宜賓2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與練習(xí)：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

其次十三講與圓有關(guān)的位置關(guān)系

宜賓中考考情與預(yù)料

近五年中考考情2019年中考預(yù)測(cè)

年份考查點(diǎn)題型題號(hào)分值

2018切線的判定解答題23(1)5分

2017切線的判定與性質(zhì)解答題2310分

2016切線的判定與性質(zhì)解答題2310分預(yù)計(jì)2019年宜賓中考考查內(nèi)容為切線的

切線的性質(zhì)填空題14性質(zhì)與判定.

20158分

切線的判定解答題23(1)

直線與圓的位置關(guān)系選擇題8

20146分

切線的性質(zhì)填空題15

宜賓考題感知與試做

1.（2014?宜賓中考）如圖，己知AB為。。的直徑，AB=2,AD和BE是。0的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，過圓

、后

上一點(diǎn)C作。0的切線CF,分別交AD、BE于點(diǎn)M、N,連結(jié)AC、CB.若/ABC=30°,則AM=七.

2.（2024?宣.賓中考）如圖,AB是。0的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AD平分/CAE交。0于點(diǎn)D,且

AE±CD,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：直線CE是。。的切線；

⑵若BC=3,CD=3y[2,求弦AD的長(zhǎng).

(1)證明：連結(jié)OD.：AD平分/EAC,.\ZOAD=ZEAD.V0A=0D,/.Z0AD=ZODA,

.*.ZEAD=ZODA,AOD^AE.VAE±DC,

.-.OD±CE,直線CE是00的切線；

⑵解:連接BD.

VZCD0=ZADB=90°,

/.Z0DA=ZCDB=Z0AD.VZBCD=ZDCA,AACDB^ACAD,

CDCBBD,廠、2BDCD3A/2A/2

.\CD2"=CB,CA,；.(3也)"=3CA,；.CA=6,.?.AB=CA-BC=3,7n=77=~設(shè).NBD=

LACDUAvADLA0Z

y[2k,AD=2k.在七Z\ADB中，2k?+41?=32,；.AD=#.

3.（2024?宜賓中考）如圖，AB為。0的直徑，C為。0上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC=CD,CE±AD

于點(diǎn)E.

(1)求證：直線EC為。。的切線；

(2)設(shè)BE與。0交于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P,已知NPCF=NCBF,PC=5,PF=4,求s"NPEF的

值.

(1)證明：連接0C.

：CE_LAD于點(diǎn)E,；.NDEC=90。.

：BC=CD,.?.點(diǎn)C是BD的中點(diǎn).又：點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，；.0C是ABDA的中位線，...OC〃AD,

.,.Z0CE=ZCED=90°,；.OC_LCE.又，.*點(diǎn)C在。0上,二直線EC為。0的切線；.

⑵解:連結(jié)AC.

；AB是。。的直徑，點(diǎn)F在。。上，

NAFB=NPFE=90°=/CEA.

VZEPF=ZEPA,/.APEF^APAE,/.PE2=PF?PA.

：NFBC=NPCF=/CAF,NCPF=NAPC,

APCFs△PAC,/.PC2=PF?PA,

APE=PC.

PF4

在AY/kPEF中，sinZPEF=—=-

PE5

宜賓中考考點(diǎn)梳理

回

切線長(zhǎng)定理推論

考點(diǎn)清單

考點(diǎn)7點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.與其對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)明介紹如下:

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圖示d與r的大小關(guān)系

點(diǎn)A在圓內(nèi)d=OA<r

—

點(diǎn)B在圓上d=OB=r

C占

點(diǎn)C在圓外d=OC>r

【方法點(diǎn)撥】

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征，既是定義，也可作判定方法.

(2)其中，點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離相

等.

考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系

2.直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.既可以由直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來定義，也可以由圓心到直

線的距離的大小關(guān)系來定義.

直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離

^-1

圖示CD,,

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210

圓心到直線的距離d

d<rd=rd>r

與半徑r的大小關(guān)系

3.切線的判定定理

經(jīng)過圓的半徑的外端且—垂直壬—這條半徑的直線是圓的切線.

【方法點(diǎn)撥】

(1)若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這條直線是圓的切線；(2)連結(jié)圓心與直線的公共點(diǎn)即為半徑，再證它們

相互垂直，簡(jiǎn)稱“連半徑證垂直”；(3)當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定時(shí)，首先過圓心作出直線的垂線，再證垂線

段的長(zhǎng)等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直證半徑”.

4.切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn).

推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心.

【方法點(diǎn)撥】

(1)分析性質(zhì)定理和兩個(gè)推論的條件、結(jié)論間的關(guān)系，可知如下結(jié)論：假如一條直線具備下列三個(gè)條件中的兩

個(gè)，就可以推出第三個(gè)：①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心；(2)與圓的切線有關(guān)的協(xié)助線作法：①若一個(gè)圓有

切線，則常過圓心作切線的垂線段為協(xié)助線；②若條件交代了切點(diǎn)，則連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常見的協(xié)助線.

5.切線長(zhǎng)定理

(1)切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這

兩條切線的夾角.

(2)切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用：如圖，PA、PB與。0分別相切于A、B兩點(diǎn)，則△PAO04PBO,PA=PB；NAPO=

ZBPO；OA2+AP2=OP2.

A

o

考點(diǎn)3三角形的外心和內(nèi)心

6.三角形的外心：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓就是這個(gè)三角形的外接圓,三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三

角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

7.三角形的內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)切圓的圓心叫

做這個(gè)三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交

點(diǎn)，到三角形三邊的距離相等.

考點(diǎn)4圓中常見協(xié)助線的作法

8.（1）有弦，可作弦心距；（2）有直徑，可作直徑所對(duì)的圓周角，此時(shí)圓周角為直角；（3）有切線，可作過切

點(diǎn)的半徑；（4）兩圓相交，可作公共弦；（5）兩圓相切，可作切線；（6）有半圓，可作整圓.

考點(diǎn)自測(cè)

1.AB是。。的直徑，PA切。。于點(diǎn)A,P0交。。于點(diǎn)C,連結(jié)BC,若NP=40°,則NB等于（B）

A.20°B.25°C.30°D.40°

2.如圖，在4ABC中，NA=66°,點(diǎn)I是內(nèi)心，則NBIC的大小為（C）

A.114°,B.122°C.123°D.132°

3.以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，作半徑為2的圓，若直線y=—x+b與。0相交，則b的取值范圍是（D）

A.0Wb<2斕B.—2巾WbW2小

C.—2小<b<2/D.~2y/2<b<2y[2

4.（2024?重慶中考A卷）如圖，已知AB是。0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD與。。相切于點(diǎn)D,過點(diǎn)

B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,若。。的半徑為4,BC=6,則PA的長(zhǎng)為（A）

A.4B.2A/3C.3D.2.5

5.（2024?福建中考）如圖，AB是。0的直徑，BC與。。.相切于點(diǎn)B,AC交。0于點(diǎn)D,若NACB=50°,則

NB0D等于（D）

A.40°B.50°C.60°D..80°

6.（2024?安順中考）如圖“在ZiABC中,AB=AC,0為BC的中點(diǎn),AC與半圓。相切于點(diǎn)D.

⑴求證：AB是半圓。所在圓的切線;

2

⑵若cos/ABC=§,AB=12,求半圓0所在圓的半徑.

（1）證明：如圖，作0ELAB于點(diǎn)E,連結(jié)0D、0A.

VAB=AC,0為BC的中點(diǎn)，.?.NCA0=NBA0.

：AC與半圓0相切于點(diǎn)D,/.OD±AC.

V0E±AB,，OD=OE.

VAB經(jīng)過半圓0半徑的外端,

；.AB是半圓。所在圓的切線;

⑵解:VAB=AC,0是BC的中點(diǎn)，.\AO±BC.

22

由cosNABC=可，AB=12,得OB=AB?cosZABC=12X-=8.

JO

由勾股定理，得A0=W匚而=4季.

由三角形的面積公式，得SAAOB=1AB?OE=1oB?0A,

???半圓0所在圓的半徑是平.

7.（2024?孝感中考）如圖，4ABC中，AB=AC,以AB為直徑的00交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作

DFLAC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：DF是。。的,切線；

(2)已知BD=24，CF=2,求AE和BG的長(zhǎng).

Ga

CD證明：連結(jié)OD、AD.

；AB為。0的直徑,AZADB=90°,即AD_LBC.

：AB=AC,，BD=CD.又；OA=OB,

/.0D/7AC.

VDG±AC,/.0.DXFG,，DF是。0的切線；

(2)解：連結(jié)BE.：BD=2m，.?.CD=BD=2V5.VCF=2,.?.DF=^/'7^p7^?=4.TAB是。0的直徑，

NAEB=/CEB=90°,ABEXAC.

VDFXAC,；.DF〃BE,

；.DF為4BEC的中位線，

->.BE=2DF=8.

CFBD22A/5j—o2

cosC=cosZABC,-T=~7rT^AB=10,AE=A/10—8=6.

CDAB2y5ABv

VBE±AC,GFXAC,...BE〃GF,

AAEB^AAFG,

.AB_AE.106

??篇=靠’?T0+BG=10—2'

10

BG=—

o

中考典題精講精練

類型7點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系

命題規(guī)律:考查點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是熟記兩者關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系.

【典例11已知。0的半徑r=3,設(shè)圓心0到一條直線的距離為d,圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

m,給出下列命題：①若d>5,則m=0；②若d=5,則m=l；③若l<d<5,則m=3；④若d=l,則m=2；⑤

若d<l,則m=4.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(C)

A.1B.2C.3D.5

【解析】依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析命題中的數(shù)據(jù)即可得到答案.

①若d>5,則直線與圓相離，m=0,故命題①正確；

②若d=5,則直線與圓相離，m=l,故命題②正確；

③若l<d<5,則m=2,故命題③錯(cuò)誤；

④若d=l,則直線與圓相交，m=3,故命題④錯(cuò)誤；

⑤若d<l,則直線與圓相交，m=4,故命題⑤正確.

類型2切線的判定與性質(zhì)

命題規(guī)律：考查切線的判定與性質(zhì)，常以填空題、選擇題、解答題的形式出現(xiàn).

【典例2】（2024?德州中考）如圖，AB是。0的直徑，直線CD與。0相切于點(diǎn)C,且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

E,點(diǎn)C是得的中點(diǎn).

（1）求證：ADXCD；

（2）若/CAD=30°,。。的半徑為3,一只螞蟻從點(diǎn)B動(dòng)身，沿著BE—EC—而爬回至點(diǎn)B,求螞蟻爬過的路程

（〃心3.14,十心1.73,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【解析】（1）連結(jié)0C,依據(jù)切線的性質(zhì)得到0CLCD,證明0C〃AD,依據(jù)平行線的性質(zhì)證明；

（2）依據(jù)圓周角定理得到/C0E=60°,依據(jù)勾股定理、弧長(zhǎng)公式計(jì)算螞蟻爬過的路程即可.

【解答】（1）證明：連結(jié)0C.

;直線CD與。0相切，；.0C_LCD.

?.?點(diǎn)C是麗的中點(diǎn)，.-.ZDAC=ZEAC.

V0A=0C,.,.Z0CA=ZEAC,

.*.ZDAC=Z0CA,AOC^AD,AAD±CD.；

⑵解：：/CAD=30°,.,.ZCAE=ZCAD=30°,

由圓周角定理，得/C0E=60°,

.*.0E=20C=6,EC=^30C=3A/3,而的長(zhǎng)=更高任=",

.?.螞蟻爬過的路程=3+3#+）-11.3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算，,駕馭圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑、弧長(zhǎng)公式是解題的

關(guān)鍵.

類型3與切線相關(guān)的幾何探究題

命題規(guī)律：這類題目將圓、三角形、四邊形的學(xué)問綜合起來，考查綜合應(yīng)用學(xué)問解決問題的實(shí)力，題目難度

大，常為壓軸題.

【典例3】（2024?黃岡中考）如圖，AD是。。的直徑，AB為。0的弦，OP±AD,0P與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,

過B點(diǎn)的切線交0P于點(diǎn)C.

（1）求證：ZCBP=ZADB；

⑵若0A=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).

DD

【解析】（1）連結(jié)OB,如圖.依據(jù)圓周角定理的推論得到NABD=90°,再依據(jù)切線的性質(zhì)得到N0BC=

90°,然后利用等量代換可證得NCBP=NADB；

ADA01-I-pp9

⑵依據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等可證明△AOPS^ABD,然后利用不=於，即一二=彳，可求BP的長(zhǎng).

ADAD41

【解答】（1）證明：連結(jié)0B.

：AD是。0的直徑，

NABD=90°,：.ZA+ZADB=90°.

：BC為切線，，OB_LBC,.?.Z,0BC=90o,

.,.Z0BA+ZCBP=90°.

VOA=OB,ZA=Z0BA,

/.ZCBP=ZADB；

⑵解：：OP_LAD,/.ZP0A=90°.

ZAOP=ZABD.又?:NOAP=NBAD,

.".7?tAA0P^>/?tAABD,

.AP_AO0nl+BP2

'?而一M即丁=，,/.BP=7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論以及相像三角形的判定與性質(zhì).（1）連結(jié)0B是解決問題

的關(guān)鍵；（2）證明^tAAOP^^tAABD是解決問題的關(guān)鍵.

跟蹤訓(xùn)練1

1.（2024?宜賓中考）在4ABC中，若0為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2=2A（f+2B02成立.依據(jù)以上結(jié)

論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則PF'+PG，

的最小值為（D）

4由B.彳C.34D.10

2.（2024?湘西中考）已知。。的半徑為5cm,圓心0到直線1的距離為5cm,則直線1與。0的位置關(guān)系為

（B）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

跟蹤訓(xùn)練2

3.（2024?哈爾濱中考）如圖，點(diǎn)P為00外一點(diǎn)，PA為。0的切線，A為切點(diǎn)，P0交。0于點(diǎn)B,ZP=

30°,0B=3,則線段BP的長(zhǎng)為（A）

A

A.3B.3小C.6D.9

4.(2024?昆明中考)如圖，AB是。。的直徑，ED切。0于點(diǎn)C,