局部環(huán)的整閉包定理

17/20局部環(huán)的整閉包定理第一部分局部環(huán)的定義與性質(zhì) 2第二部分整閉環(huán)的定義與性質(zhì) 4第三部分局部環(huán)的整閉包存在性 6第四部分整閉包的性質(zhì) 8第五部分整閉包與分式域的關(guān)系 10第六部分環(huán)上多項(xiàng)式的整閉包 12第七部分局部環(huán)整閉包的構(gòu)造 14第八部分整閉包定理的應(yīng)用 17

第一部分局部環(huán)的定義與性質(zhì)局部環(huán)的定義

局部環(huán)是指滿足以下條件的交換環(huán)R：

*R中存在唯一的一個(gè)極大理想，稱為該環(huán)的唯一極大理想。

*R中的非零元素可以表示為可逆元素和唯一極大理想中的元素之和。

性質(zhì)

唯一分解性質(zhì)：

局部環(huán)R中的任意非零元素都可以唯一分解為素元素的乘積。

代數(shù)閉包：

局部環(huán)R的代數(shù)閉包（即包含R的最小代數(shù)閉域）是其唯一極大理想的剩余域。

分歧數(shù)：

局部環(huán)R的分歧數(shù)是指其唯一極大理想的素元素個(gè)數(shù)。

擴(kuò)張：

如果S是R的環(huán)擴(kuò)張，并且S的唯一極大理想包含R的唯一極大理想，那么S也是局部環(huán)。

射影模：

每個(gè)局部環(huán)都具有一個(gè)稱為其射影模的自由模。該射影模的秩等于局部環(huán)的分歧數(shù)。

完備性：

局部環(huán)R是完備的當(dāng)且僅當(dāng)其唯一極大理想是一個(gè)閉理想，即對(duì)任何理想I，如果I的所有冪都包含在唯一極大理想中，那么I本身也包含在唯一極大理想中。

正則性：

局部環(huán)R是正則的當(dāng)且僅當(dāng)其維數(shù)等于其分歧數(shù)。

柯恩定理：

如果R是局部環(huán)，并且M是R上的有限生成模，那么M是自由模當(dāng)且僅當(dāng)M沒有任何包含在唯一極大理想中的極大子模。

納格塔定理：

如果R是局部環(huán)，并且M是R上的有限生成模，那么M是射影模當(dāng)且僅當(dāng)M沒有任何包含在唯一極大理想中的極大正規(guī)子模。

非交換局部環(huán)（準(zhǔn)局部環(huán)）：

非交換局部環(huán)（準(zhǔn)局部環(huán)）是指具有有限個(gè)極大右理想和左理想的非交換環(huán)。其性質(zhì)與交換局部環(huán)類似，但由于非交換性，其理論更為復(fù)雜。

點(diǎn)局部環(huán)：

點(diǎn)局部環(huán)是指其極大理想由一個(gè)元素生成的局部環(huán)。點(diǎn)局部環(huán)的性質(zhì)與交換局部環(huán)類似，但其更為簡(jiǎn)單，因?yàn)槠湮ㄒ粯O大理想是主理想。

局部環(huán)的應(yīng)用：

局部環(huán)在代數(shù)幾何、數(shù)論和交換代數(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如：

*在代數(shù)幾何中，局部環(huán)用于研究代數(shù)簇在點(diǎn)處的局部性質(zhì)。

*在數(shù)論中，局部環(huán)用于研究整數(shù)在局部域中的分解性質(zhì)。

*在交換代數(shù)中，局部環(huán)用于構(gòu)造環(huán)的完備化和局部化，并用于研究代數(shù)擴(kuò)張和環(huán)的同調(diào)代數(shù)。第二部分整閉環(huán)的定義與性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)整閉環(huán)的定義

1.定義：整閉環(huán)是指一個(gè)環(huán)，其元素的乘積可以表示為環(huán)中元素的和。

2.等價(jià)定義：一個(gè)環(huán)R是整閉的當(dāng)且僅當(dāng)它與它的分式域的整閉包相等。

3.判別準(zhǔn)則：一個(gè)noetherian環(huán)是整閉的當(dāng)且僅當(dāng)它的局部化對(duì)所有素理想都是整閉的。

整閉環(huán)的性質(zhì)

1.局部化的性質(zhì)：整閉環(huán)的局部化仍然是整閉的。

2.同態(tài)性質(zhì)：整閉環(huán)上的同態(tài)映射對(duì)應(yīng)的環(huán)仍然是整閉的。

3.閉包性質(zhì)：一個(gè)整閉環(huán)的子環(huán)或商環(huán)可能是但不必是整閉的。不過(guò)，它們總是包含在其整閉包中。

4.包含性質(zhì)：對(duì)于任何環(huán)R，其整閉包是包含R的最小整閉環(huán)。整閉環(huán)的定義與性質(zhì)

定義：

局部環(huán)R稱為整閉環(huán)，如果R中每個(gè)非零非單位元都可以寫成不可約元素的乘積。

性質(zhì)：

*不變性質(zhì)：R是整閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)其局部化S^-1R也是整閉環(huán)，其中S是R的乘法閉子集。

*笛卡爾積的性質(zhì)：如果R_1和R_2是整閉環(huán)，則R_1×R_2也是整閉環(huán)。

*同態(tài)的性質(zhì)：如果R是整閉環(huán)，?:R→S是同態(tài)環(huán)射，則S是整閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)ker(?)為整理想。

*局部化性質(zhì)：R是整閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)其每個(gè)素理想都是極大理想。

*升鏈性質(zhì)：局部環(huán)R的整閉環(huán)升鏈終止于某個(gè)整閉環(huán)。

*整閉化：每個(gè)局部環(huán)R都有一個(gè)唯一的極大整閉環(huán)擴(kuò)張，稱為R的整閉包，記作￣R。

*整閉理想：局部環(huán)R中的理想P稱為整閉理想，如果P中的每個(gè)非零非單位元都可以寫成P中不可約元素的乘積。

*升初性質(zhì)：如果P是局部環(huán)R中的整閉理想，則P^(n)也是整閉理想，其中n是任意正整數(shù)。

*擴(kuò)張性質(zhì)：如果R是局部環(huán)，P是R中的整閉理想，則P在R的整閉包￣R中也是整閉理想。

*成環(huán)性質(zhì)：如果R是局部環(huán)，P是R中的素理想，則R/P是整閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)P是整閉理想。

*值環(huán)性質(zhì)：每個(gè)值環(huán)是整閉環(huán)。

*整元素性質(zhì)：局部環(huán)R中的非零非單位元b是整元素當(dāng)且僅當(dāng)R[b]是整閉環(huán)。

*拉普拉斯擴(kuò)張性質(zhì)：如果R是局部環(huán)，P和Q是R中的極大理想，那么R的拉普拉斯擴(kuò)張￣RP￣RQ￣PQ￣QP都是整閉環(huán)。

與不可約元素的關(guān)系：

*不可約元素性質(zhì)：局部環(huán)R中的非零非單位元a是不可約元素當(dāng)且僅當(dāng)Ra是整閉理想。

*極大理想性質(zhì)：素理想是極大理想當(dāng)且僅當(dāng)它包含了局部環(huán)的所有不可約元素。

與階躍環(huán)的關(guān)系：

*階躍環(huán)性質(zhì)：階躍環(huán)是局部環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)其商環(huán)是整閉環(huán)。第三部分局部環(huán)的整閉包存在性關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)局部環(huán)的整閉包存在性

主題名稱：局部環(huán)的同構(gòu)

1.局部環(huán)同構(gòu)于商環(huán)：設(shè)R是局部環(huán)，m是R的極大理想，則R同構(gòu)于商環(huán)R/m。

2.完備局部環(huán)的同構(gòu)：設(shè)R是局部環(huán)，m是R的極大理想，若R完備，則R同構(gòu)于冪級(jí)數(shù)環(huán)k[[X_1,...,X_n]]，其中k是R/m的常數(shù)域。

3.局部環(huán)與代數(shù)閉域的同構(gòu)：若R是域R的局部化，則R同構(gòu)于R[X]/(f)，其中f是R[X]中不可約多項(xiàng)式。

主題名稱：局部擴(kuò)充

局部環(huán)的整閉包存在性

在環(huán)論中，整閉包定理是一個(gè)重要的結(jié)果，它指出每個(gè)局部環(huán)都有一個(gè)整閉包。在這個(gè)定理中，整閉包的存在性是一個(gè)關(guān)鍵方面，以下是其內(nèi)容的詳細(xì)闡述：

定義：整閉環(huán)

一個(gè)環(huán)R被稱為整閉環(huán)，如果對(duì)于R中的所有非零非單位元素a，只要a滿足多項(xiàng)式方程f(a)=0，其中f(x)是R[x]中的非零多項(xiàng)式，那么a就是R中的單位元。

定理陳述：局部環(huán)的整閉包存在性

每個(gè)局部環(huán)R都有一個(gè)整閉包，即存在一個(gè)環(huán)S，滿足以下性質(zhì)：

*R是S的子環(huán)。

*S是整閉環(huán)。

*對(duì)于任何整閉環(huán)T，如果R?T，則S?T。

換句話說(shuō)，S是包含R的所有整閉環(huán)的最小環(huán)，因此稱為R的整閉包。

證明概述：

整閉包定理的存在性證明基于以下步驟：

1.擴(kuò)張R為一個(gè)代數(shù)閉域：將R的元素附加到一個(gè)代數(shù)閉域K中，得到一個(gè)K上的域擴(kuò)張K/R。

2.在K中構(gòu)造整閉環(huán)：在K中，構(gòu)造一個(gè)包含R的整閉環(huán)S，它是R的整閉包。

3.證明S是R的整閉包：證明S滿足整閉包的定義，即它包含R，是整閉的，并且是RcontainedinT的所有整閉環(huán)T的最小環(huán)。

證明細(xì)節(jié)：

步驟1：擴(kuò)張R為代數(shù)閉域

將R的元素附加到一個(gè)代數(shù)閉域K中，得到一個(gè)域擴(kuò)張K/R。K中的每個(gè)元素都可以表示為R的元素的代數(shù)組合，因此K/R是一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張。

步驟2：在K中構(gòu)造整閉環(huán)

步驟3：證明S是R的整閉包

*包含性：R?S是顯然的。

*整閉性：假設(shè)s∈S不是單位元，并且s滿足f(s)=0，其中f(x)∈S[x]是非零多項(xiàng)式。由于S是整閉環(huán)，因此s是S中不可約元素。由于S是代數(shù)閉域，因此s也是K中不可約元素。因此，s是一個(gè)代數(shù)閉不可約元素，所以s是一個(gè)代數(shù)數(shù)。由于s∈S，因此s是R的代數(shù)組合，所以s∈R。這與s?R矛盾，因此S是整閉的。

*極小性：假設(shè)T是另一個(gè)包含R的整閉環(huán)，并且R?T。由于S是整閉的，并且R?S，因此T?S。這證明了S是包含R的所有整閉環(huán)的最小環(huán)，因此S是R的整閉包。

因此，定理得到了證明，每個(gè)局部環(huán)R都有一個(gè)整閉包S。

意義和應(yīng)用：

整閉包定理的存在性對(duì)于環(huán)論和代數(shù)幾何等領(lǐng)域具有重要意義。它提供了局部環(huán)的完整性理論的基礎(chǔ)，并且在代數(shù)幾何中用于構(gòu)造完備的代數(shù)簇。此外，它在數(shù)論中也有一些應(yīng)用，例如在整數(shù)論中用于研究代數(shù)整數(shù)的算術(shù)性質(zhì)。第四部分整閉包的性質(zhì)局部環(huán)的整閉包性質(zhì)

定義：

局部環(huán)R的整閉包是R中所有整元構(gòu)成的子環(huán)，記作Int(R)。

基本性質(zhì)：

1.整閉性：整閉包Int(R)是一個(gè)整閉環(huán)。

2.包含性：Int(R)包含R中的所有整元。

3.極大性：Int(R)是R中包含所有整元的最大整閉子環(huán)。

4.商環(huán)的整閉包：局部環(huán)R的商環(huán)S的整閉包等于Int(R)在S中的象環(huán)。

5.局部化環(huán)的整閉包：局部環(huán)R的局部化環(huán)S的整閉包等于Int(R)在S中的象環(huán)。

6.多項(xiàng)式環(huán)的整閉包：多項(xiàng)式環(huán)R[x]的整閉包是Int(R)[x]，其中Int(R)是R的整閉包。

其他性質(zhì)：

1.素元性質(zhì)：局部環(huán)R中的素元在Int(R)中仍然是素元。

2.最大理想：局部環(huán)R中的最大理想m在Int(R)中仍然是最大理想。

3.秩：局部環(huán)R的秩等于Int(R)的秩。

4.延展：局部環(huán)R的整閉包的延展是Int(R)的延展。

5.正則性：局部環(huán)R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Int(R)是正則環(huán)。

6.Cohen-Macaulay性：局部環(huán)R是Cohen-Macaulay環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Int(R)是Cohen-Macaulay環(huán)。

7.Gorenstein性：局部環(huán)R是Gorenstein環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Int(R)是Gorenstein環(huán)。

8.緊環(huán)：局部環(huán)R是緊環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Int(R)是緊環(huán)。

9.諾特環(huán)：局部環(huán)R是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Int(R)是諾特環(huán)。

應(yīng)用：

整閉包定理在代數(shù)幾何和交換代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，包括：

*代數(shù)簇的奇點(diǎn)理論：整閉包定理可以用來(lái)研究代數(shù)簇的奇點(diǎn)。

*交換環(huán)的性質(zhì)：整閉包定理可以用來(lái)確定交換環(huán)的性質(zhì)，例如正則性、Cohen-Macaulay性和Gorenstein性。

*代數(shù)幾何的構(gòu)造：整閉包定理可以用來(lái)構(gòu)造代數(shù)簇上的閉子簇和閉嵌入。

證明：

整閉包定理的證明涉及一系列技術(shù)和定理，主要包括：

*Krull高度定理

*鏈條件

*Cohen定理

*環(huán)論中的局部化技術(shù)第五部分整閉包與分式域的關(guān)系關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)局部環(huán)的整閉包與分式域的關(guān)系

主題名稱：整閉包的本質(zhì)

1.局部環(huán)A的整閉包B是A的擴(kuò)張域，使得B中每個(gè)代數(shù)元素都是B中一個(gè)單項(xiàng)式的根。

2.整閉包B捕捉了A中不可約元素的本質(zhì)，這些元素在B中保持不可約性。

3.B具有與A相同的域分式域，即B分式域與A分式域同構(gòu)。

主題名稱：整閉包的構(gòu)造

局部環(huán)的整閉包與分式域的關(guān)系

局部環(huán)的整閉包定理揭示了局部環(huán)與其分式域之間的聯(lián)系，具體如下：

整閉包定理

整閉化與分式域的同態(tài)

從局部環(huán)$R$到其分式域$K$存在一個(gè)自然同態(tài)$\iota:R\rightarrowK$，定義為$r\mapstor/1$。這個(gè)同態(tài)滿足以下性質(zhì)：

*它是單射的（注入的）。

*它的像$\iota(R)$是$K$中的子環(huán)。

*$\iota(R)$是$K$的一個(gè)整環(huán)。

整環(huán)化

*$R_K$與$\iota(R)$同構(gòu)。

*$R_K$是$K$的一個(gè)整環(huán)。

*$R_K$是$R$在$K$中的整閉包。

整閉包定理的證明

整閉包定理的證明涉及以下幾個(gè)步驟：

*證明$\iota(R)$是$K$的一個(gè)整環(huán)。

*證明$R_K$是$R$在$K$中的整閉包。

*證明$\iota(R)$與$R_K$同構(gòu)。

具體證明過(guò)程涉及環(huán)論中的一些基本概念和技巧，例如整環(huán)、整閉包和同構(gòu)映射。

整閉包定理的意義

整閉包定理揭示了局部環(huán)與其分式域之間的重要關(guān)系，具體體現(xiàn)在以下方面：

*整閉性的傳遞性：局部環(huán)的整閉包是一個(gè)整環(huán)。

*對(duì)分式域的描述：局部環(huán)的分式域是其整閉包的商域。

*對(duì)局部環(huán)的刻畫：局部環(huán)可以看作是其整閉包在分式域中的分式環(huán)。

*在代數(shù)幾何中的應(yīng)用：整閉包定理在代數(shù)幾何中用于研究局部環(huán)與其規(guī)范群之間的關(guān)系，稱為齊次坐標(biāo)環(huán)定理。第六部分環(huán)上多項(xiàng)式的整閉包關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【多項(xiàng)式的定義域】

1.局部環(huán)R上的多項(xiàng)式環(huán)R[x]是R上的代數(shù)。

2.環(huán)R的分式域K上的一個(gè)多項(xiàng)式f(x)可寫成f(x)=g(x)/h(x)，其中g(shù)(x)和h(x)是R[x]中的多項(xiàng)式且h(x)≠0。

【多項(xiàng)式的因式分解】

環(huán)上多項(xiàng)式的整閉包

在環(huán)論中，給定一個(gè)環(huán)R，其多項(xiàng)式環(huán)R[x]中的理想A被稱為是整閉的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意在R[x]/A中整除多項(xiàng)式f(x)的多項(xiàng)式g(x)，如果g(x)的首系數(shù)在A中，那么g(x)也在A中。

環(huán)R上多項(xiàng)式的整閉包，記作cl(R)，是R[x]中所有整閉理想的交。它由滿足以下條件的所有多項(xiàng)式組成：

*其首系數(shù)在R中；

*其余因子在cl(R)中。

局部環(huán)的整閉包定理

如果R是局部環(huán)，即R只有一個(gè)極大理想m，那么cl(R)等于R[x]的所有在m[x]中收斂的冪級(jí)數(shù)構(gòu)成的理想。換句話說(shuō)，cl(R)是由所有形如

```

```

的多項(xiàng)式組成，其中a_n∈R且對(duì)于某個(gè)N，對(duì)于所有n>N，都有a_n∈m^n。

證明：

首先，我們證明冪級(jí)數(shù)理想包含在cl(R)中。令I(lǐng)為冪級(jí)數(shù)理想。對(duì)于I中的多項(xiàng)式f(x)，其首系數(shù)在R中。假設(shè)g(x)整除f(x)，其中g(shù)(x)的首系數(shù)在m中。那么g(x)的其余因子h(x)在I中。因此，f(x)=g(x)h(x)∈cl(R)，故I?cl(R)。

接下來(lái)，我們證明cl(R)包含在冪級(jí)數(shù)理想中。令f(x)∈cl(R)。存在理想A?R[x]，使得f(x)∈A。由于R是局部環(huán)，因此A=m^nI，其中I是R[x]的理想。因此，f(x)可以表示為m^ng(x)，其中g(shù)(x)∈R[x]。

對(duì)于任何n>N，令h_n(x)=m^ng(x)。則h_n(x)≡f(x)(modm^n)。因此，對(duì)于足夠大的n，h_n(x)在m^n[x]中收斂到f(x)。因此，f(x)∈I，故cl(R)?I。

綜合以上兩點(diǎn)，我們得到cl(R)=I。

推論：

對(duì)于局部環(huán)R，其整閉包c(diǎn)l(R)是一個(gè)整閉域。

證明：

令K=cl(R)。由于K是理想，因此它是一個(gè)環(huán)。對(duì)于K中的非零元素f(x)，其逆元g(x)可以表示為冪級(jí)數(shù)：

```

```

其中b_n∈R。由于K是閉合的，因此b_n∈K對(duì)于所有n。因此，g(x)∈K，故K是一個(gè)域。

由于K是包含R的子域，且它是由在m[x]中收斂的冪級(jí)數(shù)組成的，因此K是整閉的。

應(yīng)用：

局部環(huán)的整閉包定理在代數(shù)幾何中有著重要的應(yīng)用，例如用于研究代數(shù)曲線的局部性質(zhì)。它還用于證明其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的整閉性，例如代數(shù)數(shù)域。第七部分局部環(huán)整閉包的構(gòu)造關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)局部環(huán)的擴(kuò)張

1.局部擴(kuò)張的概念：局部環(huán)R擴(kuò)張到S，使得S是R的代數(shù)擴(kuò)張，且S也是局部環(huán)，其極大理想是R極大理想在S中的擴(kuò)張。

2.擴(kuò)張過(guò)程中的性質(zhì)：擴(kuò)張后，兩個(gè)環(huán)的極大理想包含關(guān)系不變，S的剩余域與R的剩余域同構(gòu)。

3.擴(kuò)張的例子：域擴(kuò)張、有限生成擴(kuò)張、整閉包擴(kuò)張等。

局部環(huán)的整閉包

1.局部環(huán)整閉包的概念：局部環(huán)R的整閉包C(R)是R的擴(kuò)張，使得C(R)的整數(shù)環(huán)B(C(R))等于R。

2.整閉包的構(gòu)造：局部環(huán)R的整閉包C(R)可通過(guò)以下方式構(gòu)造：將R的元素集合視為C(R)的元素，并定義C(R)的加法和乘法運(yùn)算，使得C(R)是R的代數(shù)擴(kuò)張，且其整數(shù)環(huán)等于R。

3.C(R)的性質(zhì)：C(R)是局部環(huán)，其極大理想是R的極大理想在C(R)中的擴(kuò)張，且C(R)的剩余域與R的剩余域同構(gòu)。

Cohen擴(kuò)展

1.Cohen擴(kuò)展的概念：給定局部環(huán)R，其Cohen擴(kuò)展T(R)是R的擴(kuò)張，使得T(R)中的無(wú)零因子元素都是R中的單位。

2.Cohen擴(kuò)展的構(gòu)造：Cohen擴(kuò)展可通過(guò)加入R中所有無(wú)限生成理想的生成元構(gòu)造。

3.Cohen擴(kuò)展的性質(zhì)：Cohen擴(kuò)展T(R)是局部環(huán)，其極大理想是R極大理想的擴(kuò)張，且T(R)的剩余域與R的剩余域同構(gòu)。

局部環(huán)整閉包的極大理想

1.極大理想的性質(zhì)：局部環(huán)整閉包C(R)的極大理想P等于R的極大理想在C(R)中的擴(kuò)張，即P=RP。

2.極大理想的生成：極大理想P可以由C(R)中所有滿足f(r)=0的元素f構(gòu)成，其中r是R中的元素。

3.極大理想的拓?fù)湫再|(zhì)：極大理想P在C(R)的Zariski拓?fù)渲惺情]集，并且Zariski拓?fù)渲惺諗康絇的理想鏈的交集也等于P。

局部環(huán)整閉包的Krull維數(shù)

1.Krull維數(shù)的概念：局部環(huán)的Krull維數(shù)是指其極大理想鏈的最大長(zhǎng)度，即環(huán)的嵌入維數(shù)。

2.整閉包的Krull維數(shù)：局部環(huán)R的整閉包C(R)的Krull維數(shù)等于R的Krull維數(shù)。

3.Krull維數(shù)的計(jì)算：計(jì)算局部環(huán)整閉包的Krull維數(shù)可以通過(guò)研究其極大理想鏈來(lái)實(shí)現(xiàn)。

局部環(huán)整閉包的Anwendungen

1.代數(shù)幾何中的應(yīng)用：局部環(huán)整閉包在代數(shù)幾何中應(yīng)用廣泛，如研究曲線的奇點(diǎn)類型、代數(shù)簇的解析性等。

2.數(shù)論中的應(yīng)用：局部環(huán)整閉包在數(shù)論中也有應(yīng)用，如研究數(shù)域的整數(shù)環(huán)、素?cái)?shù)分解等。

3.其他領(lǐng)域的應(yīng)用：局部環(huán)整閉包還可以在其他領(lǐng)域中找到應(yīng)用，如編碼理論、物理學(xué)等。局部環(huán)整閉包的構(gòu)造

簡(jiǎn)介

局部環(huán)的整閉包定理指出，每個(gè)局部環(huán)都存在一個(gè)惟一的整閉環(huán)作為其整閉包。該定理的構(gòu)造性證明提供了構(gòu)造整閉包的明確步驟。

構(gòu)造步驟

步驟1：基本引理

對(duì)于局部環(huán)(R,m)，其極大理想為m，若a∈R，則以下條件等價(jià)：

*a屬于R的整閉包。

*對(duì)所有m的素冪n，a^n∈m^n。

步驟2：定義

定義R的整閉包S如下：

步驟3：證明S是R的整閉子環(huán)

*S是一個(gè)環(huán)，因?yàn)閍、b∈S意味著(a+b)^n=a^n+b^n∈m^n對(duì)所有n，因此a+b∈S。

*S是R的子環(huán)，因?yàn)閍∈S意味著a^n∈m^n對(duì)所有n，因此a^n∈R對(duì)所有n。

*S是一個(gè)整閉環(huán)，因?yàn)閷?duì)于a、b∈S，若ab∈S，則(ab)^n=a^nb^n∈m^n對(duì)所有n。由于S是一個(gè)環(huán)，a^n∈S對(duì)所有n，這表明b∈S。

步驟4：證明S是R的整閉包

*S是R的整閉子環(huán)。

*對(duì)于任何整閉環(huán)T，若R?T，則S?T。這是因?yàn)?，?duì)于a∈S，若a^n∈m^n對(duì)所有素冪n，則a^n∈T對(duì)所有n，因此a∈T。

推論

局部環(huán)R的整閉包S是惟一的，因?yàn)槿魏纹渌]包也必須包含S。

例子

*整數(shù)環(huán)Z的整閉包是自身，因?yàn)閆已經(jīng)是整閉環(huán)。

*多項(xiàng)式環(huán)k[x]在域k上的整閉包是k[x,x^(-1)]，其中k[x,x^(-1)]表示包含所有形式為ax^n的多項(xiàng)式的環(huán)，其中a∈k且n∈Z。

*形式冪級(jí)數(shù)環(huán)k[[x]]在域k上的整閉包是k((x))，其中k((x))表示包含所有形式為a_0+a_1x+a_2x^2+...的冪級(jí)數(shù)的環(huán)，其中a_i∈k。第八部分整閉包定理的應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)局部環(huán)的整閉包定理的應(yīng)用

主題名稱：整數(shù)論

1.定理提供了唯一分解定理的存在性，確保了整數(shù)唯一分解的存在性，簡(jiǎn)化了許多整數(shù)論問題的研究。

2.整閉包定理在證明代數(shù)數(shù)域中整數(shù)環(huán)的唯一分解性質(zhì)中扮演了至關(guān)重要的角色，為整數(shù)論的研究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.定理還用于理解數(shù)論中理想的概念，并為研究數(shù)論中的環(huán)和域提供了有價(jià)值的工具。

主題名稱：代數(shù)幾何

整閉包定理的應(yīng)用

整閉包定理在代數(shù)幾何和交換代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，它為理解局部環(huán)和整環(huán)的幾何和代數(shù)性質(zhì)提供了