北京市豐臺區(qū)2023-2024學年高三年級下冊綜合練習（二）數(shù)學試題及其詳細解析

北京市豐臺區(qū)2023?2024學年度第二學期綜合練習(二)

陸二數(shù)學

2024.04

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

L已知集合0={1，2,3,4,5},/={1,3},8={2,3},貝//)c(*)=()

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】由補集和交集的定義求解.

【詳解】集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},8={2,3},

U={2,4,5},^={1,4,5},(/)c(*)={4,5}.

故選：C

2.在復平面內，復數(shù)z的對應點為(1,-1),則亍=()

A.1+zB.-1+zC.1-zD.—1—i

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意可得復數(shù)z,然后根據(jù)共輾復數(shù)的概念，可得結果.

【詳解】由題可知：復數(shù)z的對應點為(1,-1),則z=l-i

所以亍=1+7

故選：A

【點睛】本題考查共物復數(shù)以及復數(shù)與所對應的點之間的關系，熟悉概念，屬基礎題.

3.已知數(shù)列{4}對于任意“qeN*,都有4+[=4%,若q=J5,則%=()

A.2B.2&C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別取。=4=1,夕=q=2然后代入計算，即可得到結果.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝對于任意O應eN*,都有

取P=q=]，則的=/■=V2xy[2=2,

取夕=q=2,則％=。2,。2=2x2=4,則%=4.

故選：C

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+力)上單調遞增的是()

A./(x)=-p-yB.f(x)=2r+2~xc./(x)=sinxD.f(x)=tanx

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，再利用相應函數(shù)的性質判斷ACD選項，利用/'(x)>0判斷

B選項即可.

【詳解】對于A,因為/(一x)=R='=/(x),所以是偶函數(shù)，當xe(O,+。)時，/(x)===一,

一x\x\x\X

是反比例函數(shù)，在(0,+。)上單調遞減，故A錯誤；

對于B,因為/(—力=2-'+2，=/(引，所以是偶函數(shù)，

當xe(O,+⑹時，/,(x)=(2v-2-v)ln2,

?.?》〉0,:.2，〉1,0<2-*<1,.?./'(x)>0,.?./(X)在(0,+。)上單調遞增，故B正確；

對于C,因為/(-x)=sin(—x)=—sinx=-/(x),所以是奇函數(shù)，當xe(0,+。)時，/(x)=sinx不單

調，故C錯誤；

對于D,因為/(一工)=12!1(一%)=一1211%=一/(》)，所以是奇函數(shù)，當xe(0,+oo)時，/(x)=tanx不是

單調遞增函數(shù)，故D錯誤；

故選：B.

5.若a/wR,且a>b,則()

11

22

—1—+1<-〃;——+1B.ab>ab

a+b,

C.a2>ab>b2D.a>---->b

2

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質即可求解D.

1_1,11

【詳解】由于。>6,取=—...7^—7——，a~b=ab~=1無法得到—；—<-；—

。一+1?+12a2+1Zr+1

a2b>ab21故AB錯誤，

取a=O,b=—2,則/=(),仍=O12=4,無法得到/〉的〉c錯誤，

由于a>b,則2a>6+a>26,所以a〉"'1''>b,

2

故選：D

6.已知生尸是兩個不同的平面，掰，〃是兩條不同的直線，能使加_L"成立的一組條件是()

A.a〃B，mLa,n工0B.a///3,m<^a,nV/3

C.a±p,m±a,n///3D,a1.]3,mcza,n//>0

【答案】B

【解析】

【分析】利用給定條件得到〃〃加，判斷A,利用給定條件得到〃7,〃判斷B,舉反例判斷C,D即可.

【詳解】對于A,若a〃0,mLa,nL0,則〃〃加，故A錯誤，

對于B,若a〃夕,加ua,〃_1_夕，則陰_1_〃，故B正確，

對于C,若aL/3,mLa,n〃0,則見〃可能相交，平行或異面，故C錯誤，

對于D,若aL/3,mua,n〃/3,則叫〃可能相交，平行或異面，故D錯誤.

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=sin?x+e)[o〉0,—T<9<T)的導函數(shù)是/'(X),如果函數(shù)y=/(x)—/'(x)的

圖像如圖所示，那么。，。的值分別為()

,兀,兀c兀

A.1,0B.1,——C.1,—D.2,——

444

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求導可得/'(x)=ocos(ox+e),從而可得y=/(x)-/'(x)的解析式，再結合函數(shù)

圖像代入計算，即可得到結果.

I兀7T

【詳解】因為/(x)=sin(Gx+0)刃>0,-5<0<,

則/'(X)=GCOS(S：+e),

則y=/(x)-/z(x)=sin(s+0)-Gcos(G￥+cp)

=Jl+蘇sin[(Gx+°)-8],其中tan8=/=o,

由圖像可知，函數(shù)的最大值為0，即J1+療=同，且口〉0,

所以G=I,e=w，即y=x+。―L

又函數(shù)過點(0,—1),將點(0,—1)代入可得—1=拒sin：

3

即0=5兀+2左兀，左￡Z，或。=2兀+2左兀，左wZ，

TT7T3

又—5＜夕＜5，則當0=5兀+2左兀,左￡Z時，無解，

當9=2兀+2E,左￡Z時，k=-\,則0=0,

所以刃=1,0=0.

故選：A

8.已知曲線。：聞=/+1與直線/:天二旅+方，那么下列結論正確的是()

A.當左=1時，對于任意的6eR,曲線。與直線/恰有兩個公共點

B.當后=1時，存在6eR,曲線。與直線/恰有三個公共點

C.當左=2時，對于任意的6eR,曲線。與直線/恰有兩個公共點

D.當左=2時，存在6eR,曲線。與直線/恰有三個公共點

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)曲線。的對稱性，分別討論當直線/與曲線C的上、下半部分相切時3的取值即可求解.

【詳解】曲線的圖象如圖所示，

V=X+1

若左=1,當直線/與曲線上半部分相切時，由,整理得X+1—3=0，

y=x+b

,3

由AMl—iy—qxixO—b)：。得6=a，

y=-x2-1

當直線/與曲線下半部分相切時，由,,整理得/+》+1+力=0，

y=x+b

由△=12—4x0+6)=0得6=—^，

33

結合曲線C圖象的對稱性可得，當6=—或6=—一時，曲線。與直線/有一個交點，

44

3333

當--<6〈一時，曲線C與直線/沒有交點，當6〉一或6<——時，，曲線。與直線/有兩個交點，AB說

4444

法錯誤；

y=x2+1

若左=2,當直線/與曲線上半部分相切時，由《整理得/一2》+1-6=0，

y=2x+b

由△=(—2『—4xlx(l_6)=0得6=0,

y=-x2-1

當直線/與曲線下半部分相切時，由《整理得%2+2%+1+6=0，

y=2x+b

結合曲線C圖象的對稱性可得，對于任意的bwR,曲線C與直線/恰有兩個公共點，C說法正確，D說法

錯誤，

故選：C

9.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,首項%e/gj,那么"]=?！笔恰凹蟂=｛xk=sina",〃eN*｝

恰有兩個元素”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.

【詳解】對于充分性，已知等差數(shù)列｛1“｝的公差為"，首項見

當“1=?！睍r，集合6=,卜=5吊％,〃?]\[恰有兩個元素5=｛5吊a1，一5M,｝,

故充分性成立，對于必要性，當1=3兀時，

“集合5=卜卜=5①&“,〃€]\*｝也恰有兩個元素”，故必要性不成立，

故“d=?！笔恰凹蟂=,卜=sma?,neN）恰有兩個元素”的充分而不必要條件.

故選：A

10.“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲

線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1）,

光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面ZP8是等邊三角形，

橢圓。?所在平面為見必La,則橢圓。的離心率為（）

V6rV2

------------V/.

3-----------------------------23

【答案】D

【解析】

\POS3

【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結合余弦定理代入計算可得桂了二:，再由相似三角形的相似比結合勾股

\PQ\4

定理可分別計算出橢圓的。，“C,結合橢圓的離心率即可得到結果.

【詳解】設48=2r，由于尸所以尸BLZM,在等邊三角形尸48中，

點”為尸3的中點，于是AM=也「，在平面。中，由橢圓的對稱性可知，

AO［=MO［=與,連接。。］,尸。1，延長PQ與4B交于點。，

由于為中點，所以在/中，PM=r,MC）二—r，

12

由勾股定理可得pg=｛典"+同。］『=:二:

一r二---r，

2J2

萬1

在A。。。中，P0=?，P0,=—r-OOX=-r,由余弦定理可得

122

712_

八一歸?！?歸。『一1。?！阂?2+"-7_3而

is5一?-I

2\P0\-\P0\9V7614

2x——rx73r

2

\P0Ml.因.五.匝

在RtZ\P0O中，由于cos/。。。］=師，所以1.cosNOPOl3亞3

14

V7

干曰有巾一丁_3

于癡因一述「"

3

設橢圓。?短軸的兩個頂點為G,女，連接PG,PH分別交圓錐于E,尸，

PG\Kl：：3

由于APGHSAPEF,所以―二

PE\\PQ\~4，

由于尸￡為圓錐母線，所以尸￡=24=2r,

333

從而有|?G=^|尸￡=—x2r=—r

|2V2

在Rt△尸GO1中,---r

2

7

C/?

所以在橢圓。1中，a=\MO1\=^-r，b=\GO.\=^-r

后Y1

貝（1c=yja2—b2二---r—r

V222

V\7\7

1

—r1

c71

則離心率為。=%==耳T,

——r

2

故選：D

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解,難度較大，解答本題的關鍵

在于結合橢圓的定義以及余弦定理代入計算，分別求得凡人，從而得到結果.

第二部分（非選擇題110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.己知函數(shù)/（x）=2\g（x）=log2（x+l）,那么/（g（0））=.

【答案】1

【解析】

【分析】先求出g（0），再求/（g（0））即可.

【詳解】易知g⑼=log2（0+l）=0,故/（g（O））=/（0）=2°=1,

故答案為：1

12.若（亞+1『=17+a忘，則.=.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將（、匯+1『展開計算，即可得到結果.

【詳解】（應+1『=（3+2后j=17+12后=17+aS，

所以a=12.

故答案為：12

13.如圖，在正方形45CD中，48=2，點瓦尸分別為3C,C。的中點，點G在RF上，則

AEAG=

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算可得運前=。-九，益+2而，即可利用數(shù)量積的運算

律求解.

【詳解】設B=X而，則

而就="+；/”（萬+2珂="+；4。｝"+/1赤_；/1回="+；回［（1_［"+；1同

/1上后+?+2］超礪+。礪2/二露4+〃4=4.

（2）U4J2L2J2

故答案為：4

14.如圖，正方體43CD—44GA的棱長為2,M,N分別為8月,"＞］的中點，0為過直線的平

面.從下列結論①，②中選擇一個，并判斷該結論的真假.你選的結論是（填“①”或"②”）,該

結論是命題（填“真”或"假”）.

①平面a截該正方體所得截面面積的最大值為3g；

②若正方體的12條棱所在直線與平面a所成的角都等于6,則sin，=—.

3

【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）

【解析】

【分析】選①，根據(jù)四邊形片的面積即可判斷，選②，根據(jù)三棱錐4-4口片為正三棱錐，利用等體

積法求解AAX與平面A/Bi所成角的正弦值即可求解②.

【詳解】若選①，平面8。2瓦是過直線的平面.此時四邊形8￡）A片即為該平面截正方體所得截面,

由于四邊形BDDXBX的面積為3。?8瓦=4后＞3也，故①為假命題,

若選②，由于三棱錐4-4口片為正三棱錐，所以444民4,與平面NA片所成角均相等，故平面a//

平面40圈,

設4到平面AD.B,的距離為h,則

—x2x2x2。

S.n4~A,B,二2____________=2_

/A「ADIB1一七-皿&nS“D]BIh-S△皿444n〃一q-

、“DR-X2V2X2V2X—百

22

所以441與平面與所成角的正弦值為上一=",故sin，=）h

―,②為真命題

ZZ]33

故答案為：①（答案不唯一），假（答案不唯一）

%a

0

AB

|x+m|,x＜0,

15.設函數(shù)/（x）=V2mr給出下列四個結論：

-----Vx,x＞0.

12

①當加=0時，函數(shù)/（X）在（-叫+8）上單調遞減；

②若函數(shù)/（x）有且僅有兩個零點，則加＞0；

③當加＜0時，若存在實數(shù)。力,使得/（°）=/伍），則目的J取值范圍為（2,+8）；

④已知點尸（一加,0）,函數(shù)/（x）的圖象上存在兩點。]&,%）,Q（%2，%）（玉＜》2＜°），。1，。2關于坐標

原點。的對稱點也在函數(shù)/（X）的圖象上.若|p0J+1="

-,則掰=1.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據(jù)x20時，/（x）=0即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結合函數(shù)圖象，求解臨界狀

態(tài)時,一目一＞2,即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質可先判斷加＞0,繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得

F干+"療+4",9根據(jù)山+U羋可得

代入即可求解④.

【詳解】當m=0時，x?0時，/（x）=0,故在（—S,+。）上不是單調遞減，①錯誤;

對于②，當加=0顯然不成立，故加。0,

當x20時，令/（x）=0,即—當"q=o，得x=0,x＜0,|x+同=0nx=—加，要使/⑴有且僅

有兩個零點，則一切＜0,故加＞0,②正確，

-x-m,x＜0,

對于③，當加＜0時，/（'）=42m廠，此時/（%）在（-8,。）單調遞減，在［0,+8）單調遞增，

-----\x,x＞0.

若/（。）=/伍），由—m=---五nx=2,故4＞2,所以k—目的取值范圍為（2,+“）；③正

確

對于④，由①③可知：加＜0時，顯然不成立，故加＞0,

要使。（西，%）Q（馬，力）（再＜馬＜0）,0,0關于坐標原點0的對稱點也在函數(shù)/⑺的圖象上，

|的圖象與x20,/（x）=-字五有兩個不同的交點，如圖:

則只需要x＞O,y=—,一加

|PQ1|+|P2|=0卜/一旬+0|x2+加=-V2（加+西）+V2（x2+冽）==nI2—%=5，

由對稱可得/(—*)=一字尸

；i=―卜/一加=再+加，

化簡可得X]+加+，冽[-X]=0‘故（8-粵卮-"=?？?2±『

X-m\=-x-m化簡得（J-%）+J—/"?冽=0

/(%)=22"2,加

所以"土、"+4,m

所以2、2

9+J」療+4加4+、口

由于一花,一、2均大于0,所以/—_272_______，/-_272_______,

一「X]—2\x2-2

?2+'2，"”[[2+2痔+[

因此/_玉=(5^")-(J、2)

42m11后廠

=---J—m2+4Am=+4m3

由于加〉0,/(加)=5加，+4加3為（0,+8）單調遞增函數(shù)，且=

止匕時X-X=冽4+4加3=—,因此加=1,④正確，

212

故答案為：②③④

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步聚或證明過程.

16.已知“8C滿足百sirk4+cosZ=2.

(1)求A；

(2)若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個，請選擇一組這樣的兩個條件，并求的面積.

s

條件①：a—b=2；條件②：cosB=—；條件③：c=8.

14

TT

【答案】(1)-

3

(2)選①③，面積為ioG，

【解析】

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式可得sin(Z+巴］=1,即可求解/=g,

3

(2)選擇①②，根據(jù)正弦定理可得6=下?！怠Ｅca-6=2矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù)

cos8=Y7<L,故5〉四，a<b,這與a—6=2矛盾，即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得6=5,

1423

a=7,即可由面積公式求解.

【小問1詳解】

由V3sirL4+cosN=2得2sin^+—=2,所以A+—=—+2kji=>A=—+2kji,kGZ,

由于Ze（O,兀），所以"

【小問2詳解】

若選①Q—6=2,②cosB=---

則cosB=:.B0,—,sin5=Vl-cos25=3y

1412J14

由正弦定理可得，一=—立nb=]=a〉a,這與a—6=2矛盾，故不可以選擇①②,

sin/sin5142V7

若選①Q-6=2,③。=8,

由余弦定理可得cosN=Q=c2+62q2=82+b2-(b+2),解得b=5,a=7,

22bc166

S^ABC=-besinA=-58—106,

選②③，

由于cosB=^~,5ef0,—\

14I2j

又cos5=—,故8>=,

1423

TT

而/=§,故a<6,這與a—b=2矛盾，因此不能選擇②③

17.在正四棱柱48co—44GA中，48=1,￡為8耳中點，直線用G與平面2。也交于點

(1)證明：尸為耳G的中點；

7T

(2)若直線/C與平面2。也所成的角為點，求二面角4-NA-尸的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵如

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質定理判斷；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求線面角確定E點位置，再由空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

如圖，連接2C，F(xiàn)E,FDX,在正四棱柱43CD—44GA中，

由幺3與GA平行且相等得ABCXDX是平行四邊形，所以BQ//ZD],

又5G<Z平面ZQE，4D]U平面所以BQ〃平面40田,

BCAu平面BCCB,平面ADXEn平面BCCXBX=EF，

所以BCJ/EF,E是8片中點，

所以廠是瓦G的中點;

【小問2詳解】

以。為MN/軸建立空間直角坐標系，如圖，設44]=加Cm>0),

m

則N(l,0,0),C(0,l,0),2(0,0,加)，E(l,l,y),

--*---?--*YH,

4C=(-1,1,0)，9=(-1,0,加),ZE=(0』,萬)，

設平面2。區(qū)的一個法向量是7=(X,y,Z),則

t-AD=-x+mz=0

}1一加

——?m，取z—\f得t—（加,1）,

t?AE-y-\—z=02

2

71

因為直線AC與平面ADXE所成的角為1,

m

-m—

_______2__?兀,

所以COSt,AC\—|------>1=—r

11=sin],解得m=2(負值舍去),

HMJ-"+lx后

4

所以7=(2,—1,1),平面44a的一個法向量是n=(0,1,0),

平面AD#即為平面AD4,

--t-n-1V6

則c°s,，〃=麗=布=一萬

二面角4-力2-尸為銳角，因此其余弦值為逅.

6

18.激光的單光子通訊過程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進行發(fā)

送，在信息傳輸過程中，若存在竊聽者，由于密碼本的缺失，竊聽者不一定能正確解密并獲取準確信息.

某次實驗中，假設原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0,1,2,3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀

態(tài)與竊聽者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對應關系.

原始信息的單光子的偏振

0123

狀態(tài)

解密信息的單光子的偏振

0,1,20,1,31,2,30,2,3

狀態(tài)

已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對應的竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn).

(1)若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1,求竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信

息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率；

(2)若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1,設竊聽者解密信息的單光子的偏振狀

態(tài)為1的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望￡(x)；

(3)已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1.設原始信息的單光子只

有一種偏振狀態(tài)的可能性為。，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為6,有三種偏振狀態(tài)的可能性為c,試比較c

的大小關系.(結論不要求證明)

【答案】(1)-

3

(2)分布列見解析，E(X)=1

(3)a<c<b

【解析】

【分析】(1)列出基本事件，再求解概率即可.

(2)利用分布列的定義求解分布列，再求解數(shù)學期望即可.

（3）依據(jù)題意猜測結論即可.

【小問1詳解】

設“解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振相同”獨立作為事件A,易知共有3個基本

事件，則P（Z）=j

【小問2詳解】

X的可能取值為0』,2,3.

尸(X=0)=(§3$,尸(X=1)=C；|守=〉

尸(X=2)=C；(1)2|=尸(X=3)=C；x(；)3=-

所以，X的分布列如下:

X0123

8421

P

279927

842]

￡(X)=0x--Fix—+2x—+3x——=1.

279927

【小問3詳解】

結論：a<c<b

1119

3

證明：易矢口Q=3x(§)3=§,c=6x(-)=-,6=3x6x

故a<c<6得證.

19.已知函數(shù)/(x)=a?X+24人"一21nx(aw0).

（1）當a=l時，求曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（x）有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】（1）y=3

⑵0<a<eZ或一2<“<°

【解析】

【分析】（1）求導，代值可得/'。）=0,/。）=3,即可求解切線,

(2)求導得,對。分類討論，求解函數(shù)的單調性，即可根據(jù)最小值為負求解.

【小問1詳解】

12

當a=l時，f(x)=x+2y［x-21nx,則/'(x)=l+^=,

所以/'⑴=0J⑴=3,

故>=/(x)在點(1,/0))處的切線方程為>=3

【小問2詳解】

\2a2a2x+a4x-2-1j

f\x)=a'+-j=——=-----------=---------------L(a.w0)(r>0)，

11

當a>0時，則a6+2>0，令/'(x)>0,則x〉/,令/'(x)<0,則0<x</,

故/(“)在［十］②］單調遞增，在(0，'］單調遞減，

故當x=1，/(x)取極小值也是最小值，

a

則/1!l="3+2ag—21n!=3+41na,

又當Xf+00,/(x)T+8,且XT。,/(1)T+00,

故要使函數(shù)/(X)有兩個零點，只需要/(x)min=3+41na<0,解得0<。</；

當〃<0時，則—1<0，令/'(X)〉。,則%>/,令/'(X)<0,則0<x</,

故/(X)在［A,+s］單調遞增，在［o，A］單調遞減，

故當x=：,/(x)取極小值也是最小值，貝U

a

f|—5］=a2——+2aJ——21n—r-二-2In—r-——4In2+2In(22,

{a2Ja2\a2a2a2

又當x—>+oo,/(x)—>+oo,且x―>0,/(x)—>+8,

故要使函數(shù)/(X)有兩個零點，只需要/(x)mm=-41n2+21na2<0,解得_2<a<0；

綜上可得U「<NCZ<C或一2<a<0.

20.已知兩點公(-1,0),月(1,0),曲線Q上的動點刊滿足|〃制+|〃周=2閨閭，直線九里與曲線。交

于另一點N.

(1)求曲線。的方程;

（2）設曲線。與x軸的交點分別為48（點A在點B的左側，且M不與48重合），直線與直線BN

交于點尸.當點3為線段NP的中點時，求點N的橫坐標.

22

【答案】（1）土+土=1

43

（2）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理乂+%=f三，為為即可根據(jù)中點關系以及向量共線得

乃=二皿，代入韋達定理中即可求解『=」，進而可求解.

153

【小問1詳解】

由于|5|+|5|=2舊周=4>怩閭=2,

所以M是以片（—1,0）,月（1,0）為焦點，以4為長軸長的橢圓，

故a=2,c=l=>Z?=G,

22

故橢圓方程為±+2=1.

43

【小問2詳解】

由于上W斜率不為0,故設直線跖V方程為：x=ty+\,

x=ty+\

聯(lián)立/=（3/+4）/+6吐9=0,

[43

_8-9

設M（M，%）,N（9,%），則%+%=蓊富，%%=手薯,

/（-2,0）,5（2,0）,

由于點B為線段NP的中點，則P（4—%,—/），

又尸是直線與直線BN的交點，所以TPH'AM,

AP=（6-x2,-y2）,AM=（2+芭,必）,故（6一%）%=—%（2+xJ,

-3y

（5-優(yōu)）％=—%（3+彷）=5%=—3%=%

3%小、—6t—9可得4者=~6t—32—9

將為1代入凹+歹2=門，"2=可

3產+4

22

故a=3^}T二3,由三+九=1可得X0,

43

故點N的橫坐標為0.

21.將數(shù)列N。：1,2,3,4,…中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構成數(shù)列4:1,4,9,16,…，此時數(shù)列N。中剩下的

項構成數(shù)列N1：2,3,5,6,…；再將數(shù)列N］中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構成數(shù)列4:2,6,12,20,…，剩下

的項構成數(shù)列N2；….如此操作下去，將數(shù)列Nk_x(keN*)中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構成數(shù)列4，

剩下的項構成數(shù)列乂.

(1)分別寫出數(shù)列的前2項；

(2)記數(shù)列4的第〃項為/(加,，)?求證：當〃N2時，f(m,n)-f(m,n-l)=2n+m-2；

(3)若/(%〃)=108,求見〃的值.

【答案】(1)4的前2項為3,8；4的前2項為5,11；

(2)證明見解析；(3)m=6,?=8.

【解析】

【分析】(1)直接利用數(shù)列定義求解；

(2)證明｛/(加,")—/(加,"―1)｝為等差數(shù)列即可求解；

(3)先利用數(shù)學歸納法證明f(2n-2i,i+l)=n2+z+l,f(2n+1-2/,z+l)=w2+?+/+!.進而求得的表

達式，利用累加法再解方程求解

【小問1詳解】

數(shù)列4的前2項為3,8；數(shù)列4的前2項為5,11；

【小問2詳解】

首先/(1,〃)=后,當2時，/(1,附)-/(1,〃-1)=2〃-1結論成立;

當加之2時，對于相鄰的兩個數(shù)列：

4“T：/(m-1,1),/(w-1,2),…，f(m-\,n-1),/(w--?

4”：…，f(m,n-1),…

1491625364964

26122030425672

38152435486380

511192941557189

714233447627998

10182840547088108

13223346617897118

172739536987107129

因為/(如力-n)都在數(shù)列Nm_2中，且f(m,…在n)之前,

所以/(加,加一1,")在數(shù)列4-14中，必有,

所以f(m,n-V)<