2025年湖南省婁底市雙峰一中等五校高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2025年湖南省婁底市雙峰一中等五校高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
2025年湖南省婁底市雙峰一中等五校高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析_第3頁
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文檔簡介

2025年湖南省婁底市雙峰一中等五校高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,則()A. B.C. D.2.設(shè),點(diǎn),,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.3.已知集合,,則=()A. B. C. D.4.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.5.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,若存在兩項(xiàng),,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.47.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.19.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.10.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.611.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.12.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.16二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________14.已知,,且,則的最小值是______.15.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____.16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.19.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的集合;(2)當(dāng)時,判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)已知分別是內(nèi)角的對邊,滿足(1)求內(nèi)角的大?。?)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.22.(10分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長;(2)若,,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.2.A【解析】

先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.3.C【解析】

計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.5.C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時,取得等號.故選:C.本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.6.D【解析】

由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故選:D.本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題,涉及到等比數(shù)列的知識,是一道中檔題.7.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得,,當(dāng)時,,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8.A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項(xiàng).考查集合并集運(yùn)算,屬于簡單題.9.A【解析】

構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當(dāng)時,,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10.C【解析】

根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.12.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.0.35【解析】

根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.14.1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時等號成立,故答案為:1.本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.15.4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱則故,即本題正確結(jié)果:本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心,屬中檔題.16.【解析】

變換得到,計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2?故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度,定值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對值三角不等式求得的最小值,利用分析法,結(jié)合基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集為.(2),,因?yàn)?,,所以要證,只需證,即證,因?yàn)?,所以只要證,即證,即證,因?yàn)?,所以只需證,因?yàn)?,所以成立,所?本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查分析法證明不等式,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.19.(1);(2)2個,證明見解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)問題,然后構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).【詳解】(1)的定義域?yàn)?,因?yàn)椋?°當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,時,使得,與條件矛盾;2°當(dāng)時,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時,,要使恒成立,故.(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個數(shù)問題,當(dāng)時,圖象與圖象有且僅有2個交點(diǎn),理由如下:由,即,令,因?yàn)?,所以是的一根;?°當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,,即在上無實(shí)根;2°當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞遞增,又,所以在上有唯一實(shí)根,且滿足,①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,此時在上無實(shí)根;②當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,,故在上有唯一實(shí)根.3°當(dāng)時,由(1)知,在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上無實(shí)根.綜合1°,2°,3°,故有兩個實(shí)根,即圖象與圖象有且僅有2個交點(diǎn).此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,屬于較難題.20.(1),(2)【解析】

先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21.(1)(2)【解析】

(1)首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本關(guān)系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理可得:,則,得到,再利用輔助角公式化簡,最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值;【詳解】解:(1)由,,,,,,,;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理得:,,,所以當(dāng)時有最大值本題考查同角三

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