2024-2025學年北師大版八年級數學上冊 第一章 勾股定理 單元綜合測試卷（含答案）

第1章勾股定理（單元培優(yōu)卷北師大版）

考試時間：120分鐘,滿分：120分

一、選擇題:共10題，每題3分，共30分。

1.下列各組數據，是勾股數的是（）

A.1,2,3B.6,8,10C.0.3,0.4,0.5D.3,4,V7

2.已知在7?4“18。中，乙4=90°,47=3,48=4,則3。的長為（）

A.V7B.3C.5或。D.5

3.如圖，一根長15cm的兒童牙刷置于底面直徑為6cm、高為8cm的圓柱形水杯中，兒童牙刷露在杯子

外面的長度為hem,則％的取值范圍是（）

A.3W/iW5B.44九46C.5W/iW7D.6＜九＜8

4.在平面直角坐標系中，點A⑵-4）到原點的距離為（）

A.2B.4C.2V3D.2V5

5.如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為人且交于點。，若AD=2,BC=4,則

AB?+52的值為（）

A.20B.18C.16D.1

6.如圖，三個正方形圍成一個直角三角形，其中兩個正方形的面積分別是3和4,則字母人所代表的正

方形的邊長是（）

7.如圖，學校有一塊直角三角形菜地，ZABC=90°,BC=12m.為方便勞作，準備在菜地中間修建一

條小路.測量發(fā)現，=CF=8m,則的長為（）

A.3mB.4m

8.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現將直角邊AC沿直線AD折疊，

使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）

A.5cmD.2cm

9.勾股定理是歷史上第一個把數與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能

證明勾股定理的是（）

10.如圖，在學校工地的一根空心鋼管外表面距離左側管口2cm的點M處有一只小蜘蛛,它要爬行到鋼

管內表面距離右側管口5cm的點N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm，長為15cm，則小蜘蛛需

要爬行的最短距離是（）

A.5cmB.4cmC.9V5cmD.15cm

二、填空題:共6題，每題3分，共18分。

11.一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)沿著北偏東58°的方向航行，另一輪船以12海里/時的速

度同時從港口4出發(fā)沿著南偏東32°的方向航行,離開港口2小時后兩船相距海里.

12.如圖，在Rt/\ABC中，ABAC=90°,點。是BC上一點.AD=,若AB=9,=5,則CD=

13.在△ABC中，4B=20,/C=13,高4D=12,則4ABC的面積為

14.如圖，小張在投籃訓練時把球打到籃板的點。處后恰好進球，已知小張與籃板底的距離■四

米，頭頂與地面的距離48=1.65米，頭頂與籃板點。處的距離40=3米，則點。到地面的距離

CD為米.

C

(

15.如圖，在Rt/\ABC中，P為邊上一點，已知4ABC的周長為30,PC=5,AC=10,則斜邊AB的

長為.

B

16.課本中有這樣一句話：“利用勾股定理可以作出《，西，…的線段（如圖所示）."即：04=1,過A

441，04AA=1,OA=444±0444=1，

作且根據勾股定理，得方；再過作且得OA2

="；…以此類推,得042023=.

三、解答題供9題，共72分,其中第17?18題每小題4分，第19?20題每小題6分，第21題8分，第

22-23題每小題10分，第24-25題每小題12分。

17.（4分）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小

時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方

30米B處，過了2秒后,測得小汽車C與車速檢測儀力間距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？

―小汽車小汽車

-----------------rn

18.（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有兩點4（5,0）和B（0,3）.求這兩點之間的距離.

3

2

1111"XjC|、

123456x

19.（6分）一架方梯48長25米，如圖所示，斜靠在一面墻上.

^7777777777.

（1）若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米?

20.（6分）如圖，紙片ABCD為長方形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上的E處，折痕

為AF.已知AB=10,AD=8.

（1）求DE的長.

（2）求的長.

21.（8分）在中國古代數學著作《周髀算經》中就對勾股定理和勾股數有過一定的描述，所謂勾股數一般

是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，觀察下面的表格中的勾股數：

abc

3=1+24=2x1x25=2xlx2+l

5=2+312=2x2x313=2x2x3+1

7=3+424=2x3x425=2x3x4+1

9=4+540=2x4x541=2x4x5+1

⑴當a=]]時,b=,c=.

（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含"的等式表示,n為正整數）.

（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的.

22.（10分）如圖1是兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形紙片,圖2是用四張圖1紙片拼

成的正方形圖案.

（1）用含有a,b的式子表示圖2中正方形ABCD的邊長;

（2）當a=l,b=2時，小正方形即GH的面積是多少？

23.（10分）為了滿足市民健身需求，市政部門在某公園的東門。和西門A之間修建了四邊形A8CD循

環(huán)步道.如圖，經勘測，點8在點A的正南方，點。在點A的正東方，且點。到點4C

的距離相等，已知AB=1000米，_BC=2600米.（參考數據：V2?1.414,V3?1.732）

⑴求兩點之間的長度；

（2）小慶準備從西門人跑步到東門。去見小渝，因人，。之間的道路施工不能通行,小慶決定選擇一條較

短線路,請計算說明小慶應選擇4—B—C路線，還是A—?！狢路線？（結果精確到1米）

24.（12分）勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工

具之一，也是數形結合的紐帶之一.它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使

人入迷.

（1）應用場景1：在數軸上畫出表示無理數的點.

如圖1.在數軸上找出表示—1的點人，表示1的點過點口作直線I垂直于48,在］上取點C,使

=1,以點4為圓心，AC為半徑作弧，弧與數軸的交點。表示的數為.

（2）應用場景2：解決實際問題.

如圖2,秋千靜止時,踏板離地的垂直高度BE=1。成,將它往前推4m至C處時,踏板離地的垂直高度

CF=3。巾,整個過程中它的繩索始終拉直，求秋千繩47的長.（作于。）

25.（12分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=20cm,12cm,點P從點人出發(fā)，沿著射線入。以

2cm太的速度運動，運動時間為ts.

備用圖

（1）若PC=則力的值為；

⑵當_R4=P8時，求t的值；

（3）當是直角三角形時，求t的值.

第1章勾股定理（單元培優(yōu)卷北師大版）

考試時間：120分鐘,滿分：120分

一、選擇題:共10題，每題3分，共30分。

1.下列各組數據，是勾股數的是（）

A.1,2,3B.6,8,10C.0.3,0.4,0.5D.3,4,V7

【答案】B

【詳解】解：43?=9￥儼+22,故不符合題意;

B、62+82=102,故該選項是正確的；

C、0.3,0.4,0.5不是正整數，故不符合題意；

不是正整數，故不符合題意；

故選

2.已知在TttAABC中，乙4=90°,AC=3,AB=4,則的長為（）

A.V7B.3C.5或。D.5

【答案】。

【詳解】解:根據題意,作出圖形，如圖所示:

在Rt/\ABC中，NA=90°,AC=3,AB=4,則由勾股定理可得BC=^AC2+AB2=5,

故選：D.

3.如圖，一根長15cm的兒童牙刷置于底面直徑為6cm、高為8cm的圓柱形水杯中，兒童牙刷露在杯子

外面的長度為船小,則/I的取值范圍是（）

A.3W/zW5B.4WX6C.5W/iW7D.64%<8

【答案】。

【詳解】解：當牙刷垂直放置時，兒=15—8=7;

當牙刷如圖所示放置時，AC=8cm,=6cm,且4C，,

/.在Rt/XABC中，AB=^AC2+BC2=V82+62=10(cm),

/z=15-10=5(cm),

.?.%的取值范圍為：5W%W7,

故選：C.

4.在平面直角坐標系中，點4(2,—4)到原點的距離為()

A.2B.4C.2V3D.275

【答案】。

【詳解】解：由題意得，點P到坐標原點的距離為：

V(2-0)2+(-4-0)2=V20=2V5.

故選：D.

5.如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為且交于點O,若4D=2,8C=4,則

482+52的值為()

A.20B.18C.16D.1

【答案】4

【詳解】解：

/.AB-+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2=(OA2+OD2)+(OB2+OC2)=AD2+BC2=22+42=

20,

故答案為：A.

6.如圖，三個正方形圍成一個直角三角形，其中兩個正方形的面積分別是3和4,則字母人所代表的正

方形的邊長是()

A.7B.5D.V5

【答案】。

【詳解】解:如下圖,

3

1\C

根據題意得：ZBCD=90°,BO2=3,CD2=4,

.?.8。2=口。2+5=7,

/,圖中字母A所代表的正方形面積=802=7,

RD=即字母A所代表的正方形的邊長是，7.

故選：C.

7.如圖，學校有一塊直角三角形菜地，ZABC=90°,BC=12m.為方便勞作，準備在菜地中間修建一

條小路.測量發(fā)現，=。尸=8成,則的長為（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

【答案】B

【詳解】解：:ZADE=ZAEDf

/.AD—AE\

設AE—xm,則AD—xm,

：.AB=AD+BD—（力+l）m>AC=AE+EF+CF=（9+x）m,

在Rt/\ABC中，由勾股定理有：AB?+BC2=AC2,

即（劣+1）2+122=（9+02,

解得x=4;

即AE=4m.

故選：8.

8.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現將直角邊AC沿直線AD折疊,

使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）

A

c/B

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】。

【詳解】解：：/C=90°,AC=6cm,BC=8cm,

/.AB=V62+82=10cm,

?.?折疊，

/.AAED=ZC=^,AE=AC=6cm,CD=DE,

：.ZDEB=90°,BE=AB-AE=4cm,

設CD=rrcm,則：DE=xcm,BD=BC—CD=(8—T)cm,

由勾股定理，得：(8—力)2="+42,

解得：T=3;

CD=3cm;

故選C.

9.勾股定理是歷史上第一個把數與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能

證明勾股定理的是()

【答案】A

【詳解】解：4、大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和，

(a+by=a?+2ab+62,

以上公式為完全平方公式，故人選項不能說明勾股定理，

8、由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

1111

萬曲+—ab+—c2=—(a+6)(a+6),

整理可得。2+/=。2,故g選項可以證明勾股定理，

。、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

:.4X5ab+4=(a+b)2,

整理得/+/=。2,故。選項可以證明勾股定理，

。、整個圖形的面積等于兩個三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個小正方形的面積加上兩個

直角三角形的面積，

c2+2x=Q?+M+2x,

整理得/+匕2=。2,故。選項可以證明勾股定理，

故選：A.

10.如圖,在學校工地的一根空心鋼管外表面距離左側管口2cm的點“處有一只小蜘蛛,它要爬行到鋼

管內表面距離右側管口5cm的點N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm，長為15cm,則小蜘蛛需

要爬行的最短距離是()

【答案】。

【詳解】如圖，作點N關于右側管□的對稱點Ni,連接MN1,

由題意得：AM—BC—2cm,BD—15cm,ND=NQ=5cm,

CNi=15+5—2=18(cm),

鋼管橫截面的周長為18cm,

MC=9cm,

在中，由勾股定理得：MN,=y/MCi+N.C2=V92+182=975(cm),

.?.小蜘蛛需要爬行的最短距離是9"cm.

故選：C.

二、填空題:共6題，每題3分，共18分。

11.一輪船以16海里/時的速度從港口/出發(fā)沿著北偏東58°的方向航行，另一輪船以12海里/時的速

度同時從港口A出發(fā)沿著南偏東32°的方向航行，離開港口2小時后兩船相距海里.

【答案】40

【詳解】解：由北偏東58°的方向航行，與南偏東32°的方向航行成直角，

由題意得兩船相距J(2x16y+(2xl2)2=40海里.

故答案為：40.

12.如圖，在A/ABC中，NR4C=90°,點。是上一點.AD=若=9,=5,則CD=

【答案】3.1

【詳解】解：設CD=c,

?：AD=BD,AB=9,BD=5,

：.AD=BD=5,BC=BD+CD=5+x,

■：ZBCA=90°,

/.在Rt/\ABC中，可有AC?=_BC，=92-(5+rc)2,

在RtAADC中，可有AC2=AD2-CD2=52-x2,

：.92-（5+O：）2=52-X2,

解得H=3.1,

/.CD=3.1.

故答案為：3.1.

13.在△ABC中，AB=20,AC=13,高AO=12,則△ABC的面積為

【答案】66或126/126或66

【詳解】解:分兩種情況考慮：

①當△4BC為銳角三角形時，如圖1所示，A

-：AD.LBC,

/.AADB=NADC=90°,\

-------------°——

在R力△ABD中，4B=20,40=12,圖1D

根據勾股定理得：BD=JAB?—=]6,

在Rt/\ADC中，13,AD=12,

根據勾股定理得：DC=y/AC2-AD1=5,

??.BC=8。+。。=5+16=21,

則?40=126;

②當△4BC為鈍角三角形時，如圖2所示，

?：ADVBC,/

/.NADB=90°,/」口

在RtAABD中，AB=20,AZ?=12,圖2。

根據勾股定理得：BD=^AB2-AD2=16,

在Rt/XADC中，AC=13,=12,

根據勾股定理得：DC=y/AC2-AD2=5,

/.BC—DC—BD=16—5=11,

綜上，△ABC的面積為66或126,

故答案為：66或126.

14.如圖，小張在投籃訓練時把球打到籃板的點。處后恰好進球，已知小張與籃板底的距離■代

米，頭頂與地面的距離=1.65米，頭頂與籃板點。處的距離人。=3米，則點。到地面的距離

CD為米.

fix

【答案】2.15

【詳解】解:如圖，過點△作AELCD,則CE=4B=L65米，/E=_BC=后米，40=3米,

.?.Rt/\ADE中，DE=VAD2-AE2

CD=CE+ED=1.65+1.5=2.15(米).

故答案為：2.15.

15.如圖，在Rt/\ABC中，P為邊上一點，已知4ABe的周長為30,尸。=5,AC=10,則斜邊AB的

長為.

【答案】12.5

【詳解】解：設尸8=2；,則BC=PC+PB=x+5,

?.?△ABC的周長為30,

?/=30-AC-BC=30-10-(x+5)=15-T,

在Rt/\ABC中，由勾股定理得AC?+BC?=AB-,

/.102+(rc+5)2=(15-T)2,

解得：2=2.5,

/.AB=15—rr=12.5,

故答案為：12.5.

16.課本中有這樣一句話：”利用勾股定理可以作出，^，展，…的線段(如圖所示)."即：。力=1,過人

作44」04且44=1,根據勾股定理，得04=2；再過4作44±04且44=1,得

OA2

="；…以此類推,得。42023=.

【答案】2/W

【詳解】解：???△OAA1是直角三角形，441=1,OA=1,

04==

???△CL4p42是直角三角形，0人1=方，人1人2=1,

/.OA.2=V(V2)2+12=V3;

?.?△0人2人3是直角三角形，/2』3=1,OA2=V3,

22

：.OA3=Vl+(V3)=V4=2;

/.OAn=Vn+1,

OA2023="2023+1=V2024,

故答案為：2，麗.

三、解答題:共9題，共72分,其中第17?18題每小題4分，第19?20題每小題6分，第21題8分，第

22-23題每小題10分，第24-25題每小題12分。

17.(4分)“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小

時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方

30米8處，過了2秒后,測得小汽車。與車速檢測儀A間距離為50米,這輛小汽車超速了嗎？

小汽車小汽車

觀測點

【答案】小汽車超速了

【詳解】解：根據題意可得，,即AABC=90°,AB=30m,AC=50m,

/.在Rt/XABC中，BC=y/AC2-AB2=V502-302=40（m）,

小汽車的速度為孚=20（m/s）,

,/70（km/h）=?19.4（m/s）<20（m/s）,

9

.?.小汽車超速了.

18.(4分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，有兩點4(5,0)和8(0,3).求這兩點之間的距離.

【答案】通I

【詳解】解：?.?4(5,0)和B(0,3),

/.OA—5,OB=3,

在放△BCM中，根據勾股定理，得：AB2=OA2+OB2=52+32=34,

/.AB=V3l,

A,B兩點之間的距離為V34.

19.(6分)一架方梯AB長25米,如圖所示,斜靠在一面墻上.

（1）若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

【答案】（1）24米

（2）8米

【詳解】（1）在Rt/\AOB中，4口=25（米），OB=7（米），

/.OA=VASCOS2=V252-72=24（米），

答：梯子的頂端距地面24米；

（2）在RtAAOB'中,A'O=24-4=20（米）,

/.OB'=^A'B'2-OA'2=V252-202=15（米）,

=—7=8（米），

答:梯子的底端在水平方向滑動了8米.

20.（6分）如圖，紙片ABCD為長方形紙片，把紙片ABCD折疊，使點口恰好落在CD邊上的七處，折痕

為AF.已知AB=10,40=8.

⑴求OE的長.

（2）求8R的長.

【答案】（1）6

（2）5

【詳解】⑴解：由題意，CD=AB=10,_BC=AD=8,ZABC=ZC=ZD=90°,

由折疊性質得AE=AB=10,砂=BF,

在RtAADE中，DE2=AE2-AD2=102-82=36,

/.DE=6;

（2）解：設6斤=力，

在RtACEF中，EF=x,CF=BC-BF=8-x,CE=CD—DE=\Q—6=4,

22222

由勾股定理得CE+CF=班2,則4+（8-T）=T,

解得x=5,

故BF=5.

21.（8分）在中國古代數學著作《周髀算經》中就對勾股定理和勾股數有過一定的描述，所謂勾股數一般

是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，觀察下面的表格中的勾股數：

abc

3=1+24=2xlx25=2xlX2+1

5=2+312=2x2x313=2x2x3+1

7=3+424=2x3x425=2x3x4+1

9=4+540=2x4x541=2x4x5+1

（1）當a=11時，b=,c=.

（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含口的等式表示，口為正整數）.

（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的.

【答案】（1）6061

（2）（2n+l）2+[2nx（n+l）]2=[2nX（n+1）+1]2

（3）見解析

【詳解】（1）解：a=5+6,

b=2X5x6=60,

c=2x5x6+l=61,

故答案為：60,61

(2)解：由⑴可得，a2+/=c2,

當a=2"+1時，(2rz+iy+[2nX(n+1)]2=[2nX(n+1)+1]2

(3)解：[2nX(n+1)+1]2-[2nX(n+1)]2

=[2nX(n+1)+l+2nX(n+l)][2nX(n+1)+1—2nX(n+1)]

=2n~+2n+1+2w+2n

=4n2+4n+1

=(2n+l)2.

結論成立.

22.（10分）如圖1是兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形紙片，圖2是用四張圖1紙片拼

成的正方形圖案.

（1）用含有a,b的式子表示圖2中正方形ABCD的邊長；

（2）當a=l,b=2時，小正方形E斤的面積是多少？

【答案】⑴a+b

（2）5

【詳解】（1）圖1中的直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,

/.圖2中正方形ABCD的邊長是a+b;

（2）由圖可知，小正方形即的邊長為圖1中的直角三角形的斜邊c,

由勾股定理可知，當a=1,6=2時，C2=12+22=5,

.?.小正方形EFGH的面積等于5.

23.（10分）為了滿足市民健身需求，市政部門在某公園的東門C和西門人之間修建了四邊形循

環(huán)步道.如圖，經勘測，點B在點A的正南方，點。在點A的正東方，DA±DC,且點D到點A,C

的距離相等，已知AB=1000米，2600米.（參考數據：V2?1.414,V3?1.732）

D

（1）求A,c兩點之間的長度；

（2）小慶準備從西門人跑步到東門。去見小渝，因A,。之間的道路施工不能通行,小慶決定選擇一條較

短線路,請計算說明小慶應選擇A—B。路線，還是A—。-C路線？（結果精確到1米）

【答案】（1）2400米；

（2）選擇人一。一C路線.

【詳解】（1）解：?.?點B在點A的正南方，點。在點A正東方

/.ZBAC=90°

在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=1000米，_BC=2600米

/.AC=y/BC2-AB~=V26002-10002=2400（米）

答：A,。兩點之間的長度2400米.

⑵解：由⑴得47=2400米

?/DA±DC

：./ADC=90°

/.AC2=AD2+CD2

又：AD=CD

：.AD=DC==12002（米）

A-C路線長為：4B+BC=1000+2600=3600（米）

A-D-。路線長為：AD+1200V2+12002=2400V2?3394（米）

?/3394<3600,

.,.小慶應選擇/—D—C路線.

答：小慶應選擇A—O—C路線.

24.（12分）勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的數學定理之一