復變函數(shù)與積分變換課件(南昌大學)

《復變函數(shù)與積分變換》

ComplexFunctionsandIntegralTransforms課程的安排教學內(nèi)容和考試內(nèi)容：前五章為啥呢？理由有三：1.課時原因（32-（2，4）實習）2.學習必要的基礎知識，后面需要時可自學。3.期末考試簡單。期末考試1.閉卷考試2.平時成績大約3成，期末卷面成績7成3.平時成績就是課堂表現(xiàn)和點名！歡迎，來到復（虛數(shù)）數(shù)的世界，如果你來了，你聽了，你會……*1.高等數(shù)學的后繼課程。*2.沒什么新概念，其實就是把以前的概念，在復域中驗算一遍！*3.復域的神奇，體會復域的優(yōu)勢。*4.在未來的研究中，你可能用得到哦！*5.增加2個學分！！但是，你也會發(fā)現(xiàn)，如果你……*1.翹課，打瞌睡，玩手機…后果就是:*1.啥也沒學會啊，老師是誰啊？啥名字來？*2.掛科警報！*3.考試時忐忑不安,左顧右盼!復數(shù)的起源先從一元二次方程談起:

公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當時無解，當時有解．二千多年沒有進展：尋找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):“怪才”,精通數(shù)學,醫(yī)學,語言學,文學,占星學.在1545年<<ArsMagna>>（《大術》）中解方程x3+mx+n=0得G.Cardano還發(fā)現(xiàn)沒有根，形式地表為這樣一個數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并得到了大家的一片“噓聲”，若干重要人物開始登場你所能想到的國外著名數(shù)學家，都有誰呢？

R.Descartes(笛卡兒)(法國,1596-1650),是偉大的哲學家、物理學家、數(shù)學家、生理學家。解析幾何的創(chuàng)始人。

1637他稱一個負數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).

L.Euler(瑞士，1707-1783):史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學家，886本書籍和論文,其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%.13歲入大學，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復變函數(shù)論，并應用到水利學，地圖制圖學

．

C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國1768-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示．K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的懷疑，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．數(shù)學王子高斯

Cauchy(1798-1857):法國數(shù)學家.他是被認為在數(shù)學論文數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書.主要貢獻如下:單復變函數(shù),分析基礎,常微分方程等。于1825年的一本小冊子《關于積分限為虛數(shù)的定積分的報告》，可看成是復分析發(fā)展史的第一座里程碑。Riemann(1826-1866):德國數(shù)學家,Gauss晚年的學生.19世紀極富創(chuàng)造性的數(shù)學家之一.在復變函數(shù)論、傅立葉級數(shù)、幾何學基礎、素數(shù)分布等方面都有重要貢獻.Riemann猜想(數(shù)學中最重要的問題)1859年，黎曼提出了關于黎曼－ζ函數(shù)的6個猜想，包括著名的黎曼猜想：

的全體非平凡零點都位于Re(s)=1/2直線上。黎曼廣泛使用解析函數(shù)的工具研究數(shù)論，開創(chuàng)了解析數(shù)論這一新的分支。1851年,Riemann的博士學位論文<<單復變函數(shù)一般理論基礎>>“包含了現(xiàn)代復變函數(shù)論主要部分的萌芽,而且開啟了拓撲學的系統(tǒng)研究,革新了代數(shù)幾何,并為Riemann自己的微分幾何研究鋪平了道路”(L.V.Ahlfors評語).是他才真正使Cauchy-Riemann方程成為復分析大廈的基石。這篇論文一個突出特征是其中的幾何觀點.由于Riemann曲面概念遠非是直觀的,它無法在高維空間里準確表示,為此還曾遭到Weierstrass的反對:"幾何幻想物".Riemann的博士論文:Weierstrass(德國1815-1897)

.他的工作以嚴格著稱,獲得了"現(xiàn)代分析之父"的稱號.他不僅拒絕使用Cauchy通過復積分所獲得的結果,也不能接受Riemann提出的那種幾何"超驗"方法.他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎上,所以他把目光投向了冪級數(shù),為復變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑.研究復分析的中國著名數(shù)學家（及華人）熊慶來(1893-1969):中國數(shù)學界的一代宗師.主要從事函數(shù)論方面的研究,國際公認有“熊氏無窮數(shù)”,“熊氏定理”,“熊氏不等式”等.我國許多著名科學家,如數(shù)學家徐寶祿、段學復、莊圻泰,華羅庚，陳省身,楊樂,張廣厚等,物理學家嚴濟慈、趙忠堯、錢三強、趙九章，化學家柳大綱等均是他的學生.華羅庚(1910-1985年)中國著名數(shù)學家。中國科學院院士。主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學、典型群、自守函數(shù)論、多復變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積分等領域的研究與教授工作并取得突出成就.他在多元復變數(shù)函數(shù)論方面的貢獻，影響到世界數(shù)學的發(fā)展。他在解析數(shù)論方面的成就尤其廣為人知，國際間頗有名氣的"中國解析數(shù)論學派"即以華羅庚為首開創(chuàng)的學派.鐘家慶(1937～1987),研究方向甚廣,重點在于多元復變函數(shù)論,復流形與微分幾何。榮獲首屆"陳省身數(shù)學獎".

陸啟鏗(1927-2015):中國科學院院士.主要從事多復分析,數(shù)學物理研究.獲得華羅庚數(shù)學獎.50年代引入了Schwarz解析不變量的概念;與華羅庚合作建立了典型域上調(diào)和函數(shù)的系統(tǒng)理論。1966年提出了"陸啟鏗猜想"。70年代指出物理上規(guī)范場與數(shù)學上的主纖維叢的聯(lián)絡的關系,證明楊振寧的規(guī)范場的積分定義等價于沿一曲線的平行移動;在有界域解析映照的固有微分的估值研究方面取得重要成果.楊樂:中國科學院院士.在函數(shù)模分布論、輻角分布論、正規(guī)族等方面的研究成果突出獲得華羅庚數(shù)學獎和陳省身數(shù)學獎。蕭蔭堂（Yum-TongSiu）哈佛大學教授，是目前世界上最一流的數(shù)學家之一。主要從事復幾何與代數(shù)幾何的研究。曾獲得美國國家科學院院士，并在國際數(shù)學家兩次大會主講。復變函數(shù)論的應用復變函數(shù)論其它學科得到了廣泛的應用，有很多復雜的計算都是用它來解決的。如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場的計算。俄國的茹柯夫斯基用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結構問題，在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。復變函數(shù)論在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。數(shù)學中的一朵奇葩就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。《復變函數(shù)》是數(shù)學所有專業(yè)的核心基礎課程,理工科學生必須掌握的數(shù)學學科。

第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.1復數(shù)及其運算定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數(shù)。1.復數(shù)的概念虛數(shù)單位的特性:……

一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小。復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復數(shù)的模判斷復數(shù)相等注意：例1解令定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復數(shù)的運算滿足交換律、結合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，共軛復數(shù)的性質(zhì)3.共軛復數(shù)定義若z=x+iy,稱

z=x-iy

為z的共軛復數(shù).(conjugate)二、復數(shù)的幾何表示1.復平面的定義2.復數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。3.

復數(shù)的輻角說明計算argz(z≠0)

的公式輻角不確定.練習：求下列復數(shù)的輻角主值oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z14.由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法例1將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：很多平面圖形能用復數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例1將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式的方程來表示.

[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知直線段的中點為例2求下列方程所表示的曲線:解：設z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3注:這里A是復數(shù),B是實數(shù).x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復數(shù).用直線將復平面內(nèi)任一點z與N相連,必與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,

而N點本身可代表無窮遠點,記作.

這樣的球面稱作復球面.擴充復數(shù)域---引進一個“新”的數(shù)∞:擴充復平面---引進一個“理想點”:無窮遠點

∞.約定:

注:若無特殊說明,平面均指有限復平面.定理1

兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復數(shù)的乘冪與方根

幾何意義將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個復數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2例：設則：即k=m+n+1則有等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個數(shù),就有等式右邊的一個數(shù)與之對應,反之亦然.;按照乘積的定義,當z10時,有定理2兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.練習：解設z=reiθ，由復數(shù)的乘法定理和數(shù)學歸納法可證明zn=rn(cos

nθ+isin

nθ)=rn

einθ。2.復數(shù)的乘冪定義n個相同的復數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。問題給定復數(shù)z=rei

，求所有的滿足ωn=z的復數(shù)ω。3.復數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。練習：計算[解]因為所以即四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy1.區(qū)域的概念鄰域復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，§1.4復平面上的點集內(nèi)點:對任意z0屬于E，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于E，則稱z0是E的內(nèi)點。設E是一平面上點集

聚點與孤立點邊界點與邊界開集與閉集連通是指區(qū)域

設E是一個開集，且E是連通的，稱

E是一個區(qū)域。E-區(qū)域內(nèi)點外點P區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈E,均有z∈E={z||z|<R}，則E是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域

區(qū)域E與它的邊界一起構成閉區(qū)域,例1例2例3例42.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線。重點設連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線,3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域1.復變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復變函數(shù)例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合

2.映射的概念——復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應