結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：超靜定結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬方法

結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：超靜定結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬方法1結(jié)構(gòu)力學(xué)與超靜定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介結(jié)構(gòu)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)在各種外力作用下變形和內(nèi)力分布的學(xué)科，它為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件和外力作用，結(jié)構(gòu)可以分為靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)兩大類(lèi)。1.1靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)：這類(lèi)結(jié)構(gòu)的未知力可以通過(guò)平衡方程完全確定，不需要考慮變形條件。靜定結(jié)構(gòu)的約束數(shù)量等于自由度數(shù)量，因此，當(dāng)外力作用時(shí)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形可以唯一確定。超靜定結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)的約束數(shù)量超過(guò)自由度數(shù)量，導(dǎo)致未知力的數(shù)量多于平衡方程的數(shù)量。這意味著僅通過(guò)平衡方程無(wú)法唯一確定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，需要引入變形條件（即位移連續(xù)條件）來(lái)求解。1.2超靜定結(jié)構(gòu)的特性超靜定結(jié)構(gòu)具有以下特性：-冗余約束：存在多余約束，使得結(jié)構(gòu)在局部破壞時(shí)仍能保持整體穩(wěn)定性。-內(nèi)力重分布：當(dāng)結(jié)構(gòu)的一部分受到破壞或變形時(shí)，內(nèi)力可以重新分布，以適應(yīng)新的平衡狀態(tài)。-剛度和穩(wěn)定性：超靜定結(jié)構(gòu)通常具有更高的剛度和穩(wěn)定性，因?yàn)樗鼈兡軌蛲ㄟ^(guò)內(nèi)力的重分布來(lái)抵抗外力。2數(shù)值模擬在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用數(shù)值模擬是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析中不可或缺的工具，它通過(guò)計(jì)算機(jī)算法來(lái)求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題，特別適用于超靜定結(jié)構(gòu)的分析。數(shù)值模擬方法包括有限元法、邊界元法、離散元法等。2.1有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法是最常用的數(shù)值模擬方法之一，它將結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的單元，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用力學(xué)原理，通過(guò)求解單元間的平衡方程來(lái)獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。2.1.1有限元法的基本步驟結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為有限數(shù)量的單元。單元分析：在每個(gè)單元上建立力學(xué)模型，求解單元的內(nèi)力和變形。整體分析：將所有單元的響應(yīng)組合起來(lái)，求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。后處理：分析和可視化求解結(jié)果。2.1.2代碼示例以下是一個(gè)使用Python和scipy庫(kù)進(jìn)行簡(jiǎn)單梁的有限元分析的示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義結(jié)構(gòu)參數(shù)

n_nodes=5#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

n_elements=4#單元數(shù)量

E=200e9#彈性模量

A=0.01#截面面積

L=1.0#單元長(zhǎng)度

#創(chuàng)建剛度矩陣

K=lil_matrix((n_nodes,n_nodes))

foriinrange(n_elements):

k_element=np.array([[1,-1],[-1,1]])*(E*A/L)

K[i:i+2,i:i+2]+=k_element

#定義邊界條件和外力

boundary_conditions=np.array([1,0,0,0,1])#固定兩端

F=np.zeros(n_nodes)

F[2]=-1000#在第三個(gè)節(jié)點(diǎn)施加向下力

#應(yīng)用邊界條件

K=K.tocsr()

K=K[boundary_conditions==0,:][:,boundary_conditions==0]

F=F[boundary_conditions==0]

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#輸出位移

print("節(jié)點(diǎn)位移:",U)2.1.3解釋在這個(gè)示例中，我們創(chuàng)建了一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，由5個(gè)節(jié)點(diǎn)和4個(gè)單元組成。我們使用了scipy庫(kù)中的lil_matrix來(lái)構(gòu)建剛度矩陣，spsolve來(lái)求解位移。邊界條件和外力被定義，然后應(yīng)用到剛度矩陣和外力向量上，以求解結(jié)構(gòu)的位移。2.2結(jié)論數(shù)值模擬方法，尤其是有限元法，為超靜定結(jié)構(gòu)的分析提供了強(qiáng)大的工具。通過(guò)將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為簡(jiǎn)單的單元，可以精確地計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，這對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化至關(guān)重要。上述代碼示例展示了如何使用Python和scipy庫(kù)進(jìn)行有限元分析，為理解和應(yīng)用數(shù)值模擬方法提供了一個(gè)起點(diǎn)。請(qǐng)注意，上述代碼示例和解釋是為了教學(xué)目的而簡(jiǎn)化，實(shí)際的結(jié)構(gòu)分析可能涉及更復(fù)雜的模型和算法。3超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)理論3.1超靜定結(jié)構(gòu)的定義與分類(lèi)超靜定結(jié)構(gòu)，也稱(chēng)為冗余結(jié)構(gòu)，是指在承受外力作用時(shí)，僅憑靜力平衡條件無(wú)法唯一確定其內(nèi)力和變形的結(jié)構(gòu)。這類(lèi)結(jié)構(gòu)具有多余約束或多余支座，使得結(jié)構(gòu)在幾何上穩(wěn)定，且能夠承受更大的荷載，同時(shí)提供更好的安全性和穩(wěn)定性。超靜定結(jié)構(gòu)的分類(lèi)主要基于其多余約束的數(shù)量：一次超靜定結(jié)構(gòu)：具有一個(gè)多余約束。二次超靜定結(jié)構(gòu)：具有兩個(gè)多余約束。多次超靜定結(jié)構(gòu)：具有兩個(gè)以上多余約束。3.1.1示例：一次超靜定梁假設(shè)我們有一根簡(jiǎn)支梁，兩端固定，中間受到集中力的作用。如果在梁的一端增加一個(gè)支座，那么這個(gè)結(jié)構(gòu)就變成了一個(gè)一次超靜定結(jié)構(gòu)。此時(shí)，僅憑靜力平衡條件無(wú)法確定梁的內(nèi)力分布，需要考慮變形協(xié)調(diào)條件。3.2靜定與超靜定結(jié)構(gòu)的區(qū)別靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的主要區(qū)別在于其約束條件和解的確定性：靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的約束數(shù)量恰好滿(mǎn)足靜力平衡條件，即外力和外力矩的代數(shù)和為零。這類(lèi)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形可以通過(guò)靜力平衡方程唯一確定，且在結(jié)構(gòu)中沒(méi)有多余約束。超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的約束數(shù)量超過(guò)靜力平衡條件所需的數(shù)量，存在多余約束。這意味著僅憑靜力平衡條件無(wú)法唯一確定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，需要結(jié)合變形協(xié)調(diào)條件和物理方程進(jìn)行求解。3.2.1示例：靜定與超靜定梁的對(duì)比3.2.1.1靜定梁假設(shè)我們有一根兩端簡(jiǎn)支的梁，受到均勻分布的荷載作用。此梁為靜定結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力（彎矩和剪力）可以通過(guò)靜力平衡方程直接計(jì)算得出。3.2.1.2超靜定梁考慮一根兩端固定，中間受到集中力作用的梁。如果在梁的一端增加一個(gè)支座，那么這個(gè)結(jié)構(gòu)就變成了一個(gè)一次超靜定結(jié)構(gòu)。此時(shí)，除了靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，即兩端的轉(zhuǎn)角和中間支座的位移必須相等，才能求解出內(nèi)力和變形。3.3超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法超靜定結(jié)構(gòu)的求解通常涉及以下步驟：確定多余約束：識(shí)別結(jié)構(gòu)中的多余約束或支座。建立平衡方程：根據(jù)靜力平衡條件建立方程。建立變形協(xié)調(diào)方程：根據(jù)結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件建立方程。應(yīng)用物理方程：使用材料力學(xué)中的物理方程，如胡克定律，將應(yīng)力與應(yīng)變、內(nèi)力與變形聯(lián)系起來(lái)。求解方程組：聯(lián)立平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物理方程，求解出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。3.3.1示例：使用力法求解一次超靜定梁假設(shè)我們有一根一次超靜定梁，兩端固定，中間受到集中力作用。我們可以通過(guò)力法求解其內(nèi)力和變形。確定多余約束：在梁的一端增加一個(gè)支座，這個(gè)支座為多余約束。建立平衡方程：設(shè)梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，集中力為P，兩端的彎矩為M1和M2，中間支座的反力為R。根據(jù)靜力平衡條件，可以建立以下方程：∑M=0：彎矩平衡方程?！艶=0：力平衡方程。建立變形協(xié)調(diào)方程：設(shè)梁的彈性模量為E，截面慣性矩為I。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，兩端的轉(zhuǎn)角和中間支座的位移必須相等?？梢越⒁韵路匠蹋害?=Δ2：兩端轉(zhuǎn)角相等。Δm=ΔR：中間支座位移等于多余約束位移。應(yīng)用物理方程：使用胡克定律，將應(yīng)力與應(yīng)變、內(nèi)力與變形聯(lián)系起來(lái)。求解方程組：聯(lián)立上述方程，求解出M1、M2和R。3.3.2代碼示例：使用Python求解一次超靜定梁importnumpyasnp

#定義參數(shù)

L=4.0#梁的長(zhǎng)度

P=10.0#集中力

E=200e9#彈性模量

I=0.001#截面慣性矩

#定義方程組

A=np.array([[L**3/12,-L**3/12,L**2/2],

[-L**3/12,L**3/12,-L**2/2],

[L**2/2,-L**2/2,-L]])

B=np.array([0,0,P*L**2/2/E/I])

#求解方程組

X=np.linalg.solve(A,B)

#輸出結(jié)果

M1,M2,R=X

print(f"端部彎矩M1:{M1:.2f}Nm")

print(f"端部彎矩M2:{M2:.2f}Nm")

print(f"中間支座反力R:{R:.2f}N")3.3.3解釋上述代碼使用Python的numpy庫(kù)來(lái)求解一次超靜定梁的內(nèi)力和變形。首先定義了梁的長(zhǎng)度、集中力、彈性模量和截面慣性矩。然后，根據(jù)靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，建立了方程組。最后，使用numpy的linalg.solve函數(shù)求解方程組，得到端部彎矩M1、M2和中間支座反力R的值。通過(guò)上述理論和示例，我們可以理解超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)概念，以及如何通過(guò)數(shù)值模擬方法求解其內(nèi)力和變形。超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法不僅限于力法，還包括位移法、能量法等多種方法，具體選擇哪種方法取決于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和求解的精度要求。4超靜定結(jié)構(gòu)的分析方法4.1力法解析超靜定結(jié)構(gòu)4.1.1原理力法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的一種經(jīng)典方法，它基于結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。在超靜定結(jié)構(gòu)中，未知的內(nèi)力或反力數(shù)目超過(guò)了獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，因此需要引入變形協(xié)調(diào)條件來(lái)求解。力法的基本思想是，將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解多余未知力引起的變形，使這些變形與實(shí)際結(jié)構(gòu)的變形相協(xié)調(diào)，從而求得結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力。4.1.2內(nèi)容確定超靜定次數(shù)：首先，需要確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，即多余約束的數(shù)目。這一步驟對(duì)于后續(xù)的分析至關(guān)重要。建立基本體系：將超靜定結(jié)構(gòu)通過(guò)去除多余約束轉(zhuǎn)化為靜定的基本體系?；倔w系的選擇應(yīng)便于計(jì)算。求解多余未知力：利用變形協(xié)調(diào)條件，建立多余未知力與結(jié)構(gòu)變形之間的關(guān)系，通過(guò)求解線(xiàn)性方程組得到多余未知力。計(jì)算內(nèi)力和反力：得到多余未知力后，可以利用靜力學(xué)平衡條件和疊加原理計(jì)算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力。4.1.3示例假設(shè)有一個(gè)連續(xù)梁，由兩個(gè)簡(jiǎn)支梁組成，中間有一個(gè)固定連接點(diǎn)。這是一個(gè)一次超靜定結(jié)構(gòu)。我們可以通過(guò)力法來(lái)求解。4.1.3.1數(shù)據(jù)樣例材料的彈性模量E梁的截面慣性矩I跨度L中間點(diǎn)的集中荷載P4.1.3.2代碼示例#導(dǎo)入必要的庫(kù)

importnumpyasnp

#定義材料和截面屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=1000e-8#截面慣性矩，單位：m^4

L=5#跨度，單位：m

P=100e3#集中荷載，單位：N

#計(jì)算剛度矩陣

#對(duì)于連續(xù)梁，剛度矩陣為4x4

#假設(shè)兩端的簡(jiǎn)支梁剛度為k，中間固定點(diǎn)的剛度為無(wú)窮大

k=(E*I)/(L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#去除中間固定點(diǎn)的約束，得到基本體系的剛度矩陣

k_basic=np.array([[12,6*L],

[6*L,4*L**2]])

#定義變形協(xié)調(diào)條件

#假設(shè)中間點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為0，即δ2=0

delta=np.array([0])

#求解多余未知力

#在本例中，多余未知力為中間點(diǎn)的彎矩M2

M2=np.linalg.solve(k_basic,-P*L/4)

#計(jì)算內(nèi)力和反力

#利用疊加原理和靜力學(xué)平衡條件

#假設(shè)兩端的反力為R1和R2

R1=P/2+M2[0]/L

R2=P/2-M2[0]/L

#輸出結(jié)果

print("中間點(diǎn)的彎矩M2:",M2[0],"N*m")

print("左端的反力R1:",R1,"N")

print("右端的反力R2:",R2,"N")4.2位移法與超靜定結(jié)構(gòu)分析4.2.1原理位移法是另一種分析超靜定結(jié)構(gòu)的方法，它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量。位移法的基本思想是，通過(guò)求解結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移，再利用這些位移和結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系來(lái)計(jì)算內(nèi)力和反力。這種方法適用于計(jì)算機(jī)輔助分析，因?yàn)榭梢苑奖愕亟⒑颓蠼獯笮偷木€(xiàn)性方程組。4.2.2內(nèi)容確定基本未知量：選擇結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵位移作為基本未知量，這些位移通常包括節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角。建立剛度矩陣：利用材料力學(xué)和彈性理論，建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，描述結(jié)構(gòu)在荷載作用下的變形特性。求解位移：利用剛度矩陣和荷載向量，建立位移方程組，通過(guò)求解線(xiàn)性方程組得到基本未知量的值。計(jì)算內(nèi)力和反力：得到位移后，可以利用位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，計(jì)算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力。4.2.3示例考慮一個(gè)由兩根梁組成的框架結(jié)構(gòu)，兩端固定，中間承受集中荷載。我們使用位移法來(lái)分析這個(gè)結(jié)構(gòu)。4.2.3.1數(shù)據(jù)樣例材料的彈性模量E梁的截面慣性矩I梁的長(zhǎng)度L集中荷載P4.2.3.2代碼示例#導(dǎo)入必要的庫(kù)

importnumpyasnp

#定義材料和截面屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=1000e-8#截面慣性矩，單位：m^4

L=5#梁的長(zhǎng)度，單位：m

P=100e3#集中荷載，單位：N

#計(jì)算剛度矩陣

#對(duì)于框架結(jié)構(gòu)，剛度矩陣為6x6

#假設(shè)兩端的剛度為k，中間點(diǎn)的剛度為無(wú)窮大

k=(E*I)/(L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L,0,0],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2,0,0],

[-12,-6*L,12,-6*L,0,0],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2,0,0],

[0,0,0,0,12,6*L],

[0,0,0,0,6*L,4*L**2]])

#去除兩端固定點(diǎn)的約束，得到基本體系的剛度矩陣

k_basic=np.array([[12,6*L],

[6*L,4*L**2]])

#定義荷載向量

#假設(shè)荷載只作用在中間點(diǎn)，且只考慮垂直方向的位移

F=np.array([0,P*L/4])

#求解位移

#在本例中，基本未知量為中間點(diǎn)的垂直位移δ2和轉(zhuǎn)角θ2

delta_theta=np.linalg.solve(k_basic,F)

#計(jì)算內(nèi)力和反力

#利用位移與內(nèi)力之間的關(guān)系

#假設(shè)兩端的反力為R1和R2，中間點(diǎn)的彎矩為M2

R1=P/2+delta_theta[0]*E*I/(L**2)

R2=P/2-delta_theta[0]*E*I/(L**2)

M2=delta_theta[1]*E*I*L

#輸出結(jié)果

print("中間點(diǎn)的垂直位移δ2:",delta_theta[0],"m")

print("中間點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ2:",delta_theta[1],"rad")

print("左端的反力R1:",R1,"N")

print("右端的反力R2:",R2,"N")

print("中間點(diǎn)的彎矩M2:",M2,"N*m")以上代碼示例展示了如何使用位移法分析超靜定結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解位移方程組，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力。5數(shù)值模擬方法的引入5.1有限元法的基本原理有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值分析方法，用于求解復(fù)雜的工程問(wèn)題，如結(jié)構(gòu)力學(xué)中的超靜定結(jié)構(gòu)分析。它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)離散化為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，通過(guò)在這些節(jié)點(diǎn)上應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，可以近似求解出整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。5.1.1基本步驟結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的單元，如梁、板、殼等。選擇位移模式：為每個(gè)單元選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)，通常為多項(xiàng)式函數(shù)。建立單元方程：利用變分原理或能量原理，建立每個(gè)單元的平衡方程。組裝整體方程：將所有單元方程組裝成一個(gè)整體的剛度矩陣方程。施加邊界條件：根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件，修改整體方程。求解未知數(shù)：使用數(shù)值方法求解修改后的方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。后處理：從節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算出應(yīng)力、應(yīng)變等其他物理量。5.1.2示例代碼以下是一個(gè)使用Python和numpy庫(kù)進(jìn)行簡(jiǎn)單梁的有限元分析的示例代碼：importnumpyasnp

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defunit_stiffness(E,I,L):

"""

計(jì)算梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚒?/p>

:paramE:彈性模量

:paramI:慣性矩

:paramL:單元長(zhǎng)度

:return:單元?jiǎng)偠染仃?/p>

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體剛度矩陣

defglobal_stiffness(units,E,I):

"""

組裝所有單元的剛度矩陣為整體剛度矩陣。

:paramunits:單元信息列表，每個(gè)元素包含單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元長(zhǎng)度

:paramE:彈性模量

:paramI:慣性矩

:return:整體剛度矩陣

"""

n_nodes=max([max(unit)forunitinunits])+1

n_dofs=2*n_nodes

K=np.zeros((n_dofs,n_dofs))

forunitinunits:

node1,node2,L=unit

k=unit_stiffness(E,I,L)

K[2*node1:2*node1+2,2*node1:2*node1+2]+=k[:2,:2]

K[2*node1:2*node1+2,2*node2:2*node2+2]+=k[:2,2:]

K[2*node2:2*node2+2,2*node1:2*node1+2]+=k[2:,:2]

K[2*node2:2*node2+2,2*node2:2*node2+2]+=k[2:,2:]

returnK

#示例數(shù)據(jù)

units=[(0,1,1),(1,2,1)]#單元信息：(節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2,長(zhǎng)度)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.01#慣性矩，單位：m^4

#計(jì)算整體剛度矩陣

K=global_stiffness(units,E,I)

print(K)5.1.3解釋此代碼定義了兩個(gè)函數(shù)：unit_stiffness用于計(jì)算單個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃?，global_stiffness用于將所有單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣。示例數(shù)據(jù)中，我們有兩個(gè)梁?jiǎn)卧總€(gè)單元連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，長(zhǎng)度為1米。通過(guò)調(diào)用這些函數(shù)，我們可以得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。5.2有限元法在超靜定結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用超靜定結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的未知約束反力或內(nèi)力多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的結(jié)構(gòu)。有限元法在超靜定結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，主要是通過(guò)求解超出獨(dú)立平衡方程數(shù)的未知數(shù)，來(lái)分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。5.2.1關(guān)鍵點(diǎn)超靜定次數(shù)：超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于未知約束反力或內(nèi)力的數(shù)量減去獨(dú)立的平衡方程數(shù)。位移邊界條件：在有限元分析中，必須施加位移邊界條件，以消除結(jié)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng)。載荷邊界條件：施加在結(jié)構(gòu)上的外力，如集中力、分布力等，也必須在有限元模型中正確表示。求解方法：對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，通常使用迭代法或直接法求解整體剛度矩陣方程。5.2.2示例代碼以下是一個(gè)使用有限元法分析超靜定結(jié)構(gòu)（如連續(xù)梁）的Python代碼示例：importnumpyasnp

#定義載荷向量

defload_vector(units,loads):

"""

計(jì)算整體載荷向量。

:paramunits:單元信息列表

:paramloads:載荷信息列表，每個(gè)元素包含節(jié)點(diǎn)編號(hào)和作用在該節(jié)點(diǎn)上的力

:return:整體載荷向量

"""

n_nodes=max([max(unit)forunitinunits])+1

n_dofs=2*n_nodes

F=np.zeros(n_dofs)

forloadinloads:

node,force=load

F[2*node]=force

returnF

#示例數(shù)據(jù)

loads=[(1,-1000)]#載荷信息：(節(jié)點(diǎn),力)

F=load_vector(units,loads)

print(F)

#求解位移

K_mod=K.copy()

K_mod[[0,2],:]=0

K_mod[:,[0,2]]=0

K_mod[0,0]=1

K_mod[2,2]=1

F_mod=F.copy()

F_mod[0]=0

F_mod[2]=0

U=np.linalg.solve(K_mod,F_mod)

print(U)5.2.3解釋在超靜定結(jié)構(gòu)的有限元分析中，我們首先需要計(jì)算整體載荷向量，這在load_vector函數(shù)中完成。然后，為了求解位移，我們需要修改整體剛度矩陣和載荷向量，以施加位移邊界條件。在示例中，我們假設(shè)節(jié)點(diǎn)0和節(jié)點(diǎn)2有位移約束，因此在整體剛度矩陣中將這些行和列置零，并在對(duì)角線(xiàn)上設(shè)置為1，同時(shí)將相應(yīng)的載荷向量元素設(shè)置為0。最后，使用numpy.linalg.solve函數(shù)求解修改后的方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。通過(guò)有限元法，我們可以精確地分析超靜定結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的響應(yīng)，這對(duì)于設(shè)計(jì)和優(yōu)化復(fù)雜結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。6超靜定結(jié)構(gòu)的有限元分析6.1建立超靜定結(jié)構(gòu)的有限元模型6.1.1原理超靜定結(jié)構(gòu)的有限元分析是基于結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)值分析的原理，通過(guò)將復(fù)雜結(jié)構(gòu)離散化為一系列簡(jiǎn)單的單元，如梁、板、殼等，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用力學(xué)方程，最終通過(guò)組合所有單元的方程來(lái)求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這一過(guò)程涉及到以下幾個(gè)關(guān)鍵步驟：結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的單元，每個(gè)單元可以是線(xiàn)性的或非線(xiàn)性的，取決于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和分析的精度要求。單元分析：對(duì)每個(gè)單元應(yīng)用力學(xué)原理，如胡克定律、牛頓第二定律等，建立單元的剛度矩陣和載荷向量。整體分析：將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組合成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和載荷向量，形成一個(gè)大型的線(xiàn)性方程組。邊界條件和載荷應(yīng)用：在整體結(jié)構(gòu)的方程中加入邊界條件和外部載荷，以反映實(shí)際工況。求解方程：使用數(shù)值方法，如直接求解法或迭代法，求解整體結(jié)構(gòu)的方程組，得到結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變等響應(yīng)。6.1.2內(nèi)容在建立超靜定結(jié)構(gòu)的有限元模型時(shí)，首先需要確定結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料屬性和邊界條件。例如，考慮一個(gè)由兩根梁組成的超靜定結(jié)構(gòu)，如下圖所示：超靜定結(jié)構(gòu)示例超靜定結(jié)構(gòu)示例假設(shè)每根梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面慣性矩為I，彈性模量為E，并且結(jié)構(gòu)在兩端固定，中間受到集中力F的作用。6.1.2.1代碼示例使用Python和SciPy庫(kù)來(lái)建立這個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)的有限元模型：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料和幾何參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=1e-4#截面慣性矩，單位：m^4

L=1#梁的長(zhǎng)度，單位：m

F=1000#集中力，單位：N

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[L,0],[2*L,0]])#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

elements=np.array([[0,1],[1,2]])#單元連接節(jié)點(diǎn)

#建立剛度矩陣

K=np.zeros((6,6))

foreleminelements:

x1,y1=nodes[elem[0]]

x2,y2=nodes[elem[1]]

L_elem=np.sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2)

k_elem=E*I/L_elem**3*np.array([[12,6*L_elem,-12,6*L_elem],

[6*L_elem,4*L_elem**2,-6*L_elem,2*L_elem**2],

[-12,-6*L_elem,12,-6*L_elem],

[6*L_elem,2*L_elem**2,-6*L_elem,4*L_elem**2]])

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k_elem[:2,:2]

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k_elem[:2,2:]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k_elem[2:,:2]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k_elem[2:,2:]

#應(yīng)用邊界條件

K=csc_matrix(K)

K=K.tolil()

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[4,:]=0

K[5,:]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

K[4,4]=1

K[5,5]=1

K=K.tocsc()

#定義載荷向量

F=np.zeros(6)

F[2]=-F

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#輸出位移結(jié)果

print("位移向量：",U)6.1.3描述上述代碼首先定義了結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)，然后創(chuàng)建了節(jié)點(diǎn)和單元的列表。通過(guò)循環(huán)遍歷每個(gè)單元，計(jì)算其剛度矩陣，并將其添加到整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣中。接著，應(yīng)用邊界條件，將固定端的位移設(shè)為零，同時(shí)保持剛度矩陣的非奇異性質(zhì)。最后，定義載荷向量，其中中間節(jié)點(diǎn)的垂直方向受到集中力的作用，使用SciPy的spsolve函數(shù)求解位移向量。6.2求解超靜定結(jié)構(gòu)的有限元方程6.2.1原理求解超靜定結(jié)構(gòu)的有限元方程通常涉及線(xiàn)性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算。整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K和載荷向量F形成方程組KU=F，其中U是未知的位移向量。由于超靜定結(jié)構(gòu)的剛度矩陣通常是滿(mǎn)秩的，因此可以直接使用直接求解法或迭代法來(lái)求解這個(gè)方程組。6.2.2內(nèi)容在求解超靜定結(jié)構(gòu)的有限元方程時(shí)，選擇合適的求解器是關(guān)鍵。直接求解法如高斯消元法、LU分解等，適用于小型或中型問(wèn)題，而迭代法如共軛梯度法、最小殘量法等，更適合大型問(wèn)題，因?yàn)樗鼈冊(cè)趦?nèi)存使用上更高效。6.2.2.1代碼示例繼續(xù)使用上述超靜定結(jié)構(gòu)的模型，我們可以通過(guò)迭代法求解位移向量：fromscipy.sparse.linalgimportcg

#使用共軛梯度法求解位移向量

U,info=cg(K,F)

#輸出位移結(jié)果和求解信息

print("位移向量：",U)

print("求解信息：",info)6.2.3描述這段代碼使用了SciPy庫(kù)中的cg函數(shù)，即共軛梯度法，來(lái)求解超靜定結(jié)構(gòu)的有限元方程。共軛梯度法是一種迭代求解線(xiàn)性方程組的方法，特別適用于求解大型稀疏矩陣問(wèn)題。cg函數(shù)返回位移向量U和求解信息info，其中info表示求解過(guò)程是否成功。通過(guò)這種方法，我們可以有效地處理大型超靜定結(jié)構(gòu)的分析問(wèn)題，節(jié)省計(jì)算資源。7超靜定結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬案例7.1橋梁結(jié)構(gòu)的超靜定分析7.1.1概念理解超靜定結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的未知約束反力或內(nèi)力數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目的一種結(jié)構(gòu)類(lèi)型。橋梁結(jié)構(gòu)，尤其是現(xiàn)代橋梁，常采用超靜定設(shè)計(jì)，以提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和承載能力。超靜定結(jié)構(gòu)的分析需要借助于變形協(xié)調(diào)條件和材料力學(xué)性能，通過(guò)數(shù)值方法求解。7.1.2數(shù)值模擬方法數(shù)值模擬方法在超靜定結(jié)構(gòu)分析中至關(guān)重要，常見(jiàn)的方法包括有限元法（FEM）和邊界元法（BEM）。其中，有限元法因其靈活性和廣泛的應(yīng)用范圍而被廣泛采用。7.1.2.1有限元法示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)化的橋梁模型，由多個(gè)梁?jiǎn)卧M成，每個(gè)梁?jiǎn)卧梢院?jiǎn)化為一個(gè)二階微分方程。我們將使用Python的SciPy庫(kù)來(lái)求解這個(gè)模型。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

defstiffness_matrix(length,EA,EI):

"""

EA:彈性模量乘以截面面積

EI:彈性模量乘以截面慣性矩

"""

k=EA/length*np.array([[1,-1],[-1,1]])

m=EI/length**3*np.array([[12,6*length,-12,6*length],

[6*length,4*length**2,-6*length,2*length**2],

[-12,-6*length,12,-6*length],

[6*length,2*length**2,-6*length,4*length**2]])

returnnp.block([[k,np.zeros((2,2))],[np.zeros((2,2)),m]])

#定義橋梁模型

defbridge_model(n_elements,length,EA,EI):

"""

n_elements:梁?jiǎn)卧獢?shù)量

length:每個(gè)梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度

EA,EI:材料屬性

"""

#創(chuàng)建全局剛度矩陣

K=np.zeros((4*n_elements,4*n_elements))

foriinrange(n_elements):

#獲取局部剛度矩陣

k=stiffness_matrix(length,EA,EI)

#將局部剛度矩陣添加到全局剛度矩陣中

K[4*i:4*(i+1),4*i:4*(i+1)]+=k

returnK

#定義載荷向量

defload_vector(n_elements,q):

"""

n_elements:梁?jiǎn)卧獢?shù)量

q:均布載荷

"""

F=np.zeros(4*n_elements)

foriinrange(n_elements):

F[4*i+1]-=q*length/2

F[4*i+3]-=q*length/2

returnF

#求解

n_elements=5#假設(shè)橋梁由5個(gè)梁?jiǎn)卧M成

length=10#每個(gè)梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度為10米

EA=1e6#彈性模量乘以截面面積

EI=1e8#彈性模量乘以截面慣性矩

q=1000#均布載荷為1000N/m

K=bridge_model(n_elements,length,EA,EI)

F=load_vector(n_elements,q)

#應(yīng)用邊界條件

#假設(shè)橋梁兩端固定

K=K[2:-2,2:-2]

F=F[2:-2]

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#輸出位移向量

print("位移向量:",U)7.1.3解釋上述代碼中，我們首先定義了梁?jiǎn)卧膭偠染仃?，然后?chuàng)建了橋梁模型的全局剛度矩陣。接著，定義了載荷向量，考慮到均布載荷對(duì)每個(gè)梁?jiǎn)卧挠绊憽Ｗ詈?，我們?yīng)用了邊界條件（假設(shè)橋梁兩端固定），并使用SciPy的spsolve函數(shù)求解位移向量。7.2高層建筑框架結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬7.2.1概念理解高層建筑框架結(jié)構(gòu)的超靜定分析更為復(fù)雜，因?yàn)樗婕暗饺S空間中的多個(gè)方向的力和位移。框架結(jié)構(gòu)由柱、梁和支撐組成，這些構(gòu)件在地震、風(fēng)力等外部載荷作用下會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的內(nèi)力和變形。7.2.2數(shù)值模擬方法對(duì)于高層建筑框架結(jié)構(gòu)，有限元法仍然是首選的數(shù)值模擬方法。通過(guò)建立三維模型，可以更準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。7.2.2.1有限元法示例我們將使用Python的FEniCS庫(kù)來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單的三維框架結(jié)構(gòu)模型，并求解其在地震載荷下的響應(yīng)。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(10,10,30),10,10,30)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定義材料屬性

E=2.1e11#彈性模量

nu=0.3#泊松比

rho=7800#密度

#定義本構(gòu)關(guān)系

defsigma(v):

returnE/(1+nu)*(v+nu*tr(v)*Identity(v.geometric_dimension()))

#定義弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-1000))#地震載荷

g=Constant((0,0,0))#重力載荷

F=inner(sigma(sym(grad(u))),sym(grad(v)))*dx-inner(f,v)*dx-inner(g,v)*ds

#定義時(shí)間步長(zhǎng)和總時(shí)間

dt=0.01

T=10

#定義初始條件

u_n=Function(V)

#時(shí)間積分

t=0

whilet<T:

t+=dt

solve(F==0,u_n,bc)

#更新位移

u_n.assign(u_n)

#輸出結(jié)果

vtkfile=File('displacement.pvd')

vtkfile<<(u_n,t)7.2.3解釋在這個(gè)示例中，我們使用FEniCS庫(kù)創(chuàng)建了一個(gè)三維的框架結(jié)構(gòu)模型。我們定義了邊界條件，材料屬性，以及本構(gòu)關(guān)系（這里使用了線(xiàn)性彈性材料模型）。通過(guò)定義弱形式，我們可以求解結(jié)構(gòu)在地震載荷下的響應(yīng)。最后，我們通過(guò)時(shí)間積分求解了整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)的位移，并將結(jié)果輸出為VTK格式，以便于可視化。通過(guò)以上兩個(gè)示例，我們可以看到數(shù)值模擬方法在超靜定結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用，以及如何使用Python的科學(xué)計(jì)算庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)這些方法。這些方法不僅限于橋梁和高層建筑框架結(jié)構(gòu)，還可以應(yīng)用于其他類(lèi)型的超靜定結(jié)構(gòu)分析中。8軟件工具與超靜定結(jié)構(gòu)分析8.1常用結(jié)構(gòu)分析軟件介紹在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，超靜定結(jié)構(gòu)的分析往往需要借助于專(zhuān)業(yè)的軟件工具，以實(shí)現(xiàn)精確的數(shù)值模擬。以下是一些廣泛使用的結(jié)構(gòu)分析軟件：ANSYS

ANSYS是一款功能強(qiáng)大的工程仿真軟件，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)、流體、電磁、熱學(xué)等多物理場(chǎng)的仿真分析。對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，ANSYS提供了線(xiàn)性和非線(xiàn)性分析能力，能夠處理復(fù)雜的載荷和邊界條件。SAP2000

SAP2000是結(jié)構(gòu)工程師常用的軟件，特別擅長(zhǎng)于高層建筑、橋梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析。它提供了直觀的用戶(hù)界面和強(qiáng)大的分析引擎，能夠進(jìn)行靜力、動(dòng)力、非線(xiàn)性等多種分析。ETABS

ETABS是專(zhuān)為建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的軟件，尤其在多層和高層建筑的分析中表現(xiàn)突出。它能夠處理復(fù)雜的建筑布局，進(jìn)行精確的荷載分配和結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析。ABAQUS

ABAQUS是一款高級(jí)的有限元分析軟件，適用于解決復(fù)雜的工程問(wèn)題，包括超靜定結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性分析。它能夠模擬材料的塑性、蠕變、斷裂等行為，是進(jìn)行深入結(jié)構(gòu)研究的首選工具。RobotStructuralAnalysis

由Autodesk開(kāi)發(fā)的RobotStructuralAnalysis，是一款集成在AutoCAD環(huán)境中的結(jié)構(gòu)分析軟件。它提供了從設(shè)計(jì)到分析的完整解決方案，適用于各種類(lèi)型的結(jié)構(gòu)。8.2軟件操作流程與技巧8.2.1ANSYS操作流程示例8.2.1.1建立模型#ANSYSPythonAPI示例代碼

#創(chuàng)建一個(gè)新的ANSYS實(shí)例

importansys.mapdl.coreaspymapdl

mapdl=pymapdl.launch_mapdl()

#設(shè)置單位為毫米和牛頓

mapdl.units('MM')

#創(chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)

mapdl.prep7()

mapdl.et(1,'BEAM188')

mapdl.r(1,100,1000)

mapdl.mp('EX',1,200000)

mapdl.mp('DENS',1,7800)

mapdl.mp('POISS',1,0.3)

mapdl.n(1,0,0,0)

mapdl.n(2,1000,0,0)

mapdl.e(1,2)8.2.1.2應(yīng)用邊界條件和載荷#應(yīng)用邊界條件

mapdl.nsel('S','LOC','Y',0)

mapdl.d(1,'ALL')

#應(yīng)用載荷

mapdl.f(2,'FY',-1000)8.2.1.3求解#求解結(jié)構(gòu)

mapdl.allsel()

mapdl.allsolve()8.2.1.4后處理#查看位移結(jié)果

mapdl.post1()

mapdl.set(1,1)

mapdl.prnsol('U')8.2.2SAP2000操作流程示例8.2.2.1建立模型在SAP2000中，建立模型通常通過(guò)圖形界面進(jìn)行，包括定義材料屬性、截面、節(jié)點(diǎn)和元素。以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的命令行示例，用于創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)和定義梁元素：#SAP2000PythonAPI示例代碼

importcsapiassap

#創(chuàng)建SAP2000實(shí)例

mySapObject=sap.SapObject()

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)

mySapObject.NodeObj.AddNode(1,0,0,0)

mySapObject.NodeObj.AddNode(2,1000,0,0)

#定義梁元素

mySapObject.FrameObj.AddFrame(1,1,2,'Concrete','Rect',100,100)8.2.2.2應(yīng)用邊界條件和載荷#應(yīng)用邊界條件

mySapObject.NodeObj.DefineSupport(1,True,True,True,True,True,True)

#應(yīng)用載荷

mySapObject.LoadCaseObj.AddCase('DEAD','DEAD',1.0)

mySapObject.FrameObj.AddLoadPat1(1,'DEAD',0,0,-1000,0,0,0)8.2.2.3求解#求解結(jié)構(gòu)

mySapObject.Analyze.RunAnalysis()8.2.2.4后處理#查看位移結(jié)果

mySapObject.Results.SetupCase('DEAD')

displacements=mySapObject.NodeObj.GetResults(1,'U1','U2','U3','R1','R2','R3')

print(displacements)8.2.3技巧與建議熟悉軟件的用戶(hù)手冊(cè)和幫助文檔：每款軟件都有其獨(dú)特的功能和操作方式，深入閱讀文檔是掌握軟件的關(guān)鍵。利用軟件的批處理和腳本功能：通過(guò)編寫(xiě)腳本，可以自動(dòng)化重復(fù)的分析任務(wù)，提高工作效率。進(jìn)行模型驗(yàn)證：在進(jìn)行復(fù)雜分析前，先用簡(jiǎn)單的模型驗(yàn)證軟件設(shè)置是否正確，避免在復(fù)雜模型中發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)錯(cuò)誤。利用網(wǎng)格細(xì)化和收斂性分析：對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格的細(xì)化程度直接影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，進(jìn)行收斂性分析可以確保結(jié)果的可靠性?？紤]非線(xiàn)性效應(yīng)：超靜定結(jié)構(gòu)在大變形或材料非線(xiàn)性情況下，線(xiàn)性分析可能無(wú)法提供準(zhǔn)確的結(jié)果，此時(shí)應(yīng)使用非線(xiàn)性分析功能。通過(guò)上述軟件和操作流程的介紹，以及具體的代碼示例，可以為結(jié)構(gòu)工程師提供一個(gè)從模型建立到結(jié)果分析的完整框架，幫助他們更有效地進(jìn)行超靜定結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬。9結(jié)論與展望9.1超靜定結(jié)構(gòu)分析的未來(lái)趨勢(shì)超靜定結(jié)構(gòu)的分析，作為結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個(gè)重要分支，其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)將緊密?chē)@著數(shù)值模擬方法的創(chuàng)新與應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值模擬方法在超靜定結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用日益廣泛，不僅提高了分析的精度，也極大地縮短了