直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（四大題型6個(gè)方向）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新教材新高考）（解析版）

第08講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

目錄

C考情分析

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

-直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

-弦長(zhǎng)公式

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

方向1:求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題;

方向2:求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；

題型二：中點(diǎn)弦問(wèn)題

方向?qū)ΨQ問(wèn)題

提升?必考題型突破3:

方向4:斜率之積問(wèn)題

題型三：弦長(zhǎng)問(wèn)題

方向1：三角形問(wèn)題

題型四：面積問(wèn)題

方向2:四邊形問(wèn)題

真題感悟

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)了解圓雉曲線的實(shí)際背景，感受圓雉曲從近五年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，

線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，特別是解答題中，

2023年/卷第22題，12分

(2)經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，更是經(jīng)常出現(xiàn).直線與圓雉曲線綜合

2023年〃卷第21題，12分

掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，涉及直線與圓雉

2023年甲卷(理)第20題，12分

(3)了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形曲線關(guān)系中的求弦長(zhǎng)、面積及弦中點(diǎn)、

2022年/卷第21題，12分

和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).定點(diǎn)、定值、參數(shù)取值范圍和最值等

2022年〃卷第21題，12分

(4)通過(guò)圓雉曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體問(wèn)題.多屬于解答中的綜合問(wèn)題.近

會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.兩年難度上有上升的趨勢(shì)，但更趨于

靈活.

第1頁(yè)共58頁(yè)

相交

直線與圓錐曲線

―夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立

22

(1)橢圓二+4=1(Q〉Z?>0)與直線/:y=Ax+機(jī)相交于兩點(diǎn)，設(shè)AQ,%),B(x2,%)

ab

|《十匚1

2222222222

<a,(b+ka)x+2akmx+6Zm-ab=0

y=kx+m

22

橢圓々+==l(q>0,6>0)與過(guò)定點(diǎn)O,0)的直線/相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)為x=(y+m,如此消去x,

ab

、、［二+匚1

保留y,構(gòu)造的方程如下：<a2b2，+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0

x=ty+m

注意：

①如果直線沒(méi)有過(guò)橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說(shuō)明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出△>(),

滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述.

(2)拋物線=2px(p>0)與直線x=+相交于A3兩點(diǎn)，設(shè)A5,%),B(x2,y2)

聯(lián)立可得/=2°(。+能)，A>0時(shí)，卜"+"2Pt

〔必％=-2p?"

2

特殊地，當(dāng)直線至過(guò)焦點(diǎn)的時(shí)候，即機(jī)=￡,y^=-2pm=-p,x,jL.yL=Lp\因?yàn)樗麨橥?/p>

22p2p4,

徑的時(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來(lái)記憶.

拋物線r=2py(p>0)與直線y=辰+相相交于C、Z)兩點(diǎn)，設(shè)Ca,%)，D(^,y2)

第2頁(yè)共58頁(yè)

聯(lián)立可得尤2=2p儂+m，△>()時(shí)，1

[x{x2=-2pm

注意：在直線與拋物線的問(wèn)題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量.開(kāi)口向

上選擇正設(shè)；開(kāi)口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂?wèn)題，面積問(wèn)題，三點(diǎn)共

線問(wèn)題，角度問(wèn)題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定

理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞?

知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理

22

三+當(dāng)■=1(。>匕>0)與y=kx+m聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

ab

22222222

(ak+b)x+2kmax+a(m-b)=0f為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為+及+。=。.該式可以看成一

個(gè)關(guān)于工的一元二次方程，判別式為△:4//("左2+〃—加2)可簡(jiǎn)單記4//(A—加2).

22

同理)+谷=1(。>6>0)和x=h+機(jī)聯(lián)立(fl2+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0,為了方便敘述，將

ab"

上式簡(jiǎn)記為Ay2+3y+c=0,\^4a2b2(a2+t2b2-m2),可簡(jiǎn)記46/(4一療).

/與C相離oA<0;/與C相切oA=0；/與C相交oA>0.

注意：(1)由韋達(dá)定理寫(xiě)出芭+/=-巨，xx,=—,注意隱含條件A>0.

AA

(2)求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

(3)如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把力,/互換位置即可.

(4)直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在無(wú)軸的雙曲線，只要把換成-/即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把/換成-廿即可，/換成/即可.

(5)注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過(guò)聯(lián)立消元，利用公判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下

往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根(一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制)，所以在遇到兩條二

次曲線交點(diǎn)問(wèn)題的時(shí)候，使用畫(huà)圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式

設(shè)%),N(X2,%)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式||=-％產(chǎn)+(乂-%戶.

(1)若V、N在直線y=+m上，代入化簡(jiǎn)，得|ACV|=J1+/21Al—xj.

(2)若A/、N所在直線方程為了="+〃2,代入化簡(jiǎn)，得|ACV|=+

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，|血W|=且里=房口1.其中左為直線斜率，a為直線傾斜

|cos6Z||sincr|

角.

注意：(1)上述表達(dá)式中，當(dāng)為k片0,時(shí)，mk=1.

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（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.

（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為Ac?+fix+C=0（Aw0）,判別式為A=*—4AC,A>0時(shí),

利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法

在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率.

（4）直線和圓相交的時(shí)候，過(guò)圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單.

（5）直線如果過(guò)焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式.

知識(shí)點(diǎn)四、已知弦AB的中點(diǎn)，研究的斜率和方程

（1）AB是橢圓:+馬=1（。>40）的一條弦，中點(diǎn)則AB的斜率為-畢L,

abay0

運(yùn)用點(diǎn)差法求回的斜率；設(shè)A（X，M）,5（和%）（%。/），A，3都在橢圓上,

2_22_2

,兩式相減得五0+?二%=0

a2b2

（%+%）（=一々）+e+%）（%-%）=0

a*2b2

獷：,一經(jīng),故勤=-不

a

。（%+%）ay。y0

（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若回是雙曲線土=的弦，中點(diǎn)加伉,%），則L=4；

abay0

若曲線是拋物線y2=2px（p>0）,貝1]*=￡?

%

一提升?必考題型歸納

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

例1.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知橢圓C：?+V=l的兩焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)?,點(diǎn)滿足0<y+弁<1,

22

則直線等+為y=l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不確定，與尸點(diǎn)的位置有關(guān)

【答案】A

【解析】因?yàn)?<￡+必<1，所以片+2乂<2,

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2

X0_

彳+y=1

由“，2可得（年+2￥卜2-4『+4-4尤=0,

~=1

<乙

所以△=16宕-4（片+2娟（4-4尤）=16%（片+2$-2）<0,

所以直線羅+%y=l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

故選：A.

例2.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）若直線/被圓C:f+y2=2所截的弦長(zhǎng)不小于2,貝卜與下列曲線一定有公

共點(diǎn)的是（）

A.（x-l）2+y2=1B.y+/=1

C.y=x2D.x2—y2=1

【答案】B

【解析】由題意，圓C：f+y2=2的圓心為（0,0）,半徑為也.

設(shè)直線方程為ax+勿+c=o,直線/到圓心（。,。）的距離為d,

由弦長(zhǎng)公式得JR?-屋q,所以

k，0+b，0+c|

由點(diǎn)到直線的距離公式得,即

Ja2+b2~'

（61?1+z7,0+（?|

對(duì)于選項(xiàng)A,直線/到該圓圓心的距離為?…。。［

y/a2+b2J/+/

\a+c\

取》=0,a=c=l滿足條件，而=2>1,直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn),故A排除;

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)6=0時(shí)，對(duì)于直線/有。力0,x=~—,c2<a2,

a

聯(lián)立橢圓方程得y2=l--上1=L1所以必有公共點(diǎn)；

a"22

22

當(dāng)6/0時(shí)，聯(lián)立直線/與橢圓方程得舊+2a2）/+4acx+2c-2b=0,

A=（4<7C『-4伊+2〃）（2H一2k）=8b2c2+8b4+16a2b2>0,

所以必有公共點(diǎn)；故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,聯(lián)立直線/與拋物線方程得以2+分+c=0,

若6=0時(shí)，貝iJaHO,有解了=-￡；

a

若6w0時(shí)，A=a2-4bc,取Q=Z?=c=l,貝ijAvO,方程無(wú)解，此時(shí)無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

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c

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)〃=0時(shí)，對(duì)于直線/有awO,x=—，c2<a2

af

聯(lián)立雙曲線方程得/=:一141_1=0,

a

取c=W，則直線/：尤=-1,與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.

22

故選：B.

2

例3.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)尸（1,2）和雙曲線C:%2-3=1,過(guò)點(diǎn)尸且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的

直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.無(wú)數(shù)條

【答案】A

2

【解析】由題意可得，雙曲線X?-'=1的漸近線方程為'=±2尤，點(diǎn)（1,0）是雙曲線的頂點(diǎn).

①若直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,此時(shí)，直線/與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；

②若直線/的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線y=-2x時(shí)，直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).

若直線/的斜率為2,則直線/的方程為>=2x,此時(shí)直線/為雙曲線C的一條漸近線，不合乎題意.

綜上所述，過(guò)點(diǎn)尸。,2）與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/共有2條.

故選：A.

變式1.（1999?全國(guó)?高考真題）給出下列曲線方程：

①4x+2y-1=0；

②V+y2=3；

@--y2=l.

2

其中與直線y=-2x-3有交點(diǎn)的所有曲線方程是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

【答案】D

【解析】「直線y=-2x—3和4x+2y-1=0的斜率都是—2

二兩直線平行，不可能有交點(diǎn)；

把直線丫=一2》-3與f+/=3聯(lián)立消去>得5/+12尤+6=0,△=144—120>0,?..直線與②中的曲線有交

點(diǎn)；

把直線y=-2x-3與+=1聯(lián)立消去y得9Y+24X+12=0,A=24X24-18X24>0,直線與③中的曲線

有交點(diǎn);

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把直線y=-2x-3與^--丁=1聯(lián)立消去y得7尤2-24X-12=0,A=24x24+4x7xl2>0,直線與④中的曲

2

線有交點(diǎn).

故選：D.

變式2.（2023?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考一模）命題p：直線y=^+b與拋物線f=2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：

直線y=+6與拋物線無(wú)2=2°y相切，則命題p是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】C

【解析】???拋物線V=2py的對(duì)稱軸為>軸，

???一條直線與拋物線Y=2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與無(wú)軸垂直，

?.,直線》=乙+》存在斜率，與x軸不垂直，

“直線>=區(qū)+）與拋物線/=2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線>=丘+。與拋物線d=2py相切”，則

命題P是命題q的充要條件.

故選：C.

變式3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（1,2）作直線，使它與拋物線>2=4尤僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線

有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線X=1,代入拋物線方程可y=±2,故直線X=1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).不

滿足要求，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為丁-2=左（》-1）,

由（=4x'消X得，初-今-4k+8=0,

當(dāng)k=O時(shí)，解得無(wú)=l,y=2,直線y=2與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)左力0時(shí)，由A=（7）2—軟（8—44）=0,可得％=1,

即當(dāng)上=1時(shí)，符合題意.綜上，滿足條件的直線有2條.

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

（1）直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后

得到一元二次方程，其中A>0；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判

定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

（2）直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱軸平

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行，或直線與圓錐曲線相切.

題型二：中點(diǎn)弦問(wèn)題

方向1:求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；

22

例4.（2023?新疆伊犁?高二統(tǒng)考期末）過(guò)橢圓上+匕=1內(nèi)一點(diǎn)P（U）引一條恰好被尸點(diǎn)平分的弦，則這條

54

弦所在直線的方程是

【答案】4x+5y-9=0

22

【解析】橢圓二+匕=1即4/+5/=20,

54

設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（W,%）,B（x2,y2）,則七強(qiáng)=1,且產(chǎn)=1,

則4才+5y：=20,4焉+5y；=20,

兩式作差可得：4（玉-%）（玉+%）=-5（%-%）（%+%）,

.4（占+W）_4

一占一三5（%+%）5,

直線過(guò)點(diǎn)PCM）,

4

???這條弦所在直線的方程是y-l=-j（x-l）,

即4x+5y-9=0.

故答案為：4x+5y-9=0.

22

例5.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓C：土+匕=1,圓。：/+2=4,直線/與圓。相切于第一

124

象限的點(diǎn)A,與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)8.若忸同=|。川,則直線/的方程為.

【答案】x+y-2y/2=0

【解析】取A3中點(diǎn)連接OM,由于|冏=|刎，所以|網(wǎng)=忸子,進(jìn)而1PM=|吸|,

設(shè)4（%,%）,設(shè)直線上任意一點(diǎn)N（x,y）,

由于N4是圓的切線，所以。4河=0,所以（尤-x（））Xo+（y-%）%=On^o+3%=芯+y；=4,

xo+一

令y=0,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M___A

2'2

2222

設(shè)P（牛％）,Q（x2M訓(xùn)囁+?=哈+3=1，兩式相減可得

工：一考+才一￡_03%一%4%+)2=1%乂

I—U——?

x-x

124x212%%3yM

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kM

所以⑥，又％=一白=一S，°~+±,

3kOA%X。十丫

九0

%(1

所以4yI3，解得x；=2,,進(jìn)而%=返

0x0>O,/.J;O=A/2

X0■,、/

%0

故直線/的方程為VIx+&y=4,即x+y-2后=0,

故答案為：x+y-2夜=0

例6.（2023?陜西榆林?高二統(tǒng)考期末）已知48為雙曲線爐-1=1上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（T-4）,

則直線AB的斜率為.

、9

【答案】:/2.25

4

【解析】設(shè)人（%,%）,8（%2，%），

=1

=1

兩式相減得（玉+X2）（XJ_入2）="+，2aM__2，

由線段A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-4）,

即-2&-％）=包產(chǎn)，

9

故答案為：—

4

變式4.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）雙曲線9--16y2=144的一條弦的中點(diǎn)為4（8,3）,則此弦所在的直線方

程為.

【答案】3x-2y-18=0

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【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可得此弦所在的直線斜率存在，

設(shè)弦的兩端分別為3（%,%）,C（%％）,

則有降it；匚;:i兩式相減得9-16（式一貨）=0,

所以9（%+9）（%—%）-16（%+%）（%-必）=。，

/、[x+x=16

又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為A（8,3）,所以1j]+j?=6，

故直線斜率k=入二^=言十%）=|,

%-916（%+%）2

3

則所求直線方程為丁-3=1尤-8）,整理得3x-2y-18=0,

⑶:-2y-18=0,

由《22得/一6丫-15=0,

[9x2-16/=1447）

A=（-6）2-4xlx（-15）=96>0,故該直線滿足題意，

故答案為：3x-2y-18=0

變式5.（2023?陜西寶雞?高二校聯(lián)考期末）拋物線C：丁=6彳與直線/交于A,8兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為（機(jī)-2）,

則/的斜率為.

【答案】-1

【解析】已知AB的中點(diǎn)為（肛-2）,設(shè)A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（孫用，5，％），

則’可得￡一犬=6伍一不），

[%=6々

即（%+乂）（％一乂）=6（巧一石）,

x+x=2m

又x2

3+、2=-4

所以“f尸￡y9-4y,=胃6=一3,

3

故答案為:

2

變式6.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為產(chǎn)-1,直線/與拋物線C交于A1,N

兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)為（1,1）,則直線/的方程為.

【答案】2x-y-1=0

第10頁(yè)共58頁(yè)

【解析】因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為尤=-1,

2

所以易得拋物線的方程為y=4x,

設(shè)”（再M(fèi)，NL

因?yàn)榫€段"N的中點(diǎn)為。（1,1）,

故占+%=2,%+%=2,

兩式相減得尤-￡=4&—赴、），所以七y一2必=二丁4丁=八2,

玉一次2X+%

故直線/的方程為>一1=2（n—1）,即2x-y—1=0.

方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；

變式7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線/與橢圓工+丁=1交于A,B兩點(diǎn)，已知直線/的斜率為1,貝lj弦

4

AB中點(diǎn)的軌跡方程是.

【答案】x+4y=0-^-<x<-v]

【解析】設(shè)A（再,％）,3（場(chǎng)%），線段AB的中點(diǎn)為”（x,y）,連接（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

由題意知K+y；=l=^+￡,貝

12

44-x2Xj+x24x

.?.點(diǎn)M的軌跡方程為無(wú)+4〉=0.

又點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，

A—+[--Y<l,

414；

第11頁(yè)共58頁(yè)

副徂4A/54百

角牛得：------<x<------,

55

故答案為:x+4y=0一警<x<￥]

變式8.（2023?上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎獧E圓爐+4/=16內(nèi)有一點(diǎn)A（l,l）,弦PQ過(guò)

點(diǎn)A,則弦PQ中點(diǎn)M的軌跡方程是.

【答案】x2+4y2-x-4y=0

【解析】設(shè)尸0備%）,。（孫％），中點(diǎn)M（x,y）,

則]6,相減得（%-+%）+4（必+%）（%-%）=。，

尸。斜率存在時(shí)，

.」一為「一+無(wú)2

"\-x24（蘆+%）'

又又是PQ中點(diǎn)，且直線尸。過(guò)點(diǎn)A（L1）,

,y,-y,2xy-1,,

所以⑥2=上3=一1^=力，化簡(jiǎn)得尤2+4y_尤_4y=0,

尤]—尤24x2yx-1

尸。斜率不存在時(shí)，方程為x=l,中點(diǎn)為N（l,0）適合上述方程.

.??點(diǎn)M的軌跡方程是無(wú)之+—?-》—-=0.

故答案為：x2+4y2-x-4y=0.

變式9.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線f-丁=1所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是

【答案】x-2y=0（x>逆或一氈）.

33

【解析】設(shè)直線為y=2x+根，與雙曲線交點(diǎn)為（石,％）,。2，%），

聯(lián)立雙曲線可得：3x2+4mx+/+1=0,則A=16m2-12（m2+1）=4m2-12>0,即機(jī)>班或加<-^3，

所以％]+%2=——，故M+%=2（玉+%2）+2根=——,則弦中點(diǎn)為（——,一■—）?

所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x-2y=0（x>2叵或彳<一氈）.

33

故答案為：x-2y=0（x>28或尤<-氈）

33

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線/:依-y-（“+5）=0（。是參數(shù)）與拋物線/:丁式工+吁的相交弦

是AB,則弦AB的中點(diǎn)軌跡方程是.

【答案】y=2%2-7（-2<x<4）

【解析】設(shè)4（%,另）、3（程%），AB中點(diǎn)M（x,y）,

第12頁(yè)共58頁(yè)

貝ijxY+x2=2x.

/:a(%_l)_(y+5)=0,

二./過(guò)定點(diǎn)N(l,-5),

.,_y+5

一7,

^AB—^MN-X-l

2

又y=(石+1)2,(1)y2=(x2+l),(2)

(1)-⑵得:%_%=(%+1)2-(々+1)2=(%-%2)(%+%2+2)，

=

??^AB~^"=玉+兀2+2.于是上:5=2%+2,即y=2/—7.

Xy—x2x—1

又弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi)，

y=2尤2—7

聯(lián)立〈2X,--2,X2-4

J=（尤+1）

故弦AB的中點(diǎn)軌跡方程是y=2x2-7（-2<x<4）

2

變式11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為/+?=1,過(guò)點(diǎn)M（0,l）的直線/交橢圓于點(diǎn)A、B,O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足0P=g（0A+08）,當(dāng)/繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

【解析】直線/過(guò)點(diǎn)設(shè)其斜率為左,貝卜的方程為y=^+L

記A（%,%）、3（孫火），

y=kx+1

<2

2y,化簡(jiǎn)得，（4+左2）%2+2而-3=0,

XH-1

14

2k

x+x=---------

]12?4+廿,8

所以。，y+y=kx+1\+7kx+\=-—―,

3i1x24+左

石工2=--------------7

'4+左2

21

于是OP=g(04+02)=，1A-k4)

-k

x=-------

4+廿

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,貝小消去參數(shù)左得?”-3③

4

片石正

當(dāng)人不存在時(shí)，A、2中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,也滿足方程③,

22

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為4x+y-y=0.

方向3：對(duì)稱問(wèn)題

第13頁(yè)共58頁(yè)

22

變式12.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）已知橢圓E：=+==1（〃>6>0）的焦距為2c,左右焦點(diǎn)分別為耳、B,

ab

圓耳：（x+c）2+y=i與圓入：（*—靖+y=9相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線/：>=x+加與橢圓E交于A、B

兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為直線的斜率為-4.

4

⑴求橢圓石的方程；

⑵若m=1,試問(wèn)E上是否存在尸、。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，若存在，求出直線P。的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【解析乂1）因?yàn)閳A月：5+。）2+/=1與圓6：5-。）2+產(chǎn)=9相交，且交點(diǎn)在橢圓￡上，所以20=1+3,。=2,

設(shè)A8（%,為），AB的中點(diǎn)〃（汽）,幾）,

￡

/

①—②=2%-）+2%％）=°,

2

4

a-

b2

nF=。nG,kAB

Cr人4J**V-n7

4a2

v-2

則橢圓E的方程：

（2）假設(shè)存在P、。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，設(shè)直線尸。的方程為'=-*+r,

尸（w，%），。（4%），尸。中點(diǎn)』（即，了』

y--x+t

=^>5X2-8XZ+4?-4=0

x1+4y2=4

A=64產(chǎn)一20（4產(chǎn)一4）>00_君</<括,

x3+x44tt

X,即N

N二2=M'Til

由N在/上，-|=^-+1=>^=-^,此時(shí)/￡（一百，石），

故存在p、。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，直線尸。的方程為y=-兀-g.

22

變式13.（2023?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）已知橢圓cJ+}=l（a>6>0）的離心率為e,且過(guò)點(diǎn)（l,e）和

fV2更］

_>_?

（1）求橢圓C的方程;

第14頁(yè)共58頁(yè)

（2）若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A,B關(guān)于直線>=尤+：對(duì)稱，求|川|.

1e2_1c2_1cr-b1_1

【解析】（1）由題意知:Z?2=1

^Tj[TJ13'，"=2,所以橢圓C：5+y2=l；

-------1-------=----1--=1

a212a24

（2）法一設(shè)A（%,%）3a2，%）及A5中點(diǎn)〃（對(duì)幾）,由題意知L=T

彳+犬=1,弓+￡=1，以上兩式相減得：工#+￡-才=。，

可化為：:+當(dāng)一*=0即;+&XZ：AB=。，故&=；,

2￥-石22x0x02

又TM在直線y=x+：上，所以%=%+；,解得：%=-1，%=一g

即1,—直線.：y+；=_（x+i）,化簡(jiǎn)為：y=-x-^

3玉+尤2=-2

聯(lián)立《2整理得：6尤2+12X+5=0由韋達(dá)定理知<5

尤2+2/=26

2-=

由弦長(zhǎng)公式得：AB=，1+左2k-X2|=0J(X]+工2『一4芯工2=V2^(-2)4X-|~^~?

法二設(shè)直線A5:y=-x+z

[y=—x+m-、

22

聯(lián)乂122c，整理得：3x—4mx+2m—2=0

[x+2/=2

A.rn(2n7TYl\13

%+%=9,則中點(diǎn)M父,了，滿足直線方程y=x+：,解得機(jī)=-3

J'JJ,乙乙

3

所以AB：y=-x--

3x+x-—2

v——x—9

聯(lián)立＜2整理得：6X2+12X+5=0,由韋達(dá)定理知＜5

爐+2/=2^%2=6

2

由弦長(zhǎng)公式得：AB=A/1+k|xj-x2|=&，(西+々)2-4%%2=/J(-2『?

變式14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,，在橢圓C：5+孑=1（。>/,>0）上,

直線/：y=x+，"與C交于A,B兩點(diǎn),且線段A8的中點(diǎn)為M,直線0M的斜率為-g.

（1）求C的方程;

第15頁(yè)共58頁(yè)

（2）若〃2=1,試問(wèn)C上是否存在尸，。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，若存在，求出P,。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

M+%

【解析】（1）設(shè)4（%,%）,3（々,丫2），則M,kAB=l^=lk°M=2X+%

22石+入2玉+/2

2

[22

u

a2b2

：4（石,％）,_8（孫％）在橢圓上，則22

生+"=1

L2b2

2_222272

X一%整理得*b

兩式相減得*二％+=0,

b2

aXx-X2石+%2%一元27

2h2

77_b，即」

kAB,kOM=一/彳,則丁-2廿

2a

13

又：點(diǎn)1,在橢圓C：則靛+*=1

1a2+Jb2上，

聯(lián)立解得/=4,〃=2

22

J橢圓。的方程為土+上=1

42

（2）不存在，理由如下:

假定存在產(chǎn)，。兩點(diǎn)關(guān)于/：y=x+l對(duì)稱,設(shè)直線P。與直線/的交點(diǎn)為N,則N為線段P。的中點(diǎn)，連接

ON

?：PQ，/,則^AB.kpQT,即kPQ=-1

p則七v=；，即直線ON：y=：x

由(1)可得kON?kPQ

1

y=-xx=-2

聯(lián)立方程2,解得

J=T

尸:+1

即N(-2,_l)

1.,（^L+HL=|>1，則N（-2,-l）在橢圓C外

假定不成立，不存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱

第16頁(yè)共58頁(yè)

變式15.（2023?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎€C的方程是（1一6）/+9+/-1=0,

其中a>0,awl,直線I的方程是y=^-x—a-

⑴請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；

（2）若直線/交曲線C于兩點(diǎn)M,N,且線段"N中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2,求。的值；

（3）若.=&,試問(wèn)曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A,B,使得A,8關(guān)于直線/對(duì)稱，并說(shuō)明理由.