2024年中考數(shù)學(xué)《動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題》及答案

動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題(33題)1.(2024·甘肅臨夏·中考真題)如圖1中，BDP從DD→B→CP作PQ⊥Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為xPQ-DQ為yy與x的函數(shù)圖象如圖2AD的長(zhǎng)為()42383734114A.B.C.2.(2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)Rt△ABC中，∠=90°AB=12EF同時(shí)從點(diǎn)AAB和射線ACEF也隨為邊向下做正方形點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x0<x<12和等腰Rt△ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是()A.C.B.3.(2024·四川瀘州·中考真題)6的正方形EF分別是邊ABBC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BFAF與交于點(diǎn)OM是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB+112FG的最小值是()A.4B.5C.8104.(2024·甘肅·中考真題)如圖1點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)AAB→BCC時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為xPO的長(zhǎng)為yy與x的函數(shù)圖象如圖2P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為()A.2B.3C.5225.(2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題)中，AB=6∠B=30°E是BCAE點(diǎn)A作AF⊥于點(diǎn)P．設(shè)=xAF=yy與x之間的函數(shù)解析式為(不考慮自變量x的取值范圍)()9x12x18x36xA.y=B.y=C.y=y=6.(2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題)llA是l上的定點(diǎn)，AB⊥l于點(diǎn)BCD分1212別是llAC=BD交線段AB于點(diǎn)EBH⊥于點(diǎn)H∠最大12時(shí)，sin∠的值為．27.(2024·四川廣安·中考真題)?中，AB=4AD=5∠ABC=30°M為直線BC上一MA+MD的最小值為．8.(2024·四川涼山·中考真題)如圖，⊙M的圓心為M402P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙MQPQ的最小值為9.(2024·黑龍江綏化·中考真題)∠AOB=50°P為∠AOBM為射線OAN為射線OB△PMN∠MPN=．10.(2024·四川成都·中考真題)xOyA3,0B0,2點(diǎn)B作y軸的垂線lP為直線lPOPO+的最小值為．311.(2024·四川內(nèi)江·中考真題)△ABC中，∠ABC=60°BC=8E是BCBE=2I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)DP是BDPEPCPE+PC的最小值為．12.(2024·山東煙臺(tái)·中考真題)?中，∠C=120°AB=8BC=10．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD△沿翻折得△D接ADBD△ABD面積的最小值為．13.(2024·四川宜賓·中考真題)的邊長(zhǎng)為1MN是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．若∠MAN=45°MN的最小值為．14.(2024·四川宜賓·中考真題)中，AB=2AD=4EF分別是邊CDAD上CE=DF．當(dāng)AE+CFCE=．15.(2024·江蘇蘇州·中考真題)如圖，△ABC中，AC=BC∠ACB=90°A-2,0C6,0ykx=k≠0,x>0的圖象與AB交于點(diǎn)Dm,4BC交于點(diǎn)E．4(1)求mk的值；kx(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=k≠0,x>0圖象上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P在DEDE重合)P作PM∥ABy軸于點(diǎn)M點(diǎn)P作PN∥xBC于點(diǎn)N接MN△PMN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．16.(2024·四川自貢·中考真題)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A(-6,1)B(1,n)兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線x=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△B的面積為21點(diǎn)P坐標(biāo)；mx(3)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=位于第四象限的圖象上，△QAB的面積為21Q點(diǎn)坐標(biāo)．17.(2024·四川瀘州·中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,0y軸交于點(diǎn)Bx=1對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)-1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t-1t的值；5(3)點(diǎn)CC作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)Dy軸上是否存在點(diǎn)EBCDE18.(2024·四川南充·中考真題)已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0B3,0．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1y軸交于點(diǎn)CP為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)線PB分別交拋物線S1S2于點(diǎn)ED△D面積為S△PBE面積為S的值；12(3)如圖2K是拋物線對(duì)稱軸與xK的直線(不與對(duì)稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)M，NG作直線l∥xQ是直線l上一動(dòng)點(diǎn)．求QM+QN的最小值．19.(2024·吉林·中考真題)△ABC中，∠C=90°∠B=30°AC=3cmAD是△ABC的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A3cm/s的速度沿折線AD-向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥ABAC于點(diǎn)QPQ為邊作等邊三角形PQECE在PQP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tst>0△PQE與△ABC重合部分圖形的面積為Scm2．(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD△APQ的形狀(不必證明)的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Ct的值．(3)求S關(guān)于tt的取值范圍．20.(2024·四川德陽(yáng)·中考真題)y=x2-x+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0和點(diǎn)By軸交于點(diǎn)C．6(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)0<x≤2y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍；34(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)MP+55PM的最小值．21.(2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題)OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長(zhǎng)度是一元二次方程x2-5x-6=0從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位PO2長(zhǎng)度的速度沿折線OA-ABQ從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB-運(yùn)動(dòng)，PQt秒(0<t<3.6)△OPQ的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)S=63M在yNOPMN為N22.(2024·江西·中考真題)綜合與實(shí)踐Rt△ABCD是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合)接CD為直角邊在CE的右側(cè)構(gòu)造Rt△∠DCE=90°接BE，CBCA==m．7特例感知(1)如圖1m=1時(shí)，BE與AD之間的位置關(guān)系是；類比遷移(2)如圖2m≠1BE與AD拓展應(yīng)用(3)在(1)F與點(diǎn)C關(guān)于DFBF圖3．已知AC=6AD=x邊形的面積為y．①求y與xy的最小值；②當(dāng)BF=2AD的長(zhǎng)度．1223.(2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)y=x-2與x軸交于點(diǎn)Ay軸交于點(diǎn)CAC兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+ca≠0與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)xB(-10)PP分別作x軸和yAC于點(diǎn)EF．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x△是以ACD的坐標(biāo)；(3)當(dāng)=ACP的坐標(biāo)；(4)在(3)N是yNM接NA，MPNA+MP的最小值為．24.(2024·四川廣元·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中Fy=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-3,-1y軸交于點(diǎn)B0,2．8(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C接OC交AB于點(diǎn)D的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線y=-1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象FF與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線FBEGH為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊G點(diǎn)坐標(biāo)．25.(2024·天津·中考真題)將一個(gè)平行四邊形紙片OABCO0,0A3,0，點(diǎn)B,COC=2,∠AOC=60°．(1)C的坐標(biāo)為B的坐標(biāo)為；(2)若P為xP作直線l⊥xlO的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在xC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C．設(shè)OP=t．l與邊CB相交于點(diǎn)QCQ與?OABC重疊部分為五邊形時(shí)，C與AB相交于點(diǎn)E．試用含有t的式子表示線段BEt的取值范圍；23114②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S≤t≤S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．26.(2024·湖南·中考真題)已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-2,5Px,yQx,y是此二2112次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．9(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1x軸的正半軸交于點(diǎn)BP在直線ABP作PC⊥x軸于S△PDQS△ADC點(diǎn)CAB于點(diǎn)D接AC,DQ,PQ．若x=x+3證的值為定值；21(3)如圖2P在第二象限，x=-2xM在直線PQx-1點(diǎn)M作MN⊥x軸211于點(diǎn)NMN長(zhǎng)度的最大值．27.(2024·廣東·中考真題如圖1BD是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)>OBkx段BD為對(duì)角線作矩形ABCDAD∥x軸．反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．(1)y=的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．kx(2)如圖2沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在yB的坐標(biāo)為1,2k的值．(3)如圖3沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)EAAC交BD于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙O．若OP=32⊙O與△ABCk的取值范圍．28.(2024·四川達(dá)州·中考真題)如圖1y=ax2+kx-3與x軸交于點(diǎn)A-3,0和點(diǎn)B1,0y軸10交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2接ACDC線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M點(diǎn)P是直線ACS△PMC=2S△DMC點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)DNAC為頂點(diǎn)的三角形是等腰三N29.(2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B1,3y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)PP在直線ABP作PE⊥x軸于點(diǎn)EAB交于點(diǎn)D點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時(shí)線段PD②是否存在點(diǎn)P得△BPD與△AOCP2330.(2024·四川廣安·中考真題)y=-x2+bx+c與x軸交于ABy軸交于點(diǎn)CA坐標(biāo)為(-1,0)B坐標(biāo)為(3,0)．11(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)P是直線BCP作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D點(diǎn)P作y軸的垂E2PD+PEP(3)點(diǎn)M∠MCB=45°M的坐標(biāo)．31.(2024·山東煙臺(tái)·中考真題)y1=ax2+bx+c與x軸交于ABy軸交于點(diǎn)COC=OAAB=4l:x=-1y繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線yy與y1122軸交于點(diǎn)DEl2．(1)分別求拋物線y和y的表達(dá)式；12(2)如圖1F的坐標(biāo)為-6,0點(diǎn)M在直線lM作MN∥x軸與直線l交于點(diǎn)N接12FMDN．求FM+MN+DN的最小值；(3)如圖2H的坐標(biāo)為0,-2點(diǎn)P在拋物線yP∠PEH=2∠DHE？2P32.(2024·甘肅·中考真題)如圖1y=ax-h2+k交x軸于OA4,0B2,23．點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)．12(1)求拋物線y=a(x-h)2+k的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OAHE．求線段CE的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(O點(diǎn)除外)OC右側(cè)作平行四邊形OCFD．①如圖2點(diǎn)FF的坐標(biāo)；②如圖3接BDBFBD+BF的最小值．33.(2024·重慶·中考真題)在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC點(diǎn)B作BD∥AC．(1)如圖1點(diǎn)D在點(diǎn)BCD點(diǎn)A作AE⊥交BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)E是BC證：AC=2BD；(2)如圖2點(diǎn)D在點(diǎn)BADF是ADBF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)GCF．22過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BG交AB于點(diǎn)MCN平分∠ACB交BG于點(diǎn)N：AM=CN+BD；(3)若點(diǎn)D在點(diǎn)BADF是ADAF=AC．點(diǎn)P是直線ACFPFP繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ接BQR是直線ADBRQR．在點(diǎn)PBQ△BQR沿直線QR翻折得到△TQR接FT．在點(diǎn)FTCPR的最大值．13動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題(33題)1.(2024·甘肅臨夏·中考真題)如圖1中，BDP從DD→B→CP作PQ⊥Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為xPQ-DQ為yy與x的函數(shù)圖象如圖2AD的長(zhǎng)為()42383734114A.B.C.B根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定=2BD+BP=4時(shí)，PQ==2P在BC邊上，設(shè)此時(shí)BP=aBD=4-aAD=BC=2+a，在Rt△中，BD2-BC2=2，即：4-a2-a+22=22，23解得：a=，83∴AD=a+2=故選：B．，2.(2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)Rt△ABC中，∠=90°AB=12EF同時(shí)從點(diǎn)AAB和射線ACEF也隨為邊向下做正方形點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x0<x<12和等腰Rt△ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是()1A.B.C.Ay與xHG與BCx≤4當(dāng)x>4時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案．HG與BCAE=x∴=EH=2xBE=12-x，在Rt△EHBBE2=BH2+EH2，∴2x+2x2=12-x2，∴x=4，∴當(dāng)0<x≤4時(shí)，y=2x=2x2，∵2>0，∴圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，當(dāng)HG在BCAE=x∴=2xBE=12-x，∵∠=∠B=45°∠A=∠EOB=90°,∴△∽△EOB，AExEOEBEO12-x12-x∴∴=，=，2x∴EO=，212-x∴當(dāng)4<x<12時(shí)，y=2x·=12-xx=-x2+12x，2∵-1<0，∴圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．3.(2024·四川瀘州·中考真題)6的正方形EF分別是邊ABBC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BFAF與交于點(diǎn)OM是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB+212FG的最小值是()A.4B.5C.810B△≌△得到∠=∠∠=90°=12DFAB延長(zhǎng)線上截取BH=BGFH△FBG≌△FBHFH=FG1得當(dāng)HDF三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF+FGDH的長(zhǎng)的一半，212求出AH=8Rt△ADHDH=AD2+AH2=10任+FG的最小值為．5∵四邊形是正方形，∴AD=AB∠=∠ABC=90°，又∵AE=BF，∴△≌△，∴∠=∠，∴∠=∠ADO+∠=∠+∠O=∠B=90°，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，1∴=DF；2AB延長(zhǎng)線上截取BH=BGFH，∵∠FBG=∠FBH=90°FB=FBBG=BH，∴△FBG≌△FBH，∴FH=FG，12121212∴+FG=DF+HF=DF+HF，12∴當(dāng)HDF三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF+FGDH的長(zhǎng)的一半，∵AG=2GBAB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADHDH=AD2+AH2=10，12∴+FG的最小值為5，故選：B．4.(2024·甘肅·中考真題)如圖1點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)AAB→BCC3時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為xPO的長(zhǎng)為yy與x的函數(shù)圖象如圖2P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為()A.2B.3C.522Cx=0時(shí)，PO=AO=4P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PO=BO=2∠AOB=∠BOC=90°AB=BC=2+OB2=25P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為12BC=5角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．x=0時(shí)，PO=AO=4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PO=BO=2，∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=2+OB2=25，12當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為BC=5，故選C．5.(2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題)中，AB=6∠B=30°E是BCAE點(diǎn)A作AF⊥于點(diǎn)P．設(shè)=xAF=yy與x之間的函數(shù)解析式為(不考慮自變量x的取值范圍)()9x12x18x36xA.y=B.y=C.y=y=C30性質(zhì)求解xy的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過(guò)D作DH⊥BCBC延長(zhǎng)線于H∠DHE=90°性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到=AD=AB=6∠ADF=∠∠DCH=∠B=30°30度角的12AFDHAD直角三角形的性質(zhì)DH==3△AFD∽△DHE得到=D作DH⊥BCBC延長(zhǎng)線于H∠DHE=90°，∵在菱形中，AB=6∠B=30°，∴AB∥CDAD∥BC=AD=AB=6，∴∠ADF=∠∠DCH=∠B=30°，412在Rt△中，DH==3，∵AF⊥，∴∠AFD=∠DHE=90°∠ADF=∠，∴△AFD∽△DHE，AFDHAD∴=，∵=xAF=y，y36x18x∴=，，∴y=故選：C．6.(2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題)llA是l上的定點(diǎn)，AB⊥l于點(diǎn)BCD分1212別是llAC=BD交線段AB于點(diǎn)EBH⊥于點(diǎn)H∠最大12時(shí)，sin∠的值為．1312△ACE≌△BE=AE=ABBH⊥CD∠BHE=90°H在以BEBE的中點(diǎn)OO為圓心，OBH在⊙OAO當(dāng)AH與⊙O相切時(shí)∠⊥AHAO=AE+OE=3OE用sin∠==OE3OE13=∵兩條平行線llA是l上的定點(diǎn)，AB⊥l于點(diǎn)B，1212∴點(diǎn)B為定點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度為定值，∵l∥l，12∴∠ACE=∠∠CAE=∠，∵AC=BD，∴△ACE≌△，1∴BE=AE=AB，2∵BH⊥CD，∴∠BHE=90°，∴點(diǎn)H在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，BE的中點(diǎn)O點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)H在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AH與⊙O相切時(shí)∠最大，5∴⊥AH，∵AE=OB=2OE，∴AO=AE+OE=3OE，∵=OE，AOOE3OE13∴sin∠===，13故答案為：．H的運(yùn)動(dòng)軌跡．7.(2024·四川廣安·中考真題)?中，AB=4AD=5∠ABC=30°M為直線BC上一MA+MD的最小值為．41A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D交BC于MAH=HAH⊥BCAM=M，當(dāng)M,M重合時(shí)，MA+MDD.A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D交BC于MAH=HAH⊥BCAM=M，∴當(dāng)M,M重合時(shí)，MA+MDD，∵AB=4∠ABC=30°?中，12∴AH=AB=2AD∥BC，∴AA=2AH=4AA⊥AD，∵AD=5，∴D=42+52=41，故答案為：41識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8.(2024·四川涼山·中考真題)如圖，⊙M的圓心為M402P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙MQPQ的最小值為27y=x+4與xy軸分別交于點(diǎn)AKQMPMKMAK的坐2-QM2QM=2△OAK△PQ=PM6當(dāng)PM最小時(shí)，PQP與點(diǎn)KPM最小值為KMPM結(jié)果．y=x+4與xy軸分別交于點(diǎn)AK接QMPMKM，當(dāng)x=0y=4y=0x+4=0，解得：x=-4，即K(0,4)A(-40)；而M4,0，∴OA===4，∴△OAK△均是等腰直角三角形，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=PM2-QM2，∵QM=2，∴當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，∴當(dāng)PM⊥AK即點(diǎn)P與點(diǎn)KPM最小值為KM，在Rt△KM=∴PQ=32-4=27，2+2=42，∴PQ最小值為27．是解題的關(guān)鍵．9.(2024·黑龍江綏化·中考真題)∠AOB=50°P為∠AOBM為射線OAN為射線OB△PMN∠MPN=．80°/80度-P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)PP．連接OPOP．則當(dāng)MN是PP與OAOB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN121212稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．P關(guān)于OAOB的對(duì)稱點(diǎn)PP．連接OPOP．則當(dāng)MN是PP與OAOB的交點(diǎn)時(shí)，121212△PMNPPPP，12∵P1關(guān)于OA對(duì)稱，∴∠POP=2∠MOPOP=OPPM=PM∠OPM=∠OPM，11117同理，∠POP=2∠NOPOP=OP∠OPN=∠OPN，222∴∠POP=∠POP+∠POP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB=100°OP=OP=OP，121212∴△POP是等腰三角形．12∴∠OPN=∠OPM=40°，21∴∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠OPN+∠OPM=80°21故答案為：80°．10.(2024·四川成都·中考真題)xOyA3,0B0,2點(diǎn)B作y軸的垂線lP為直線lPOPO+的最小值為．5-最短問(wèn)題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連O交直線l于點(diǎn)CAC到AC=CA⊥l當(dāng)O,P,三點(diǎn)共線時(shí)，PO+的最小值為OO即可．A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O交直線l于點(diǎn)CAC，則可知AC=CA⊥l，∴PO+=PO+≥O，即當(dāng)O,P,三點(diǎn)共線時(shí)，PO+的最小值為O，∵直線l垂直于y軸，∴A⊥x軸，∵A3,0B0,2，∴AO=3,AA=4，∴在Rt△AO中，O=2+AA2=32+42=5，故答案為：511.(2024·四川內(nèi)江·中考真題)△ABC中，∠ABC=60°BC=8E是BCBE=2I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)DP是BDPEPCPE+PC的最小值為．8213AB取點(diǎn)FBF=BE=2PFCFF作FH⊥BC于H出∠ABD=∠CBD用證明△BFP≌△BEPPF=PEPE+PC=PF+PC≥CFC、PF三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PCCF30°的直角三角形的性質(zhì)求出BH出FHCF即可．AB取點(diǎn)FBF=BE=2PFCFF作FH⊥BC于H，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，又BP=BP，∴△BFP≌△BEP，∴PF=PE，∴PE+PC=PF+PC≥CF，當(dāng)CPF三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PCCF，∵FH⊥BC∠ABC=60°，∴∠BFH=30°，1∴BH=BF=1，2∴FH=BF2-BH2=3CH=BC-BH=7，∴CF=CH2+FH2=213，∴PE+PC的最小值為213．故答案為：213．30°30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵．12.(2024·山東煙臺(tái)·中考真題)?中，∠C=120°AB=8BC=10．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD△沿翻折得△D接ADBD△ABD面積的最小值為．203-16/-16+203=AB=8AB∥CD∠ABC=60°==4，9進(jìn)而得到點(diǎn)在以E為圓心，4E作EM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于ME于到邊ABM△C作CN⊥AB于N據(jù)平行線間的距離處處相等得到EM=CNCN=53即可求解．∵在?中，∠=120°AB=8，∴=AB=8AB∥CD∠ABC=180°-∠=60°，∵E為邊的中點(diǎn)，12∴=CE==4，∵△沿翻折得△，∴==4，∴點(diǎn)在以E為圓心，4E作EM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于ME于到邊ABM△面積的最小，過(guò)C作CN⊥AB于N，∵AB∥CD，∴EM=CN，在Rt△BCN中，BC=10∠CBN=60°，32∴CN=BC?sin60°=10×=53，∴M=ME-=53-4，12∴△面積的最小值為×8×53-4=203-16，故答案為：203-16．的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．13.(2024·四川宜賓·中考真題)的邊長(zhǎng)為1MN是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．若∠MAN=45°MN的最小值為．-2+22/22-2△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP△MAP≌△MANMN=MP=BM+BP=BM+DNCN=aCM=bMN=2-a-bCN2+CM2=MN2a2+b2=2-a-b22-a2-b=2MN=2-a-b≥-2+22-a2-b∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AD=AB=BC==1∠=∠ABC=∠C=∠D=90°，將△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP△ADN≌△ABP，∴∠N=∠BAP∠D=∠ABP=90°AN=APDN=BP，∴點(diǎn)PBMC共線，∵∠MAN=45°，∴∠MAP=∠MAB+=∠MAB+=90°-∠MAN=45°=∠MAN，10∵AP=AN∠MAP=∠MANAM=AM，∴△MAP≌△MAN，∴MP=MN，∴MN=MP=BM+BP=BM+DN，設(shè)CN=aCM=bDN=1-aBM=1-b，∴MN=BM+DN=2-a-b，∵∠C=90°，∴CN2+CM2=MN2a2+b2=2-a-b2，整理得：2-a2-b=2，∴MN=2-a-b=-2+2-a+2-b=-2+2-a+2-b2=-2+2-a-22-a?2-b+2-b+22-a?2-b=-2+2-a-2-b+22-a2-b≥-2+22-a2-b=-2+22，當(dāng)且僅當(dāng)2-a=2-b2-a=2-b=2a=b=2-2時(shí)，MN取最小值-2+22，故答案為：-2+22．證明MN=BM+DN和得到2-a2-b=2是解題的關(guān)鍵．14.(2024·四川宜賓·中考真題)中，AB=2AD=4EF分別是邊CDAD上CE=DF．當(dāng)AE+CFCE=．23BC，截取CG=CDGEAG明△≌△GCECF=GEAE+EG最小時(shí)，AE+CF最A(yù)EG三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EGAE+CF△AED∽△GECBCCG=CDGEAG∵四邊形為平行四邊形，∴AB=DC=2AD=BC=4AD∥BC，∴∠D=∠ECG，∵=CGDF=CE，∴△≌△GCE，∴CF=GE，∴AE+CF=AE+EG，∴當(dāng)AE+EG最小時(shí)，AE+CF最小，11∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)AEG三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EGAE+CFAG的長(zhǎng)，∵AD∥CG，∴△AED∽△GEC，ADGCCE232422-CECE∴=．=，解得CE=故答案為：．315.(2024·江蘇蘇州·中考真題)如圖，△ABC中，AC=BC∠ACB=90°A-2,0C6,0ykx=k≠0,x>0的圖象與AB交于點(diǎn)Dm,4BC交于點(diǎn)E．(1)求mk的值；kx(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=k≠0,x>0圖象上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P在DEDE重合)P作PM∥ABy軸于點(diǎn)M點(diǎn)P作PN∥xBC于點(diǎn)N接MN△PMN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(1)m=2k=89283(2)S最大值是時(shí)P3,(1)先求出BABD的坐標(biāo)代入直線AB的函數(shù)表達(dá)式求出mD的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；(2)延長(zhǎng)NP交y軸于點(diǎn)QAB于點(diǎn)L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出QM=QPP的坐標(biāo)為8t12t,，2<t<6S=?6-t?t(1)解：∵A-2,0C6,0，∴AC=8．又∵AC=BC，∴BC=8．∵∠ACB=90°，∴點(diǎn)B6,8．設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b，12-2a+b=06a+b=8將A-2,0B6,8代入y=ax+ba=1，解得，b=2∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2．將點(diǎn)Dm,4代入y=x+2m=2．∴D2,4．kx將D2,4代入y=k=8．(2)NP交y軸于點(diǎn)QAB于點(diǎn)L．∵AC=BC∠BCA=90°，∴∠=45°．∵PN∥x軸，∴∠BLN=∠=45°∠NQM=90°．∵PM∥AB，∴∠MPL=∠BLP=45°，∴∠QMP=∠QPM=45°，∴QM=QP．8t設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,2<t<6PQ=tPN=6-t．∴MQ=PQ=t．12121292∴S=?PN?MQ=?6-t?t=-t-3+．9283∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值P3,．16.(2024·四川自貢·中考真題)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A(-6,1)B(1,n)兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線x=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△B的面積為21點(diǎn)P坐標(biāo)；mx(3)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=位于第四象限的圖象上，△QAB的面積為21Q點(diǎn)坐標(biāo)．6x(1)y=-y=-x-5(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為-23或-2-9；-11+14511+145(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為3-2或,-2213(1)先求出m=-6B(1,n)B(1,-6)12(2)先得出直線AB與直線x=-2的交點(diǎn)C×-3-p×7=21p(3)Q在點(diǎn)B的右邊時(shí)和點(diǎn)Q在點(diǎn)Bmxm-6(1)A(-6,1)代入y=出1=解得m=-66x61把B(1,n)代入y=-n=-=-6∴B(1,-6)則把A(-6,1)和B(1,-6)分別代入y=kx+b1=-6k+b得出-6=k+bk=-1b=-5解得∴y=-x-5；(2)AB與直線x=-2的交點(diǎn)為C∵y=-x-5∴當(dāng)x=-2y=-x-5=2-5=-3∴C-2-3∵P是直線x=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P-2p，∵△的面積為21，1212121212∴×PC×x--2+×PC×x--2=×PC×x-x=×PC×x-x=21ABABBA即×-3-p×7=21∴-3-p=6解得p=3或-9∴點(diǎn)P坐標(biāo)為-23或-2-9；6x(3)(1)得出y=-6x∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=-位于第四象限的圖象上，6q∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為q-q>0Q在點(diǎn)B的右邊時(shí)∵△QAB的面積為21A(-6,1)和B(1,-6)1412126q126∴21=1+6×q+6-×1+6×1+6-×q+6×1+-×q-1×-+6q49212616整理得21=7×q+6-解得q=3(負(fù)值已舍去)-×q+6×1+-×q-1×-+6q2q經(jīng)檢驗(yàn)q=3是原方程的解，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為3-2Q在點(diǎn)B的左邊時(shí)∵△QAB的面積為21A(-6,1)和B(1,-6)6q126q12126q∴21=1+6×+1-×+1×q+6-×1+6×1+6-×1-q×-6+6q126q492126q整理得21=7×+1-×+1×q+6--×1-q×-6+-11+145-11-1452解得0<q=<1q=-11+145<02611+14511+145則-=-Q,-q222-11+14511+145綜上：Q點(diǎn)坐標(biāo)為3-2或,-．2217.(2024·四川瀘州·中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,0y軸交于點(diǎn)Bx=1對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)-1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t-1t的值；(3)點(diǎn)CC作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)Dy軸上是否存在點(diǎn)EBCDE(1)y=-x2+2x+31552(2)t=(3)存在點(diǎn)以BCDE32-2或2(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；(2)分t≤1和t>1(3)分BD為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．(1)解：∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,0yBx=1軸交于點(diǎn)對(duì)稱，b-=1a=-1b=2∴a，9a+3b+3=0∴y=-x2+2x+3；(2)∵x=1，∴∵-1≤x≤t時(shí)，0≤y≤2t-1，①當(dāng)t≤1時(shí)x=t2t-1=-t2+2t+3解得：t=-2或t=2，②當(dāng)t>1時(shí)x=12t-1=-12+2+3=4，52解得：t=；5故t=；2(3)存在；當(dāng)y=-x2+2x+3=0x=3,x=-1x=0y=3時(shí)，，12∴A3,0B0,3，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3A3,0k=-1，∴y=-x+3，設(shè)Cm,-m2+2m+30<m<3：Dm,-m+3，∴=-m2+2m+3+m-3=-m2+3mBD=m2+-m+3-32=2mBC2=m2+-m2+2m2，當(dāng)BCDE①當(dāng)BDBD=CD-m2+3m=2m解得：m=0(舍去)或m=3-2，，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為2m=32-2；②當(dāng)BDBC=CD：m解得：m=2或m=0(舍去)2+-m2+2m2=-m2+3m2，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：-22+3×2=2BCDE32-2或2．；18.(2024·四川南充·中考真題)已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0B3,0．16(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1y軸交于點(diǎn)CP為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)線PB分別交拋物線S1S2于點(diǎn)ED△D面積為S△PBE面積為S的值；12(3)如圖2K是拋物線對(duì)稱軸與xK的直線(不與對(duì)稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)M，NG作直線l∥xQ是直線l上一動(dòng)點(diǎn)．求QM+QN的最小值．(1)y=-x2+2x+319(2)S1=S2(3)45(1)利用待定系數(shù)法即可求解；p3(2)設(shè)P(0,p)線AP為y=kx+b出y=px+pBD為y=kx+by=-x+p1122p-33p294p3組得E3-p,-p2+4pD,-+S=S-SS=S，-S即可求解；12(3)設(shè)直線MN為y=kx+dK(1,0)得k+d=0y=kx-kMm,-m2+2m+3，y=kx-kNn,-n2+2n+3MN與拋物x2+(k-2)x-k-3=0y=-x2+2x+3可得：m+n=2-kmn=-k-3點(diǎn)N關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)NMNQM+QN=QM+QN≥MNM點(diǎn)作MF⊥NN于FFn,-m2+2m+3NF=m2+n2-2m+n+2FM=m-n，根據(jù)勾股定理得MN2=k4+17k2+80≥80QM+QN最小值．(1)解：∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0B3,0，，-1-b+c=0，-9+3b+c=0b=2解得，c=3∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；(2)設(shè)P(0,p)線AP為y=kx+bk≠0111-k+b=0b1=pk1=pb1=p11得，∴y=px+p，y=px+py=-x2+2x+3聯(lián)立得，x=-1y=0x=3-p解得或，y=-p2+4p17∴E3-p,-p2+4p，設(shè)P(0,p)BD為y=kx+bk≠0222p33k+b=0b2=pk=-222，b2=pp∴y=-x+p，3p3y=-x+p聯(lián)立得，y=-x2+2x+3p-3x=x=3y=03解得或，y=-294p3+p-33p294p3∴D,-+，p294p312122S1=S-SS2=S-S=AB?y-y=2-+-p=3p-p2，9DP=AB?y-y=2-p2+4p-p=23p-p2，EP19∴S1=；S2(3)設(shè)直線MN為y=kx+dk≠0K(1,0)得k+d=0，∴d=-k，∴y=kx-k，設(shè)Mm,-m2+2m+3Nn,-n2+2n+3，y=kx-k聯(lián)立直線MN與拋物線，y=-x2+2x+3得x2+(k-2)x-k-3=0Δ=k-22-4-k-3=k2+16>0，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：m+n=2-kmn=-k-3，作點(diǎn)N關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)NMN，由題意得直線l:y=4Nn,n2-2n+5，∴QM+QN=QM+QN≥MN，過(guò)M點(diǎn)作MF⊥NN于FFn,-m2+2m+3．則NF=m2+n2-2m+n+2FM=m-n，，在Rt△MFN中，MN2=MF2+NF2=(m-n)2+m2+n2-2(m+n)+22=(m+n)2-4mn+(m+n)2-2mn-2(m+n)+22=(2-k)2-4(-k-3)+(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+22=k4+17k2+80≥80，即當(dāng)k=0時(shí)，MN2=80MN=45，故QM+QN的最小值為45．19.(2024·吉林·中考真題)△ABC中，∠C=90°∠B=30°AC=3cmAD是△ABC的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A3cm/s的速度沿折線AD-向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥ABAC于18點(diǎn)QPQ為邊作等邊三角形PQECE在PQP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tst>0△PQE與△ABC重合部分圖形的面積為Scm2．(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD△APQ的形狀(不必證明)的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Ct的值．(3)求S關(guān)于tt的取值范圍．(1)等腰三角形，=t32(2)t=332S=t,0<t≤473923(3)S=-t2+63t-3,<t<24232S=t-1,2≤t<42(1)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AD于點(diǎn)H+QA=QPQH⊥AP1232HA=AP=tRt△AHQ得到=t；32(2)由△PQE為等邊三角形得到QE=QPQA=QPQE=QAAE=2=2t=3t=；1232(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD上E在AC△PQEP作PG⊥QE于點(diǎn)GPG=AP=t123432S=QE?PG=t20<t≤P在ADE在ACPE與AC交于點(diǎn)F1232時(shí)重合部分為四邊形FPQC時(shí)CF=CE?tan∠E=32t-3S=CE?CF=2t-37349232可得S=S-S=-t2+63t-3<t<2P在△PQCPCtan∠PQC33時(shí)PD=3t-23PC=+PD=3t-3=3t-1QC==PC1232=t-1S=QC?PC=t-12≤t<4(1)Q作QH⊥AD于點(diǎn)HAP=3t∵∠C=90°∠B=30°，∴∠=60°，∵AD平分∠，∴∠=∠=30°，∵PQ∥AB，∴∠APQ=∠=30°，∴∠=∠APQ，19∴QA=QP，∴△APQ為等腰三角形，∵QH⊥AP，1232∴HA=AP=t，AHcos∠∴在Rt△AHQ中，==t；(2)∵△PQE為等邊三角形，∴QE=QP，由(1)得QA=QP，∴QE=QA，即AE=2=2t=3，32∴t=；(3)P在AD上E在AC△PQEP作PG⊥QE于點(diǎn)G，∵∠=30°，1232∴PG=AP=t，∵△PQE是等邊三角形，∴QE=PQ==t，1234∴S=QE?PG=t2，32由(2)知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，t=，3432∴S=t20<t≤；當(dāng)點(diǎn)P在AD上E在ACPE與AC交于點(diǎn)FFPQC∵△PQE是等邊三角形，∴∠E=60°，而CE=AE-AC=2t-3，∴CF=CE?tan∠E=32t-3，121232∴S=CE?CF=2t-3×32t-3=2t-3，343273492∴S=S-S=t2-2t-3=-t2+63t-3，ACcos∠C當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)DRt△ADC中，AD=∴t=2，=23=AP=3t，7349232∴S=-t2+63t-3<t<2；當(dāng)點(diǎn)P在△PQC∵∠C=30°∠DCA=90°，由上知DC=3，∴AD=23，∴此時(shí)PD=3t-23，∴PC=+PD=3t-3=3t-1，∵△PQE是等邊三角形，20∴∠PQE=60°，PCtan∠PQC33∴QC==PC=t-1，1232∴S=QC?PC=t-1，∵∠B=∠=30°，∴==23，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，3t=AD+=43，解得：t=4，32∴S=t-122≤t<4，332S=t,0<t≤473923綜上所述：S=-t2+63t-3,<t<2．4232S=t-1,2≤t<4220.(2024·四川德陽(yáng)·中考真題)y=x2-x+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0和點(diǎn)By軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)0<x≤2y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍；34(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)MP+55PM的最小值．(1)y=x2-x-29(2)-≤y≤0455655(3)+PM的最小值為：(1)直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；-12×112(2)求解y=x2-x-2的對(duì)稱軸為直線x=-=0<x≤212(3)求解C0,-2B2,0AB=3AC為y=-2x-2M,-3M在直線AC上，1555P作PG⊥AC于GMBP作PH⊥MB于HAC=5sin∠ACO==5555明∠AMP=∠ACOPG=PM+PM=+PG=+PH≤AH可．(1)解：∵拋物線y=x2-x+c∴1+1+c=0，與xA-1,0軸交于點(diǎn)，21解得：c=-2，∴拋物線的解析式為：y=x2-x-2；-12×112(2)解：∵y=x2-x-2的對(duì)稱軸為直線x=-=0<x≤2，141294∴函數(shù)最小值為：y=當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，--2=-，當(dāng)x=2時(shí)，y=4-2-2=0，94∴函數(shù)值的范圍為：-≤y≤0；(3)解：∵y=x2-x-2，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，∴C0,-2，當(dāng)y=x2-x-2=0時(shí)，解得：x=-1x=2，12∴B2,0，∴AB=3，設(shè)直線AC為y=kx-2，∴-k-2=0，∴k=-2，∴直線AC為y=-2x-2，341294∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)M,-，12∴M,-3，∴M在直線AC上，P作PG⊥AC于GMBP作PH⊥MB于H，∵A-1,0C0,-2，1555∴AC=5sin∠ACO==，∵對(duì)稱軸與y軸平行，∴∠AMP=∠ACO，PGPM55∴sin∠AMP==，55∴PG=PM，由拋物線的對(duì)稱性可得：PG=PH∠MAB=∠MBA，55∴+PM=+PG=+PH≤AH，當(dāng)A,P,H三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，OCAC25255AHAB∴sin∠MAB====sin∠ABH=，AH3255∴=，65∴AH=，55655即+PM的最小值為：．52221.(2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題)OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長(zhǎng)度是一元二次方程x2-5x-6=0從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位PO2長(zhǎng)度的速度沿折線OA-ABQ從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB-運(yùn)動(dòng)，PQt秒(0<t<3.6)△OPQ的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)S=63M在yNOPMN為N(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A3,3333t20<t≤2232(2)S=-3t2+63t2<t≤32-3t+2733<t<3.623(3)存在，N2,4+23N2,23-4N-2,23N2,31234(1)運(yùn)用因式分解法解方程求出OAOA=OB=AC=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°A作AC⊥xCAC的長(zhǎng)即可；(2)分0<t≤22<t≤3和3<t<3.63232(3)當(dāng)3t2=63時(shí)求出t=2OP=4OP為邊和對(duì)角線兩種情況可得點(diǎn)N-3t2+1563t=63和-3t+273=63時(shí)不存在以點(diǎn)OPMN為頂點(diǎn)的四邊形是菱形x=6x=-12(1)解：x2-5x-6=0，12∵OA的長(zhǎng)度是x2-5x-6=0的根，∴OA=6∵△OAB是等邊三角形，∴OA=OB=AC=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥xC，23在Rt△AOC中，∠AOC=60°,∴∠OAC=30°,1212∴OC=OA=×6=3，∴AC=2-OC2=62-32=33∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A3,33(2)0<t≤2時(shí)．過(guò)P作PD⊥xD，∴OP=2tOQ=3t，∴∠OPD=30°∴=t,∴PD=OP2-2=2t-t2=3t，1212332∴S=×OQ×PD=×3t×3t=t；當(dāng)2<t≤3時(shí)Q作QE⊥OAE∵∠A=60°,∴∠=30°,又=12-3t,1232∴AE==6-t，24332QE=2-AE2=63-又OP=2t，t1233232∴S=×2t×63-t=-3t2+63t當(dāng)3<t<3.6時(shí)O作⊥ABF∴PQ=18-2t+3t=18-5t，12同理可得，BF=OB=3，∴=OB2-BF2=33；12152∴S=×33×18-5t=-3t+27333t20<t≤2232綜上所述S=-3t2+63t2<t≤32-3t+2733<t<3.632(3)3t2=63t=2,∴OP=2×2=4，12過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)GOG=OP=2,∴PG=OP2-OG242-22=23,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,23；當(dāng)OPOP沿y軸向下平移4個(gè)單位得N2,23-4M0,-4是菱形；將OP沿y軸向上平移4個(gè)單位得N2,23+4M0,425作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N-2,23M0,43PMNO是菱形；當(dāng)OPOP的中點(diǎn)為T點(diǎn)T作TM⊥OPy軸于點(diǎn)MMT到N,使TN=TM,連接,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H∠MOT=∠NOT=∠=30°,OT=2,∴=2TN,122∴2=OT2+TN,即2=22+，43解得，=3,2∴NH=∴N2,3=2,3；32332152當(dāng)-當(dāng)-3t2+63t=63，t=2453t+273=63t=2<323N的坐標(biāo)為N2,4+23N2,23-4N-2,23N2,3123430°角所對(duì)的直角邊等22.(2024·江西·中考真題)綜合與實(shí)踐Rt△ABCD是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合)接CD為直角邊在26CE的右側(cè)構(gòu)造Rt△∠DCE=90°接BE，CBCA==m．特例感知(1)如圖1m=1時(shí)，BE與AD之間的位置關(guān)系是；類比遷移(2)如圖2m≠1BE與AD拓展應(yīng)用(3)在(1)F與點(diǎn)C關(guān)于DFBF圖3．已知AC=6AD=x邊形的面積為y．①求y與xy的最小值；②當(dāng)BF=2AD的長(zhǎng)度．BEAD(1)AD⊥BEAD=BE(2)BE與AD之間的位置關(guān)系是AD⊥BE=m(3)①y與x的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x-32+180<x≤62x=32y18時(shí)，的最小值為BF=2時(shí)，為AD22或42.(1)先證明∠=∠BCE=CECB=CA△≌△BCE可得結(jié)論；CECBCA(2)先證明∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°==m△∽△BCE角形的性質(zhì)可得結(jié)論；(3)①先證明四邊形C作CH⊥AB于H得AB=AC2+BC2=62CH=AH=BH=32OC，OBOC===OE=OB得D,C,E,B,F在⊙OCF∠CBF=90°O12作⊥BC于KO作OG⊥BF于G×2102=20,結(jié)合y=2=x-322+18=20.(1)∵∠DCE=90°=∠ACB，∴∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°，CECBCA∵==m=1，∴=CECB=CA，∴△≌△BCE；∴AD=BE∠CAD=∠CBE，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠CAD=90°，∴AD⊥BE，27∴BE與AD之間的位置關(guān)系是AD⊥BEAD=BE；BEAD(2)BE與AD之間的位置關(guān)系是AD⊥BE=m∵∠DCE=90°=∠ACB，∴∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°，CECBCA∵==m，∴△∽△BCE；BEADBCAC∴==m∠CAD=∠CBE，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠CAD=90°，∴AD⊥BE，BEAD∴BE與AD之間的位置關(guān)系是AD⊥BE=m；(3)由(1)得：=CECB=CA∠DCE=90°=∠ACB，∴△ABC△都為等腰直角三角形；∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴△DFE為等腰直角三角形；CE===DF，∴四邊形為正方形，C作CH⊥AB于H，∵AC=BC=6∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=62CH=AH=BH=32，當(dāng)0<x≤32時(shí)，∴DH=32-x，∴y=2=322+32-x2=x-322+18，32<x≤62時(shí)，此時(shí)DH=x-32，同理可得：y=2=x-322+18，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=x-322+180<x≤62，當(dāng)x=32時(shí)，y的最小值為18；②如圖，∵AD⊥BECDFEO，∴∠=∠DFE=∠=90°，連接OCOB，∴OC===OE=OB，∴D,C,E,B,F在⊙OCF為直徑，∴∠CBF=90°，過(guò)O作⊥BC于KO作OG⊥BF于G，1212∴BK=BC=3BG=BF=1，∴OB=32+12=10，∴=2OB=210，1212∴正方形面積為×2102=×40=20,∴y=2=x-322+18=20，解得：x=22x=4212如圖，28BF=2時(shí)，AD為22或42.適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.1223.(2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)y=x-2與x軸交于點(diǎn)Ay軸交于點(diǎn)CAC兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+ca≠0與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)xB(-10)PP分別作x軸和yAC于點(diǎn)EF．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x△是以ACD的坐標(biāo)；(3)當(dāng)=ACP的坐標(biāo)；(4)在(3)N是yNM接NA，MPNA+MP的最小值為．1232(1)y=x2-x-2(2)D-4,0,D4+25,0,D4-25,0312(3)P2-33132(4)(1)先根據(jù)題意確定點(diǎn)AC29(2)1232(3)先證明△AOC≌△EPF可得PF=OC=2Pm,m2-m-20<m<4121212Fm,m-2,可得PF=-m2+2m-m2+2m=2mP的坐標(biāo)；32(4)NA向右平移單位得到MG,即四邊形MNAGNA=MG,AG=MN3211232=,即G0P2-3關(guān)于對(duì)稱軸x=的點(diǎn)P1,-3,則MP=MP1131323132PG=NA+MP=MG+MP≥PG=即可解答．1112(1)解：∵直線y=x-2與x軸交于點(diǎn)Ay軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=4A4,0x=0時(shí)，y=-2C0,-2；∵B(-10)，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax+1x-4a≠0，12把C0,-2代入可得：-2=a0+10-4a=，121232∴y=x+1x-4=x2-x-2，13∴拋物線的解析式為：y=x2-x-2．22(2)解：∵A4,0C0,-2，∴OC=2,OA=4,∴AC=OC2+AB2=25，=AC=25,OC⊥AD，11∴=OA=4,即D-4,0；11AD2=AC=25，∴=AD-AC=25-4,即D4-25,0；222AD3=AC=25，∴=AD+AC=25+4,即D4-25,0；233D的坐標(biāo)為D-4,0,D4+25,0,D4-25,0．123(3)∵PE∥x軸，∴∠PEA=∠OAC，∵PF∥y軸，∴∠PFE=∠OCA，∵=AC，∴△AOC≌△EPF,∴PF=OC=2,123212∵設(shè)Pm,m2-m-20<m<4Fm,m-2,12123212∴PF=m-2-m2-m-2=-m2+2m，1∴-m2+2m=2m=2(負(fù)值舍去)，2132當(dāng)m=2時(shí)，×22-×3-2=-3，2∴P2-3．301232(4)解：∵拋物線的解析式為：y=x2-x-2，32∴x=，32NA向右平移單位得到MG,∴四邊形MNAG是平行四邊形，32112∴NA=MG,AG=MN=,即G320,作P2-3關(guān)于對(duì)稱軸x=的點(diǎn)11,-3,則MP=MP111231322∴G=1-+-3-02=,3132∵NA+MP=MG+MP≥PG=，113132∴NA+MP的最小值為．3132故答案為．24.(2024·四川廣元·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中Fy=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-3,-1y軸交于點(diǎn)B0,2．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C接OC交AB于點(diǎn)D的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線y=-1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象FF與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線FBEGH為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊G點(diǎn)坐標(biāo)．(1)y=-x2-2x+2；98311(2)最大值為C的坐標(biāo)為-,；24(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為-2,0，2,4，4,6．(1)AB即可；(2)根據(jù)題意證明△∽△AB的解析式為y=mx+n出ABCt,-t2-2t+2Mt,t+2利用最值即可得到本題答案；(3)根據(jù)題意求出E1,-1BEBE為邊時(shí)繼而得到本題答案．31(1)解：A-3,-1B0,2代入y=-x2+bx+c，-9-3b+c=-1c=2b=-2c=2得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2-2x+2．(2)1C作x軸的垂線交AB于點(diǎn)M．∴CM∥y軸，∴△∽△，CMOBCM2∴==，設(shè)AB的解析式為y=mx+n，把A-3,-1B0,2代入解析式得m=1-3m+n=-1n=2，解得：，n=2∴y=x+2．設(shè)Ct,-t2-2t+2Mt,t+2，32942∴CM=-t2-3t=-t++，∵-3<t<0-1<0，3294∴當(dāng)t=-時(shí)，CMCM=．98311∴的最大值為C的坐標(biāo)為-,．24(3)F與F的公共點(diǎn)E為直線y=-1與拋物線F的右交點(diǎn)，∴-x2-2x+2=-1，∴x=-3(舍)x=1，12∴E1,-1．∵拋物線Fy=-x2-2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-1,3，∴拋物線F的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,-5，∴拋物線F的對(duì)稱軸為直線x=3．如圖2BEx-x=x-x=3，EGHB∴xG=-2，∴G-2,0．如圖3BEx-x=x-x=1，HGEB32∴xG=2，∴G2,4．如圖4x-x=x-x=1，GHEB∴xG=4，∴G4,6，G的坐標(biāo)為-2,02,44,6．25.(2024·天津·中考真題)將一個(gè)平行四邊形紙片OABCO0,0A3,0，點(diǎn)B,COC=2,∠AOC=60°．(1)C的坐標(biāo)為B的坐標(biāo)為；(2)若P為xP作直線l⊥xlO的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在xC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C．設(shè)OP=t．l與邊CB相交于點(diǎn)QCQ與?OABC重疊部分為五邊形時(shí)，33C與AB相交于點(diǎn)E．試用含有t的式子表示線段BEt的取值范圍；23114②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S≤t≤S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．(1)1,3,4,33252239534(2)①<t<≤S≤(1)OC=AB=2CB=OA=3∠B=∠AOC=60°CH=OC2-CH2=3(2)①由折疊得∠C=∠AOC=60°P=OP△A式化簡(jiǎn)，BE=AB-AE=5-2t與點(diǎn)AC與點(diǎn)Bt的取值233232MP=3t≤t<1時(shí)，1≤t≤時(shí)，<t<5252114，≤t≤(1)C作CH⊥OA∵四邊形OABC是平行四邊形，OC=2,∠AOC=60°A3,0∴OC=AB=2CB=OA=3∠B=∠AOC=60°，∵CH⊥OA∴∠OCH=30°1∴=OC=12∴CH=OC2-CH2=3∴C1，3∵CB=OA=3∴1+3=4∴B4，3故答案為：1，34，3(2)∵過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥xlO的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在x軸的正半軸上，∴∠C=∠AOC=60°P=OP，∴=2OP=2t∵A3,0∴OA=3∴=-OA=2t-3∵四邊形OABC為平行四邊形，∴AB=OC=2AB∥OC∠AB=∠AOC=60°∴△A是等邊三角形∴AE==2t-3∵BE=AB-AE∴BE=AB-AE=2-2t-3=5-2t∴BE=-2t+5；當(dāng)與點(diǎn)A重合時(shí)，341232此時(shí)AB與C的交點(diǎn)為E與A重合，OP=OA=C與點(diǎn)B重合時(shí)，CB+152此時(shí)AB與C的交點(diǎn)為E與B重合，OP==2352∴t的取值范圍為<t<；2C作CH⊥OA由(1)得出C1，3∠COA=60°MPOPMPt∴tan60°=，3=∴MP=3t2312121232當(dāng)≤t<1時(shí)，S=P=OP×MP=t×3t=t232∴>0t=0232∴在≤t<1時(shí)，S=t2隨著t的增大而增大323932∴≤S<；3當(dāng)1≤t≤235121212S=P+MC×MP=OP+CM×MP=t+t-1×33232=2t-1=3t-∴3>0S隨著t的增大而增大323232332323232∴在t=時(shí)S=3×-=-=3t=1時(shí)S=3×1-=；3232∴當(dāng)1≤t≤時(shí)，≤S≤3352∵當(dāng)<t<E2∵由①得出△A是等邊三角形，EN⊥AO121232∴AN==2t-3=t-，ENAN∴tan∠=3，3=3∴EN=3t-2-1312S=3t-=3t-××EN2332-2t-3×3t-221134=-3t2+43t-∵-3<0432×-33∴t=-=2時(shí)，S有最大值3525∴在<t<時(shí)，2-=2-222323211342∴S=-3×+43×-=33252534則在<t<時(shí)，3<S≤；52114當(dāng)≤t≤32123212732S=3t--×+BC×MP=3t--×2t-3+2t-5×3=-3t+∴-3<0S隨著t的增大而減小365211452114732∴在≤t≤t=t=分別代入S=-3t+52732114732334得出S=-3×+=3S=-3×+=52114334∴在≤t≤時(shí)，≤S≤3239534綜上：≤S≤性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．26.(2024·湖南·中考真題)已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-2,5Px,yQx,y是此二2112次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1x軸的正半軸交于點(diǎn)BP在直線ABP作PC⊥x軸于S△PDQS△ADC點(diǎn)CAB于點(diǎn)D接AC,DQ,PQ．若x=x+3證的值為定值；21(3)如圖2P在第二象限，x=-2xM在直線PQx-1點(diǎn)M作MN⊥x軸2于點(diǎn)NMN長(zhǎng)度的最大值．(1)y=-x2+911(2)為定值3374(3)(1)用待定系數(shù)法求解即可；(2)先求出直線AB的解析式，Px,-x2+9Qx+3,-x+32+9Dx,-x+3PD=111111SSx+2-x+3=-x+3入即可求解；1(3)設(shè)Px,-x2+9Q-2x,-4x2+9PQx=x-1代入即可求出線段MN長(zhǎng)度11111的最大值．(1)∵二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-2,5，∴5=-4+c，∴c=9，∴y=-x2+9；37(2)當(dāng)y=0時(shí)，0=-x2+9，∴x=-3,x=3，12∴B3,0，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，-2k+b=5∴，3k+b=0k=-1∴，b=3∴y=-x+3，設(shè)Px,-x12+9Qx+3,-x+32+9Dx,-x+3，，1111∴PD=-x2+9--x+3=-x2+x+6=x+2-x+3=-x+3．1111111Sx+2-x+3x+3-x111=3，∴∴=SSS-x+3x+211的值為定值；(3)設(shè)Px,-x2+9Q-2x,-4x2+9，1111設(shè)直線PQ的解析式為y=mx+n，mx+n=-x2+9∴11，-2mx+n=-4x2+911m=x1n=-2x2+9∴，∴y=xx-2x2+9，11當(dāng)x=x1-1時(shí)，123742y=xx-1-2x2+9=-x++，11111237∴當(dāng)x=-MN長(zhǎng)度的最大值．427.(2024·廣東·中考真題如圖1BD是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)>OBkx段BD為對(duì)角線作矩形ABCDAD∥x軸．反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．(1)y=的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．kx(2)如圖2沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在yB的坐標(biāo)為1,2k的值．(3)如圖3沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)EAAC交BD于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙O．若OP=32⊙O與△ABCk的取值范圍．38163(1)證明見(jiàn)解析；(2)k=(3)6≤k≤8kkamkx(1)設(shè)Bm,maAm,m,k的代數(shù)式表示出C,amy=驗(yàn)證即可得解；mBE(2)先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出DC=k-22=D作DH⊥yBk4作BF⊥y△DHE∽△EFBHF=2+HF=DC即可得解；(3)當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)BD作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)Hk⊙O過(guò)點(diǎn)A據(jù)A，C關(guān)于直線對(duì)軸知，⊙O必過(guò)點(diǎn)CAOCOD作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)Hk的k的取值范圍．km(1)設(shè)Bm,maAm,，∵AD∥x軸，km∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，kmkm∴將y=代入y=ax中得：=ax得，kamkammkam∴x=∴D∴C，k,，,am，kamkkx∴將x=代入y=中得出y=am，∴函數(shù)y=的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；x(2)∵點(diǎn)B1,2在直線y=ax上，∴a=2，∴y=2x，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，k∵函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC，xk2k2∴C∴D2A1,k，k，∴DC=k-2，∵把矩形沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，k2∴BE=BC=-1∠BED=∠=90°，39DCBCk-2BE∴==2=，k-12D作DH⊥yB作BF⊥y軸，∵AD∥x軸，∴HAD三點(diǎn)共線，∴∠HED+∠=90°∠+∠EBF=90°，∴∠HED=∠EBF，∵∠DHE=∠=90°，∴△DHE∽△EFB，DHHEBFBEk∴===2,∵BF=1DH=2k4∴HE=2=，k4∴HF=2+，由圖知，HF=DC，k∴2+=k-2，4163∴k=；(3)∵把矩形沿BDC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為EEA重合，∴AC⊥BD，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，∠ABP=∠=45°，APsin45°12∴AB=BC====2APAP=PC=BP=ACBP⊥AC，∵BC∥x軸，∴直線y=ax∴y=x，當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)BD作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，∵AD∥x軸，∴HAD三點(diǎn)共線，∵以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙OOP=32，∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32，∴AP=2，∴AB=AD=2AP=2BD=2AP=22BO=AC=2AP=22，∵AB∥y軸，∴△DHO∽△，HOABHO2DHADDH2DOBD22+22∴∴====，，22∴HO=HD=4，∴HA=HD-=4-2=2，∴A2,4，40∴k=2×4=8，當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)A時(shí)據(jù)AC關(guān)于直線對(duì)軸知，⊙O必過(guò)點(diǎn)CAOCOD作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，∵AO=OC=AC,∴△AOC為等邊三角形，∵OP⊥AC，12∴∠AOP=×60°=30°，33∴AP=tan30°×OP=×32=6=PDAC=BD=2AP=26，∴AB=AD=2AP=23=BP+PD=32+6，∵AB∥y軸，∴△DHO∽△，HOABHO23DHADDH23DOBD∴∴==，32+6==,26∴HO=HD=3+3，∴HA=HD-=3+3-23=3-3，∴A3-3,3+3，∴k=3-3×3+3=6,∴當(dāng)⊙O與△ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為6≤k≤8．題的關(guān)鍵．28.(2024·四川達(dá)州·中考真題)如圖1y=ax2+kx-3與x軸交于點(diǎn)A-3,0和點(diǎn)B1,0y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2接ACDC線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M點(diǎn)P是直線ACS△PMC=2S△DMC點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)DNAC為頂點(diǎn)的三角形是等腰三N41(1)y=x2+2x-3(2)P1,0或P-4,5；(3)N-1,14或-1,-14或-1-1或-1，17-3(1)(2)先求得C,M,D△S=2S出S=2MBMD交x軸于點(diǎn)EME=EB=2得出△MBE得S=2P與點(diǎn)B重合時(shí)符合題意，P1,0B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)PBP的解析式為y=-x+1(3)勾股定理求得AC,AN,CN2(1)解：∵拋物線y=ax2+kx-3與x軸交于點(diǎn)A-3,0和點(diǎn)，B1,09a-3k-3=0∴a+k-3=0a=1解得：k=2∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3；(2)由y=x2+2x-3x=0時(shí)，y=-3C0,-3∵y=x2+2x-3=x+12-4D-1,-4x=-1設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b入A-3,0C0,-311-3k1+b=0b1=-3∴k1=-1b1=-3解得：∴直線AC的解析式為y=-x-3，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2M-1,-2∴MC=12+-2+32=2,MD=-2--4=2,=12+-3+42=2∴MD2=MC2+2∴△是等腰三角形，12∴S=2S=2××2=2連接MBMD交x軸于點(diǎn)EME=EB=2∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°BM=22，又∠DMC=45°∴BM⊥AC1212∴S=×MC×BM=×2×22=2∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)符合題意，P1,0B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)直線BP的解析式為y=-x+mB1,0代入得，0=-1+m解得：m=1∴直線BP的解析式為y=-x+1y=-x+1聯(lián)立y=x2+2x-342x=-4x=1y=5，解