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文檔簡介
2025年吉林省公主嶺市范家屯鎮(zhèn)一中高中畢業(yè)班1月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.62.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個數(shù)為()①當(dāng)時,函數(shù)的圖象的對稱中心為;②當(dāng)時,函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時,在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.44.向量,,且,則()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.6.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知集合A,則集合()A. B. C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.11.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.12.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,記,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________.14.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:問亭方幾何?”大致意思是:有一個四棱錐下底邊長為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且四棱臺的上底邊長為六尺,則該正四棱臺的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).15.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.16.實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.18.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個動點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時,求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若函數(shù),若對于任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,,,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長,若不存在,請說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為,求的面積.22.(10分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個圖像有四個交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2.D【解析】
由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.3.C【解析】
逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識,函數(shù)的圖象的對稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時,,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時,,此時在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯誤.故選:C本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.4.D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.5.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.7.A【解析】
化簡集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到,由此得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.10.D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.11.D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.213892【解析】
根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺ABCD-A'B'C'D',且上底邊長為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺的體積是,故答案為:21;3892.本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題,也考查了棱臺的體積計(jì)算問題,屬于中檔題.15.【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.16.10【解析】
畫出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時,截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點(diǎn),連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關(guān)系得出,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出,結(jié)合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點(diǎn),連接,則平面平面,平面,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取得,設(shè)直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.18.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)椋?,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運(yùn)算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等,易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯解.19.(1)(2)【解析】
(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對值三角不等式,求得的取值范圍,根據(jù)分段函數(shù)解析式,求得的取值范圍,結(jié)合題意列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1),由得或或;解得.故所求解集為.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.本小題考查了絕對值不等式,絕對值三角不等式和函數(shù)最值問題,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.20.(I)見解析(II)(III)【解析】試題分析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,且,據(jù)此有,則平面.(Ⅱ)由題意可得平面的法向量,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,則,而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有或.據(jù)此計(jì)算可得.試題解析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,∴,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),又,∴,∴,又∵平面,∴平面.(Ⅱ)∵,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),∴,∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,∴,∴,又∵平面的法向量,∴,∴,∴或.當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴.綜上,.21.(1);(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.(2)將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得兩個曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo),即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為.所以的極坐標(biāo)方程為(2)解方程組,得到.所以
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