2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解析幾何中優(yōu)化運(yùn)算的方法 專項(xiàng)訓(xùn)練

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-解析幾何中優(yōu)化運(yùn)算的方法-專項(xiàng)訓(xùn)練

一、基本技能練

1.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30。的直線交C于A,3兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△A03的面積為（)

A.4B.&

C奐

」32D4

2.已知橢圓C：a+丁=1的左、右頂點(diǎn)分別為Ai，A2,點(diǎn)尸在橢圓。上，且直線

必2的斜率的取值范圍是[—2,-1],那么直線以1的斜率的取值范圍是（）

「13]「33]

A.[],4B[g，]

Dy，i

3.已知斜率為左（左＞0）的直線I與拋物線C：y2=4x交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

航是線段A3的中點(diǎn)，尸是C的焦點(diǎn)，的面積等于3,則左=（）

1

A-4B.2

C,^D.平

72

4.橢圓■+]=1上的點(diǎn)到直線x+2廠啦=0的最大距離是（）

A.3B，VH

C.2也D.VTO

5.已知點(diǎn)A（0,一4），3（2,0）,點(diǎn)P為函數(shù)y=2護(hù)，圖象上的一點(diǎn)，則|以|

十|P3|的最小值為（）

A.1+2小B.7

C.3D.不存在

6.已知橢圓「3+臺(tái)=10＞。＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)右焦點(diǎn)R且斜率為

如:>0）的直線與：T相交于A,3兩點(diǎn)，且酢=3彷，貝1]左=（）

A.lB.2

C.小D.y[2

7.拋物線產(chǎn)=2川3>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為前勺直線與拋物線相交于

A,3兩點(diǎn)，若依3|=8,則拋物線的方程為.

8.已知點(diǎn)pg,，為橢圓：弓十丁=1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)p引一條弦，使此弦被點(diǎn)

P平分，則此弦所在的直線方程為.

v2v2

9.已知雙曲線”一7=1伍>°，人>0），過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，以線

段A3為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)R,若的面積為2a2,則雙曲線的

離心率為.

%2丫2%2

10.已知雙曲線Ci：石一月6>0）與。2：葭一筋=iQ>o,歷>0）有相同的

漸近線，若C1的離心率為2,則C1的離心率為..

H.已知橢圓C：最+，=1（。9>0）,直線/：y=kx-\-a,直線/與橢圓C交于

N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若左=1,且N為線段的中點(diǎn)，求橢圓C的離心率；

（2）若橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為0（2,0）,直線QM,QN與y軸分別交于A,3兩點(diǎn)，

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)八（一加7,0）,仍（，行，0）,點(diǎn)M滿足IMAI

一|MB|=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T在直線x=T上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A,3兩點(diǎn)和P,。兩點(diǎn)，

^.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

二'創(chuàng)新拓展練

13.（多選）已知斜率為小的直線/經(jīng)過(guò)拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)（/?>0）的焦點(diǎn)F與拋物線

C交于點(diǎn)A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)。，若履3|=8,

則以下結(jié)論正確的是()

A,麗十麗=1B.\AF\=6

C.\BD\=2\BF\D.R為AD中點(diǎn)

14.已知A,3是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，R是焦點(diǎn)，直線AR,的傾斜角互補(bǔ)，

記AEA3的斜率分別為左1,左2,則看一看=.

15.已知P是圓C：(x—2)2+(y+2)2=l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線/=8y的兩條

切線，切點(diǎn)分別為A,B,則直線A3斜率的最大值為.

16.已知點(diǎn)A為圓3：(x+2)2+y2=32上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),線段

AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)M.

⑴求點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵若動(dòng)直線/與圓。：/+產(chǎn)=|相切，且與點(diǎn)〃的軌跡交于點(diǎn)石，F(xiàn),求證：以

為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

參考答案與解析

一'基本技能練

1.答案D

9

349

解析拋物線C：y2=3x中，2P=3,P=2f故SAOAB=2sjng=2sin30。=7

2.答案B

、b13

解析由周角定理得左Rh?魴42=—?=—不

又左以21一2,-1],

_3

.,一a「33「

mi=e,

,,m2Ls4_-

3.答案B

解析設(shè)A3的中點(diǎn)Mxo，刈)，由中點(diǎn)弦的性質(zhì)得左弋(yoWO).

2

由拋物線方程知p=2,所以左=云，另焦點(diǎn)網(wǎng)1,0),

又S&OFM=3,可知gxiXyo=3,

,21

所以泗=6,再代入左=正=1

72

4.解析設(shè)橢圓行+，=1上的點(diǎn)P(4cos0,2sinff),

則點(diǎn)P到直線x+2y—也=0的距離為

|4cos0+4sin夕-鈞|,也++/一啦

4忑=訴，

所以九x=L也之理匚①,故選D.

V5

5.答案B

解析由>=2，1+/,得于一好=1(>>0).

2

設(shè)點(diǎn)4(0,小)，即點(diǎn)4(0,小)，A(0,一小)為雙曲線:一/=1的上、下焦點(diǎn).

由雙曲線的定義得照|一照1=4,

則|B4|+|P3|=4+照1+|P3|N4+|54|=7,當(dāng)且僅當(dāng)3,P,4共線時(shí)取等號(hào)，故

選B.

6.答案D

解析依題意。=

20,2，

因?yàn)槿?3訪,

A—1

所以設(shè)直線的傾斜角為則

4=3,a,e(2+1)cosa

得2=(3+1)cosa'lcosa|=3'

又k>0,/.ctG^O,舒，

得cosa=3，所以々=tanoc=-yj-2.

7.答案V=2x

解析兇司=羔=，^=8P=8,

sm《

.?.2=1,.,.拋物線的方程為f=2x.

8.答案2x+4v~3=0

解析直線與橢圓交于A,3,P為A3中點(diǎn).

=

由kAB-koP_*得左ABX1=—g,

即kAB二一；,

則直線方程為丁一；=一|j，

即2x+4y—3=0.

9答案小

因?yàn)橐訟3為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)網(wǎng)c,0）,

jr

所以S^AF'F~S/\ABF~2^2且NFAF=N6=],

根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式，得

C7

tan]

02

所以2/=〃，即添=2,

io.答案羋

解析設(shè)雙曲線Cl,C2的半焦距分別為Cl,C2,

因?yàn)?。的離心率為2,

所以G的漸近線方程為y=±*=士"MlTx=，/22一lx=±^x,

所以。2的漸近線方程為

尸土竟X=±V§X,

所以胃=小，

所以C2的離心率為“=、/^俯=半.

11.解（1）由題意知直線/：y=x+a與x軸交于點(diǎn)（一a,0）,

???點(diǎn)/為橢圓C的左頂點(diǎn)，即M（—a,0）.

則e2=]=l—*=|,：.e=*,

即橢圓C的離心率6=坐.

(2)由題意得a=2,

?,?橢圓C：Z?2%2+4y2=4b2(b>0),

Z?2x2+4y2=4/?2,

聯(lián)立<

y=kx~\~2,

消去y得(4左2+廿)%2+16日+16—4廿=0,

"』=16廿(4/+廿一4)>0,

,16k

<項(xiàng)+加=-而喬

16—4/

XM-XN=^+bl,

:直線QM：y=~^j:(x-2),

XM-Z

AA0

戌=(o,2yA/+2砧一4

2~XM,

?yM=kxM~\~2,

**yM―2=kxM,

2(k+1)XM

即戌=[0,

2~XM

2(左+1)

同理麗=0,

2~XN)

4(左+1)2XMXN

：.PARB==4—Z?2=l,

XMXN-2(XM+XN)+4

即/=3,

72

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+5=1.

12.解⑴因?yàn)閈-\MF2\=2<|FIF2|=2折，

所以點(diǎn)M的軌跡C是以B,g分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)雙曲線的方程為最一，=l(a>0,Z?>0),半焦距為c,則2a=2,c=#7,

得a=1,b2=c2—a2=16,

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為

X2一根=l(xNl).

(2)設(shè)壯，“，由題意可知直線A5,PQ的斜率均存在且不為零，設(shè)直線A3的方

程為y—t=ki[x—^\(ki^O'),直線PQ的方程為y—t=k\x—^\(k2^0'),

得（16—后jx2—2防[一,｝一（/一—16=0.

設(shè)A（XA,ya）,B（XB,

由題意知由一好W0,

2%）一切

"+油=16—儲(chǔ)，

所以17Al="1+^2="1+好,A~2

則|四|TB|

=（1+好）￡一習(xí),5一習(xí)

=（1+后）XAXB-2（陽(yáng)+%3）+（

=（1+后）土篁1」

_16—好2

2k^t~^\]（1+后）（＞+⑵

16-^?+4—后T6

（1+庇（?+12）

同理得ITPHT。尸

屈一16

因?yàn)?7AHzB|=|7PHTQ,

（1+好）（戶+12）（1+后）（戶+12）

所以

后一16——16

所以好一16+后后一16后=后一16+后逐一16/a,

即好=及，

又左1W左2,所以匕=—左2,即左1+左2=0.

故直線A3的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

二、創(chuàng)新拓展練

13.答案BCD

解析法一如圖，過(guò)點(diǎn)5作x=一?的垂線，垂足為朋,

堵，0）,直線/的斜率為小，

y2=2px,

得12%2—20px+3/72=0.

解得X4=當(dāng)XB=g,

由|AB|=|AF|+|BF|=XA+XB+P=^=8,得p=3.

所以拋物線方程為y2=6x.

則|AF|=XA+3=2°=6,故B正確;

所以|3川=8—依網(wǎng)=2,

皿cos60°cos60°4，

：.\BD\=2\BF\,故C正確；

所以總網(wǎng)=儲(chǔ)用=6,則R為AD中點(diǎn)，故D正確；

112

而麗+西=不故A錯(cuò)誤，

法二設(shè)直線A3的傾斜角為仇

利用拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，由|43|=濡^=8,則p=3,

回=1^=6,防=在%=2,

11__2_2

m+m=p=y

在9中，cos。=聘，所以|3D|=4,\DF\=\BF]+\BD\=6,因此歹為AD

中點(diǎn).故選BCD.

14.答案1

解析F(l,0),設(shè)A(xi,yi),B(X2,竺)，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，且兩直線的傾斜角互補(bǔ)，

所以(X2,—*)在直線AR上，

直線AF：y=ki(x—l),代入y2=4x,

化簡(jiǎn)可得好%2—(2好+4)x+好=0,

根據(jù)韋達(dá)定理，可得

[,2好+4

<XI十%2=啟,

X1X2=19

"一yi2

2X2—XIX2—XIF+亞?

所以“xi-\-X2-\-2\[xix22好+4好+1'

一^一十2

故*+L

3

15.答案4

解析由題意可知，PA,PB的斜率都存在，分別設(shè)為左,左2,切點(diǎn)A(xi,yi),

3(x2,yi),

設(shè)P(機(jī)，ri),過(guò)點(diǎn)尸的拋物線的切線為

y=k(x-rri)-\-n,

y=k(%—m)+n,

聯(lián)立

y=8j,

得x2—8Ax+8^m—8n=0,

因?yàn)椤?64標(biāo)一32加+32〃=0,

即2A2—阪+〃=0,

所以依+左2=5，Mk2=今

又由x2=8y得y=本

Y?

所以》=4%,yi=w=2后,

X2=4fe,、2=W=2矽，

"一V2后一2后ki+k\m

所以kAB=

X2~X14比一4%—2不

因?yàn)辄c(diǎn)P(m,")滿足(%—2)2+(y+2)2=1,

1m3

此