中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六講二次函數(shù)綜合大題（解析版）

模塊三函數(shù)

第六講二次函數(shù)綜合大題

直擊中考勝券在握

線段周長問題、面積問題、角度問題

1.(2023?四川內(nèi)江中考)如圖，拋物線y=a/+bx+c與x軸交于4(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C.直線I與拋物線交于4、D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線Z上方，連接P4、PD,求當(dāng)4P4D面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最

大值；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且N&DQ=45。，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=—；/+%+3,直線/的解析式為y=[x+l；(2)4P4D的面積的最

大值為？，P(l，v)-⑶Q的坐標(biāo)為(0點(diǎn))或(0,—9).

44J

【解析】

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法解決問題即可.

(2)如圖1中，過點(diǎn)P作P￡0y軸交A。于點(diǎn)E.設(shè)P(加，-/層力康)，則￡(加，-m+l\因?yàn)?/p>

S^PAD=^?(xD-xA)?PE=3PE,所以PE的值最大值時(shí)，△以。的面積最大，求出PE的最大值即可.

(3)如圖2中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,則T(-5,6),設(shè)￡>T交y軸于點(diǎn)。，貝U

媯。。=45。，作點(diǎn)T關(guān)于A。的對(duì)稱點(diǎn)T(1,-6),設(shè)。。'交y軸于點(diǎn)。'，則她。。=45。，分別求出直線

DT,直線。7的解析式即可解決問題.

【詳解】

解：⑴?.?拋物線丫=。/+板+￡：與乂軸交于4(一2,0)、8(6,0)兩點(diǎn),

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(%-6),

解得，x=—2,或x=6,

。(4,3)在拋物線上，

?*-3=Q(4+2)X(4—6),

解得a=—；,

4

???拋物線的解析式為y=—：(%+2)(%-6)=-I—+%+3,

??,直線I經(jīng)過4(-2,0)、。(4,3),

設(shè)直線［的解析式為y=kx+m(fcw0),

則/2々+血=0

I4fc+m=3

解得，［fe=l,

kb=1

?,?直線Z的解析式為y=|x+1；

(2)如圖1中，過點(diǎn)P作PE〃y軸交AD于點(diǎn)F.設(shè)P(jn,-；病+巾+則?(771[771+1).

4

1

SAPAD=--(xD-xA)-PF=3PF,

??.PF的值最大值時(shí)，4P4D的面積最大，

111y11?9

PF=——m7z+m+3——m—1=——m+-m+2=——(m—1Y+

42424k74’

-i<0,

4

.??m=l時(shí)，PF的值最大，最大值為，此時(shí)/PAD的面積的最大值為?P(L?

44

(3)如圖2中，將線段2D繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,則7(-5,6),

設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q,貝吐4DQ=45°,

???。(4,3),

???直線CT的解析式為y=-i%+y,

1R

???(2(0,y)，

作點(diǎn)T關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)r'(L-6),

則直線。〃的解析式為y=3x—9,

設(shè)OQ'交y軸于點(diǎn)Q'，貝吐40Q'=45°,

Q'(0,-9),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,葭)或(0,-9).

【點(diǎn)睛】

本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造特殊三角形解決問題.

2.(2023?廣西貴港中考)如圖，已知拋物線>=辦2+匕尤+。與x軸相交于4—3,0),B兩點(diǎn)，與y軸相交

于點(diǎn)C(0,2),對(duì)稱軸是直線x=—1,連接AC.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若過點(diǎn)B的直線/與拋物線相交于另一點(diǎn)。，當(dāng)0ABZ)=aBAC時(shí)，求直線/的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)。在x軸下方時(shí)，連接AD,此時(shí)在y軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P,使

S&BDP=|SA4BD，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=——打+2；⑵y=—疑+|或y=|x—I；(3)(―5,-8)或(―1,9或(一2,2)

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)對(duì)稱軸得出b=2a,再由點(diǎn)C的坐標(biāo)求出c=2,最后將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解，即

可得出結(jié)論；

(2)分兩種情況，回、當(dāng)點(diǎn)。在久軸上方時(shí)，先判斷出4E=BE,進(jìn)而得出點(diǎn)E在直線久=-1上，再求出點(diǎn)

E的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線Z的解析式；回、當(dāng)點(diǎn)。在x軸下方時(shí)，判斷出8D〃4C,即可得出結(jié)

論；

(3)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出44BD的面積，得出4PBD的面積，設(shè)P(m,-|mI23-1m+2)(m<

0),過P作y軸的平行線交直線8D于尸，得出|),進(jìn)而表示出PF,最后用面積建立方程求解，即

可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)???拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,

by

-----—―19

2a

???b=2a,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),

c-2,

?,?拋物線的解析式為y=ax2+2ax+2,

???點(diǎn)/(一3,0)在拋物線上，

???9a—6。+2=0,

2

CL=-----,

3

bI=2Qa=——4,

3

???拋物線的解析式為y=—|/—："+2；

(2)回、當(dāng)點(diǎn)。在x軸上方時(shí)，如圖1,

記BD與4c的交點(diǎn)為點(diǎn)E,

???乙ABD=Z.BAC,

AE=BE,

,直線x=-1垂直平分4B,

.?.點(diǎn)E在直線％=-1上，

???點(diǎn)做-3,0),C(0,2),

直線4C的解析式為y=|久+2,

當(dāng)x——1時(shí)，y=%

,4

???點(diǎn)

???點(diǎn)4(-3,0)點(diǎn)B關(guān)于x=-1對(duì)稱，

.-■5(1,0),

.??直線8。的解析式為y=-1x+1,

即直線2的解析式為y=—|x+|；

回、當(dāng)點(diǎn)。在久軸下方時(shí)，如圖2,

???/-ABD=Z.BAC,

??.BD//AC,

由回知，直線AC的解析式為y=|x+2,

.??直線8。的解析式為y號(hào)

即直線I的解析式為y=|x—|；

綜上，直線/的解析式為y=+|或y=|"—|；

(3)由(2)知，直線B0的解析式為y=|x—|①,

???拋物線的解析式為y=-|%2-|X+2@,

4(Y=0A或(x=-4

???0(-4,一5)，

?e-SAABD=|XB'\yD\=jx4Xy=y,

3

I^ABDP=2%4BD，

c320?八

=5X3=1。，

??,點(diǎn)P在y軸左側(cè)的拋物線上，

??.設(shè)P(m,—|m2一1m+2)(m<0),

過P作y軸的平行線交直線BD于F,

pp-|-|m2—1m+2—(|m—1)|=||m2+2m—11,

SABDP=|PF-(xB-%o)=|x11病+2m-||x5=10,

?,-m——5或m=2(舍)或m=-1或m=-2,

P(_5,-8)或(-1$或(-2,2).

【點(diǎn)睛】

此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)系中求三角形面積的方法，求

出點(diǎn)。的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

3.(2023?甘肅蘭州中考)如圖1,二次函數(shù)、=僦乂+3)(久一4)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)4,B(0,—2),點(diǎn)P為x

軸上一動(dòng)點(diǎn).

圖I圖2

(1)求二次函數(shù)y=a(久+3)(x-4)的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P作PQlx軸分別交線段4B,拋物線于點(diǎn)Q,C,連接2C.當(dāng)。P=1時(shí)，求ANCQ的面積；

(3)如圖2,將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段PD.

①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②點(diǎn)E(2,-|)在拋物線上，連接尸E,當(dāng)PE平分乙8尸。時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)y-^x2——2；(2)［；(3)①￡)(3,—1)或(—8,10)；②(一：,0)或(2,0).

DO4D

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)以及已知條件，將B的坐標(biāo)代入即可求得a的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式；

(2)依題意根據(jù)(1)的解析式求得4的坐標(biāo)，進(jìn)而求得tan/OAB=%據(jù)此求得PQ,根據(jù)OP=1進(jìn)而求

得C的坐標(biāo)，根據(jù)SUCQ=j-QC-4P即可求得44CQ的面積；

(3)①過。作。F_Lx軸，分。點(diǎn)在x軸上方和下方兩種情況討論，證明ABOP三APF。，設(shè)P(a,0),

D(a+2,-a)將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入(1)中拋物線解析式中即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)情形2,方法同情形1；

②分當(dāng)PE不平行于y軸和PE〃y軸兩種情況討論，當(dāng)當(dāng)PE不平行于y軸時(shí)，過點(diǎn)B作1BP交PE于點(diǎn)M,

過點(diǎn)M作MH10B于點(diǎn)H,證明ABOP三AM"'進(jìn)而可得P的坐標(biāo)，當(dāng)PE〃y軸時(shí)，結(jié)合已知條件即可求得

P的坐標(biāo).

【詳解】

(1)?.?二次函數(shù)y=a(x+3)(x-4)的圖象經(jīng)過B(0,-2)

—12a=-2

解得a=1

6

1

y=a(x+3)(%—4)=:(％+3)(%—4)

6

11

???y=-x?--X—2

66

(2)由y=力(％+3)(%—4),令y=0

6

解得%1=-3,%2=4

???4(4,0),。/=4

0B21

tanZ-OAB=■—=-=-

0A42

???當(dāng)OP=1時(shí)，PA=OA-OP=4-1=3

13

PQ=PA-tanZ-OAB=-x3=-

“22

-1

??.x=1,則yc=-(1+3)(1-4)=-2

co

1113

■■-S^ACQ=1-QC-AP=1x1x3=1；

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)。作DFLAP于點(diǎn)F,

由、=三X2一工x-2,令％=0,

66

解得y=-2

???8(0,—2),0B=2

???乙FPD+乙PDF=90°,

???將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段PD,

???乙BPD=90°

???40PB+乙FPD=90°

??.Z,0PB=乙PDF

??,乙BOP=乙PFD=90°,PB=DP

??.△BOP=△PFD

.?.BO=PF=2,OP=DF,

設(shè)OP=OF=a(a>0),

OF=OP+PF=a+2

:.D(a+2,—CL)

???。點(diǎn)在拋物線上，

1

**?—(Q+2+3)(Q+2—4)=-ct

解得a1=l,a2=—10(舍)

當(dāng)點(diǎn)。在X軸上方時(shí)，如圖,

過點(diǎn)。作。F14P于點(diǎn)F,設(shè)。F=a(a>0)

同理可得△BOP三4PFD

：.BO=PF=2,DF=OP=a+2

??D(-CL,Q+2)

???。點(diǎn)在拋物線上，

1

?'?—(—u+3)(—a—4)=a+2

6

解得的.=8,a2=-3(舍去)，

???￡)(-8,10)

綜上所述，0(3,-1)或(一8,10)；

②當(dāng)PE不平行于y軸時(shí)，過點(diǎn)B作交PE于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MH108于點(diǎn)”，如圖,

???乙BPE=45°,

??,BP1BM,

???乙HBM+Z.PBO=90°,

???乙BOP=乙BHM=90。，PB=BM

???乙HBM+乙PBO=90°

???（BPO+（PBO=90°

???乙BPO=4HBM

???乙BOP=乙BHM=90。,PB=BM

BOP=△MHB

???HM=OB=2

-2

???當(dāng)PE不平行于y軸時(shí)，瓦M(jìn)重合，

-ABOP=AMHB,￡仁，一|）

51

OP=BH=OB-OH=2--=--

33

1

???P（一于0）

當(dāng)PE〃y軸時(shí)，如圖,

X

止匕時(shí)孫=xE

則P（2,0）

綜上所述，當(dāng)PE平方NBPD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,0）或（2,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，正切的定義，三角形全等的性質(zhì)與判

定，分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?青海西寧中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-gx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,

與y軸交于點(diǎn)8，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,拋物線經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，S.ABAO=ADAO,求證：OB=OD；

（3）在（2）的條件下，若直線4。與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)E,連接BE,在第一象限內(nèi)的拋物線上是否

存在一點(diǎn)P,使四邊形8E4P的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及四邊形BE4P面積的最大值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=-滓+%+3；⑵見解析；（3）存在，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是（3,與時(shí)，四邊形BE4P面積的最

大值是2

【解析】

【分析】

(1)由一次函數(shù)y=-}x+3可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)證明△BOA三AD。力即可解決；

(3)過點(diǎn)E作EMly軸于點(diǎn)由S-BE=S-BD-S"DE可求得朋8￡的面積為定值12；因此只要求出

點(diǎn)尸的位置使回函2的面積最大，從而使四邊形BEAP的面積最大；為此過點(diǎn)尸作PNlx軸于點(diǎn)Hi，交直線

AB于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作B“2，PN于點(diǎn)”2，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為]/+1+3),則可求得PN,且P/^+

AHr=6,由SABPA=SABPN+SAAPN可得關(guān)于/的二次函數(shù)，從而求得回面積的最大值，因而可得四邊

形BEAP面積的最大值，且可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

-1-1

(1)一次函數(shù)y=-萬％+3與龍軸的交點(diǎn)，令y=0,則-]%+3=0,解得％=6；

與y軸的交點(diǎn)，令％=0,則y=3

團(tuán)A(6,0),8(0,3)

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+b%+c

36a+6b+c=0(a=—

把人B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得c=3解得6=J

、4a-2b+c=0(0=3

回拋物線的解析式為y=-；/+%+3

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABOA=^DOA=90°

在ABOA和ADoa中

/.BOA=ADOA

OA=OA

Z-BAO=/-DAO

孤BOA=△DOA(ASA)

HOB=OD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

(3)存在，理由如下：

過點(diǎn)后作后用ly軸于點(diǎn)V

1r1r

^\y=~~x2+%+3=--(x—2)2+4

團(tuán)拋物線的對(duì)稱軸是直線第=2

團(tuán)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,即EM=2

啊0,3)

團(tuán)OB=OD=3

團(tuán)BO=6

團(tuán)4(6,0)

回。/=6

團(tuán)S-RE=SfB。—S〉BDE=5X6x6-3X6x2=12

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,一［產(chǎn)+t+3）

過點(diǎn)P作PNlx軸于點(diǎn)兒，交直線A3于點(diǎn)N,過點(diǎn)2作LPN于點(diǎn)/，如圖

團(tuán)N(t,-|t+3)

OPN=(-it2+t+3)-(-)+3)=-*2+|t

EL4Hl+BH2=OA=6

-1-111

ABPABPNAPN

團(tuán)S=S“+S&=：PN.B/+^PN.A%=^PN(BH2+AH^=S

◎SABPA=[x6(-#+|t)=-|(t-3)2+?

0-f<0,拋物線開口向下，函數(shù)有最大值

4

團(tuán)當(dāng)t=3時(shí)，ABPa面積的最大值是?，此時(shí)四邊形BE4P的面積最大

4

2775

0s四邊形BEAP=S^ABE+S^ABP="+T=1，

當(dāng)t=3時(shí)，y=—1(3-2)2+4=?

回PM)

團(tuán)當(dāng)尸點(diǎn)坐標(biāo)是(3,,)時(shí)，四邊形BE4P面積的最大值是亳

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題，它考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，

求二次函數(shù)的最值，求圖形的面積等知識(shí)，求圖形面積時(shí)用到了割補(bǔ)法，這是在平面直角坐標(biāo)系中常用的

求面積方法，用到了轉(zhuǎn)化思想，即求四邊形面積最大值問題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問題.

特殊三角形問題、特殊四邊形問題、相似三角形問題

5.(2023?貴州銅仁中考)如圖,已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過

A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(與A點(diǎn)不重合).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求回ABC的面積；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M,使團(tuán)ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求

出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】拋物線解析式為：2存在.一遍)，

(1)y=x+2x-3；(2)6；(3)Mi(-1,后,M2(-1,M3

(-1,0),M4(-1,-1).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c

的值，求出拋物線解析式.

(2)由(1)求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即

可計(jì)算.

(3)根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,m),分三種情況討論，①AM=AB,

②BM=AB,③AM=BM,求出m的值后即可得出答案.

【詳解】

解：(1)回直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

回可得A(1,0),B(0,-3),

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c得：口+bjc=°,解得：｛b：2.

c=_3c=F

回拋物線解析式為：y=x2+2x-3.

(2)令y=0得:0=x2+2x-3,解得:xi=l,X2=-3.

EIC點(diǎn)坐標(biāo)為：(-3,0),AC=4,

0SAABC=|ACXOB=1X4X3=6.

(3)存在.

易得拋物線的對(duì)稱軸為：x=-1,假設(shè)存在M(-1,m)滿足題意，

根據(jù)勾股定理，得AB=7/+3?=AM=^22+m^BM=+&+3產(chǎn)

分三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，22解得：=士在.

AM=ABV2+m=V10,m

0Mi(-1,V6)-M2(-1,-V6).

②當(dāng)時(shí)，印,解得：

BM=AB,12+@+3)2=M3=0,M4=-6.

(不合題意舍去).

13M3(-1,0),M4(-1,-6)

③當(dāng)時(shí)，2222解得：

AM=BMV2+m=7i+(m+3)>m=-l.

13M5(-1,-1).

綜上所述，共存在四個(gè)點(diǎn)使EIABM為等腰三角形，坐標(biāo)為Mi(-1,V6)?M2(-1,—V6)>M3(-1,

0）,M4（-1,-1）.

6.（2023?遼寧錦州中考）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與冗軸、y軸交于點(diǎn)A,C,經(jīng)

4

過點(diǎn)C的拋物線y=%2+bx+c與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為6.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

②如圖2,點(diǎn)M在直線CZ）下方，直線OM（OM0C。的情況除外）交直線C。于點(diǎn)3,作直線關(guān)于直

線對(duì)稱的直線當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

【答案】⑴尸32_卜+1；（2）①點(diǎn)”的坐標(biāo)為（土運(yùn)，1）或（止竺，②點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3

442N2，

^4^11-7105

32

【解析】

【分析】

（1）先由直線解析式求出A,C,。的坐標(biāo)，再由C,。坐標(biāo)求出拋物線解析式；

（2）①設(shè)N（小0）,由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可；②因?yàn)?/p>

直線8〃與坐標(biāo)軸平行，所以引/取軸和8。與軸分類討論，以取軸為例，畫出草圖，由于平分

BDBD,,又0A08=回）創(chuàng)/,等量代換，可以證得0AOB是等腰三角形，求出的長度，并且有A和。點(diǎn)

坐標(biāo)，求出aOA。的三角函數(shù)值，過2作3曲軸于X,在直角0AB8中，利用42的長度，和&BA8的三

角函數(shù)值，求出A4和的長度，得到8點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線。8的解析式，聯(lián)立直線和拋物線

解析式，求得交點(diǎn)”點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)3D'鴕軸，用同樣的方法解決.

【詳解】

解：（1）令x=0,則y=，+l=l,

團(tuán)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

令y=0,則：％+1=0,①

4

4

團(tuán)％=——，

3

她點(diǎn)坐標(biāo)為（一$0）,

令％=6,貝!Jy=3%+1==

42

BD點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3)，

將C,￡＞兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線解析式中得，

C=1

^9+6b+c=-'

2

解得?=一5,

C=1

回拋物線的表達(dá)式為：y=[2_、+i；

44

(2)①設(shè)N(%0),

回四邊形CDMN為平行四邊形，

0M/V//CD,

團(tuán)由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得M(?+6,

回點(diǎn)M在拋物線上，

成(n+6)2-2+6)+1=|，

團(tuán)"2+9〃+4=0,

麗=也”

2

團(tuán)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(拄空，I)或(上迤，I);

2222

②第一種情況：如圖1,當(dāng)BD'Ex軸時(shí)，分別過8,。作x軸的垂線，垂足分別為H,Q,

圖1

在直角0AQQ中，Ag=6+i=y,r>e=y,

團(tuán)由勾股定理得：AD=^,

6

團(tuán)回￡)AQ=^W，

4

團(tuán)cosaDAQ=w，

^BAH=^DAQf

AJJ4

^cos^BAH=—=

AB5

回直線BD與直線BZT關(guān)于直線0M對(duì)稱,

SBDBM=WBM,

EIBD'如:軸，

SWOB=WBM=SDBM,

4

^\AB=A0=-,

3

AH4

吠=g,

3

13AH=-,

15

1?

^OH=AH+AO=^-,

令％=一苔貝！J+1=一事

545

as點(diǎn)坐標(biāo)為（_￡,—9，

設(shè)直線。8的解析式為>=依，代入點(diǎn)8得，k=l，

回直線0B的解析式為y=1r,

1

y=-x

聯(lián)立｛13,

L123I4

V=一行——X+1

/44

_4

解得廣=":二;，

yi=972

回點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或右

第二種情況，如圖2,當(dāng)8D旬y軸時(shí)，設(shè)交x軸于G,

圖2

^COB=^\OBG,

團(tuán)直線5。與直線8。關(guān)于直線0M對(duì)稱,

00CBO=國OBG=aCOB,

回CB=CO=1,

過C作CE03G于E,

團(tuán)CE//%軸，

^\BCE=^CAO,

coq

^tan^\CAO=—=-,

AO4

4

團(tuán)cos團(tuán)CAO=g,

CR4

Bcos^\BCE=—=-,

BC5

44

0CE=-BC=-,

55

__3

團(tuán)BE=yjBC2-CE2=~，

回。上回3G,8G0x軸，

回團(tuán)CEG=團(tuán)5Go=團(tuán)COG=90°,

團(tuán)四邊形CEGO為矩形，

4

國EG=CO=1,CE=OG=l，

o

[3BG=B￡+EG=m

回點(diǎn)B的坐標(biāo)為(|,|),

團(tuán)直線OB的解析式為y=2x,

化簡得，x2—llx+4=0,

0x=U±ViO5)

2

團(tuán)點(diǎn)M在直線CO下方，

取V6,

以=11-廊,

2

團(tuán)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為土叵，

2

即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或J或止僅1

32

【點(diǎn)睛】

本題是一道二次函數(shù)綜合題，數(shù)形結(jié)合是本題的解題的突破口，同時(shí)，對(duì)于"平行線十角平分線"這種條

件，要聯(lián)想到等腰三角形，是此題的解題關(guān)鍵，此題對(duì)學(xué)生解直角三角形的能力也有一定要求.

7.(2023,巴中中考)已知拋物線y=o%2+bx+c與x軸交于A(-2,0)、8(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,

-3)-

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)當(dāng)看最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及黑的最大

AMAM

值；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)尸作x軸的垂線/,在/上是否存在點(diǎn)。，使ABC。是直角三角形，若存在，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=ix2-x-3；(2)P(3,_》*(3)(3,6)或(3,-9)或(3,—學(xué)一|)或(3,手一|)

【解析】

【分析】

(1)將4(—2,0)、8(6,0)、。(0,—3)代入丫=￡1/+收+(;即可求解析式；

ILfDpp

(2)過點(diǎn)4作4E，比軸交直線BC于點(diǎn)E,過P作PF1X軸交直線BC于點(diǎn)/，由PF//4E,可得京=族，則

求二的最大值即可；

(3)分三種情況討論：當(dāng)4。8。=90。時(shí)，過點(diǎn)8作GHlx軸，過點(diǎn)。作DG1y軸，DG與GH交于點(diǎn)G,過

點(diǎn)C作CHIy軸，CH與GH交于點(diǎn)H,可證明4DBG-/BC”，求出D(3,6)；當(dāng)/BCD=90。時(shí)，過點(diǎn)。作

DKLy軸交于點(diǎn)K,可證明/OBCs/KCD,求出。(3,-9)；當(dāng)ZBDC=90。時(shí)，線段BC的中點(diǎn)7(3,-|),

設(shè)D(3,m),由QT=：BC,可求0(3,誓一|)或0(3,—誓一|).

【詳解】

解：(1)將點(diǎn)4(-2,0)、8(6,0)、。(0,—3)代入、=￡1/+6%+(：,

(4a—2b+c=0

得136a+6b+c=0,

(c=-3

(a=-

解得上=」1，

L=-3

.??y=一1%24—X—3o;

：4

(2)如圖1,過點(diǎn)4作4E1X軸交直線BC于點(diǎn)E,過P作PFlx軸交直線BC于點(diǎn)產(chǎn)，

tMP_PF

"AM-AEf

設(shè)直線的解析式為y=kx+d,

kd=-3

??-y=|x-3,

設(shè)P(t,，2—t—3),貝!—3),

PF^-t-3--t2+t+3--t2+-t,

2442

???4(_2,0),

E(—2,—4),

???AE=4,

="=4=_L產(chǎn)+8=_L

AMAE416816kJ16

；?當(dāng)”3時(shí),需有最大值總

???P(3，T；

(3)???P(3,-y),。點(diǎn)在/上，

如圖2,當(dāng)NCBD=90。時(shí)，

過點(diǎn)8作GH_Lx軸，過點(diǎn)。作DGly軸，DG與GH交于點(diǎn)G過點(diǎn)C作軸，CH與GH交于點(diǎn)H,

???乙DBG+乙GDB=90°,4DBG+MBH=90°,

4GDB=MBH,

ADBG-ABCH,

???一DG=—BG,即pi-t一3=—BG,

BHCH36

BG—6,

￡>(3,6)；

如圖3,當(dāng)NBCD=90。時(shí),

過點(diǎn)。作DK1y軸交于點(diǎn)K,

???乙KCD+Z.OCB=90°,乙KCD+乙CDK=90°,

???乙CDK=〃）CB,

???AOBC?AKCD,

OBOC日口63

--=---，即--=一,

KCKDKC3

??.KC=6,

???。（3,-9）；

線段BC的中點(diǎn)T（3,—鼻），BC=3A/5,

設(shè)。（3,m）,

???DT=-BC,

2

I,3.3V5

m+-=——

1212

...巾=謔一三或6=一型一三

2222

?,./3,誓一|）或0（3,一雷_|）;

綜上所述：/BCD是直角三角形時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)或(3,-9)或(3,一手一|)或(3,呼-|).

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過構(gòu)造平行線將署的最大值問題轉(zhuǎn)化為求

喋的最大值問題是解題的關(guān)鍵.

AE

8.(2023?遼寧朝陽中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-N+b無+。與％軸分別交于點(diǎn)A(-1,

0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；

(2)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)尸在對(duì)稱軸上，若&8尸。=90。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)ABMN為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-N+2x+3,對(duì)稱軸x=l；(2)P(l,1)或(2,1)；(3)%匕血，逋二)或(1+百，凸史寺

333

【解析】

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)如圖1中，連接8D,設(shè)瓦)的中點(diǎn)T,連接尸T,設(shè)尸(1,m).求出PT的長，構(gòu)建方程求出機(jī)即

可.

(3)分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，是等邊三角形，過點(diǎn)8作交NM的延長線于T,

設(shè)N(l,力，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于E.如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)N(l,n),過點(diǎn)8

作Bl^BN交NM的延長線于T.分別利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解.

【詳解】

解：(1)把A(-1,0),點(diǎn)C(0,3)的坐標(biāo)代入y=-N+fcr+c,得至[」｛_]_1二_：_0，

解得‘二3，

回拋物線的解析式為y=-X2+2X+3,對(duì)稱軸X=-三=1.

—2.

(2)如圖1中，連接2D,設(shè)瓦)的中點(diǎn)T,連接尸T,設(shè)尸(1,相).

圖1

回點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，C(0,3),

EID(2,3),

0B(3,0),

0T(1,-),BDfG-2尸+32=VIU，

EENPD=90°,DT=TB,

回尸7=癡=包，

22

0(1--)2+(m--)2=(巫)2

222

解得m=l或2,

I3P(1,1),或(2,1).

(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，SBMN是等邊三角形，過點(diǎn)8作B7BBN交NM的延長線于T,設(shè)N(L/),

作77取一軸于點(diǎn)J,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交無軸于E.

圖3-1

團(tuán)SBMN是等邊三角形,

^B\NMB=^NBM=60°,

a3NBT=90°,

團(tuán)團(tuán)MBT=30°,BT=WBN,

^\NMB=^1MBT+^\BTM=60°,

^\MBT=^\BTM=30°f

^\MB=MT^MN,

回團(tuán)N3E+團(tuán)7B/=90°,回加+團(tuán)3"=90°,

^\NBE=^BTJ,

加3硒=團(tuán)"3=90°,

團(tuán)團(tuán)3石人何回"5,

喘=凱翳=亞

TJ=2y/3

團(tuán)T（3+?2V3）,

^\NM=MT,

HM（9,包），

22

團(tuán)點(diǎn)A/在y=-X2+2X+3上，

回2v__（4+V^t）2+2x4+6"+3

222

整理得，3t2+（4V3+2）r-12+4V3=0,

解得/=-2日（舍棄）或辿二，

3

0M（上星旺1）.

33

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)N（l,77）,過點(diǎn)2作B7HBN交NM的延長線于T.

同法可得7（3-百小-2百），M（匕叵，上也），

22

則有九-26=_（4-'）2+2乂4-商+3,

整理得，3/+（2-4-\/3）n-12-4-\/3=0,

解得”=W（舍棄）或W,

33

0M（1+V3,-20-3）,

3

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（匕遺，或二）或（1+百，二三）.

333

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程求解計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

9.(2023?湖南湘潭中考)如圖，一次函數(shù)丫=F乂—舊圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,二次函數(shù)y=/%2+

bx+c圖象過A、2兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)8關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)尸是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得

以以C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴拋物線的解析式為：y=苧/-竽x—,；⑵。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一竽)或(3,0)或(-1,

0).

【解析】

【分析】

(1)由直線y=^x-遮與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A,B,代入拋物線解析式，求出b,c坐標(biāo)即可；

(2)分BC為對(duì)角線和邊兩種情況討論，其中當(dāng)BC為邊時(shí)注意點(diǎn)。的位置有兩種：在點(diǎn)尸右側(cè)和左側(cè),

根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解:⑴對(duì)于當(dāng)尤=0時(shí)，y=-V3;

當(dāng)y=0時(shí)，與刀_遍=0,妥得，了=3

0A(3,0),B(0,-V3)

把A(3,0),B(0,—\/3)代入y=+力％+得:

[3V3+3h+c=0

Ic=-V3

解得，f-3

、c=—V3

團(tuán)拋物線的解析式為：y=在/—2%一百；

/33

2V3

(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2=—耳=1

2a2x半

故設(shè)P(1,p),Q(m,n)

①當(dāng)BC為菱形對(duì)角線時(shí)，如圖,

C關(guān)于對(duì)稱沒對(duì)稱，且對(duì)稱軸與x軸垂直，

團(tuán)asc與對(duì)稱軸垂直，且8（7/》軸

團(tuán)在菱形BQCP中，BCSPQ

ElPQEx軸

團(tuán)點(diǎn)尸在x=l上，

團(tuán)點(diǎn)。也在尤=1上，

當(dāng)x=l時(shí)，y=在xM一2xl-遮——逋

0g（1,一竽）；

②當(dāng)BC為菱形一邊時(shí)，若點(diǎn)。在點(diǎn)尸右側(cè)時(shí)，如圖,

@BC“PQ,且BC=P。

EIBC〃無軸，

團(tuán)令y=—V3?則有y=—W%—V3——V3

解得，%i=0,%2=2

0C(2,-V3)

國PQ=BC=2

國J(V3)2+l2=2

B1PB=BC=2

回迨尸在x軸上，

0P(1,O)

003,0)；

若點(diǎn)。在點(diǎn)P的左側(cè)，如圖,

同理可得，Q(-1,0)

綜上所述，。點(diǎn)坐標(biāo)為(工，一竽)或(3,0)或(-1,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)有用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，主要考

查學(xué)生綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和推理的能力.

10.(2023?山東淄博中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=一3/+宇/+￡(ni>0)與x軸交于

4(—1,0),8(血0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)若0C=204求