2024年中考數學復習：三角形中的常見模型綜合訓練（解析版）

培優(yōu)專題01三角形中的常見模型綜合訓練

考點大集合

1

卷考點大過關

考點一：三角形的全等模型

?k核總提煉;查漏補缺

全等三角形在中考數學中的重點不是簡單的直接考察，而是作為幾何題的中間變量，利用全等三角形的

對應邊相等、對應角相等，來傳遞等量線段或者等價角。而當題目不直接考察時，識別需要的全等模型，

并利用對應結論做題就是最為重要的一個突破口，學習模型，運用模型結論直接做題會給我們提供一個非

常重要的做題思路。

?題型特訓?精準提分

題型01三角形常見全等模型及其應用

解題大招：全等常見模型:

①K型圖：

圖形條件與結論輔助線注意事項

A條件：AC=BC,AC1分別過點A、BK型圖可以和等腰直角三

BC作AD1/角板結合，也可以和正方

結論：BE1/形結合

L—DCEAADC^ACEB(AAS)

K型全等模型變形——三垂定理:

如圖，亦有△ADC"4CEB(AAS)

總結：當一個直角放在一條直線上時，常通過構造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數量關系

②手拉手:

模型名稱幾何模型圖形特點具有性質

全''連結BD、CE

等/VE?△ABD^AACE

型②△AOBs\HOC

AD=AEZ

手Y③旋轉角相寺

AB=AC

拉(BPZl=zC2=Z3)

ZBAC=ZDAE

手/w④A、B、C、D四點共圓

⑤AH平分立BHE

③倍長中線:

基本圖形輔助線條件與結論應用環(huán)境

①倍長中線常和△三邊

延長AD到點E,條件：ZiABC,AD=BD關系結合，考察中線長的

使DE=AD,連接CE取值范圍

玲結論：②倍長中線也可以和其

\/

△ABD^ACED(SAS)他幾何圖形結合，考察幾

1何圖形的面積問題

【中考真題練】

1.（2023?長春）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑N3的卡鉗，卡鉗交叉點。為也4，、39的中點,

只要量出的長度，就可以知道該零件內徑N3的長度.依據的數學基本事實是（

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

C.兩條直線被:一組平行線所截，所得的對應線段成比例

D.兩點之間線段最短

【分析】根據點。為44'、59的中點得出CM=O4,OB=OB',根據對頂角相等得到乙4。8=/4。夕,

從而證得和△409全等，于是有48=43',問題得證.

【解答】解：：點。為/4、38的中點，

：.OA=OA',OB=OB',

由對頂角相等得

在△NO8和△?O夕中，

'0A=0A'

-NAOB=NA'OB'，

OB=OBy

.,.△AOB//\AOB，（SAS）,

：.AB=A'B',

即只要量出的長度，就可以知道該零件內徑28的長度，

故選：A.

2.（2023?重慶）如圖，在Rtz\/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,點、D為BC上一點"連接NO.過點3

作BELAD于點E,過點C作CFLAD交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則昉的長度為3.

【分析】先證明p（44S）,根據全等三角形的性質可得/尸=3E=4,4E=CF=1,進一

步可得防的長.

【解答】解：,:BEUD,CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

:.NBAE+N4BE=9Q°,

VZBAC=90°,

AZBAE+ZFAC=90°,

ZFAC=NABE,

在△N3E和/中，

,ZBEA=ZAFC

，ZABE=ZFAC-

,AB=AC

:.AABE出ACAF（AAS）,

：.AF=BE,AE=CF,

；BE=4,CF=\,

:.AF=BE=4,AE=CF=\,

:.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案為：3.

3.（2023?呼和浩特）如圖，在RtA48C中，ZABC^9Q°,AB=BC,AC=4近，點P為NC邊上的中點,

PM交AB的延長線于點M,尸N交3C的延長線于點N,且尸MLLPN.若敏=1,則△「」村的面積為（）

A.13B.V13C.8D.空

2

【分析】依據題意，連接5P,然后先證明△BMPgZiCNP從而CN=BP=1,又由等腰可得

BC=4,從而在RtZXMBN中可以求得A/M又MP=NP,從而可得MN的值，進而可以得解.

在RtZ\A8C中，ZABC=90°,

?.?48=2C,點尸為NC邊上的中點，

C.BPLAC,NCBP=NABP=Z/ABC=45°,NBC4=45°,BP=CP=Lc=2近.

22

:.NMBP=NNCP=180°-45°=135°.

'JBPLAC,PMLPN,

：.ZBPM+ZMPC=90°,ZCPN+ZMPC=90°.

NBPM=ZCPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,

:.叢BMPS叢CNPCASA）.

:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtzXAPC中，8c=4BP2yp2=4.

在RtAMBN中，MN=VBM2+BN2=Vl2+52=^26.

又在Rt/XMPN中，MP=NP,

：.MP2+NP2=MN2.

：.MP=NP=^p^.

：.SAPMN=—MP-NP=1^-.

22

故選：D.

4.（2023?湖北）如圖，ABAC,和△/斯都是等腰直角三角形，/B4C=/DEB=/AEF=90°,

點E在△/2C內，BE>AE,連接交/E于點G,DE交AB于點、H,連接CF.給出下面四個結論：

①/DB4=NEBC；②/BHE=/EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正確結論的序號是①

⑶⑷.

【分析】由等腰直角三角形的性質可得出//5C=/D2E=45°,可得出①正確；證明△BE/g/VJE尸

(&4S),由全等三角形的性質得出可得出③正確；由直角三角形的性質可判斷②不正確；

證明四邊形。尸C4為平行四邊形，由平行四邊形的性質可得出D/=CR則可得出答案.

【解答】解：△。即都是等腰直角三角形，

:.NABC=NDBE=45°,

ZABC-ZABE=ZDBE-AABE,

：.ZEBC=ZDBA,

故①正確；

,:ADEB和△/所都是等腰直角三角形，

:.BE=DE,AE=EF,NBED=NAEF=9Q°,

：.NBEA=/DEF,

???△BEA/ADEF（SAS）,

：?AB=DF,ZABE=ZEDF,ZBAE=ZDFE.

故③正確；

VZBEH=ZGEF=90°,

；?/ABE+/BHE=90°,/EGF+/DFE=90°,

■:BE>AE,

???/ABEW/AEB,

：./ABE7ZDFE,

：./BHE#ZEGF；

VZBAC=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZE4C=45°,

又?；NAFD+/EFG=45°,ZBAE=ZDFE,

：.ZDFA=ZFAC,

J.DF//AC,

■:AB=DF,AB=AC,

：?DF=AC,

???四邊形。尸C4為平行四邊形，

：.DA=CF.

故④正確.

故答案為：①③④.

5.（2023?遂寧）如圖，以△45。的邊45、4C為腰分別向外作等腰直角△42E、AACD,連結瓦入BD、

EC,過點4的直線/分別交線段?；?、5C于點M、N.以下說法：①當45=4C=5C時，ZAED=30°；

②EC=BD；③若45=3,AC=4fBC=6,則QE=2愿；④當直線時，點M為線段的中

點.正確的有①②⑷.（填序號）

【分析】由4B=4C=BC,得/B4c=60°,因為AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,所以ZE

=AD,ZEAD=nO°,則N/ED=N/OE=30°,可判斷①正確；由NC4O=NA4E=90°,推導出

ZCAE^ZDAB,可證明△口￡之△D4B,得EC=BD,可判斷②正確；設8。交NE于點G,交CE于

點。，可證明NEO8=90°,則/。?！?=/3。。=/。。片=90°,可根據勾股定理推導出。爐+8。2=

BE2+CD2,可求得8爐=452+/爐=]8,CD1^AD-+AC1^32,BC?=36,則。五#2向，可判斷

③錯誤；當直線/L8C時，作斯〃40交直線/于點R連接。尸，可證明△瓦4尸絲△/2C,貝尸=/C

=4D,所以四邊形NDFE是平行四邊形，則”為線段。E的中點，可判斷④正確，于是得到問題的答

案.

【解答】解：'：AB=AC=BC,

：.ZBAC=60°,

,:AE=AB,AC=AD,/BAE=/CAD=90°,

；.AE=AD,N￡4D=360-60°-90°-90°=120°,

ZAED=ZADE=^X(180°-120°)=30°,

2

故①正確；

■:NCAD=NBAE=90°,

：.ZCAE=ZDAB=90°+ZDAE,

：./\CAE^/\DAB(SAS),

：.EC=BD,

故②正確；

如圖1,設2。交NE于點G,交CE于點。，

ZAEC=AABD,ZOGE=ZAGB,

：.ZAEC+ZOGE=ZABD+ZAGB=90°,

：.ZEOB=90°,

AZCOD=ZBOC=ZDOE=90°,

：.DE2+BC2=OD1+OE1+OB-+OC1=BE2+CD2,

AE=AB=3,AD=AC=4,BC=6,

：.BE2=AB2+AE2=32+32=18,CD2=AD2+AC2=42+42=32,5C2=62=36,

:?DE='>/BE2-^D2-BC2=V18+32-36=V14W2M,

故③錯誤；

當直線/_LBC時，如圖2,作所〃交直線/于點尸，連接。咒

:/AEF+NDAE=18Q°,ZBAC+ZDAE=180°,

/AEF=ABAC,

■:/ANB=NBAE=90°,

：.ZEAF=ZABC=900-ZBAN,

,:EA=AB,

A/\EAF^/\ABC(ASA),

：.EF=AC=AD,

...四邊形ADFE是平行四邊形,

為線段的中點，

故④正確，

故答案為：①②④.

圖2

6.(2023?鞍山)如圖，在正方形/8C。中，點〃為C。邊上一點，連接將■繞點4順時針旋

轉90°得到△4BN,在MW,NN上分別截取4E,AF,使AE=AF=BC,連接￡巴交對角線2。于點G,

連接/G并延長交8c于點若NM=空，CH=2,則/G的長為—理」.

37

【分析】解法一：由旋轉的性質得/M=4V,DM=BN,/MAN=90°,ZDAM=ZBAN,ZAMD=Z

ANB,連接DE,BF,由等線段減等線段相等可得尸N=EM,于是可通過S4S證明△AFN絲得

到2尸=?！?易得AF=AB,AE=4D,由三角形內角和定理可得//2尸=//必=工(180°-/BAF),

2

ZADE^ZAED=1.(180°-NDAE),由/D4E=NBAF得至“NABF=N4FB=/4DE=/AED,易

2

得△/匹為等腰直角三角形，根據等角減等角相等可知NGF5=NGDE,于是可通過44s證明△GEBg

△GDE,得至1」尸G=OG,BG=EG,進而可通過SSS證明得到/D4H=NN4H,由平

行線的性質可得乙4/W=NM4〃，貝空，設BH=x,則/3=BC=x+2,BN=^^,

33

在RtZ\4BN中，利用勾股定理建立方程，求得xi=6,?=L即3〃=6或工，過點G作PG//BC,交

x233

AB于點、P,易得乙APGS^ABH,由相似三角形的性質得￡望_,易得△P2G為等腰直角三角形，PG

PGBH

PB,分兩種情況討論：①當3〃=6時，AB=BC=8,則理_工殳=_1,進而可設4P=4a,PG=3a=

PGBH3

PB,由4B=4P+P3=8,解得a總，在RtZUPG中，利用勾股定理即可求出NG的長；②當即工時，

73

AD=CD=AB=L,此時點M在CD的延長線上，與題意不符.

3

解法二：同解法一可得紅，沒BH：x,BN=y,貝U5C=x+2=45,AN=x+y,以此可建

3

-25

x+y=《-x=6_1

O

立關于x,y的方程組，,解得：＜7或，'W,再同解法一討論即可得出

/\22/25、2

(x+2n)+y=(―)y=8

【解答】解：解法一：??,將△4/)河繞點4順時針旋90°得到△%加,

:.AM=AN,DM=BN,NMAN=90°,/DAM=/BAN,ZAMD^ZANB,

如圖，連接DE,BF,

'：AE=AF=BC,FN^AN-AF,EM=AM-AE,

:.FN=EM,

在△瓦W和中,

'BN=DM

<NFNB=NEMD，

FN=EM

:.叢BFN/XDEMQSAS),

：.BF=DE,

:四邊形/BCD是正方形，

；./ADB=NABD=45°,AB=AD=BC,

：.AF=AB,AE=AD,

：.AABF和△/￡￡(都是等腰三角形，

：.ZABF=ZAFB=1-(180°-/BAF),ZADE=ZAED=1.(180°-/DAE),

22

ZDAE=ZBAF,

：.NABF=NAFB=N4DE=ZAED,

；AF=AE,ZMAN=90°,

4AFE為等腰直角三角形，

:.NAEG=NAFG=45°,

,：ZGDE=ZADE-NADB=ZADE-45°,

ZGFB=NAFB-ZAFG=NAEB-45°,

：.ZGFB=ZGDE,

在△GFB和△GDE中，

'NBGF=NEGD

<ZGFB=ZGDE-

tBF=DE

：./\GFB^/\GDE(AAS),

:.FG=DG,BG=EG,

在△4FG和△NOG中，

'AF=AD

<FG=DG，

AG=AG

:?△AFG/AADGCSSS),

ZE4G=ZDAG,即

,:AD〃BC,

：.ZDAH=ZAHN,

：./AHN=/NAH,

:.AN=NH=AM=2L,

3

設BH=x,貝！|A8=8C=5H+C7f=x+2,BN=NH-BH=-^--x,

在RtZ\/3N中，AN2=BN2+AB2,

,/25、2,25\2/、2

,,(—)=(~^--x)+(x+n2)，

解得：X1=6,Kc」，

X23

.?.昉r=6或L

3

如圖，過點G作尸G〃3C,交4B于點、P,

?■--AP=---P-G-,"g-n-A--P=---A-B-,

ABBHPGBH

■:PG//BC,

???NG尸8=180°-ZPBH=1SO°-90°=90°,

TN尸5G=45°,

：?/PGB=90°-N尸5G=45°=/PBG,

:.PG=PB,

①當BH=6時，AD=CD=AB=BH+CH=8,

?-?-A-P二AB=—8=—4,

PGBH63

???設4尸=4a,PG=3a=PB,

?:AB=AP+PB=8,

4。+3a=8,

解得「專

在中，22=2(2=5a=;

RtZ\NPGAG=VAP+PG7(4a)+3a)-y

②當BH」時，AB=CD=BC=BH+CH=工，

,:DM=8>CD=1~,

3

...點”在CD的延長線上，與題意不符.

綜上，AG的長為也.

7

解法二：同解法一可得4N=M/=4W=2且,

3

設BH=x,BN=y,

:.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在RtZUBN中，AB2+BN1=AN1,

J25

,x+y=l-

??<,

z11\22,25、2

(x+2)+y=(—)

'x=6f

解得：，7,,*3,

方|y=8

同解法一討論，即可得出/G=也.

7

故答案為：40

7

7.(2023?大連)如圖，AC=AE,BC=DE,8C的延長線與DE相交于點尸，ZACF+ZAED=^O°.求

證：AB=AD.

【分析】由已知//。尸+//皮）=180°,可得到NZC2=N4E。，再利用S4s證明△/BCq△40￡1,從

而得到/8=力。.

【解答】證明："：ZACF+ZAED=ISO°,ZACF+ZACB=l?,0o,

：.ZACB^ZAED,

在△4BC和△4OE中，

，AC=AE,

-ZACB=ZAED,

BC=DE,

:.AABCgA4DE(S4S),

：?AB=AD.

8.（2023?遂寧）如圖，四邊形N8CD中，/D〃BC,點。為對角線8。的中點，過點。的直線/分別與

AD,3C所在的直線相交于點E、F.（點￡不與點。重合）

(1)求證：ADOEmABOF；

(2)當直線/_L3D時，連結BE、DF,試判斷四邊形E8FD的形狀，并說明理由.

【分析】(1)由/D〃2C,得NODE=NOBF,而0。=。8,ZDOE=ZBOF,即可根據全等三角形的

判定定理證明

(2)由00=05,直線/經過點。且WDE=BE,DF=BF,由△OOE四△30尸，得DE=BF,

則DE=BE=DF=BF,所以四邊形EBFD是菱形.

【解答】(1)證明：

：./ODE=/OBF,

:點。為對角線5D的中點，

：.OD=OB,

在AD0E和4臺。尸中，

fZODE=ZOBF

<OD=OB，

LZDOE=ZBOF

:.叢D0E"4B0F(ASA).

(2)解：四邊形EAED是菱形，理由如下：

?：OD=OB,直線/經過點。且

直線I是線段BD的垂直平分線，

：.DE=BE,DF=BF,

"：ADOE沿ABOF,

：.DE=BF,

,:DE=BE=DF=BF,

...四邊形班FO是菱形.

9.(2023?巴中)綜合與實踐.

(1)提出問題.如圖1,在△48C和△4DE中，/BAC=/DAE=9G°,S.AB=AC,AD=AE,連接

BD,連接CE交AD的延長線于點。.

①4BOC的度數是90°.

②BD：CE=1：1.

(2)類比探究.如圖2,在△45。和△DEC中，ZBAC=ZEDC=90°,S.AB=AC,DE=DC,連接

AD、BE并延長交于點。

@ZAOB的度數是45°；

@AD：BE=

(3)問題解決.如圖3,在等邊△/2C中，4D_L3c于點。，點￡在線段40上(不與/重合)，以

/￡為邊在的左側構造等邊△NM,將△，跖繞著點4在平面內順時針旋轉任意角度.如圖4,M為

所的中點，N為的中點.

①說明△MVD為等腰三角形.

②求乙的度數.

【分析】(1)(2)從圖形可辯知，這個是手拉手全等或相似模型，按模型的相關結論解題.

(3)稍有變化，受前兩間的啟發(fā)，連接8RCE完成手拉手的構造，再結合三角形中位線知識解題.

【解答】解：(1)(1),：ZBAC=ZDAE=9Q°,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE.

又；AB=4C,AD=AE,

:.△BAD^dCAE(&4S).

/4BD=ZACE,

：NR4C=90°,

/ABC+/ACB=ZABD+ZOBC+ZACB^90°,

?.ZACE+ZOBC+ZACB=90°,

即：ZBCE+ZOBC=90°,

AZBOC=90°.

故4BOC的度數是90°.

②由①得△240名

：.BD=CE.

故8。：CE=1：1.

(2)@'：AB=AC,DE=DC,

?ABAC

"DF'DC"

又：NBAC=/EDC=90°,

△NBCsADEC,

:.N4CB=NDCB,匹

ACDC

ZACE+ZECB=ZDCA+ZACE,

：.ZECB=ZDCA.

:.△ECBsADCA,

:.NCBE=NCAD,

：.ZAOB=lSQa-ZABO-N2/O=180°-ZABO-ZCAD-N8/C=180°-ZABO-ZCBE-90°

=180°-45°-90°=45°.

故的度數是45°.

②由①得：AECBsADCA.

:.AD：BE=DC：EC,

■:NEDC=90°,S.DE=DC,

：.ZDCE=45°,

AD￡=COS45°=邁.

EC2

AD：BE=1：V2.

(3)①解：連接3RCE,延長CE交MN于點、P,交BF于點、O.

在等邊△/BC中/8=/C,又于點。，

為8C的中點，

又為斯的中點，N為2E的中點，

:.MN、ND分別是ABEF、△BCE的中位線，

:.MN=LBF,DN=LEC.

22

；/E4E=/BAC=60°,

NE4E+NEAB=ZBAC+ZEAB.

：.NE4B=ZEAC.

在和△48尸中,

'AF=AE

<ZFAB=ZEAC-

LAB=AC

:.AACE沿AABF(S/S).

：.BF=EC.

:.MN=DN.

:AMND為等腰三角形.

②:FACE當A4BF,

：.NACE=/ABF,

由(1)(2)規(guī)律可知：ZBOC=60°,

：.ZFOC=180°-ZSOC=180°-60°=120°,

又,：BF〃MN,CP//DN,

：.ZMND=ZMPE=ZFOC=120°.

圖5

【中考模擬練】

I.（2023?三穗縣校級一模）如圖，點，￡分別為△48C的邊48,NC上的點，連接并延長至R使

EF=DE,連接FC.若FC〃4B,AB=5,CF=3,則8。的長等于（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】由尸C〃/8得，ZDAE=ZFCE,再利用44s證明△￡）/￡1絲△尸C￡,得4D=CF,從而解決問

題.

【解答】,JFC//AB,

：.NDAE=ZFCE,

在△￡)/￡與△bCE中，

,ZDAE=ZFCE

'NAED=/CEF，

.DE=EF

:.ADAE出LFCE(AAS),

：.AD=CF,

,:CF=3,

：.AD=CF=3,

又,：AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故選：B.

2.(2024?昆山市一模)如圖，在平行四邊形48CD中，AD=5,48=6衣，是銳角，CE_L4D于點E,

廠是CD的中點，連接AF,EF.若/EFB=90°,則CE的長為2g.

【分析】如圖，延長8/交/〃的延長線于0,連接BE,設DE=x,首先證明△8CF之(44S),

得出EQ=BE=x+5,利用勾股定理構建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，延長8b交/。的延長線于0,連接5E,設DE=x,

:四邊形ABCD是平行四邊形,

J.DQ//BC,AD=BC=5,

:./Q=/CBF,

,:DF=FC,ZDFQ=ZBFC,

:.叢BCFW叢QDF(AAS),

：.BC=DQ,QF=BF,

；/MB=90°,

：.EFLQB,

.\EQ=BE=x+5,

u

：CE.LADfBC//AD,

：.CEA.BC,

：.ZDEC=ZECB=90°,

'：CE2=DC2-ED2=EB2-BC2,

(6A/2)2-x2—(x+5)2-52,

整理得：2，+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍棄)，

:.BE=9,

CE=7BE2-BC2=792-52=2>/14-

故答案為：2日.

3.（2023?福田區(qū)二模）如圖，正方形A8CD的邊長為8,對角線/C,3。相交于點O,點N分別在

邊3C,CD上，且NVON=90°,連接MV交0c于尸，若BM=2,則OP?OC=20.

【分析】過點。作OEL8C于點E,根據正方形的性質可得05=。。=。。，ZBOC=ZCOD=90a,

NO8C=/OCB=NOCD=45°,再根據同角的余角相等可得N3OA/=NCON,以此即可通過N&4證明

/\OBM^/\OCN,得到2M=CN=2,OM=ON,進而得到NCW=/OCM=45°,易證明△OMPs4

OCM,根據相似三角形的性質可得理_旦巳，即。P?OC=O序，由等腰直角三角形的性質可得OE=3￡

OC0M

=4,則ME=2,最后根據勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖，過點。作。于點E,

?/四邊形ABCD為邊長為8的正方形,

：.OB=OC=OD,BC=8,BDLAC,

：.ZBOC=ZCOD=90°,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

VABOC=ZBOM+ZCOM=90°,

又ZMON=ZCOM+ZCON=90°,

ZBOM=ZCON,

在AOBM和△OCN中,

，ZBOM=ZCON

-OB=OC，

,ZOBM=ZOCN

：./\OBM^/\OCN（ASA）,

:.BM=CN=2,OM=ON,

叢MON為等腰直角三角形，

：.NOMN=/0NM=45°,

：.ZOMP^ZOCM=45°,

ZPOM=NMOC,

:.叢OMPs叢OCM,

???0-M=--O-P,

0C0M

C.OP'OC^OM1,

VZBOC=90°,OB=OC,OELBC,

.".OE=BE=~^l（j=4,

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中,。胎=OE2+ME2,

.?.OA/2=42+22=20,

：.OP-OC=20.

故答案為：20.

4.（2024?河南一模）如圖，在菱形O4BC中，48。。=60°,點C（-3,0）,點。在對角線20上，

且00=22。，點￡是射線/。上一動點，連接。E,尸為x軸上一點（尸在左側），且/ED尸=60°,

連接即，當△。跖的周長最小時，點￡的坐標為（）

A.(1,3)B.(-1,-Vs)c.(.1,亨)D.(0,0)

【分析】先說明△￡>￡下是等邊三角形，再利用垂線段最短找到點E的位置，最后確定E的坐標.

【解答】解：如圖，取點G(-2,0),連接。G,

:四邊形CM2C是菱形點C(-3,0),

OC=OA=BC=3,

?；NBCO=60°,

J.ABCO是等邊三角形，

???。5=3,ZBOC=60°,

?；OD=2BD,

：.OD=2,

U：OG=2,

???△OG。是等邊三角形，

：.ZGDO=60°,DG=DO,

VZEDF=60°,

???ZFDG=ZEDO,

VZFGD=ZEOD=120°,

AAFDG^^EDOCASA),

:?DF=DE,

即是等邊三角形，

/./\DEF的周長最小時，DE最小，

如圖，過。作DE_L。/,垂足為E,過E作EH_Lx軸，垂足為H,

RtZXDOE中，NDOE=60°,OD=2,

：.OE=loD^l,

2

RtZ\O￡77中，ZEOH=60a,

0H=XJOE=—,EH=OE,sinAEOH=OE,sin60°

222

故選：c.

5.（2023?長春模擬）兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放.將兩個三角板抽象成如圖②所

示的△/8C和△/￡>￡,點8、C、。依次在同一條直線上，連接CE.若CD=1,CE=3,則點/到直線

BC的距離為一百_.

圖①圖②

【分析】首先根據等邊三角形的性質得/A4c=60°,AB=AC,ND4E=60°,AD=AE,進而可得出

ZBAD=ZCAE,據此可依據“S/S”判定和全等，從而得出BD=CE=3,進而得8C=2,

然后過點/作于點X,在中，利用勾股定理可求出的長.

【解答】解：:△/BC和△4DE均為等邊三角形，

AZBAC^6Q°,AB=AC,NDAE=60°,AD=AE,

：.ZBAC=ZDAE,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在△48。和△NCE中，

'AB=AC

,ZBAD=ZCAE-

LAD=AE

:AABD出AACE（.SAS）,

:.BD=CE,

即：BC+CD=CE,

'：CD=\,CE=3,

：.BC+\=3,

:.BC=2,

圖①圖②

；△NBC是等邊三角形,

■,?BH=CH=yBC-1x2=l'"=BC=2,

在RtZ\/77C中，AC=2,CH=1,

由勾股定理得：AH=VAC2-CH2=^22-12=V3-

點A到直線BC的距離為近.

故答案為：V3.

6.(2024?雁塔區(qū)校級二模)已知：如圖，點E、F在上，AF與DE交于點、G,AB=DC,GE=GF,

【分析】由G￡=GF,得出4G跖為等腰三角形，即/G￡F=NG/E再判定A/B尸也aDCE,根據/尸

-GF=DE-GE,即可得出結論.

【解答】證明：-：GE=GF,

.?.△GE/為等腰三角形，

：.ZGEF=ZGFE,

:在尸和△OCE中，NB=NC,

/A=ND,

在△48尸和△DCE中，

rZA=ZD

，AB=DC，

LZB=ZC

:.△ABF咨ADCE(ASA),

:.AF=DE,

又,：GF=GE,

：.AF-GF=DE-GE,

即AG=DG.

7.(2024?涼州區(qū)一模)某同學用10塊高度都是5c%的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，

木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板(N4SD=90°,BD=BA)，點8在C￡上，點/和。

分別與木墻的頂端重合.

(1)求證：△ACB9ABED；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

D

【分析】(1)根據題意可得/C=2C,ZACB=90°,ADLDE,BE1,DE,進而得到N/￡>C=NC￡8=

90°,再根據等角的余角相等可得NDNC,再證明△/OC絲△CE8即可；

(2)利用全等三角形的性質進行解答.

【解答】(1)證明：由題意得：AB=BD,NABD=90°,ACLCE,DELCE,

；.NBED=/ACB=90°,

：.ZBDE+ZDBE^90°,NDBE+/ABC=90°,

：.ZBDE=Z.ABC,

在△NCB和△BED中，

，ZABC=ZBDE

?ZACB=ZBED-

BD=AB

:.LACB咨ABED(AAS):

(2)解：由題意得：NC=5X3=15(cm),￡>￡=7X5=35(cm),

??AACB咨ABED,

DE=BC=35cm,BE=AC=l5cm,

：.DE=DC+CE=50(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為50cm.

8.(2024?龍馬潭區(qū)一模)如圖，拋物線>=°/+/+6(aWO)與x軸交于/(-1,0),3(3,0)兩點,

與y軸交于點C,頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)若在線段3c上存在一點"，使得N3MO=45°,過點。作08,(W交BC的延長線于點8,求

點M的坐標；

(3)點P是y軸上一動點，點0是在對稱軸上一動點，是否存在點P,0,使得以點P,Q,C,。為頂

點的四邊形是菱形？若存在，求出點0的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】⑴把點N(7,0),2(3,0)代入拋物線解析式得卜++6=°,解得(a=-2,即可得

l9a+3b+6=0Ib=4

出結論；

(2)由待定系數法得直線3c的解析式為y=-2x+6,設點〃■的坐標為(/，-2加+6)(0<m<3),

過點M作軸于點N,過點〃作軸于點K,證△OWN四△HOK(44S),得MN=OK,ON

=HK.則X(-2m+6,-m),再由點H(-2加+6,-m)在直線y=-2x+6上，得-2(-2w+6)+6

=-m,解得加=旦，即可解決問題；

5

(3)分兩種情況討論，①當CD為菱形的邊時，②當CD為菱形的對角線時，分別求出點0的坐標即

可.

【解答】解：(1)?拋物線了="2+歷：+6經過點/(-I,0),5(3,0)兩點，

.(a-b+6=0

19a+3b+6=0，

解得：卜=-2,

Ib=4

...拋物線的解析式為了=-2X2+4X+6；

(2)由(1)得，點C(0,6),

設直線BC的解析式為y=kx+c,

:直線3C經過點B(3,0),C(0,6),

.(3k+c=0

"Ic=6,

解得：。=-2

Ic=6

直線2c的解析式為y=-2x+6,

設點Af的坐標為(m,-2m+6)(0<m<3),

如圖1,過點〃■作MNLy軸于點N,過點〃作軸于點K,

則/MM9=NOKH=90°,

"：OHVOM,

ZMOH=9Q°,

9：ZOMB=45°,

???叢MOH是等腰直角三角形，

：.OM=OH.

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

ZMON=/OHK,

:?△OMNQAHOK(AAS),

：.MN=OK,ON=HK.

?\H(-2加+6,-m),

■:點、H(-2冽+6,-m)在直線y=-2x+6上，

-2(-2m+6)+6=-m,

解得：,"=旦，

5

把機=2代入y=-2x+6得：歹=理_,

55

...當/。屈3=45°時，點用■的坐標為(旦，-1§.)；

55

(3)存在，理由如下：

:拋物線的解析式為y=-2%2+4X+6=-2(x-1)2+8,頂點為D,

.?.點。的坐標為(1,8),

分兩種情況討論：

①當CD為菱形的邊時，

如圖2,過。作CE_LD。于￡

VC(0,6),D(1,8),

CD=yj(1-0)2+(8-6)2=娓，

:.DQ=CD=0

；.。點的坐標為(1,8-f)或(1,8+75)；

②當CD為菱形的對角線時，

如圖3,設點。(1,m),P(0,n),

VC(0,6),D(1,8),

加+〃=6+8=14,

??n=14-m,

：.P(0,14-m),

.'.PC=14-m-6=8-m,

"：CQ^V(l-0)2+(m-6)2=Vl+(m-6)2;PC=CQ,

解得：m=^L,

4

...點。的坐標為（1,.）；

綜上所述，點。的坐標為（1,8-A/5）或（1，8+遙）或（1,2工）.

考點二：三角形的相似模型

核心提煉;查漏補缺

相似三角形和勾股定理是解決初中數學求長度問題中的兩大重要定理，所有的幾何問題就長度，最后幾

乎都能轉化為這兩個定理的應用。而作為應用幾率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性質

思考對應問題的走向就是一個非常重要的解題思想。所以，先熟悉相似的各種模型，再在問題中識別模型,

最后利用模型找捷徑。

?題型特訓?精準提分

題型01相似三角形常見模型及其應用

2

解題大招：相似常見模型:

①A字圖：

②8字圖:

③一線三等角：

常用結論：

1易得△左S△右；

2.如圖②，當尸時，ABDE