湖南省衡陽(yáng)市2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

3

(分)

3--

4

3344

A-C-

一---

?4B.43D.3

2.（3分）假如分式」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤的取值范圍是（）

x+1

A.x#-1B.x>-IC.全體實(shí)數(shù)D.x=-1

3.（3分）2024年6月14日，探月工程嫦娥四號(hào)任務(wù)“鵲橋”中繼星勝利實(shí)施軌道捕獲限

制，進(jìn)入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點(diǎn)Halo使命軌道，成為世界首顆運(yùn)

行在地月L2點(diǎn)Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65XI0567B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

4.（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

5.（3分）下列各式中，計(jì)算正確的是（）

A.8a-3b=5abB.（a2）3=a5C.a84-a4=a2D.a2,a=ai

6.（3分）如圖，已知A8〃C。，A尸交CD于點(diǎn)E,MBELAF,/BED=40°,則NA的

7.（3分）某校5名同學(xué)在“國(guó)學(xué)經(jīng)典頌讀”競(jìng)賽中，成果（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（〃》3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

C.相等的角是對(duì)頂角

D.矩形的對(duì)角線相互平分且相等

2Y

的整數(shù)解是（）

{%+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

10.（3分）國(guó)家實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來(lái)，許多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2024

年底有貧困人口9萬(wàn)人,通過(guò)社會(huì)各界的努力，2024年底貧困人口削減至1萬(wàn)人.設(shè)2024

年底至2024年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,依據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2%）=1B.9（1-尤）2=1C.9（1+2%）=1D.9（1+x）2=1

11.（3分）如圖，一次函數(shù)（左W0）的圖象與反比例函數(shù)y?=?（相為常數(shù)且相

#0）的圖象都經(jīng)過(guò)A（-1,2）,B（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式區(qū)+b>?的解集是

A.x<-1B.-l<x<0

C.x<-1或0vx<2D.-l<x<0或x>2

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,AC^BC,E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)F,四邊形CDEE沿著C4方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

C與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形CDEF與4ABC的重疊

部分面積為S.則S關(guān)于，的函數(shù)圖象大致為（）

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：2『-8=.

14.（3分）在一個(gè)不透亮布袋里裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球和。個(gè)黃球，這些球除顏色不同其

它沒(méi)有任何區(qū)分.若從該布袋里隨意摸出1個(gè)球,該球是黃球的概率為a則a等于

15.（3V27-V3=.

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是.

18.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/的圖象如圖所示.已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

過(guò)點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)Ai,過(guò)點(diǎn)4作442〃交拋物線于點(diǎn)A2,過(guò)點(diǎn)42

作A2A3〃X軸交拋物線于點(diǎn)A3,過(guò)點(diǎn)A3作A3A4〃OA交拋物線于點(diǎn)A4.,依次進(jìn)行下

去，則點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26

題12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

1

19.（6分）（3）-3+|V3-2|+tan60°-（-2024）0

20.（6分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開(kāi)展了“其次課堂”的活動(dòng)，推出了以下四種

選修課程：A.繪畫；艮唱歌；C.演講；D.十字繡.學(xué)校規(guī)定：每個(gè)學(xué)生都必需報(bào)名

且只能選擇其中的一個(gè)課程.學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對(duì)他們選擇的課程狀況進(jìn)行了

統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解決下列問(wèn)題：

課程選擇情況條形統(tǒng)計(jì)圖課程選擇情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是；

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）假如該校共有1000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校報(bào)。的學(xué)生約有多少人？

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程3無(wú)+A=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求上的取值范圍；

（2）假如G是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m-1）/+x+相-3=0與方程/

-3x+左=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.

22.（8分）如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小亮要測(cè)量一樓房的高度，先在坡面。處測(cè)得

樓房頂部A的仰角為30°,沿坡面對(duì)下走到坡腳C處，然后向樓房方向接著行走10米

到達(dá)E處，測(cè)得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面0=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度.（結(jié)果精確到01米）

（參考數(shù)據(jù)：V3-1.73,V2-1.41）

//樓

。，行0。/房

□關(guān)i阻（60。

CEB

23.（8分）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的。。上，過(guò)點(diǎn)B作8D〃AC,交。4延長(zhǎng)線于

點(diǎn)D連接8C,且/BC4=/O4C=30°.

（1）求證：8。是。。的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

24.（8分）某商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)買1個(gè)B商品多花10元，并

且花費(fèi)300元購(gòu)買A商品和花費(fèi)100元購(gòu)買B商品的數(shù)量相等.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A商品和一個(gè)8商品各須要多少元；

（2）商店打算購(gòu)買A、8兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍，

并且購(gòu)買A、8商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購(gòu)買方

案？

25.（10分）如圖，二次函數(shù)y=/+Zw+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)2（3,0）,

與y軸交于點(diǎn)N,以A8為邊在x軸上方作正方形A8CD點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CP,過(guò)點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段（點(diǎn)P不與。、8重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大

值？并求出這個(gè)最大值；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)連接MN、M3.請(qǐng)問(wèn)：的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.（12分）如圖，在等邊△ABC中，AB=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身以/eMs的速度沿A8

勻速運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)C動(dòng)身以同樣的速度沿BC的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P

到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)尸、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t（s）.過(guò)點(diǎn)P作PE_LAC于E,

連接尸。交AC邊于。.以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BP。為直角三角形;

（2）是否存在某一時(shí)刻f,使點(diǎn)尸在NABC的平分線上？若存在，求出f的值，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）求DE的長(zhǎng);

（4）取線段8。的中點(diǎn)知,連接尸聞,將43尸河沿直線尸加翻折,得44連接4次，

當(dāng)f為何值時(shí)，A3的值最??？并求出最小值.

B鼠CTQ

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

3

(3分)

--

4

3344

A-C-

一---

?4B.43D.3

【解答】解：，故選：B.

|-z4,l=z4,

2.（3分）假如分式」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.x>-1C.全體實(shí)數(shù)D.x=-1

【解答】解：由題意可知：x+1^0,

X#-1,

故選：A.

3.（3分）2024年6月14日，探月工程嫦娥四號(hào)任務(wù)“鵲橋”中繼星勝利實(shí)施軌道捕獲限

制，進(jìn)入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點(diǎn)Halo使命軌道，成為世界首顆運(yùn)

行在地月L2點(diǎn)Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65XI05B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

【解答】解：科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為6.5X104公里.

故選：C.

4.（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8、不是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

5.（3分）下列各式中，計(jì)算正確的是（）

A.8a-3b—5abB.（/）3=a5C.a8jrai=a1D.a1'a=a3

【解答】解：A、8a與36不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)A不合題意；

36

8、（/）=a,故選項(xiàng)8不合題意；

C、心土04="4,故選項(xiàng)。不符合題意；

D、cr'a—c?,故選項(xiàng)￡＞符合題意.

故選：D.

6.（3分）如圖，已知AB〃CZ）,AF交CD于點(diǎn)E,5.BE1AF,NBED=40°,則NA的

度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.80°D.90°

【解答】解：/BED=40°,

:.NFED=50°,

'：AB//CD,

：.ZA=ZFED=50°.

故選:B.

7.（3分）某校5名同學(xué)在“國(guó)學(xué)經(jīng)典頌讀”競(jìng)賽中，成果（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

【解答】解：將小明所在小組的5個(gè)同學(xué)的成果重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，

故選：B.

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.“邊形（〃》3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

C.相等的角是對(duì)頂角

D.矩形的對(duì)角線相互平分且相等

【解答】解：A、〃邊形(w23)的外角和是360。，是真命題；

8、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，是真命題;

C、相等的角不肯定是對(duì)頂角，是假命題；

D,矩形的對(duì)角線相互平分且相等，是真命題；

故選：C.

(2Y

9.(3分)不等式組的整數(shù)解是()

1%+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

必(2x>3x?

【解答】解：/

lx+4>2(2)

解不等式①得：尤<0,

解不等式②得：x>-2,

不等式組的解集為-2Vx<0,

不等式組的整數(shù)解是-1,

(%+4>2

故選：B.

10.(3分)國(guó)家實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來(lái)，許多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2024

年底有貧困人口9萬(wàn)人，通過(guò)社會(huì)各界的努力，2024年底貧困人口削減至1萬(wàn)人.設(shè)2024

年底至2024年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,依據(jù)題意列方程得()

A.9(1-2x)=1B.9(1-尤)2=1C.9(l+2x)=1D.9(1+x)2=1

【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,依據(jù)題意得：

9(1-尤)2=1,

故選：B.

11.(3分)如圖，一次函數(shù)(%W0)的圖象與反比例函數(shù)>2=?為常數(shù)且相

W0)的圖象都經(jīng)過(guò)A(-1,2),B(2,-1),結(jié)合圖象，則不等式區(qū)+b>?的解集是

()

C.-1或0vx<2D.-l<x<0或x>2

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)聲=fcv+b（AW0）的圖象在反比例函數(shù)

（根為常數(shù)且加20）的圖象上方時(shí)，尤的取值范圍是：了<-1或0<%<2,

不等式的解集是x<-1或0cx<2

故選：C.

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)P,四邊形C。跖沿著CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

C與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形CDEF與AABC的重疊

部分面積為S.則S關(guān)于r的函數(shù)圖象大致為（）

【解答】解：：在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,

1,?AABC是等腰直角三角形，

'：EF±BC,EDLAC,

...四邊形斯是矩形,

?:E是AB的中點(diǎn)，

：.EF=|AC,DE=|BC,

；.EF=ED,

四邊形EPC￡)是正方形，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,

如圖1當(dāng)移動(dòng)的距離＜a時(shí)，5=正方形的面積-H的面積=/一｝2；

當(dāng)移動(dòng)的距離時(shí)，如圖2,S=%AOH=1(2a7)2=-2at+2cT,

..?s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為C選項(xiàng)，

圖2

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分.)

13.(3分)因式分解：2/-8=2(。+2)(。-2).

2

【解答】解：2a-8=2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案為：2(a+2)(A-2).

14.(3分)在一個(gè)不透亮布袋里裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球和a個(gè)黃球，這些球除顏色不同其

它沒(méi)有任何區(qū)分.若從該布袋里隨意摸出1個(gè)球，該球是黃球的概率為士則。等于5.

2----

a1

【解答】解：依據(jù)題意知

3+2+a2

解得4=5,

經(jīng)檢驗(yàn)：〃=5是原分式方程的解,

??a—5,

故答案為：5.

15.（3分）何-巡=2B.

【解答】解：原式=3百-百=2次.

故答案為：2瓜

【解答】解：原式=號(hào)一占

x—1

-x—1

=1.

故答案為：1.

17.（3分）己知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是」百

【解答】解：如圖，圓半徑為6,求AB長(zhǎng).

ZAOB=360°4-3=120°

連接OA,OB,作OCJ_AB于點(diǎn)C,

'：OA=OB,

：.AB^2AC,NAOC=60°,

.?.AC=（9AXsin60°=6x5=3后

.,.AB=2AC=6百，

故答案為：6V3.

18.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?的圖象如圖所示.已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

過(guò)點(diǎn)A作A4i〃x軸交拋物線于點(diǎn)Ai,過(guò)點(diǎn)4作442〃交拋物線于點(diǎn)A2,過(guò)點(diǎn)42

作A2A3〃X軸交拋物線于點(diǎn)A3,過(guò)點(diǎn)A3作A3A4〃。4交拋物線于點(diǎn)A4.,依次進(jìn)行下

去，則點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（-1010,10102）.

【解答】解：點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

*,?直線OA為y=XfAi(-1,1),

,：AiA2//OAf

直線A1A2為y=x+2,

解以I得仁丁或仁3

AA2(2,4),

.'.A3(-2,4),

VA3A4/7OA,

直線A3A4為y=x+6,

解仁/6瞰二2咪K,

；.A4(3,9),

/.A5(-3,9)

???，

；.A2024(-1010,10102),

故答案為C-1010,10102).

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26

題12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

1

19.(6分)(-)-3+|V3-2|+tan60°-(-2024)0

【解答】解：原式=8+2——1

=9.

20.(6分)某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開(kāi)展了“其次課堂”的活動(dòng)，推出了以下四種

選修課程：A.繪畫；8.唱歌；C.演講；D.十字繡.學(xué)校規(guī)定：每個(gè)學(xué)生都必需報(bào)名

且只能選擇其中的一個(gè)課程.學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對(duì)他們選擇的課程狀況進(jìn)行了

統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解決下列問(wèn)題：

課?況M統(tǒng)計(jì)圖課^脆形統(tǒng)計(jì)圖

（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是40

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

（3）假如該校共有1000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校報(bào)。的學(xué)生約有多少人?

【解答】解：（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是12?30%=40（人），

故答案為：40人;

(2)C項(xiàng)目的人數(shù)為40-12-14-4=10(人)

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為:

八年級(jí)（3）班研學(xué)項(xiàng)目選擇情況的

條滕計(jì)圖

（3）估計(jì)全校報(bào)名軍事競(jìng)技的學(xué)生有1000x^=100（人）.

21.（8分）關(guān)于尤的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.

（1）求上的取值范圍；

（2）假如左是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（川-1）/+x+m-3=0與方程/

-3x+A=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.

【解答】解：（1）依據(jù)題意得△=（~3）之-4攵20,

解得k<W；

（2）%的最大整數(shù)為2,

方程x2-3x+Z=0變形為x2-3x+2=0,解得xi=l,xi—2,

一元二次方程（m-1）x^+x+m-3=0與方程7-3x+女=0有一個(gè)相同的根，

???當(dāng)冗=1時(shí)，m-l+1+m-3=0,解得加=,；

當(dāng)％=2時(shí)，4（m-1）+2+m-3=0,解得m=1,

而機(jī)-1W0,

3

.'.m的值為一.

2

22.（8分）如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小亮要測(cè)量一樓房的高度，先在坡面。處測(cè)得

樓房頂部A的仰角為30°,沿坡面對(duì)下走到坡腳。處，然后向樓房方向接著行走10米

到達(dá)E處，測(cè)得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面。。=10米，山坡的坡度力=1：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73,V2?1.41）

J/樓

D,.(3Q°/房

溫(60。

CEB

【解答】解：過(guò)。作。GL8C于G,DHLAB于H,交AE于F,作尸PLBC于尸，如圖

所示：

則。G=F尸=BH,DF=GP,

:坡面C￡)=10米，山坡的坡度i=l：V3,

：.ZDCG=3Q°,

1

：.FP=DG=專CD=5,

CG=V3Z)G=5V3,

/FEP=60°,

：.FP=V3EP=5,

.5/3

??EP=,

：.DF=GP=543+10+孚=^^+10,

VZAEB=60°,

：.ZEAB=30°,

VZADH=30°,

AZDAH=60°,

AZDAF=30°=ZADF,

：.AF^DF=^^-+10

；.切=%尸=當(dāng)3+5,

/.A/7=V3F//=10+5V3,

：.AB=AH+BH=10+5V3+5=15+5百-15+5X1.73^23.7（米）,

答：樓房AB高度約為23.7米.

23.（8分）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的。。上，過(guò)點(diǎn)B作8O〃AC,交。4延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、D.連接BC,且N8CA=NOAC=30°.

（1）求證：8。是。。的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【解答】（1）證明：連接。8,交C4于E,

1

VZC=30°,ZC=^ZBOA,

：.ZBOA=60°,

9：ZBCA=ZOAC=30°,

ZAEO=90°,

即OB_LAC,

■:BD//AC,

：.ZDBE=ZAEO=90°,

???8。是。。的切線；

(2)解：'JAC//BD,NOCA=90°,ND=NCAO=30°,

VZOBD=90°,08=8,

：.BD=V3OB=8V3,

2

S陰影=Sz\8。。-S扇形A03=\x8X8A/3—‘°金八8=32A/3——

乙DOUO

24.（8分）某商店購(gòu)進(jìn)A、8兩種商品，購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)買1個(gè)8商品多花10元，并

且花費(fèi)300元購(gòu)買A商品和花費(fèi)100元購(gòu)買B商品的數(shù)量相等.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A商品和一個(gè)8商品各須要多少元；

（2）商店打算購(gòu)買A、B兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，

并且購(gòu)買A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購(gòu)買方

案？

【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)8商品須要x元，則購(gòu)買一個(gè)A商品須要（x+10）元，

解得：尤=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=5是原方程的解，且符合題意，

.'.x+10=15.

答：購(gòu)買一個(gè)A商品須要15元，購(gòu)買一個(gè)8商品須要5元.

（2）設(shè)購(gòu)買B商品/"個(gè)，則購(gòu)買A商品（80-加）個(gè)，

80—m>4m

依題意，得：15（80-血）+5m工1000,

.15（80—zu）+5m<1050

解得：15W/〃W16.

?.?機(jī)為整數(shù)，

.,.m=15或16.

，商店有2種購(gòu)買方案，方案①：購(gòu)進(jìn)A商品65個(gè)、8商品15個(gè)；方案②：購(gòu)進(jìn)A商

品64個(gè)、8商品16個(gè).

25.(10分)如圖，二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象與無(wú)軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)2(3,0),

與y軸交于點(diǎn)N,以為邊在x軸上方作正方形A8CD,點(diǎn)尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CP,過(guò)點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段(點(diǎn)P不與。、8重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大

值？并求出這個(gè)最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)連接MN、MB.請(qǐng)問(wèn)：的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)).拋物線y=/+fec+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0),

把A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，口；:：：：)。，

解得:『二日

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=7-2x-3；

(2)VA(-1,0),點(diǎn)8(3,0),

：.AB=OA+OB=l+3=4.

???正方形A5CD中，ZABC=90°,PC±BE,

：.ZOPE+ZCPB=90°,

ZCPB+ZPCB=90°,

：?NOPE=NPCB,

又?：/EOP=/PBC=90°,

:?△POEs^CBP,

.BCOP

??—,

PBOE

設(shè)0尸=羽貝！JP3=3-x,

.4x

**3-%-OE9

1°139

???OE=4(-x2+3x)=-Q4Q—R2+正，

V0<x<3,

29

.,.尤=5時(shí)，線段?！觊L(zhǎng)有最大值，最大值為二.

Z16

即。尸=■!時(shí)，線段0E有最大值.最大值是2.

z16

(3)存在.

如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸交BN于點(diǎn)H

?.?拋物線的解析式為＞=/

.,.x—0,y=-3,

，N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

設(shè)直線BN的解析式為y=kx+b,

.(3k+b=0

*=—3