線性代數(shù)考試題庫及答案(五)

線性代數(shù)考試題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題(共5小題，每題2分，共計(jì)10分)

1-1X+1

1.在/(%)=1x-11展開式中，/的系數(shù)為()

x+1-11

(A)-1(B)0(C)1(D)2

2.A是mXn矩陣，?A)=心6是m階可逆矩陣，C是m階不可逆矩陣，且

r(C)<r,則()

(A)A4X=O的基礎(chǔ)解系由n-m個(gè)向量組成

(B)54X=O的基礎(chǔ)解系由n-r個(gè)向量組成

(C)C4X=O的基礎(chǔ)解系由n-m個(gè)向量組成

(D)C4X=O的基礎(chǔ)解系由n-r個(gè)向量組成

3.設(shè)n階矩陣A,3有共同的特征值，且各自有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則()

(A)A=B(B)4#5,但|4—聞=0

(C)AB(D)A與3不一定相似，但|A|=|M

4.設(shè)均為n階矩陣，^AB=BC=CA=E,其中E為n階單位陣，則

A2+B2+C2=()

(A)O(B)E(C)2E(D)3E

5.設(shè)人=,B=則A與3()

、U乙)IU31

(A)合同，且相似(B)不合同，但相似

(C)合同，但不相似(D)既不合同，又不相似

二、填空題(共二、填空題(共10小題，每題2分，共計(jì)20分)

a4C12alb]+q3q

aw0,=___________0

1.已知2b?S=加則2a2b2+c23c2

?3b3C32a3b3+c33c3

p0r

2.設(shè),若三階矩陣。滿足AQ+石=4+0,則。的第一行的行

A—020

j01/

向量是O

3.已知夕為n維單位列向量，PT為/7的轉(zhuǎn)置，若。=仍?，則

2

C=O

4.設(shè)%,%分別是屬于實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)互異特征值4,冬的特征向量，則

T

"2=°

5.設(shè)A是四階矩陣，A*為其伴隨矩陣，%,%是齊次方程組AX=O的兩個(gè)線

性無關(guān)解，則/(4*)=。

6.向量組％=(1,3,0,50)',%=(0,2,4,6,0尸,％=(0,3,0,6,91的線性關(guān)系

是O

%1+2X2—2X3=0

7.已知三階非零矩陣3的每一列都是方程組仃毛一%2+丸%3=°的解，則

3毛+%一巧=0

4—__________

8.已知三維向量空間氏3的基底為4=(1,1,0尸,4=(1,0』了,4=(0,1,1尸，則向量

P=(2,0,0/在此基底下的坐標(biāo)是

，2111C00、

9.設(shè)A=1210ao，則a=

12J1004,

J

10.二次型/(%15%2,%3)=+2%；+2%；+2距%2+2%自一2%2%3的秩為

2

三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）

abbb

babb

1.試求行列式。=的第四行元素的代數(shù)余子式之和

bbab

1234

<100、fl00、

2.設(shè)A=020,B=010,求(A5)-l.

03)1o

<03b

20、

3.設(shè)n階方陣A,3滿足A+25=AB,已知8=-120,求矩陣A.

J0%

設(shè)二次型/(七中,二次型的

4.,x2,x3)=aX]+2xf-2%3+(Z?>0)

矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為T2.（1）求°力的值；（2）用配方法

化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共30分）

1.當(dāng)4為何值時(shí)，方程組

2為+一=1

<_%2+%3=2

4為+59—5%=-1

無解、有唯一解或有無窮多組解？在有無窮多組解時(shí)，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示

全部解.

2已知向量組%=（1,3,2,0）J12=（7,0,14,3）7,=（2,-1,0,1/,

%=（5,1,6,2尸,%=（2,—1,4,11，（1）求向量組的秩；（2）求該向量組的一個(gè)

極大無關(guān)組，并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.

」22、

3.已知矩陣入=212；判斷A能否對(duì)角化，若可對(duì)角化，求正交

、221J

矩陣尸，使為對(duì)角矩陣，并寫出相應(yīng)的對(duì)角矩陣。

五'證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）

1.設(shè)a是n階矩陣A的屬于特征值2的特征向量.證明：。也是A5—4A3+石

的特征向量.其中E為n階單位矩陣.

2.設(shè)n維向量組。，尸,7線性無關(guān)，向量組二，尸，3線性相關(guān)，證明：3必可

由風(fēng)，,/線性表示.

《線性代數(shù)》（A卷）答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）

1.A；2.B；3.C；4.D；5.C.

填空題（共10小題，每題2分，共計(jì)20分）

1.6m；2.（2,0,1）；3.扉；4.0；5.0；

6.線性無關(guān)；7.1；8.1,1,-1；9.1；10.2.

4

三、計(jì)算題（一）（共4小題,每題8分，共計(jì)32分）

1、解:

abbb

babb

Al+&2+43+A44=

bbab...........4分

1111

ab-ab-ab-a

ba-b00

=(a-b)3分

b0a-b08

1000

r100Y100、'100、

2、解：方法一：AB=020010020

03八。3b?93,

2分

r100100、

(AB石)=020010

e9300

1001001001oO

1告J_

010000100Q

22

931

003010010

~2y~23>

、

100

所以(...........8分

AB)T=0—0

2

(八J----3-——1

123J

(2)方法二:

100100

」00、

(ABy1=B'A1=0100-0—0-0...........8分

22

、0-31,

c31

0c0c-10——-

<3J123J

3、解：方法一：由A+26=A5,得到A(E—5)=—23,……2分

，0-20100、

(E—B,E)=1-10010

0—200"

(1

10010

~2

1

01000..............U為

2

001002)

k

(3-20、

所以，石―8可逆,A=-2B(E-B)T=1208分

,00%

6

方法二：由A+26=AB,得至—5)=—25,2分

用初等列變換求A

'0-20、<100、

1-10010

(E-B\00-2001

1-25J-2-403-20

2-40120

、00—6)、°03,

,6分

,3-20、

所以，A=1208分

、003,

70b、

4、解：二次型的矩陣A=020根據(jù)題意得到

小0-2,

a+2+(—2)=1,—4a—2/=—12a=l,b=2...........4分

f=x；++4石七—（石+2%）2+2X,2—6七-

%=%+2%

令<y2=x2,標(biāo)準(zhǔn)形為y；+2%2-6%2............8分

,%=退

四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共計(jì)30分）

22-1

1、解：閨=彳-11=（2-1）（52+4）由克萊姆法則

45-5

當(dāng)Xwl且Xw-'時(shí)，方程組有唯一解；……2分

4

當(dāng);l=—2時(shí)

5

?<10-4-55

4

r(A,b)=——-112T——>-4-5510

/5-5-1I。。?！?/p>

有r(A)牛r(A,/?),所以方程組無解；...4分

當(dāng)2=1時(shí)

，21-1」0011

r(A,Z?)=1-112T->01-1-1

I5-5、0000J

有r(A)=NAQ=2<3,方程組有無窮多組解，原方程組等價(jià)于方程組為

%1—1

<

、尤2一/=_1

取￡=0，得到特解T1=(1,-1,0)^

令￡=1，代入等價(jià)方程組的齊次線性方程組中求得基礎(chǔ)解系為

4=(1,0,1尸

方程組的全部解為

x=〃+kJ其中左為任意常數(shù)...10分

2、解：初等行變換矩陣(%,%,%，%，%)到行最簡梯矩陣為

8

(21)

100-——

」7252、33

30-11-1n1nJ.J.

(%,a?,a3,"4,25)二f

21406433

(03121,00110

、00000,

...6分

可得向量組的秩為3,

向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為%,%，%，且

3、解：4的特征多項(xiàng)式為

2-1-2-2

|2E-A|=-22-1-2=(2-5)(2+1)23分

-2-22-1

得到矩陣A的全部特征值為4=4=—I,4=5

當(dāng)4=4=—1時(shí)，由(-E-A)x=O得一個(gè)基礎(chǔ)解系

《=(TLO)T，2=(T，0,1)7

正交化,單位化用=(一d，o)j/=(一骼,一器