2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)：構(gòu)造三角形全等方法-截長(zhǎng)補(bǔ)短和倍長(zhǎng)中線

專題1.15構(gòu)造三角形全等方法—截長(zhǎng)補(bǔ)短和倍長(zhǎng)中線

（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

當(dāng)不能直接證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，可以通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使它們?cè)趦蓚€(gè)合適的三角

形之中，再證這兩個(gè)三角形全等，本專題介紹截長(zhǎng)補(bǔ)短法和倍長(zhǎng)中線法.

【知識(shí)點(diǎn)一】截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)法：在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證明剩下的線段與另一短邊相等.

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段至與另一條已知的較短線段的長(zhǎng)度相等，然后證明新線段與最長(zhǎng)的已

知線段的關(guān)系.

【知識(shí)點(diǎn)二】倍長(zhǎng)中線法

倍長(zhǎng)中線：是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn),

則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等.常用于構(gòu)造全等三角形.中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和

證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】截長(zhǎng)補(bǔ)短

［例1］（23-24八年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）

1.如圖，在“BC中，/8=60。，的角平分線4D、CE相交于點(diǎn)O,求證：AE+CD=AC.

【變式1］（20-21八年級(jí)上?安徽淮北?階段練習(xí)）

2.如圖，在四邊形N8CD中，是/民4c的平分線，且若

AC=a,BD=b,則四邊形N5DC的周長(zhǎng)為（）

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

CD

A.1.5(a+Z7)B.2a+bC.3a-bD.a+2b

【變式2】

3.如圖，已知在A48C中，平分N/CB,ZA=2ZB,BC=a,AC=b,則4D=

(用含服6的代數(shù)式表示).

【題型2】倍長(zhǎng)中線

【例2】（23-24八年級(jí)上?河北廊坊?期末）

4.下面是多媒體上的一道習(xí)題：

請(qǐng)將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整

解：延長(zhǎng)/。至點(diǎn)￡,使ED=AD,連接BE.

E

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

???4D是。8C的中線，

/.CD=,

在A/CD和中，

AD=ED

<NADC=_（）

_=BD

.?.△ACDmAEBD（填判定定理用字母表示）

:.BE=AC=,

在A48E中，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系可知：

_________<AE<_________

又；AE=2AD

_________<AD<_________

【變式1]（2024?山東臨沂?一模）

5.如圖，點(diǎn)。是“BC的邊8C上的中線，48=6,ZD=4,則NC的取值范圍為（）

A.2<AC<14B.2<AC<12

C.1<AC<4D.1<^C<8

【變式2]（23-24八年級(jí)上?四川德陽(yáng)?階段練習(xí)）

6.如圖，在“8c中，/￡>為邊的中線，￡為4D上一點(diǎn),連接5E并延長(zhǎng)交NC于點(diǎn)

F，若ZAEF=NFAE,BE=5,EF=2,則C/的長(zhǎng)為

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

A

F

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例】（2021?黑龍江大慶?中考真題）

jDDry

7.已知，如圖1,若/。是“8C中/A4c的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得7/;不，同理,

AC/Czi.z

若NE是“3C中/A4c的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求

解如下問(wèn)題：如圖2,在AABC中，AD=2,C。=3,/。是^ABC的內(nèi)角平分線，則^ABC的BC

邊上的中線長(zhǎng)/的取值范圍是

圖1圖2

2、拓展延伸

【例1】（23-24八年級(jí)上?江蘇南通?期中）

8.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,03c中，若N8=6,/C=4,求3C

邊上的中線/。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所

示，延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E,使DE=4D,連接BE.請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

⑴由已知和作圖能證得△4DC也得到3E=/C,在中求得24D的取值范圍,

從而求得AD的取值范圍是.

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊

之間的關(guān)系；

(2)如圖2,4D是“的中線，==+b=180。，試判斷線段40

與E尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,在“8C中，RE是3C的三等分點(diǎn).求證：AB+AC>AD+AE.

【例2】(23-24八年級(jí)上?江西南昌?期中)

9.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題提出

如圖1,在“BC中，4D平分NA4C,交BC于點(diǎn)、D,且乙4c8=2/3,則4B,CD,AC

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

方法運(yùn)用

(1)我們可以通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)解題.如圖2,延長(zhǎng)/C至點(diǎn)E,使得

AE=AB,連接。E,……，請(qǐng)判斷CD,/C之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過(guò)程.

(2)以上方法叫做“補(bǔ)短法”.我們還可以采用“截長(zhǎng)法”，即通過(guò)在上截取線段構(gòu)造全等

三角形來(lái)解題.如圖3,在線段上截取22,使得/尸二①,連接②.請(qǐng)補(bǔ)

全空格，并在圖3中畫(huà)出輔助線.

延伸探究

(3)小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長(zhǎng)法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問(wèn)題.如圖4,在五

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

邊形43CDE中，EA=ED,AB+DC=BC,//+/。=180。，若N8CD=120。，求NBCE

的度數(shù).

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1.證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到乙4。。=120。，

NAOE=NCOD=60。,在4c上截取/b=4￡,連接。尸，分別證明△49Eg』》(SAS),

△COD也△C?(ASA),得到CQ=C尸，即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：???/8=60。，

ABAC+ZACB=180°-Z5=120°,

VAD>CE分別平分/氏4C、NACB,

ZOAC=ZOAB=-ABAC,AOCA=ZOCB=-ZACB,

22

AOAC+ZOCA=1ABAC+1ZACB=；(/胡C+/ACB)=60°,

:.ZAOC=120°,

Z.AOE=ZCOD=180°-ZAOC=60°,

如圖，在/C上截取/尸=ZE,連接。尸，

BC

在△/OE和力。9中，

AE=AF

<ZOAE=ZOAF,

AO=AO

.?.△ZOE絲"0尸(SAS),

:.ZAOE=ZAOF=60°,

ZCOF=ZAOC-ZAOF=120°-60°=60°,

???/COD=60。，

ZCOD=ZCOF,

在△COD和△CO尸中，

ZOCD=ZOCF

<co=co,

ZCOD=ZCOF

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

/.△C0Z)^AC(9F(ASA),

/.CD=CF,

???AF=AE,

:.AF+CF=AE+CD=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔

助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

2.B

【分析】在線段AC上作AF=AB,證明△AEFw^AEB可得4AFE=4B,ZAEF=ZAEB,再

證明△CEFwACED可得CD=CF,即可求得四邊形Z80C的周長(zhǎng).

【詳解】解：在線段AC上作AF=AB,

???AE是/A4c的平分線，

.-.ZCAE=ZBAE,

又???AE=AE,

.-.AAEF=AAEB(SAS),

.,.ZAFE=ZB,ZAEF=ZAEB,

vABHCD,

.-.ZD+ZB=18O°,

vzAFE+zCFE=180°,

???4D=4CFE,

???AE上CE,

.-.ZAEF+ZCEF=9O°,zAEB+zCED=90°,

.-.ZCEF=ZCED,

在ACEF和4CED中

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

ND=/CFE

/CEF=/CED,

CE=CE

.-.△CEF=ACED(AAS)

???CE=CF,

???四邊形ABDC的周長(zhǎng)=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷.能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)

鍵.

3.a-b

【分析】在CB上截取CA』CA,連接DA-根據(jù)SAS證明aADC三△ADC,根據(jù)

△ADC^AA'DC,得出DA，=DA,zCArD=zA,再證明DA，=A，B即可解決問(wèn)題.

【詳解】在CB上截取CA』CA,連接D",

???CD平分NACB,

???4ACD=NA'CD,

CA=CAy

在AADC和△ADC中，=,

CD=CD

??.△ADCKADC(SAS),

??.DA，=DA,zCArD=zA,

vzA=2zB,zCArD=zB+zArDB,

.,.zArDB=zB,

??.BA，=A，D=AD,

??.BC=CA，+BA』AC+AD

??.AD=BC-AC=a-b,

故答案為：a-b.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

等，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.見(jiàn)解析

【分析】主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，延長(zhǎng)/。至點(diǎn)E,

^ED=AD.證明△/CD絲△E8D,推出4。=8￡=3,再利用三角形的三邊關(guān)系，可得結(jié)

論；

【詳解】解：延長(zhǎng)/。至點(diǎn)￡,使ED=4D,連接BE,

???4D是“BC的中線，

CD=BD,

在A/CD和中，

AD=ED

<ZADC=NE8。(對(duì)頂角相等)

CD=BD

；.AACD咨AEBD(SAS),

BE=AC=3,

在“BE中，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系”可知：

1<AE<7,

又,:AE=2AD,

0.5<AD<3.5.

5.A

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔

助線，構(gòu)造全等三角形.

延長(zhǎng)至E,^DE=AD,連接CE.由&4S證明絲AECD,得CE=4B=6,再根

據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解.

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】解：延長(zhǎng)40至￡,使DE=4D,連接CE.

貝ijAE=2AD=8,

VAD是邊5c上的中線,

；,CD=BD,

在△43。和AECD中,

AD=ED

<ZADB=ZEDC,

BD=CD

.“ABD%ECD〈SAS),

：.CE=AB=6,

在中，AE-EC<AC<AE+EC,

即8-6<4C<8+6,

2<AC<14f

故選：A.

6.3

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).延長(zhǎng)/。至G,使

DG=AD,連接BG,根據(jù)SAS證明△5OG絲則3G=NC,NC/D=NG,根據(jù)

AF=EFBTMACAD=AAEF,由此可得NG=NBEG,即可得出/C=AE=5,然后利用線

段的和差即可求出CF的長(zhǎng).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

A

如圖，延長(zhǎng)40至G,使。G=Z。，連接8G,

在△ADG和中

'BD=CD

<ZBDG=ZCDA,

DG=DA

.\ABDG^ACDA(SAS),

BG=AC,NCAD=/G.

?:/AEF=/FAE,ABEG=ZAEF,

ACAD=ZBEG,

/.ZG=/BEG,

BG=BE=5,

:.AC=BE=5.

???ZAEF=ZFAE,

/.AF=EF=2,

:.CF=AC-AF=5-2=3.

故答案為：3

1725

7.-</<—

22

【分析】根據(jù)題意得到兼=彳，設(shè)AB=2k,AC=3k,在△N8C中，由三邊關(guān)系可求出左

的范圍，反向延長(zhǎng)中線NE至尸，使得4E=EF,連接CF,最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解

題.

【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線4E至尸，使得力￡=斯，連接CF,

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

???8。=2，。。=3,/。是。3。的內(nèi)角平分線,

.4B_BD_2

\4C~CD~3

可設(shè)45=2左，AC=3k,

在△/BC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

???1<左<5,

BE=EC

???</AEB=ZCEF

AE=EF

:AABE.FCE（SAS）

AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

k<AF<5k

125

故答案為：-<Z<y.

【點(diǎn)睛】

本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí),

是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

8.⑴1<4。<5

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

⑵EF=2AD,證明見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長(zhǎng)中線輔助線方法

是解題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,根據(jù)題意證明,可知

BM=AC,在A/W中，^iAB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)延長(zhǎng)到使得=連接aI/,由(1)的結(jié)論以及已知條件證明

“BMaEAF,進(jìn)而可得/"=240,由=E尸，即可求得40與E尸的數(shù)量關(guān)系；

(3),取DE中點(diǎn)連接/”并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，使得4H=QH,連接0E和0C,通過(guò)“倍

長(zhǎng)中線”思想全等證明，進(jìn)而得到NB=C。，/。=石。,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等

式證明即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1所示，延長(zhǎng)4D到點(diǎn)￡,^DE=AD,連接BE.

???ND是A48C的中線，

BD=CD,

在AMDB和AADC中，

'BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

AMDB%4DC(SAS),

:.BM=AC-4,

在A/A攸中，AB-BM<AM<AB+BM,

6-4<AM<6+4,§P2<AM<10,

1<AD<5,

故答案為：1<4D<5.

(2)EF=2AD,理由：

如圖2,延長(zhǎng)4D到使得DM=4D,連接即/,

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

E

由(1)知，△ADM之a(chǎn)C￡%(SAS),

BM=AC,AM=ZMAC

vAC=AF,

???BM=AF,

???/MBA+ZM+ZBAM=180°,即ZMBA+ABAC=180°,

又???/BAE+ZCAF=180°,

???/胡尸+ZB/C=180。，

???ZEAF=/MBA,

又??,AB=EA,

.?.△■修△及4廠(SAS),

??.AM=EF,

,-AD=DM,

AM=2AD,

???AM=EF,

???EF=2AD.

(3)證明：如圖所示，取DE中點(diǎn)a,連接并延長(zhǎng)至0點(diǎn)，使得=,連接

和0C,

???漢為中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn),

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

DH=EH,BD=DE=CE,

??.DH=CH,

在△45〃和△QC〃中，

'BH=CH

<ZBHA=ZCHQ,

AH=OH

同理可得：△ADH'QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此時(shí)，延長(zhǎng)/E交。。于K點(diǎn)，

■.■AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

,-.AC+CQ>AK+QK,

,:AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

,-.AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE.

9.(1)AB=CD+AC,見(jiàn)解析

(2)①AC②DF,見(jiàn)解析

(3)60°

【分析】(1)利用SAS證明△RlDg/XEN。，得出=從而證得=所以

CD=CE,