20.

【分析】如圖，由此80交。。于F,取2歹的中點(diǎn)H,連接歹H、HB、BD.易知△是等腰直角三角形，

HF=HB,/FHB=90。,由/尸。8=45。=g推出點(diǎn)。在上運(yùn)動，軌跡是GB(圖中紅線)，易

知/HFG=NHGF=15。,推出NE〃G=150。，推出/GH3=120。，易知"8=3萬，利用弧長公式即可解

決問題.

【詳解】解：如圖，由此8。交。。于凡取2尸的中點(diǎn)H,連接FH、HB、BD.

易知△是等腰直角三角形，HF=HB,ZFHB=9Q°,

?.?/尸。8=45。=!/尸”8,；.點(diǎn)。在。//上運(yùn)動，軌跡是GB（圖中紅線），

易知NHFG=NHGF=15。,：.ZFHG=150°,：.ZGHB=120°,易知HB=3拒,

二點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡的長為竺叱義@=20兀.

180

【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、弧長公式、圓的有關(guān)知識、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔

助線，正確尋找點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

例4.（2023上,湖北武漢?九年級校考階段練習(xí)）如圖，回。的半徑為2,弦A8的長為26,點(diǎn)C是優(yōu)弧48

上的一動點(diǎn)，BQaBC交直線AC于點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)C從0ABC面積最大時(shí)運(yùn)動到BC最長時(shí)，點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑

長為—,

【分析】如圖，以為邊向上作等邊三角形0ABF,連接。4,OB,OF,DF,OF交AB于H.說明點(diǎn)。

的運(yùn)動軌跡是以尸為圓心，切為半徑的圓，再利用弧長公式求解即可.

【詳解】如圖，以AB為邊向上作等邊三角形0AB凡連接。A,OB,OF,DF,OF交AB于H.

OA^OB,SOF^AB,AH=BH=上,回sinElBOH=4,

2

00BOH=a4<9H=6O°,EBAO8=120°EBC=；0Ao2=60°,

0DB0BC,H3Z）BC=90°,2067）8=30°,

aa4EB=60。，aaAOB=；0AFB,El點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是以F為圓心，胡為半徑的圓，

回當(dāng)點(diǎn)C從她2c面積最大時(shí)運(yùn)動到BC最長時(shí)，2C繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30。，

團(tuán)2￡）繞點(diǎn)2也旋轉(zhuǎn)了30°,回點(diǎn)。的軌跡所對的圓心角為60。，

團(tuán)運(yùn)動路徑的長=60L=正兀,故答案為：巫兀.

18033

【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

模型4、四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓模型我們在上一專題中已經(jīng)詳細(xì)講解了，本專題就不在贅述了。在此就針對幾類考查頻率高的模

型作相應(yīng)練習(xí)即可。

1）若平面上A、B、C,。四個(gè)點(diǎn)滿足/4BC+/4DC=180。，則A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：1）四邊形對角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對角.

2）若平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足NWB=/ACB,則A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：線段同側(cè)張角相等.

例1.（2023,安徽阜陽?九年級?？计谥校┤鐖D，O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,。到點(diǎn)。的距離相等，則她

與團(tuán)C的數(shù)量關(guān)系為（）

A.ZA=ZCB.?A2?CC.ZA-ZC=90°D.ZA+ZC=180°

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得四邊形為cO的圓內(nèi)接四邊形，即可求解.

【詳解】解盟。為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,。到點(diǎn)。的距離相等，

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,。到點(diǎn)O的距離相等，

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,。在以。為圓心的圓上，即四邊形為1。的圓內(nèi)接四邊形，

0ZA+ZC=180°.故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形ABCD中，ZADB=ZACB=90°,若ZZMC=30。，則

g的值為（）

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓，然后證明出,.CEE>s,、曲，進(jìn)而得到絲=空，然

ABAE

DF1

后利用30。直角三角形的性質(zhì)得到卞=；,進(jìn)而求解即可.

AE2

【詳解】如圖所示，0ZADB=ZACB=90°回點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓,

CDDE

@CB=CB^BAC=Z.BDC^\ZDEC=ZAEB0.CED^BEA^\—=—

ABAE

-|T~XT~<[jpvj~v77T-|

0ZAZ)B=9OO,ZDAC=30°SDE=-AE0—=-0—=——=一.故選：D.

2AE2ABAE2

【點(diǎn)睛】此題考查了四點(diǎn)共圓，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識點(diǎn).

例3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為12,NB=60。，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn).點(diǎn)M

從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)8運(yùn)動，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，

連接MN,過點(diǎn)C作于點(diǎn)H.當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動，則點(diǎn)H的運(yùn)動路徑長是（）

A.6B.12C.亞萬D.拽萬

33

【答案】D

【分析】如圖，連接AE、AC,BD,設(shè)AC、BD交于點(diǎn)P,AE交MN千點(diǎn)、F,連接CF,設(shè)Cb中點(diǎn)為。，

連接。尸、OE,根據(jù)菱形及等邊三角形得性質(zhì)可得AELBC,4\中EBF,可得出箓=：,可得"N必

AF2

經(jīng)過點(diǎn)F，根據(jù)NFEC=/CHF=90。，可得點(diǎn)H在以C歹為直徑的圓上，根據(jù)M、N的速度及菱形性質(zhì)可

得當(dāng)點(diǎn)又達(dá)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)N達(dá)到點(diǎn)O,AC1BD,可得點(diǎn)打點(diǎn)運(yùn)動路徑長是2P的長，利用勾股定理可求

出CP的長，根據(jù)圓周角定理可得40尸=120。，利用弧長公式即可得答案.

【詳解】如圖，連接AE、AC、BD,設(shè)AC、BD交于點(diǎn)P,AE交MN于點(diǎn)、F,連接C/,設(shè)CP中點(diǎn)為。，

連接OP、OE,

?.?菱形A3CD的邊長為12,ZB=60°,：.AB=BC=12,是等邊三角形，

:點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，AAE±BC,BE=CE=；AB=6,AE=6』,

??,點(diǎn)M的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)N的速度為每秒2個(gè)單位，，名ME=41，

AN2

FFMF1

-ANME,：.ANFEBF,

tAFAN2

AFE=^AE=2y/3,CF7FE?+CE?=46,:?MV必經(jīng)過點(diǎn)尸，

?；CH1MN,AEA.BC,???點(diǎn)H在以。咒為直徑的圓上，且尸、E、C、H四點(diǎn)共圓，

???當(dāng)點(diǎn)M達(dá)到點(diǎn)區(qū)時(shí)，點(diǎn)N達(dá)到點(diǎn)。，AC1BD,???點(diǎn)”點(diǎn)運(yùn)動路徑長是即的長，

,：ZBCA=6Q°,EP=EP，ZEOP=2ZBCA=120°,

...Ep=120小=走兀，即點(diǎn)H點(diǎn)運(yùn)動路徑長是迪萬.故選：D.

18033

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的證明、勾股定理、圓周角定理及弧

長公式，正確得出點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是解題關(guān)鍵.

例4.（2023.江蘇九年級期末）如圖，在RCABC中，NAC3=90,BC=3,AC=4,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn),

且NCP3=NA,過C作CQ^CP交PB的延長線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

「46D

5-f

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點(diǎn)共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān),

當(dāng)PC最大時(shí)CQ即取最大值.

【詳解】解：團(tuán)在Rt^ABC中，ZACB=90,ZCPB=ZA,BC=3,AC=4

她、B、C、P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB=7BC2+AC2=5

0C21CP0ZACB=ZPCQ=90EBABCEBPQC

ACPC4PC3

團(tuán)------,3&,即

BCCQ

回當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ即為最大值

團(tuán)當(dāng)PC=AB=5時(shí)，CQ取得最大值為?故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確

定四點(diǎn)共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

例5.（2023?河南周口校考三模）在，ABC中，是：A6C外一動點(diǎn)，滿足？C4M?CBM180?,

若NCM4=60。，MA=4,MB=2,則的長度為.

【分析】過點(diǎn)8作3"，AM交AM的延長線于點(diǎn)打，過點(diǎn)。作DELAM于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作于點(diǎn)

F,點(diǎn)四點(diǎn)共圓，得ZAMC=ZBMC=60。，解直角三角形QE=OF=走〃。，BH=—MB,面積

22

1114

法求解，S^AMB=-AMDE+-BMDF=-AMBH,得MD=%.

【詳解】解析：過點(diǎn)3作交AM的延長線于點(diǎn)"，過點(diǎn)。作。石，AM于點(diǎn)￡,過點(diǎn)。作

于點(diǎn)尸，如圖所示:

c

0?CAM?CBM180?回點(diǎn)4M,B,C四點(diǎn)共圓

0G4=Cfi0ZAMC=ZBMC=60°0DE=DF=MD，sin60°=—MD,ZAAffi=120°

2

國NBMH=60°,EIBH=MB-sin60°=立MB,

2

0M4=4,MB=2.SS^AMB=^AM-DE+^BM-DF=^AM-BH,

04x—MZ)+2x—M￡>=4x73,0A/D=^

223

【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質(zhì)定理，添加輔助構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023上?江蘇南通?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC與等邊三角形￡網(wǎng)共端點(diǎn)8,BC=2,

BF=g,aEFB繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，SBC尸的最大度數(shù)（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)尸在以點(diǎn)2為圓心，8尸長為半徑的圓上，可得當(dāng)C尸與。3相切時(shí)，ZBCF,

的度數(shù)有最大值，由三邊關(guān)系得△C8F是含30度角的直角三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖，

繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，.?.點(diǎn)/在以點(diǎn)B為圓心，B/長為半徑的圓上，

.?.當(dāng)Cb與08相切時(shí)，/BC尸的度數(shù)有最大值，連接8/，.?./C?B=90°,

?：BC=2,BF'=BF=j3,：.CF'=y]22-^）2=1=

J.ZCBF'=30°,.,.ZBCF=60",故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是本

題的關(guān)鍵.

2.（2023上?安徽六安?九年級?？计谀┤鐖D，_ABC是等邊三角形，AB=2,點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

ZBAP-ZCBP=30°,連接CP,則CP的最小值為（）

A

C.2-V3D.V3-1

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NABC=60。，AB=3C=AC,繼而推出/AP3=90。，可得點(diǎn)尸在以AB

為直徑的圓上，得知當(dāng)C,D,P三點(diǎn)共線時(shí)，CP最小，再利用等邊二角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】解：據(jù)ABC是等邊三角形，0ZABC=6O°,AB=BC=AC,

0Z.BAP-ZCBP=30°,EZBAP-(60°-ZABP)=30°,

整理得：ZBAP+ZABP=90°,則NAPB=90。，團(tuán)點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上,

如圖，設(shè)的中點(diǎn)為。，連接。P,即。P長度不變，

0CP+DP>CD,團(tuán)當(dāng)C,D,尸三點(diǎn)共線時(shí)，CP最小，此時(shí)CD_LAB,

團(tuán)AS=3C=AC=2,SDP=^AB=],CD=y/BC2-BD2=A/3>

回”的最小值為C￡>-OP=g-l,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

根據(jù)已知條件推出ZAPB=90°,得到點(diǎn)尸在以A8為直徑的圓上.

3.（2023?廣西?中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC0AB,BC=1,AB=AC=AD=2.貝UBD的長為（）

A.714B.715C.3近D.2季

【答案】B

【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交回A于F,連接DF.

一

0AB=AC=AD=2,?D,C在圓A上，

0DC0AB,回弧DF=MBC,0DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

mFB是OA的直徑，EBFDB=9O°,EBD=^BF2-DF2=岳故選B

4.(2023上?浙江杭州?九年級校聯(lián)考期中)如圖，點(diǎn)。在線段48上，OA-=2,OB=6,以。為圓心，OA為

半徑作。，點(diǎn)M在。上運(yùn)動，連接例8,以MB為一邊作等邊二MBC,連接AC,則AC長度的最小值為

()

A.2而+2B.2>/13-2C.4括+2D.4V3-2

【答案】B

【分析】以。3為邊，在的上面作等邊aOBP,使03=8尸=OP=6,ZCJBP=60°,連接。P,PC,OM,

根據(jù)全等三家巷的性質(zhì)得到OM=PC=2,連接"并延長，交」尸于點(diǎn)C,則AC的最小值為AC',過P作

尸HLAB于根據(jù)勾股定理即可得到答案.

【詳解】解：如圖，以為邊，在。8的上面作等邊OBP,使OB=BP=<0P=6,NO3P=60°,連接。尸，

PC,OM,

HB

ZMBC=ZOBP=60°,:.ZOBM=ZCBP,

BM=BC

在和aCBP中，JZOBM=ZCBP,OBM^CBP（SAS）,

OB=BP

.?.OM=PC=2,.,.點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓，

連接AP并延長，交，尸于點(diǎn)C',則AC的最小值為AC',過戶作尸〃，神于5，

/?1

:.PH=—PB=3y/3,BH=-PB=3,

22

AH=AB-BH=5,AP=^AH2+PH2=,+（3⑹2=2而，

AC=AP-PC=2713-2,.1AC'長度的最小值為2而'一2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確

地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,C,N的坐標(biāo)分別為（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以點(diǎn)C為圓心，3為半徑畫C,點(diǎn)P在-C上運(yùn)動，連接AP,交于點(diǎn)Q,點(diǎn)M為線段

0P的中點(diǎn)，連接MN,則線段MN的最小值為（）

A.7B.10C.3亞D.773-1

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握垂徑定理，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)，三點(diǎn)共線等知識是解決問題的關(guān)鍵.

連接CM,OM,由垂徑定理得出CM，。尸，由直角三角形的性質(zhì)得出=1AC=3,進(jìn)而得出點(diǎn)M在

以。為圓心，以3為半徑的：。上，得出當(dāng)O、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，由N（6,8）,求出ON=10,

進(jìn)而求出MN=7,即線段MN的最小值為7.

【詳解】解：如圖1,連接CM,OM,

A（—3,0）,C（3,0）,:.AC=6,。是AC的中點(diǎn)，

M是QP的中點(diǎn)，.?.ZAMC=90。，，OM=：AC=3,

回點(diǎn)M在以。為圓心，以3為半徑的O上，如圖2,當(dāng)。、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN有最小值,

N（6,8）,.-.OAA=10,OM=3,:.MN=ON-OM=\Q-3=1,回線段肱V的最小值為7,故選：A.

6.（2023上?浙江麗水?九年級統(tǒng)考期中）如圖，是半圓0的直徑，點(diǎn)C在半圓。上，AB=4,ZCAB=60°,P

是弧BC上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AP,過點(diǎn)C點(diǎn)作CDLAP于點(diǎn)￡）,連結(jié)50,在點(diǎn)尸移動的過程中.（1）

AC=；（2）80的最小值是.

【分析】（1）連接BC,因?yàn)锳3是直徑，則/ACB=90。，所以/ABC=30。，所以4。=工42=2；

2

（2）以AC為直徑作圓。，連接80，、BC,在點(diǎn)P移動的過程中，點(diǎn)。在以4C為直徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)O'、

。、B共線時(shí)，80的值最小，最小值為O3-OD,利用勾股定理求出30'即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖，連接BC,AB是直徑，.1/408=90。，

ZG4B=60°,/.ZABC=30°,AC=-AB=-x4=2.故答案為：2；

22

（2）如圖，以AC為直徑作圓O',連接BO',CDLAP,:.ZADC=90°,

在點(diǎn)尸移動的過程中，點(diǎn)。在以AC為直徑的圓上運(yùn)動，

在RtZXABC中，AB=4,ZCAB=60°,,-.BC=ABsin60°=2^,

AC=2,:.O'C=O'D=\,在R"C。中，BO'=VSC2+O'C2=V12TT=713.

O'O+BDiO'B,.,.當(dāng)。、。、B共線時(shí)，的值最小，最小值為03-03=JB-1.故答案為：V13-1.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)O

的運(yùn)動路徑是以AC為直徑的圓上運(yùn)動，屬于中考填空題中的壓軸題.

7.（2023上?山東日照?九年級?？计谥校┤鐖D，ABC中，AC=5,BC=4A/3,ZACB=60°,過點(diǎn)A作BC的

平行線/，尸為直線/上一動點(diǎn)，。為的外接圓，直線3尸交;。于E點(diǎn)，則AE的最小值為.

【答案】V41-4/-4+V4T

【分析】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等

知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題.

如圖，連接CE.首先證明/3EC=120。，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，為半徑的BC上運(yùn)動，連接O,A

交BC于E',此時(shí)AE的值最小.

【詳解】解：如圖，連接CE.

^AP//BC,回/出C=ZAC3=60°,回NCEP=NG4P=60°,

0ZBEC=120°,回點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，為半徑的BC上運(yùn)動,

連接O'A交BC于后，此時(shí)AE'的值最小.此時(shí)（。與（。交點(diǎn)為

0ZBE'C=120°回BC所對圓周角為60°,0NBOC=2x60°=120°,

回ABOC是等腰三角形，BC=46,回O，B=O，C=產(chǎn)

cos30°

回ZAC3=60°,N3CO'=30°,回ZACO'=90°,O'A=y/o'C2+AC2=y/^+52=741,

AE'=O'A-O'E'=741-4,：A/41-4.

8.（2023上?江蘇連云港?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5,N是矩形ABCD內(nèi)一

點(diǎn)，/3QV=NCDN,點(diǎn)"是A￡＞邊上的動點(diǎn)，則的最小值為

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/3CD=90。，求得/CVD=90。，得到點(diǎn)N在以CD為直徑的半圓上運(yùn)動，設(shè)

半圓的圓心為。，作點(diǎn)8關(guān)于直線A￡＞的對稱點(diǎn)"，連接3'0交AQ于M,交半圓于N,則此時(shí)M3+MN的

值最小，最小值=3'N,過。作0"，AB于根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABCD是矩形，0ZSCD=90°,0ZBCN+ZDCN=9Q°,

QNBCN=NCDN,0ZCDN+ZDCN=90°,BZCND=90°,

團(tuán)點(diǎn)N在以CO為直徑的半