2024年高考物理一輪復習與訓練：動態(tài)平衡問題 平衡中的臨界、極值問題（解析版）

訓練三動態(tài)平衡問題平衡中的臨界、極值問題

題型一動態(tài)平衡問題

【學問梳理】

1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).

2.做題流程

受力化“動”為“靜”畫不同狀態(tài)下的平衡“靜”中求“動”

分析圖構造矢量三角形*

,定三T住牛分四析依據矢量三角形邊長關系確定矢量的大小變化

J=、［三角函數關系

定量計皂正弦定理一找關系求極值

、〔相像三角形

3.常用方法

（1）圖解法

此法常用于定性分析三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的狀況.

（2）解析法

對爭辯對象進行受力分析，畫出受力示意圖，依據物體的平衡條件列方程或依據相像三角形、正弦定理，

得到因變量與自變量的函數表達式（通常為三角函數關系），最終依據自變量的變化確定因變量的變化.

考向1“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

1.一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形,

分析力的大小變化，如圖甲所示.

2.一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化,

在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值消滅，如圖乙所示.

【例11（多選）如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A,A的左端緊靠豎直

墻，力與豎直墻之間放一光滑圓球8已知力物體的半徑為球6的半徑的3倍，球6所受的重力為G,整個

裝置處于靜止狀態(tài).設墻壁對6的支持力為4對6的支持力為若把力向右移動少許后，它們仍處于

靜止狀態(tài)，則￡、K的變化狀況分別是（）

A.A減小B.4增大

C.K增大D.K減小

答案AD

r

解析以球6為爭辯對象，受力分析如圖所示，可得出S=Gtan9,F=-----當/向右移動少許后,

2cos8

個減小，則E減小，K減小，故A、D正確.

【變式訓練1】（多選）如圖所示，在傾角為。的斜面上，放一質量為力的小球，小球和斜面及擋板間均無摩

擦，當擋板繞。點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中（）

A.斜面對球的支持力漸漸增大

B.斜面對球的支持力漸漸減小

C.擋板對小球的彈力先減小后增大

D.擋板對小球的彈力先增大后減小

答案BC

解析對小球受力分析知，小球受到重力儂、斜面的支持力風和擋板的彈力壓,如圖，當擋板繞。點逆時

針緩慢地轉向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，依據平衡條件得知，品和民的合力與重力儂大

小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力易漸漸減

小，擋板對小球的彈力壓先減小后增大，當用和施垂直時，彈力壓最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.

考向2“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

1.一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力

構成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相像，則對應邊比值相等.

基本矢量圖，如圖所示

基本關系式：號

riKL

2.一力恒定，另外兩力方向始終變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不

變，結合正弦定理列式求解，也可以作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，依據不同位置推斷各力的大小變化.

基本矢量圖，如圖所示

【例2】（2023?寧夏銀川一中檢測）如圖所示，質量分布均勻的細棒中心為。點，a為光滑錢鏈，a為光滑

定滑輪，且。在a正上方，細繩跨過。與。連接，水平外力/作用于細繩的一端.用小表示較鏈對桿的作

it

用力，現在水平外力廠作用下，。從萬緩慢減小到0的過程中，下列說法正確的是（）

A.尸漸漸變小，A大小不變

B.尸漸漸變小，區(qū)漸漸變大

C.6先變小再變大，A漸漸變小

D.6先變小再變大，A漸漸變大

答案A

解析受力分析如圖所示，力三角形與幾何三角形gaoa）相像，貝情與=與=與，由于aa、。。長度

（Jz5U5U5

不變，故A大小不變，弦長度變短，故尸變小，故A正確，B、C、D錯誤.

VTF

%Na

7777777777.777777/7777777777777

尸

【例3】（多選）如圖，松軟輕繩卸的一端。固定，其中間某點〃拴一重物，用手拉住繩的另一端”初始時,

兀

做豎直且撤被拉直,0M與脈之間的夾角為a（a>—）.現將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角a不變.在

第由豎直被拉到水平的過程中（）

A.瞅上的張力漸漸增大

B.加V上的張力先增大后減小

C.加上的張力漸漸增大

D.。/上的張力先增大后減小

答案AD

解析以重物為爭辯對象分析受力狀況，受重力儂、。〃繩上拉力R、四上拉力月，由題意知，三個力的合

力始終為零，矢量三角形如圖所示，E、K的夾角不變，在月轉至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓

上，由圖可知，可上的張力月漸漸增大，上的張力月先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯誤.

考向3“活結”的動態(tài)分析

如圖所示，"活結”兩端繩子拉力相等，因結點所受水平分力相等，Asin^i=Asin02,故%=02=外,

依據幾何關系可知，sin9=-^—=y,若兩桿間距離d不變，則上下移動繩子結點，。不變，若兩桿距

L\~rL2L

離d減小，則夕減小，2Rcos9=mg,萬=樂力也減小.

d

【例4】如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不行伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重

物G.現將輕繩的一端固定于支架上的4點，另一端從8點沿支架緩慢地向C點靠近（C點與/點等高）.則

在此過程中繩中拉力（）

B.先變大后變小

C.先變小后不變D.先變小后變大

答案A

解析對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力肯定相等，即4=用，由幾何關系易知繩子拉

力方向與豎直方向夾角相等，設為夕，可知

mgE5

甲乙

mg

-----T?

Fi=Fi=2-cos，

如圖乙所示，設繩長為人,由幾何關系得sin②

其中d為兩端點間的水平距離，由8點向，點移動過程中，，先變大后不變，因此個先變大后不變，由①式

可知繩中拉力先變大后不變，故A正確.

題型二平衡中的臨界、極值問題

【學問梳理】

1.臨界問題

當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好消滅”或“恰好不

消滅”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：

（1）由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.

（2）繩子恰好繃緊，拉力尸=0.

⑶剛好離開接觸面，支持力A=0.

2.極值問題

平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.

3.解題方法

（1）極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必需在變

化中去查找，不能停留在一個狀態(tài)來爭辯臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和微小.

⑵數學分析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系（或畫出函數圖像），

用數學方法求極值（如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值）.

（3）物理分析方法：依據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則

進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.

【例5】如圖所示，物體的質量為必=5kg,兩根輕細繩和/C的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體

hUBAC=^=60°）,在物體上另施加一個方向與水平線也成《角的拉力凡若要使兩繩都能伸直，求拉

力戶的大小范圍.（g取lOm/s?）

f45（h/3____100廠

答案NW慶-小N

解析設繩的拉力為A,4。繩的拉力為對物體受力分析，由平衡條件有

Aos0—7^—Acos。=0,

Fsin0+jF{sin。一儂=0,

一,口mgFi.mg

可付F="T-F\F—~T+7":T.

sin8f2cos82sin，

若要使兩繩都能伸直，則有￡20,￡20,

則戶的最大值幾,=-^=乎fN,

sin。3Y

/的最小值溫n=9儂〃=孚4N,

2sm〃3V

即拉力）的大小范圍為5個的NWg34PN.

【變式訓練2】如圖所示，質量0=5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力尸作用下，向右以

詼=2.0m/s的速度做勻速直線運動.己知金屬塊與地面間的動摩擦因數〃=0.2,g=10m/s。.求所需拉力

尸的最小值.

答案24N

解析設拉力與水平方向夾角為依據平衡條件有此os。=〃（加g—咫in。），整理得cos9+〃sin。

，尸？sin（“+G=^（其中sina=得?。?。與一。時尸最小，故所需拉力廠的最

小值入N.

強基固本練

1.如圖所示,在水平放置的木棒上的欣N兩點，系著一根不行伸長的松軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環(huán).現

將木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小角度，則關于輕繩對從“兩點的拉力R、K的變化狀況，下列推斷

正確的是（）

一.------------「一、

A.R和K都變大B.E變大，R變小

C.￡和月都變小D.￡變小，K變大

答案C

解析由于是一根不行伸長的松軟輕繩，所以繩子的拉力大小相等.木棒繞其左端逆時針緩慢轉動一個小

角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環(huán)的合力大小等于小金屬環(huán)的重力大小，保持不變，所以繩子

上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤.

2.（2023?山東煙臺市高三模擬）如圖所示，用一個質量不計的網兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的4點，足

球與墻壁的接觸點為8若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止狀態(tài)，關于懸繩對球的拉力廠和墻壁對球

的支持力A，下列說法正確的是（）

A.戶和A都增大B.戶增大，A減小

C.尸減小，人增大D.6和A的合力不變

答案D

解析對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足汽。s。=儂'，墻壁對球的支持力滿足tan0=—,

所以當增大懸繩的長度時，夾角夕減小，則由幾何關系知cos夕增大，tan個減小，所以尸和A都減小,

故A、B、C錯誤；由于足球始終保持靜止狀態(tài)，所以6和A的合力始終與儂等大反向，故D正確.

3.如圖所示，輕繩戶0能承受的最大張力為80N,現用它懸掛一質量為4kg的物體，然后在輕繩的中點。

施加一水平向左的力凡使中點。緩慢向左移動，已知重力加速度g=10m/s，則當輕繩斷裂瞬間，繩的

尸。段與豎直方向的夾角為（）

〃/〃〃/〃/〃/

P

F

<-------O

占

A.30°B.45°

C.53°D.60°

答案D

解析設當輕繩斷裂瞬間，繩的戶。段與豎直方向的夾角為心由平衡條件可得COS0=m^a=4-0-N=-1,解

rTmoilINZ

得9=60°,D正確.

4.（2023?廣東汕尾市高三月考）新疆是我國最大的產棉區(qū)，在新疆超出70%棉田都是通過機械自動化采收,

自動采棉機能夠在采摘棉花的同時將棉花打包成圓柱形棉包，通過采棉機后側可以旋轉的支架平穩(wěn)將其放

下，放下棉包的過程可以簡化為如圖所示模型，質量為R的棉包放在“V”型擋板上，兩板間夾角為120。

固定不變，“V”型擋板可繞戶軸在豎直面內轉動.初始時在板水平，在使彼板逆時針緩慢轉動60°的過

程中，忽視“V”型擋板對棉包的摩擦力，下列說法正確的是（）

A.如板水平常，棉包受到兩個力的作用

B.當在板轉過60°,力產板水平常，棉包受到三個力的作用

C.當即板轉過30°時，棉包對/產板和成板的作用力大小不相等

D.在轉動過程中棉包對在板的壓力不變

答案A

解析成板水平?；?戶板水平常棉包都只受到重力和支持力兩個力作用，故A正確，B錯誤；當即板轉

過30°時，兩板與水平方向夾角相等，由對稱性知，棉包對/尸板和外板的作用力大小相等，故C錯誤；

在轉動過程中棉包對織板的壓力減小，故D錯誤.

5.（多選）（2023?湖南岳陽市十四中高三檢測）如圖所示，水平面和豎直面構成的垂直墻角處有一個截面為

半圓的光滑柱體，用細線拉住的小球靜止靠在半圓柱體的尸點（一點靠近底端）,通過細線將小球從尸點緩慢

向上拉至半圓柱體的最高點，細線方向始終保持與半圓相切.此過程中（）

A.細線對小球的拉力漸漸減小

B.圓柱體對小球的支持力漸漸減小

C.水平地面對圓柱體的支持力漸漸減小

D.圓柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小

答案AD

解析對小球進行受力分析，如圖所示

依據平衡條件有風=峻059,R=mgsin9,當細線將小球從產點緩慢向上拉至半圓柱體的最高點過程

中，個漸漸減小，則細線對小球的拉力片漸漸減小，圓柱體對小球的支持力品漸漸增大，A正確，B錯誤；

對圓柱體與小球整體分析，如圖所示，依據平衡條件有43=ACOS。癖in2<9,而sin。+忌=（科4g,

JI

當細線將小球從戶點緩慢向上拉至半圓柱體的最高點過程中，。在0?萬范圍內變化，。漸漸減小，故顯

漸漸增大，入先增大后減小，C錯誤、D正確.

6.（2023嚀夏六盤山高級中學模擬）如圖所示,某健身者右手拉著抓把沿圖示位置6水平緩慢移動到位置4

不計繩子質量，忽視繩子和重物與全部構件間的摩擦，/、氏重物共面，則重物上升過程中（）

A.繩子的拉力漸漸增大

B.該健身者所受合力漸漸減小

C.該健身者對地面的壓力漸漸減小

D.該健身者對地面的摩擦力漸漸增大

答案D

戶

__.

?Mg

解析由題意可知，重物和健身者始終處于動態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩

上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力儂，A、B錯誤；對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可

知，在豎直方向，則有Asin0+R>=Mg,又有鼻=mg,可得尺=儂一儂sin0,在水平方向，則有"cos9

=月，當從6水平緩慢移到/時，夕角漸漸變小，地面對健身者的支持力漸漸變大，地面對健身者的摩擦力

漸漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力漸漸增大，健身者對地面的摩擦力漸漸增大，C錯誤，

D正確.

7.（2023?云南昆明市檢測）如圖所示，兩質量均為m的小球a、灰均可看成質點）固定在輕桿兩端，用兩條

與輕桿等長的細線懸掛在。點，整個系統(tǒng)靜止時，細線和輕桿構成正三角形，用力尸緩慢拉動小球6,保持

兩細線繃緊，最終使連接a球的細線豎直，重力加速度大小為g,則連接a球的細線豎直時，力廠的最小值

是（）

1B.4mg

A.萬儂

c.mgD.小mg

答案B

解析末狀態(tài)時，左邊小球a在最低點，細線施處于豎直方向，小球a處于平衡狀態(tài)，合外力沿水平方向

的重量為零，則此時輕桿上的彈力為零，故右側小球6受到重力、細線例的拉力和力尸作用處于平衡狀態(tài)，

如圖所不，由幾何關系可知，當拉力戶方向與龍垂直時拉力尸最小，可得最小拉力Fmn=mgsin60°

選項B正確，A、C、D錯誤.

8.如圖所示為一簡易起重裝置，/C是上端帶有滑輪的固定支架，加為質量不計的輕桿，桿的一端C用錢鏈

固定在支架上，另一端8懸掛一個質量為7的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪/連接在卷揚機上.開頭時，桿

正與/C的夾角/紀4>90°,現使/加緩慢變小，直到/8。=30°（不計一切阻力）.在此過程中，桿8c

所產生的彈力（）

B.漸漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

答案A

解析以結點方為爭辯對象，分析受力狀況，作出力的合成圖如圖，依據平衡條件知，F、冗的合力戶臺與G

大小相等、方向相反.

FAFR

依據三角形相像得方=另=講又尸合=G,

ACADDC

/口ABBC

得#=方G,Ei=-G

/iC/iC

緩慢變小的過程中，46變小，而〃、6c不變，則尸變小，A不變，故桿比'所產生的彈力大小不變,

故選A.

9.（2023?河北邯鄲市模擬）如圖所示，置于水平地面的木板上安裝有豎直桿，在桿上48兩點間安裝長為

2d的輕繩，兩豎直桿間距為〃48兩點間的高度差為彳現有帶光滑輕質鉤子、質量為勿的物體鉤住輕繩

且處于平衡狀態(tài)，重力加速度為g.下列說法正確的是（）

A.開頭平衡時輕繩的張力大小為儂

B.開頭平衡時輕繩的張力大小為華

C.若將繩子的/端沿豎直桿上移，繩子拉力將變大

D.若將木板繞水平軸必緩慢向紙面外旋轉，輕繩的張力先增大后減小

答案B

解析設結點左側繩長為，，結點右側繩長為心，有11COS%+Lcose2=d,由水平方向受力平衡，有

Acose\=Reos即，有cos夕i=cos02=，，=1'，豎直方向受力平衡，有2月sin%=儂,解得74=理篦

A錯誤，B正確；將繩子的A端沿豎直桿上移或將木板繞水平軸切緩慢向紙面外旋轉，由A、B中分析可知，

由于/、6兩點的水平間距不變，左右兩部分與水平方向夾角不變，所以繩子拉力大小不變，C、D錯誤.

10.（2023?河北唐山市模擬）北方農村秋冬季節(jié)常用金屬絲網圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米

棒裝的不均勻而發(fā)生傾斜現象，為避開傾倒，在左側用木棍支撐，如圖所示.若支撐點距水平地面的高度

為第m,木棍與水平地面間的動摩擦因數為W，木棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜

摩擦力等于滑動摩擦力，為使木棍下端不發(fā)生側滑，則木棍的長度最大為（）

A.1.5mB.y[3m

C.2mD.2^3m

答案C

解析設木棍與水平方向夾角為明木棍長度為￡,糧倉對木棍的作用力大小為凡則為使木棍下端肯定不

發(fā)生側滑，由平衡條件有Aos。W〃代ine,由幾何學問有tan兩式聯立解得LW2m,

即木棍的長度最大為2m,故A、B、D錯誤，C正確.

11.（多選）如圖所示，一光滑的輕滑輪用細繩懸掛于。點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛質量為〃的

物塊4另一端系一位于固定光滑斜面上且質量為2〃的物塊8,斜面傾角夕=45。，外力廳沿斜面對上拉

物塊8使物塊6由滑輪正下方位置緩慢運動到和滑輪等高的位置，則（）

.〃〃〃〃〃〃〃/

A.細繩的拉力先減小后增大

B.細繩對物塊6的拉力大小不變

C.斜面對物塊8的支持力先減小后增大

D.外力廠漸漸變大

答案BCD

解析由題可知，物塊緩慢移動，整體處于動態(tài)平衡狀態(tài)，則繩的拉力大小等于下面繩對力的拉力和

繩對6的拉力的合力大小，由于繩對力的拉力和繩對6的拉力大小相等，都等于力物塊的重力的大小，但

是由于8物塊上移，導致二者之間的夾角變大，則依據平行四邊形定則可知合力變小，即繩0。的拉力漸

漸減小，故A錯誤，B正確；對物塊6受力分析如圖所示，當物塊6