上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試卷(含答案)

上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一、填空題

1.若集合A=[l,4],B=[2,5],則AB=.

2.拋物線V=4x的焦點到準(zhǔn)線的距離是.

3.若a=(3cose,sin。)，Z?=(cos6,3sin。)，其中OeR,貝！Ja?匕=.

4.若一個圓柱的底面半徑為2,母線長為3,則此圓柱的側(cè)面積為.

5.若(0?+工)5的展開式中犬的系數(shù)是_80,則實數(shù)。=.

X

6.在△ABC中，cosA=-j,AB=1,AC=5,則BC=.

7.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/),若P(2<XW2.5)=0.36,則

P(\X-2\>0.5)=.

8.若實系數(shù)一元二次方程/+公+人=0有一個虛數(shù)根的模為4,則a的取值范圍是

9.某校高三年級舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、

戊通過抽簽來決定上場順序，則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為.

10.已知數(shù)列{4}是給定的等差數(shù)列，其前〃項和為s,，若為須<0,且當(dāng)m=班，與

〃=%時，-SjCm,"e{x[x<30,xeN*})取得最大值，則同一⑷的值為

11.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分(它由線段CE,O歹與分別以

OC,OD為直徑的半圓弧組成)表示一條步道.其中的點C,。是線段A3上的動點，

點。為線段AB,的中點，點E,尸在以A3為直徑的半圓弧上，且/OCE,

NODE均為直角.若4?=1百米，則此步道的最大長度為百米.

J-'F

/I卜

12.在四面體K4BC中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,設(shè)

四面體K4BC與四面體PDEF的體積分別為匕、匕，則方的值為.

二、選擇題

13.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初

中部和高中部兩層共抽取40名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為()

Ar25.015p025「15「「20.「20■pxc20020

D

A1500十Joo'。500,=300^500十^300y00.Joo

14.函數(shù)y=1—2COS2［一：［是()

A.最小正周期為n的奇函數(shù)B.最小正周期為n的偶函數(shù)

C.最小正周期為巴的奇函數(shù)D.最小正周期%的偶函數(shù)

2

15.設(shè)函數(shù)=辦+2。，-4"“<0,若/(x)>0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

')ax2-2x+3,0<x<4

是()

A.(1,+GO)

16.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,若對任意的zieN*,S,都是數(shù)列｛4｝中的項,則稱

數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”.對于命題：①存在“T數(shù)列”｛4｝,使得數(shù)列｛S,,｝為公比不為1的等

比數(shù)列；②對于任意的實數(shù)的,都存在實數(shù)d,使得以％為首項、d為公差的等差數(shù)列

｛4｝為“T數(shù)列”.下列判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

三、解答題

17.設(shè)aeR,函數(shù)/(%)=與衛(wèi).

2-1

(1)求。的值，使得y=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=a,求滿足/(x)>a的實數(shù)x的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，點E是棱PD上的一點,

Pfi〃平面AEC

E

BL-----------------------------

(1)求證：點E是棱PD的中點；

(2)若K4,平面ABC。，AP=2,AD=2也,PC與平面A3CD所成角的正切值為

求二面角。-AE-C的大小.

3

19.某社區(qū)隨機(jī)抽取200個成年市民進(jìn)行安全知識測試，將這200人的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行

匯總，得到如下表所示的統(tǒng)計結(jié)果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)926655347

(1)該社區(qū)為參加此次測試的成年市民制定了如下獎勵方案：①合格的發(fā)放2個隨機(jī)

紅包，不合格的發(fā)放1個隨機(jī)紅包；②每個隨機(jī)紅包金額(單位：元)的分布為

(2050、

.若從這200個成年市民中隨機(jī)選取1人，記X(單位：元)為此人獲得的

(0.80.2J

隨機(jī)紅包總金額，求X的分布及數(shù)學(xué)期望；

(2)已知上述抽測中60歲以下人員的合格率約為56%,該社區(qū)所有成年市民中60歲

以下人員占比為70%.假如對該社區(qū)全體成年市民進(jìn)行上述測試，請估計其中60歲及

以上人員的合格率以及成績合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.

20.如圖，已知廠i是中心在坐標(biāo)原點、焦點在x軸上的橢圓，心是以廠1的焦點可，

工為頂點的等軸雙曲線，點是廠1與G的一個交點，動點尸在廠2的右支上且

異于頂點.

(1)求廠i與廠2的方程；

(2)若直線Pg的傾斜角是直線尸耳的傾斜角的2倍，求點P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線尸耳，「工的斜率分別為左，k],直線「耳與4相交于點A,B,直線「工

與廠1相交于點C,D,\AFl\-\BFl\=m,\CF2\-\DF2\=n,求證：上生=1且存在常數(shù)§

使得m+n=s?m.

21.若函數(shù)y=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)

y=/(x)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數(shù)y=/(x)的圖象的一對“同切點”.

(1)分別判斷函數(shù)/(x)=sinx與力(x)=lnx的圖象是否存在“自公切線”，并說明理

由；

(2)若aeR,求證：函數(shù)g(x)=tanx-x+a(xe(-?1，]))有唯一零點且該函數(shù)的圖象

不存在“自公切線”；

(3)設(shè)“eN*,7z(x)=tanx-x+“兀(xe的零點為％,求證：“存

在se(27t,+oo),使得點(s,sins)與《,sint)是函數(shù)y=sinx的圖象的一對，同切點,”的充

要條件是”是數(shù)列｛%｝中的項”.

參考答案

1.答案：[1,5]

解析：因為集合4=[1,4],5=[2,5],則AB=[l,5].

故答案為：[1,5].

2.答案：2

解析：焦點廠(1,0),準(zhǔn)線方程1=-1,.??焦點到準(zhǔn)線的距離是2.

3.答案：3

解析：a-Z?=3cos2^+3sin2^=3,

故答案為：3.

4.答案：12K

解析：將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3,另一邊為2兀'2=4兀,

故側(cè)面積為3x4兀=12兀.

故答案為：12兀.

5.答案：-2

5rw2r

解析：通項公式為Tr+l=C；a-x~-K=C"-臚3，

令10-3r=4,解得r=2,

故C；/=_80,解得Q=—2.

故答案為：-2.

6.答案：4A歷

解析：在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得：COSA=6+3-",

2-AB-AC

設(shè)5C=MX>0)，則J+25一—，整理可得/=32,解得x=4夜，

’752x1x5

故BC=4后.

故答案為：4夜.

7

7.答案：0.28/,

25

解析：因為XN(2,〃)且P(2<X42.5)=0.36,

所以P(1.5WX<2)=P(2<XW2.5)=0.36，

則P(\X-2\>0.5)=l-2P(2<X<2.5)=1-2x0.36=0.28.

故答案為：0.28.

8.答案：(-8,8)

解析：設(shè)實系數(shù)一元二次方程V+ax+b^0的兩個虛數(shù)根為加+ni和,

則nr+rr=16.

所以Z?=叫=m2+n2=16.

由A<0=a2-4xi6<0=-8<a<8.

故答案為：(-8,8).

3

9.答案：|/0.6

解析：由題意，

若甲第一個上場，乙則可以第3,4,5個上場，有C；A；=3x3x2x1=18種,

若甲第二個上場,乙則可以第4,5個上場，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第三個上場,乙則可以第1,5個上場,有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第四個上場,乙則可以第1,2個上場，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第五個上場,乙則可以第1,2,3個上場，有C；A；=3x3x2x1=18種,

共有18+12+12+12+18=72種，

而所有的上場順序有A：=5x4x3x2x1=120種,

7?3

二甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率：p=-=-,

1205

故答案為：|.

10.答案:21

解析：不妨設(shè)數(shù)列｛為｝的公差大于零，

由于。9%0<°，得。9<0，%0>0,

且〃V9時，an<0910時，an>0,

m

不妨取m>n,則一S”=Zat,

i=n+l

30

設(shè)左二園一42卬，

i=10

30

若〃>9,m=30,則顯-即W￡6<左，此時式子取不了最大值;

Z=MQ+1

9

若〃<9,相=30,則囚30—Sj<￡%+k,

Z=?Q+1

又注9時，q<0,

因為向-S〃歸￡%+k<k,此時式子取不了最大值；

i=%+l

因此這就說明“=/=9必成立.

恤

若加<30,則瓦-SjwXqvA,

z=10

這也就說明?<30不成立，因此加o=3O,

所以卜%-叫=21.

故答案為：21.

11.答案：近工

2

解析：設(shè)半圓步道直徑為x百米，連接AE,BE,顯然NAEB=90。，

由點。為線段AB,的中點，得兩個半圓步道及直道CE,O歹都關(guān)于過點。垂直

于的直線對稱，

則AC=‘—x,BC=-+x,又CELAB,則RtZ^LCEsRt/^ECB,有

22

CE?=AC-BC,

2

即有DF=CE=.—x~>因止匕步道長f(x)=2.—x+7ix=J1-4x?+TIX,0<%<—,

V4V42

求導(dǎo)得/'(X)=/4A+兀,由/'(X)=O,得X=-71>

VI-4x22飛￡+4

當(dāng)0<x<]^=時，f\x)>0,函數(shù)/(x)遞增，當(dāng):<x<,時,f(x)<0,

2^42^/7772

函數(shù)/(x)遞減,

因此當(dāng)》=^^=時，/（X）max

2，兀一+4

所以步道的最大長度為年百米

20

解析：由2PD=PA+PB,2PD=PA+PB—PA+PA,2（PD-pQ=PB-PA,則

2AD=AB；

由5PE=2PB+3PC,5PE=2PB+3PC-3PB+3PB,5（PE-PB）=3（PC-PB）,則

5BE=3BC；

由2Pk=—PC+3PA,2PF=-PC+3PA-3PC+3PC,2（PF-PC）=3（PA-PC）,貝U

2CF=3CA；

顯然四面體與四面體PDEF共頂點且底面共面，則其高相同可設(shè)為力,

結(jié)合題意可作圖如下：

AC易知里坦=」；

^2CF=3CA,即=-,則S^ABC=生=2,

FC3S&FBCFC3uq△尸BCJ3

BD易知屋運(yùn)=工；

由2Ao=AB,即.=1,則SADBF=些」,

BA2S/BA2S4FBC6

EC

由5BE=3BC,即=-,則S公ECF=曳，;

BC5S八於BC5

,BD1BE3V133q371

由一=一，一=二一，

BA2BC5S△ABC2510“FBC1035

qq7v737

屋FDE_1_U/^DBF__°AECF_Q^DBE_Q/\FDE_---X—=----;

口4FBC□△FBC°ABCF°AFBC川ABC30220

L/is

匕37

^=ThS-=20

3"△A3C

故答案為：—

20

13.答案：B

解析：該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生,

所以初中部應(yīng)抽取40x迎=40x9=25名學(xué)生,

8008

3003

高中部應(yīng)抽取40義出=40義士=15名學(xué)生，

8008

所以不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為Co-Co.

故選：B.

14.答案：A

2x

解析：j=l-2cos(~~2cos2x---1=-cos2x--=-sin2x,

I4{2

因為/(一%)=-sin(-2x)=sin2x=-/(%),所以為奇函數(shù),

周期丁=，=兀,

2

所以此函數(shù)最小正周期為n的奇函數(shù)，

故選：A.

15.答案：D

解析：當(dāng)TW九W0時，一/+公+20>0恒成立，即公>必一20恒成立,

當(dāng)％=0時，上式成立；

當(dāng)TWx<0,a<x-—,明顯函數(shù)y=工-型在[TO）上單調(diào)遞增，

一20

所以,min=-4=1，所以QV1；

-4

當(dāng)0<%W4時，依2一2%+3>0恒成立，即----^恒成立，

XX

令t=—,+00>1,則a>2―3/在L+co]上恒成立，

x[4J14

1

又_y=2t-3『開口向下，對稱軸為/=」€—,+oo

*34

所以y=2-3/的最大值為2義；-3*[]=1,

所以a〉L

3

綜上：實數(shù)a的取值范圍是

故選：D.

16.答案：A

解析：對于命題①，對于數(shù)列｛q｝,

.f1,n=1?,f1,n=1

令a“=，,，則S,=《，

”[2"-2,n>2"[2"-l,n>2

數(shù)列｛S“｝為公比不為1的等比數(shù)列，

當(dāng)”=1時，1=1是數(shù)列｛a“｝中的項，

當(dāng)心2時，S"=2"T是數(shù)列｛q,｝中的項,

所以對任意的“eN*,S,都是數(shù)列｛叫中的項，

故命題①正確；

對于命題②，等差數(shù)列｛a“｝，令則%=6+(〃一l)d=(八一2)。,

因為〃—22—1且〃—2eZ,

小一)」]_n[n-5)

34-->-1,且〃eN*,——^eZ

22^2)82

所以對任意的“eN*,S“都是數(shù)列｛4｝中的項,

所以對于任意的實數(shù)%,都存在實數(shù)d,使得以4為首項、d為公差的等差數(shù)列｛4｝為

“T數(shù)列”，

故命題②正確；

故選：A.

17.答案：(1)a=l

(2)(0,2)

解析：(1)由/(尤)為奇函數(shù)，可知/(-1)=-/⑴,

即一(1+2a)=—(2+ci),解得a=1,

9X+12~x+11+2”

當(dāng)a=l時，/(%)=---/(-犬)=不-=「彳=-/(%)對一切非零實數(shù)%恒成立,

2—12—11—2

故。=1時，y=/(x)為奇函數(shù).

A.-X-n

(2)由/(2)=a,可得一-—=a,解得a=2,

2*+22V-4

所以/(x)〉a=------->2=--------<0=1<2工<4

2X-12X-1

解得：0<x<2,所以滿足/(x)>a的實數(shù)x的取值范圍是(0,2).

18.答案：(1)證明見解析

(2)arctan20

解析：(1)連接皮)，它與AC交于點R連接ER

四邊形A3CD為矩形，

1為的中點,

PB//平面AEC,平面PBD經(jīng)過且與平面AEC交于EF,

PB//EF,

又點尸是3。的中點，

二點E是棱PD的中點.

(2)方法一：24,平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。，

:.PA±AC,PAA.AD,LCD且/PC4就是PC與平面ABC。所成的角,

tanZPCA=—=.2,解得A5=2技

ACJ(2后+A.23

四邊形A3CD為矩形，

:.AD±CD,又K4LCD,以與AD是平面心。內(nèi)的兩相交直線，

..CD,平面PAD.

在平面E4D內(nèi)作OGLAE,垂足為G,連接GE則CGLAE,

.?.NCGD是二面角D—AE-C的平面角.

在直角三角形以。中，PA=2,AD=2指，點E是PD的中點，

D

H

ZEAD=ZADE=-,且。G=ADsin/=Q,

66

CD,平面PA。，￡>Gu平面PA。，

:.CD±DG,故tan/CG￡>=.=*=20,所以NCG￡>=arctan2也，

DGG

故二面角O-AE-C的大小為arctan2亞.

方法二：平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。，

:.PA±AC,PA±AD,24，。0且/「04就是尸。與平面43。所成的角,

又四邊形A3CD為矩形，.IABLAD,

分別以A3,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,

設(shè)AB=Z,々=(x,y,l)是平面AEC的一個法向量，二面角D-AE-C的大小為，，

PA21r-

由tanAPCA==',=—,可得％=2V6,

AC3

則AC=(2卡,20,0),AE=(O,A1)-

4-AC=(x,y,1).(2幾,2百,0)=2瓜+2百y=0

故＜

4-AE=(x,y,1)1(0,6,,=有＞y+1=0

解得x=逅且y=_且，所以逅，一走,1

63163;

又%=(1,0,0)是平面AED的一個法向量，且夕為銳角,

故cos，=白魯

阿?岡

所以二面角AE-C的大小為arccosL

3

19.答案：(1)分布列見解析，39

(2)36%,98:27

解析：(1)隨機(jī)抽取的200個成年市民的成績合格率為上53士+”47=50%,

200

1,

P(X=100)=-x0.22=0.02,

P(X=70)=；XC；X0.2><0.8=0.16,

p(X=50)=；x0.2=0.1,

1,

P(X=40)=-X0.82=0.32,

P(X=20)=1x0.8=0.4,

所以X的分布為

X20405070100

p0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的數(shù)學(xué)期望為39.

(2)設(shè)“從該社區(qū)成年市區(qū)隨機(jī)抽取1人，此人年齡在60歲以下”為事件A,“從該社

區(qū)成年市民隨機(jī)抽取1人，此人安全知識合格”為事件B,

則p(A)=70%,P(A)=30%,P(B\A)?56%,P(B)a50%,

由P(B)=P(A)-P(B\A)+P(A)-P(B\A),

可得50%合70%-56%+30%4(31A),所以5(B|A)?36%,

訴索川伯—P(4B)_P⑷A)P(B)?70%-56%_98

一P(A|B)-P(B)P(A)-P(B|A)~30%-36%—27

估計60歲及以上人員的合格率約為36%,成績合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60

歲及以上人數(shù)之比約為98:27.

22

20.答案：（1）土+匕=1與7一V=i

54'

（2）（2,73）

（3）證明見解析

22

解析：⑴設(shè)“、廠2的方程分別為二+4=1（?！?〉0）與

ab

由HH得c=l，故耳，工的坐標(biāo)分別為（-1,0），（1，。），

所以2a=阿用+阿閭=：逐+：6=26故"5/?=，/—02=2,

22

故廠1與廠2的方程分別為4+?=1與必-V=L

（2）當(dāng)點P在第四象限時，直線尸耳，尸層的傾斜角都為鈍角，不適合題意；

當(dāng)P在第一象限時，由直線PK的傾斜角是直線PK的傾斜角的2倍，

可知N居耳尸=/鳥尸月,故歸國=用司=2,

設(shè)。點坐標(biāo)為（x,y）,可知（x—iy+V=4且必—/=i（x〉0,y〉0）,

解得x=2,y=6,故點尸的坐標(biāo)為（2,0），

（3）設(shè)直線尸耳，尸工的斜率分別為匕，&,點P,A,3的坐標(biāo)分別為（毛,％）,

（wx）,（%，%），

則年-短=1,人上=上=上=祗=1

XQ+1XQ_1_1/2一]

尸片的方程為y=-x+l）,

r2

代入十=1可得（4+5左2）,2_8外_16左2=0,

4

,,-16k2

故%%=互中

所以機(jī)=川阿|=『/.|巾『看.聞=16化2+1）

1+

F%7

同理可得〃=16(&+1),又左=,，故〃

4+5月-&4左；+5

1?1_4+5婷?4左；+5_9（6+1）_9_

mn~16^+1）16（左：+1）—16（左；+1）—16

BPm+n=一mn,所以存在s,使得m+a=smn.

16

21.答案：(1)函數(shù)工(x)的圖象存在“自公切線”；函數(shù)&(x)的圖象不存在“自公切

線”，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

解析：⑴顯然直線y=：my=sinx的圖象于點§/)，(三,1),

直線y=1是y=sinx的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)工(x)的圖象存在“自公切

線”?

對于力(x)=lnx,力'(x)=L(x>0)是嚴(yán)格減函數(shù)，則力(%)在不同點處的切線斜率不

X

同，

所以函數(shù)力(X)的圖象不存在“自公切線”.

(2)由g'(x)=」一—l=￡±±=tan2x?0恒成立，且僅當(dāng)x=0時g，(x)=0,

cosXcosX

則y=g(x)是sin(2A+?=；上的嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個零點，

令81（尤）-sinx-（x-a）cosx（x,

由y=8](%)的圖象是連續(xù)曲線，且&(-5)g檸)=-1<0,

因此gI(x)在sin(2A+-)=-上存在零點，即在sin(2A+-)=-±^(%)=存在零點,

3232cosx

所以g(x)有唯一零點；

假設(shè)g(x)的圖象存在“自公切線”，則存在X2e(-K)且