結構力學數(shù)值方法：迭代法：線性代數(shù)與矩陣理論

結構力學數(shù)值方法：迭代法：線性代數(shù)與矩陣理論1基礎理論1.1線性代數(shù)簡介線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，主要研究向量空間（或稱線性空間）以及線性變換和線性方程組。在結構力學的數(shù)值方法中，線性代數(shù)提供了一種強大的工具來分析和解決結構問題。線性代數(shù)的核心概念包括向量、矩陣、行列式、線性獨立、基、線性變換、特征值和特征向量等。1.1.1向量向量是具有大小和方向的量。在結構力學中，向量可以表示力、位移、加速度等物理量。例如，考慮一個二維空間中的力向量：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建一個表示力的向量

force=np.array([10,5])

print("力向量:",force)1.1.2矩陣矩陣是由數(shù)按一定方式排列成的矩形數(shù)組，用于表示線性變換或線性方程組。在結構力學中，矩陣常用于描述結構的剛度、柔度等特性。例如，一個結構的剛度矩陣可以表示為：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建一個表示結構剛度的矩陣

stiffness_matrix=np.array([[4,2],[2,3]])

print("剛度矩陣:\n",stiffness_matrix)1.1.3行列式行列式是矩陣的一個特殊值，對于方陣而言，行列式可以用來判斷矩陣是否可逆。在結構力學中，行列式的值可以幫助我們了解結構的穩(wěn)定性。例如，計算上述剛度矩陣的行列式：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#計算剛度矩陣的行列式

det_stiffness_matrix=np.linalg.det(stiffness_matrix)

print("剛度矩陣的行列式:",det_stiffness_matrix)1.2矩陣理論基礎矩陣理論是線性代數(shù)的重要組成部分，它提供了矩陣運算的規(guī)則和性質。矩陣的加法、乘法、轉置、逆矩陣等運算在結構力學的數(shù)值分析中起著關鍵作用。1.2.1矩陣加法矩陣加法要求兩個矩陣具有相同的維度，結果矩陣的每個元素是相應位置的元素相加。例如：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建兩個矩陣

matrix_A=np.array([[1,2],[3,4]])

matrix_B=np.array([[5,6],[7,8]])

#矩陣加法

matrix_sum=matrix_A+matrix_B

print("矩陣加法結果:\n",matrix_sum)1.2.2矩陣乘法矩陣乘法是矩陣運算中較為復雜的一種，它要求前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等。結果矩陣的每個元素是通過前一個矩陣的行與后一個矩陣的列的點積計算得到的。例如：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建兩個矩陣

matrix_A=np.array([[1,2],[3,4]])

matrix_B=np.array([[5,6],[7,8]])

#矩陣乘法

matrix_product=np.dot(matrix_A,matrix_B)

print("矩陣乘法結果:\n",matrix_product)1.2.3矩陣的逆矩陣的逆是矩陣運算中的另一個重要概念，對于可逆矩陣，其逆矩陣滿足原矩陣與逆矩陣相乘等于單位矩陣。在結構力學中，求解線性方程組時，矩陣的逆是必要的。例如，求解上述剛度矩陣的逆：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#求剛度矩陣的逆

inverse_stiffness_matrix=np.linalg.inv(stiffness_matrix)

print("剛度矩陣的逆:\n",inverse_stiffness_matrix)1.3向量空間與線性變換向量空間是線性代數(shù)中的一個概念，它由一組向量和定義在這些向量上的運算（加法和數(shù)乘）組成。線性變換是向量空間中的一個函數(shù)，它保持加法和數(shù)乘的運算性質不變。在結構力學中，線性變換可以用來描述結構在力的作用下的變形。1.3.1向量空間一個向量空間由一組向量和定義在這些向量上的運算組成。例如，考慮一個二維向量空間：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建兩個向量

vector_a=np.array([1,2])

vector_b=np.array([3,4])

#向量加法

vector_sum=vector_a+vector_b

print("向量加法結果:",vector_sum)

#數(shù)乘向量

scalar=2

vector_scaled=scalar*vector_a

print("數(shù)乘向量結果:",vector_scaled)1.3.2線性變換線性變換是向量空間中的一個函數(shù)，它保持加法和數(shù)乘的運算性質不變。在結構力學中，線性變換可以用來描述結構在力的作用下的變形。例如，考慮一個線性變換，它將一個向量乘以一個矩陣：#Python示例代碼

importnumpyasnp

#創(chuàng)建一個向量

vector=np.array([1,2])

#創(chuàng)建一個表示線性變換的矩陣

transformation_matrix=np.array([[1,0],[0,2]])

#應用線性變換

transformed_vector=np.dot(transformation_matrix,vector)

print("線性變換后的向量:",transformed_vector)通過上述示例，我們可以看到線性代數(shù)和矩陣理論在結構力學數(shù)值方法中的應用。向量和矩陣的運算幫助我們描述和分析結構的力學行為，而線性變換則提供了結構變形的數(shù)學模型。這些基礎理論是理解和應用迭代法解決結構力學問題的關鍵。2迭代法原理2.1直接法與迭代法對比在結構力學的數(shù)值分析中，直接法和迭代法是解決線性方程組的兩種主要方法。直接法，如高斯消元法或LU分解，通過一系列確定性的步驟直接求解方程組，得到精確解。然而，當方程組的規(guī)模非常大時，直接法的計算復雜度和存儲需求會顯著增加，這在工程實踐中可能成為瓶頸。相比之下，迭代法通過逐步逼近的方式求解方程組，每次迭代都根據(jù)上一次的結果進行修正，直到滿足收斂條件為止。迭代法的優(yōu)勢在于，對于大規(guī)模稀疏矩陣，其計算效率和存儲需求通常遠低于直接法。然而，迭代法的收斂性依賴于矩陣的性質和迭代算法的選擇，不總是保證能夠找到解。2.1.1示例：比較直接法和迭代法求解線性方程組假設我們有以下線性方程組：2使用Python的numpy庫，我們可以比較直接法和迭代法的求解過程。importnumpyasnp

#定義系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b

A=np.array([[2,1],[1,3]])

b=np.array([5,6])

#使用直接法求解

x_direct=np.linalg.solve(A,b)

print("直接法解：",x_direct)

#使用迭代法求解

x=np.zeros_like(b)#初始猜測解

max_iter=1000

tolerance=1e-6

foriinrange(max_iter):

x_new=np.dot(np.linalg.inv(A),b)

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tolerance:

break

x=x_new

print("迭代法解：",x)直接法直接給出解，而迭代法需要多次迭代才能達到解，且迭代法的效率和收斂性在大規(guī)模問題中更為突出。2.2迭代法基本概念迭代法的基本思想是將線性方程組的求解轉化為一個迭代過程，通過不斷修正初始猜測值，逐步逼近方程組的精確解。迭代法的關鍵在于選擇合適的迭代公式和收斂準則。2.2.1迭代公式迭代公式通?；诰仃嚨姆纸饣蜃儞Q，常見的迭代公式包括：雅可比迭代法（JacobiIteration）高斯-賽德爾迭代法（Gauss-SeidelIteration）SOR超松弛迭代法（SuccessiveOver-Relaxation）2.2.2收斂準則收斂準則用于判斷迭代過程是否應該停止，常見的準則包括：殘差準則：當殘差向量的范數(shù)小于給定的閾值時停止迭代。解的改變準則：當連續(xù)兩次迭代解的差的范數(shù)小于給定的閾值時停止迭代。2.2.3示例：使用雅可比迭代法求解線性方程組考慮以下線性方程組：4使用雅可比迭代法求解，迭代公式為：xPython代碼如下：defjacobi_iteration(A,b,x0,max_iter,tol):

D=np.diag(np.diag(A))#對角矩陣

R=A-D#剩余矩陣

x=x0

foriinrange(max_iter):

x_new=np.dot(np.linalg.inv(D),b-np.dot(R,x))

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tol:

break

x=x_new

returnx

A=np.array([[4,-1],[-1,4]])

b=np.array([3,3])

x0=np.array([0,0])

max_iter=1000

tol=1e-6

x=jacobi_iteration(A,b,x0,max_iter,tol)

print("雅可比迭代法解：",x)2.3收斂性分析迭代法的收斂性是其應用的關鍵。一個迭代過程是否收斂，以及收斂速度如何，主要取決于矩陣的譜半徑和迭代公式的選擇。譜半徑是矩陣特征值絕對值的最大值，如果譜半徑小于1，則迭代過程收斂。2.3.1譜半徑與收斂性對于雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法，如果系數(shù)矩陣A是嚴格對角占優(yōu)的，即對角線元素的絕對值大于其他元素絕對值之和，那么迭代過程收斂。2.3.2示例：分析迭代法的收斂性考慮以下矩陣A：A我們可以計算其譜半徑，以分析迭代法的收斂性。defspectral_radius(A):

eigenvalues,_=np.linalg.eig(A)

returnnp.max(np.abs(eigenvalues))

A=np.array([[4,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,4]])

rho=spectral_radius(A)

print("矩陣A的譜半徑：",rho)如果譜半徑小于1，說明迭代法收斂；如果等于1，收斂性不確定；如果大于1，迭代法不收斂。通過上述分析和示例，我們了解了迭代法在結構力學數(shù)值分析中的應用，以及如何選擇合適的迭代公式和收斂準則來確保迭代過程的收斂性和效率。迭代法在處理大規(guī)模稀疏矩陣問題時展現(xiàn)出其獨特的優(yōu)勢，是現(xiàn)代結構分析中不可或缺的工具。3結構力學中的迭代法3.1有限元方法概述在結構力學中，有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛使用的數(shù)值技術，用于求解復雜的結構問題。它將結構分解為許多小的、簡單的部分，即“有限元”，然后在每個元素上應用力學原理，最終通過組合所有元素的解來獲得整個結構的解。這種方法特別適用于處理非線性、不規(guī)則形狀或材料屬性變化的結構問題。3.1.1原理有限元方法基于變分原理和加權殘值法。它通過將連續(xù)的結構域離散化為有限數(shù)量的節(jié)點和元素，將偏微分方程轉化為代數(shù)方程組。在結構分析中，這些方程通常表示為：K其中，K是剛度矩陣，u是位移向量，F(xiàn)是外力向量。3.1.2代碼示例以下是一個使用Python和SciPy庫求解簡單梁的有限元分析示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義節(jié)點和元素

nodes=np.array([0,1,2,3])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3]])

#剛度矩陣和外力向量初始化

K=lil_matrix((len(nodes),len(nodes)),dtype=float)

F=np.array([0,-1000,0,0])

#定義材料和截面屬性

E=200e9#彈性模量

I=0.05#截面慣性矩

#計算每個元素的剛度矩陣并累加到全局剛度矩陣

foreinelements:

x1,x2=nodes[e]

L=x2-x1

ke=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

K[e[0]*2:e[1]*2+1,e[0]*2:e[1]*2+1]+=ke

#應用邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#求解位移向量

u=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移結果

print("位移向量:",u)3.2結構分析中的線性方程組在結構分析中，線性方程組是通過有限元方法得到的，用于描述結構在給定載荷下的響應。這些方程組通常很大，對于復雜結構可能包含成千上萬個方程。直接求解這些方程組可能非常耗時且計算資源密集，因此迭代法成為了一種有效的求解策略。3.2.1迭代法原理迭代法是一種逐步逼近精確解的數(shù)值方法。它從一個初始猜測開始，通過一系列步驟逐步改進解，直到滿足某個收斂標準。常見的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和共軛梯度法。3.2.2雅可比迭代法示例假設我們有以下線性方程組：4我們可以將其重寫為迭代形式：u下面是一個使用Python實現(xiàn)雅可比迭代法的示例：importnumpyasnp

#定義系數(shù)矩陣和常數(shù)向量

A=np.array([[4,-1],[-1,4]])

b=np.array([3,3])

#定義迭代參數(shù)

x=np.zeros_like(b)

D=np.diag(A)

R=A-np.diagflat(D)

#迭代求解

max_iter=100

tolerance=1e-6

foriinrange(max_iter):

x_new=(b-np.dot(R,x))/D

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tolerance:

break

x=x_new

#輸出結果

print("迭代解:",x)3.3迭代法在結構力學中的應用迭代法在結構力學中的應用主要集中在求解大型線性方程組上，特別是在有限元分析中。由于結構力學問題的復雜性，迭代法提供了一種高效且節(jié)省內存的求解策略，尤其是在處理大規(guī)模問題時。3.3.1共軛梯度法示例共軛梯度法是一種特別適用于求解大型稀疏線性方程組的迭代方法。下面是一個使用Python和SciPy庫求解線性方程組的共軛梯度法示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportcg

#定義系數(shù)矩陣和常數(shù)向量

A=np.array([[4,-1],[-1,4]])

b=np.array([3,3])

#使用共軛梯度法求解

x,info=cg(A,b)

#輸出結果

print("共軛梯度法解:",x)3.3.2結論迭代法在結構力學數(shù)值分析中扮演著重要角色，特別是在處理大型線性方程組時。通過選擇合適的迭代方法，可以顯著提高求解效率和計算資源的利用。上述示例展示了如何使用Python和相關庫來實現(xiàn)迭代法，為結構工程師提供了一種實用的工具。4常用迭代算法4.1雅可比迭代法雅可比迭代法(JacobiIteration)是一種用于求解線性方程組的迭代方法，特別適用于大型稀疏矩陣。其基本思想是將矩陣的主對角線元素用于直接求解，而將非對角線元素視為迭代過程中的誤差項。對于線性方程組A，其中A是系數(shù)矩陣，x是未知數(shù)向量，b是常數(shù)向量，雅可比迭代法可以表示為：x其中，D是A的主對角線元素構成的對角矩陣，L是A的下三角部分，U是A的上三角部分。4.1.1示例代碼假設我們有以下線性方程組：2x可以表示為矩陣形式A，其中：Axb使用Python和NumPy庫，我們可以實現(xiàn)雅可比迭代法：importnumpyasnp

#定義系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b

A=np.array([[2,1],[1,3]])

b=np.array([5,10])

#分解矩陣A為D,L,U

D=np.diag(np.diag(A))

L=np.tril(A)-D

U=np.triu(A)-D

#初始化迭代向量x

x=np.array([0,0])

#迭代次數(shù)

iterations=100

#迭代過程

foriinrange(iterations):

x_new=np.dot(np.linalg.inv(D),b-np.dot(L+U,x))

ifnp.allclose(x,x_new,atol=1e-8):

break

x=x_new

print("迭代解：",x)4.2高斯-賽德爾迭代法高斯-賽德爾迭代法(Gauss-SeidelIteration)是雅可比迭代法的一種改進，它在每次迭代中使用了最新的解來更新未知數(shù)向量。對于線性方程組A，高斯-賽德爾迭代法可以表示為：x4.2.1示例代碼使用相同的線性方程組，我們可以通過以下Python代碼實現(xiàn)高斯-賽德爾迭代法：importnumpyasnp

#定義系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b

A=np.array([[2,1],[1,3]])

b=np.array([5,10])

#初始化迭代向量x

x=np.array([0,0])

#迭代次數(shù)

iterations=100

#迭代過程

for_inrange(iterations):

x_new=np.zeros_like(x)

foriinrange(len(x)):

s1=np.dot(A[i,:i],x_new[:i])

s2=np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:])

x_new[i]=(b[i]-s1-s2)/A[i,i]

ifnp.allclose(x,x_new,atol=1e-8):

break

x=x_new

print("迭代解：",x)4.3共軛梯度法共軛梯度法(ConjugateGradientMethod)是一種用于求解大型稀疏線性方程組的高效迭代方法，尤其適用于正定矩陣。其核心思想是通過構造一系列共軛方向來最小化目標函數(shù)，從而求解線性方程組。4.3.1示例代碼對于線性方程組A，其中A是正定矩陣，我們可以使用以下Python代碼實現(xiàn)共軛梯度法：importnumpyasnp

#定義系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b

A=np.array([[4,1],[1,3]])

b=np.array([1,2])

#初始化迭代向量x和殘差r

x=np.zeros_like(b)

r=b-np.dot(A,x)

p=r.copy()

#迭代次數(shù)

iterations=100

#迭代過程

for_inrange(iterations):

Ap=np.dot(A,p)

alpha=np.dot(r,r)/np.dot(p,Ap)

x=x+alpha*p

r=r-alpha*Ap

ifnp.linalg.norm(r)<1e-8:

break

beta=np.dot(r,r)/np.dot(r-alpha*Ap,r-alpha*Ap)

p=r+beta*p

print("迭代解：",x)以上代碼示例展示了如何使用Python和NumPy庫實現(xiàn)雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和共軛梯度法來求解線性方程組。每種方法都有其適用場景和優(yōu)缺點，選擇合適的方法可以顯著提高求解效率和精度。5迭代法的優(yōu)化與加速5.1預處理技術預處理技術是迭代法中用于加速收斂過程的關鍵策略。在結構力學的數(shù)值分析中，迭代法常用于求解大規(guī)模的線性系統(tǒng)，如有限元分析中的方程組。預處理技術通過改變系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，使得迭代過程更快達到解。5.1.1原理預處理技術的核心在于找到一個近似逆矩陣，稱為預處理矩陣M，使得原系統(tǒng)Ax=b變?yōu)镸?15.1.2內容常見的預處理技術包括：對角預處理：M=不完全LU分解：M為A的不完全LU分解，能提供更好的近似。多重網(wǎng)格預處理：結合多網(wǎng)格方法，通過不同網(wǎng)格層次的迭代來加速收斂。5.2共軛梯度加速共軛梯度法是一種高效的迭代算法，特別適用于求解大規(guī)模的、對稱的、正定的線性系統(tǒng)。在結構力學中，這種類型的系統(tǒng)經常出現(xiàn)，因此共軛梯度法成為加速迭代求解的有力工具。5.2.1原理共軛梯度法通過構造一組共軛方向，沿著這些方向進行搜索，以最小化目標函數(shù)。共軛方向的選擇保證了在有限步內（最多n步，n為系統(tǒng)維數(shù)）達到精確解，對于大規(guī)模系統(tǒng)，通常在遠少于n步時就能達到滿意的近似解。5.2.2內容共軛梯度法的迭代步驟如下：初始化：設x0為初始解，r0=迭代：對于k=計算αk更新解：xk更新殘差：rk計算βk更新搜索方向：pk5.2.3示例importnumpyasnp

defconjugate_gradient(A,b,x0,tol=1e-6,maxiter=None):

"""

使用共軛梯度法求解線性系統(tǒng)Ax=b。

參數(shù):

A:系統(tǒng)矩陣，對稱正定

b:右手邊向量

x0:初始解向量

tol:容忍誤差

maxiter:最大迭代次數(shù)

"""

x=x0

r=b-A@x

p=r

rsold=r@r

ifmaxiterisNone:

maxiter=len(b)

foriinrange(maxiter):

Ap=A@p

alpha=rsold/(p@Ap)

x=x+alpha*p

r=r-alpha*Ap

rsnew=r@r

ifnp.sqrt(rsnew)<tol:

break

p=r+(rsnew/rsold)*p

rsold=rsnew

returnx

#示例數(shù)據(jù)

A=np.array([[4,1],[1,3]])

b=np.array([1,2])

x0=np.array([0,0])

#調用共軛梯度法

x=conjugate_gradient(A,b,x0)

print("解向量:",x)5.3多網(wǎng)格方法多網(wǎng)格方法是一種迭代求解技術，通過在不同網(wǎng)格層次上交替迭代，加速求解過程。在結構力學中，這種方法特別適用于處理具有復雜幾何和材料特性的問題。5.3.1原理多網(wǎng)格方法基于以下觀察：在粗網(wǎng)格上迭代可以快速消除低頻誤差，而在細網(wǎng)格上迭代可以精確消除高頻誤差。通過在不同網(wǎng)格層次上交替迭代，可以同時加速低頻和高頻誤差的消除，從而提高整體收斂速度。5.3.2內容多網(wǎng)格方法通常包括以下步驟：初始化：在最細網(wǎng)格上設置初始解。預平滑：在當前網(wǎng)格上進行幾輪迭代，以減少高頻誤差。限制：將殘差從當前網(wǎng)格傳遞到下一個更粗的網(wǎng)格。粗網(wǎng)格求解：在粗網(wǎng)格上求解系統(tǒng)，得到粗網(wǎng)格解。插值：將粗網(wǎng)格解插值回當前網(wǎng)格，作為修正量。后平滑：在當前網(wǎng)格上進行幾輪迭代，以進一步減少誤差。循環(huán)：重復步驟2至6，直到達到最粗網(wǎng)格，然后從最粗網(wǎng)格開始反向循環(huán)，直到最細網(wǎng)格。5.3.3示例多網(wǎng)格方法的實現(xiàn)較為復雜，涉及到網(wǎng)格層次的構建、限制和插值操作，通常需要專門的軟件包來處理。以下是一個簡化版的多網(wǎng)格迭代過程示例，僅展示基本的網(wǎng)格層次迭代概念：defmultigrid_iteration(A,b,x,levels,pre_smooth,post_smooth):

"""

簡化版多網(wǎng)格迭代過程。

參數(shù):

A:系統(tǒng)矩陣

b:右手邊向量

x:當前解向量

levels:網(wǎng)格層次列表，每個層次包含系統(tǒng)矩陣和限制/插值操作

pre_smooth,post_smooth:預平滑和后平滑迭代次數(shù)

"""

#預平滑

for_inrange(pre_smooth):

x=x+A.inv()@(b-A@x)

#限制

iflen(levels)>1:

r=b-A@x

r_coarse=levels[1].restriction(r)

x_coarse=multigrid_iteration(levels[1].A,r_coarse,levels[1].x,levels[1:],pre_smooth,post_smooth)

x=x+levels[0].interpolation(x_coarse)

#后平滑

for_inrange(post_smooth):

x=x+A.inv()@(b-A@x)

returnx

#示例數(shù)據(jù)（簡化版，實際應用中A.inv()會被更高效的求逆方法替代）

A=np.array([[4,1],[1,3]])

b=np.array([1,2])

x=np.array([0,0])

levels=[None]#假設只有一個網(wǎng)格層次

#調用多網(wǎng)格迭代

x=multigrid_iteration(A,b,x,levels,2,2)

print("解向量:",x)請注意，上述代碼僅為示例，實際應用中A.6案例分析與實踐6.1橋梁結構分析在橋梁結構分析中，迭代法是解決大型線性系統(tǒng)方程的關鍵技術。橋梁的結構復雜，包含多個支撐點和負載點，這導致了結構力學分析中的矩陣方程規(guī)模龐大。迭代法，如共軛梯度法或雅可比迭代法，能夠有效地處理這類問題，通過逐步逼近精確解來減少計算資源的需求。6.1.1示例：使用Python的共軛梯度法求解橋梁結構的線性方程組假設我們有一個簡化版的橋梁模型，其結構力學分析可以歸結為求解線性方程組Ax=b，其中A是剛度矩陣，ximportnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportcg

#定義剛度矩陣A和外力向量b

A=np.array([[4,1],[1,3]])

b=np.array([1,2])

#使用共軛梯度法求解線性方程組

x,info=cg(A,b)

#輸出結果

print("節(jié)點位移向量x:",x)

print("迭代信息:",info)在這個例子中，我們使用了Python的numpy和scipy庫來定義和求解線性方程組。cg函數(shù)是共軛梯度法的實現(xiàn)，它返回解向量x和迭代信息in6.2高層建筑框架分析高層建筑的框架分析同樣依賴于迭代法。建筑框架由許多梁和柱組成，形成復雜的結構網(wǎng)絡。在地震或風力等動態(tài)載荷作用下，框架的響應需要通過求解非線性方程組來預測，這通常涉及線性化和迭代求解。6.2.1示例：使用Python的雅可比迭代法求解高層建筑框架的線性化方程組考慮一個高層建筑框架的簡化模型，其線性化后的方程組可以表示為Aximportnumpyasnp

#定義剛度矩陣A和外力向量b

A=np.array([[5,2],[2,8]])

b=np.array([10,20])

#定義迭代初值x0

x0=np