直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第八章平面解析幾何

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測

直線與圓2022新高考卷UT15；2021本講是高考的命題熱點(diǎn)，主

的位置關(guān)新高考卷IIT11；2021全國要考查：（1）直線與圓的

1.能根據(jù)給定系卷甲T20位置關(guān)系的判斷，圓與圓的

直線、圓的方圓的弦長2023新高考卷IIT15；2023位置關(guān)系的判斷，切線問

程，判斷直線問題全國卷甲T8；2021北京T9題，弦長問題；（2）將圓

與圓、圓與圓2023新高考卷IT6；2022新的方程及幾何性質(zhì)，直線與

的位置關(guān)系.圓的切線高考卷IT14；2022全國卷甲圓、圓與圓的位置關(guān)系作為

2,能用直線和問題T14；2020全國卷IT11；研究圓錐曲線幾何量的條件.

圓的方程解決2019全國卷HIT21主要以選擇題、填空題的形

一些簡單的數(shù)式出現(xiàn)，也可能作為解答題

學(xué)問題與實(shí)際的一部分考查，難度中等.在

圓與圓的

問題.2022新高考卷IT142025年高考的備考中重視常

位置關(guān)系

規(guī)考向的同時(shí)注意與圓錐曲

線的綜合命題.

6學(xué)生用書P177

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,則

位置關(guān)系相離相切相交

G%

圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012

代數(shù)法/①<0/②=04③〉0

判定方法

幾何法d@>rd?)=rd?<r

常用結(jié)論

與圓的切線有關(guān)的結(jié)論

222Q

(1)過圓(x—a)+Cy-b)=r(r>0)上一點(diǎn)P(xo,1yo)的切線方程為(x°—)

(X-Q)+(yo-b)(y~b)=r2；

(2)過圓C：(%—a)2+(y—b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)尸(xo,yo)作圓C的兩條切線，

切點(diǎn)分別為4B,貝I尸，A,B,。四點(diǎn)共圓，且45所在直線的方程為(回一a)(x—a)

+(次一b)(>—b)=r2；

(3)若圓的方程為(X—Q)2+(y—6)2=r2(r>0),則過圓外一點(diǎn)尸(祝，次)的切線

22

(%-+(y0一方)~r2.

J0

2.圓與圓的位置關(guān)系

(1)設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為七r(R>r),則

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

?

圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210

⑨R~r<d<R

d,R,尸的關(guān)系⑦d>R+r⑧d=R+r⑩d=R-r?d<R-r

十尸

公切線條數(shù)?4?3?2?10

(2)兩圓相交由h公共弦所在直線的方程

22

設(shè)圓Ci：工2+產(chǎn)+。遂+￡1了+尸i=0(*),圓。2：x+y+D^+E2y+F2^0(**),

I

若兩圓相交，則兩圓有一條公共弦，由(*)-(**),得(A—x+(￡-￡2)y+Fx

一尸2=0(***).方程(***)表示圓Ci與圓C2的公共弦所在直線的方程.

注意(1)方程(***)存在的前提是兩圓相交；(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的

圓心.

規(guī)律總結(jié)

圓系方程

過直線4%+坊+。=0與圓x2-\-y2-\~Dx+Ey%2+產(chǎn)+瓜+身+尸+7(4%+坊+C)=0

+F=0交點(diǎn)的圓系方程(2￡R).

12+儼+。］%+￡］/+/］+丸(X2+J^+D2X+

過圓工2+/+。］%+?^+/］=0和圓

歷人+后)=0(7W—1)(該圓系不含圓

爐+/+。加+及、+凡=0交點(diǎn)的圓系方

。2,解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓G是否滿足題

程

意).

I［二三力

1.［多選］下列說法正確的是(AD)

A.若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切

B.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交

C.“左=1”是“直線x—y+左=0與圓/+y=1相交”的必要不充分條件

D.過圓。：/+產(chǎn)=戶外一點(diǎn)p（祝，/）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,則。，P,

A,3四點(diǎn)共圓且直線48的方程是》0%+次了=戶

2.［易錯(cuò)題］若半徑為1的圓C與圓（x+1）*2+（7-2）2=9相切，則圓C的圓心C的軌跡

方程為G+1）2+（y—2）2=16或（x+1）2+（y—2）2=4.

解析若兩圓外切，則點(diǎn)C與點(diǎn)（一1,2）間的距離為4,點(diǎn)。在以（—1,2）為圓心，4

為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C的軌跡方程為（x+1）2+（了-2）2=16；若兩圓內(nèi)切，則點(diǎn)C

與點(diǎn)（一1,2）間的距離為2,點(diǎn)C在以（-1,2）為圓心，2為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C

的軌跡方程為（x+1）2+（_y—2）2=4.

3.［易錯(cuò)題］已知圓C：/+產(chǎn)=9,過點(diǎn)P（3,1）作圓C的切線，則切線方程為丑=3或

4x+3y-15=0

解析由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3,滿足題意；當(dāng)切線斜

率存在時(shí)，設(shè)斜率為左，則切線方程為＞-1=后（x-3）,即fcc-y+1-3左=0,由

"xo—o+i—3/H=3,解得后=一二所以切線方程為4x+3y—15=0.綜上，切線方程為x=3

J/+（-1）23

或4x+3y—15=0.

4.過兩圓N+y2—2y—4=0與7+/一4%+27=0的交點(diǎn)，且圓心在直線/：2x+4j-l=0

上的圓的方程為廣+儼―3x+y—1=0.

解析易知x2+y2—2y—4=0不符合題意，設(shè)所求圓的方程為％2+y2—4x+2y+A（x2+

y2-2y-4）=0（A。-1）,

則（1+為）以+（］+九）爐+（2—2X）y—4X=0,

把圓心坐標(biāo)（二，二）代入直線/的方程2x+4y—1=0,可得入=9，故所求圓的方程為N

1+41+Z3

-\-y2-3x-\-y—1=0.

5.［浙江高考］已知直線歹=b+6（左＞0）與圓，+爐=1和圓（%—4）2+爐=1均相切，則

k7=—悔,b7=一2V3.

一3--------3-

解析解法一因?yàn)橹本€3；=京+6（左＞0）與圓/+、2=1,圓（x—4）2+爐=1都相切，

IbII4/c+bI1jV3,2V3

所以?=1,付左=石，b=~~

y/l+k2Ji+H

解法二因?yàn)橹本€歹=履+6（左＞0）與圓N+y2=l,圓（x-4）2+y2=l都相切，

所以直線歹=Ax+6必過兩圓心連線的中點(diǎn)（2,0）,

所以2左+6=0.設(shè)直線＞=京+6的傾斜角為。，則sin8=9，又左＞0,所以所以左=

26

。7

t,an7n=—V3,b,=-2k=——2V3-.

63'3

。學(xué)生用書P178

命題點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系

例1(1)［多選/2021新高考卷II］已知直線/：ax+by-r2^Q(r>0)與圓C：7+產(chǎn)=戶,

點(diǎn)/(a,b),則下列說法正確的是(ABD)

A.若點(diǎn)/在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)/在圓。內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)/在圓。外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)/在直線/上，則直線/與圓C相切

解析對(duì)于A,若點(diǎn)N(a,b)在圓C上，則所以圓心。(0,0)到直線/的

距離d=r,所以直線/與圓C相切，故A正確；對(duì)于B,若點(diǎn)N(a,b)在圓C

2

內(nèi)，則層+〃<”,所以圓心C(o,0)到直線/的距離d=」r—>r,所以直線/與圓C

a2+b2

相離，故B正確；對(duì)于C,若點(diǎn)/(a,6)在圓C外，則層+62>』，所以圓心。(0,0)

到直線/的距離d=二一O,所以直線/與圓C相交，故C不正確；對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)/

/a2+b2

在直線/上，所以層+尻=八，圓心C(o,0)到直線/的距離d=J——=r,所以直線/

la2+b2

與圓C相切，D正確.故選ABD.

(2)［2022新高考卷n］設(shè)點(diǎn)/(-2,3),B(0,a),若直線關(guān)于y=a對(duì)稱的直線

與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是」.

解析解法一由題意知點(diǎn)4(—2,3)關(guān)于直線y=a的對(duì)稱點(diǎn)為4(—2,2a—3),所

以kA，B=號(hào),所以直線的方程為即(3—a)x—2y+2a=0.由題意知直線

與圓(x+3)2+3+2)2=1有公共點(diǎn)，易知圓心為(-3,-2),半徑為1,所以

Iy+<「X—2：+2al小屋整理得6a2—11.+3W0,解得占忘|,所以實(shí)數(shù)°的

J(3-a)2+(-2)2'-

取值范圍是與|］.

解法二設(shè)已知圓關(guān)于直線y=a的對(duì)稱圓為圓C,則易知圓心。(-3,2a+2),半徑

r=1.

又直線45的方程為歹=與當(dāng)+。，即(4一3)x~2y+2a=0.

于是，根據(jù)題意可知直線48與圓。有公共點(diǎn)，從而可得@一1(-3)_2(2a+2姿"wi整

J(a-3)+(-2)

理得6a2—11Q+3W0,解得.故所求Q的取值范圍是［：,|］.

方法技巧

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

幾何法由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷.

代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用△判斷.

點(diǎn)與圓的位

若直線過定點(diǎn)且該定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷直線與圓相交.

置關(guān)系法

注意在直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法中，若直線和圓的方程已知或圓心到直線的距離

易表達(dá)，則用幾何法；若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離不易表達(dá)，則

用代數(shù)法.

訓(xùn)練1（1）直線/：機(jī)x—y+1—加=0與圓C：x2+（y—1）2=5的位置關(guān)系是（A）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

mx~y+1—m=0,

解析解法一（代數(shù)法）由）2消去外整理得（1+m2）%2—2m2x+

x2+（y—1）=5,

m2—5=0,

因?yàn)锳=16加2+20>0,所以直線/與圓C相交.

解法二（幾何法）由題意知，圓心C（。，1）到直線/的距離占扁<1〈后故直線

/與圓C相交.

解法二（點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法）直線/:—y-\-1一機(jī)=0過定點(diǎn)（1,1）,因?yàn)辄c(diǎn)（1,

1）在圓廣+（y-1）2=5的內(nèi)部，所以直線/與圓C相交.

⑵[2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測（一）]已知圓C：/+產(chǎn)=16上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線/：y=

信+6（6>0）的距離等于2,則6的值為4.

解析如圖，分別作直線/1,心與直線/平行，且與直線/的距離均zZ|；

為2.圓C:x2+y2=]6,則圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑，=4.圓心

（0,0）到直線/:伍一y+6=0的距離d=*.因?yàn)閳A。上恰有3/V/）；

個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于2,由圖可知，圓C與&相切，與人有2個(gè):十

交點(diǎn)，（轉(zhuǎn)化為圓C與直線/1,6的位置關(guān)系）

則『+2-4，得|2’又心0,所以6=4.

[d-2<4,也<6,

I2

命題點(diǎn)2圓的弦長問題

例2⑴[2023全國卷甲]已知雙曲線C：捻一蕓=1（。>°，6>0）的離心率為病。的

一條漸近線與圓（x-2）2+（y-3）2=1交于/,3兩點(diǎn)，貝I][48|=（D）

V5?2V53V54V5

AA-TB-C-D-

解析根據(jù)雙曲線的離心率？=遮=￡,得°=遍4,即02=5次，即Q2+62=5〃2,所以加=

a

2

4屋，/h=4,所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x,易知漸近線y=2x與圓相交.

（V=2%,

解法一由22得5/—16x+12=0.設(shè)/（xi,yi）,B（%2,

、（%—2）+（y—3）=1,

H)，則Xl+%2=￡,Xlx2=￡.所以IABI=)1+22IX\—X2I=V5XJ(y)2—4Xy=

4V5

—故選D.

解法二則圓心（2,3）到漸近線y=2x的距離d=2x2-31_=且,所以|/臺(tái)|=

業(yè)+（-D2

2Jl-d2=2Jl-(y)2=呼，故選D.

（2）[2023新高考卷n]已知直線x-my+l=0與。C：1）2+^=4交于出8兩點(diǎn),

寫出滿足“△/3C面積為表的正的一個(gè)值.2（答案不唯一）.

解析設(shè)直線x—叼+1=0為直線/,由條件知。C的圓心C（1,0）,半徑R=2,C到

直線/的距離二彳（提示：點(diǎn)（xo,次）到直線4x+玫+C=0的距離d=

yjl+m2

I?=2

IA^+Byo+CI)=2J4-得

A2+B2

14ImI2—8

ixv7^xv7S=?整理得2"”一5ImI+2=0,解得加=±2或加=±g.

方法技巧

求解圓的弦長問題的方法

設(shè)直線/被圓C截得的弦為圓的半徑為八圓心到直線的距離為d,則I

幾何法

ABI=2』"一.在解決圓的弦長問題時(shí)，多用幾何法.

若斜率為左的直線與圓相交于/（XA,〃），B（XB,"）兩點(diǎn),W\AB\=

代數(shù)法Vl+fc2-IXA—XB\=1+-7IyA—yeI(其中左WO).特別地，當(dāng)后=0時(shí)，I

AB\=\XA—XBI;當(dāng)斜率不存在時(shí)，I4SI=IyA—yBI.

訓(xùn)練2（1）[2021北京高考]己知圓C：/+產(chǎn)=4,直線/：y=kx+m,當(dāng)人的值發(fā)生變化

時(shí)，直線/被圓C所截得的弦長的最小值為2,則機(jī)的值為（C）

A.±2B.±V2C.+V3D.±3

解析解法一（幾何法）設(shè)直線/與〉軸交于點(diǎn)4（0,m）,由題意知，圓心。（0,

0）,當(dāng)左的值發(fā)生變化時(shí)，要使直線/被圓。所截得的弦長最小，則圓心C到直線/的距

離最大，為IACI,即I加I=J22-12=V3,所以m=±V3.

解法二（代數(shù)法）由1“+,4'得（左2+］）/+2加a+加2—4=0.設(shè)交點(diǎn)/（xi,

（y=kx+m

（I-2km

%1+久2=，,_______

"12

”），B（X2,>2）,則｛?+則I45I=V1+kIXI—X2I=

XiX=-^——.

V1z?k2+l

Kl+k2.J（a+%2）2—4%62=\1+北］（若）2-4.黑=2J4—黑.

顯然當(dāng)左=0時(shí)，弦長取得最小值2』4-m2=2,解得加=土國.

（2）［多選/2024南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬］已知圓O：7+產(chǎn)=9,過點(diǎn)/（2,0）的直線/

與圓。交于M,N兩點(diǎn)，則（BD）

A.存在直線/,使得IMVI=4

B.使得IMNI為整數(shù)的直線/有3條

C.存在直線/,使得△MCW的面積為1

D.存在直線/,使得△VON的面積為竽

解析因?yàn)閳A。的半徑為3,I0/I=2,所以26IACVI<6,即I

MNIW6,故A不正確.

若I為整數(shù)，則IMNI=5或II=6,且滿足IMNI=5的直線/有2條，滿

足IMNI=6的直線有1條，故B正確.

S&MON=（IOMIION\sinZMON^|sinAMON,且點(diǎn)。到直線/的距離的最大值為2.

若S=2,則sin/M9N=l,則/MON=E,則。到直線/的距離為3cos2=迪>2,不符合

2242

條件，故C不正確.

若5=學(xué)，則sin/VON=f,則NMON=g或與若NMON=］,則。到直線/的距離為

3cos-=—>2,不符合條件；/MON="則。到直線/的距離為3cosW=：<2,符合條

62若332

件，故D正確.故選BD.

命題點(diǎn)3圓的切線問題

例3［2023新高考卷I］過點(diǎn)（0,—2）與圓N+/一4x—1=0相切的兩條直線的夾角為a,

則sina—（B）

A.1B.孚C.孚D萼

444

2222

解析如圖，x+y—4x—l=0,即(x—2)+y=5f所以圓心坐標(biāo)

為(2,0),半徑一=遮，所以圓心到點(diǎn)(0,-2)的距離為

J(2—0)2+(0+2)2=2夜，因?yàn)閳A心與點(diǎn)(0,-2)的連線平分

角％所以sing=V==T==乂皿，所以cos2=些，所以sina二

'22V22V24'24’

r.aacV10V6V15,,、蟲?

2sin—cos—=2x—x—=—.故選B.

22444

例4已知點(diǎn)P(V2+1,2—內(nèi)，點(diǎn)、M(3,1),圓C：(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

(2)求過點(diǎn)M的圓。的切線方程，并求出切線長.

解析由題意得圓心C(l,2),半徑廠=2.

(1)(V2+1—1)2+(2—V2—2)2=4,.?.點(diǎn)P在圓C上.

又kpc=2「22=一］,，切線的斜率后=一J_=l.

V2+1—1kpc

...過點(diǎn)尸的圓C的切線方程是y—(2—V2)=x—(V2+1),即x—y-\-I—2A/2=0.

(2)(3-1)2+(1-2)2=5>4,

...點(diǎn)M在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,即x—3=0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x-

3=0的距離d=3~l=2=r,

即此時(shí)滿足題意，,直線x=3是圓的切線；

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y—1—k(x—3),即fcr—了+1—3左=0,則圓心。到

1

切線的距離“二上當(dāng)一3"=廠=2,解得后=三.

Vfc2+i4

O

丁?切線方程為y—1=-(x—3),即3x—4y—5=0.

4

綜上可得，過點(diǎn)M的圓。的切線方程為X—3=0或3x—4y—5=0.；IA/CI=

/22

J(3—1)+(1—2)=V5,

二?過點(diǎn)M的圓。的切線長為JIMCI2一丁2=Js—4=1.

方法技巧

1.求過圓。上一點(diǎn)尸(X0,yo)的切線/方程的方法

利用OP與/垂直及/過點(diǎn)尸求切線方程.

2.求過圓外一點(diǎn)的切線方程的方法

幾何法設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.

設(shè)出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立，得到一個(gè)關(guān)于X或y的一元二次方程，利用△

代數(shù)法

=0求解.

注意(1)求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.(2)設(shè)直線方

程時(shí)注意對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.

3.過圓外一點(diǎn)M作圓的切線，求切線長的技巧

先求M與圓心的距離d,再由勾股定理求得切線長為Jd2一/(其中廠為圓的半徑).

訓(xùn)練3(1)[2023重慶市二調(diào)]已知直線/：x—了+8=0與x軸交于點(diǎn)/,過直線/上的動(dòng)

點(diǎn)尸作圓工2+產(chǎn)=16的兩條切線，切點(diǎn)分別為C,D,則直線CD恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為

2,2)；若M是線段CA的中點(diǎn)，則IAMI的最小值為4a.

解析解法一設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(xo,jo),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP,易證C,。兩點(diǎn)在以

O尸為直徑的圓上，故C,D兩點(diǎn)為此圓與圓N+產(chǎn)=16的交點(diǎn)，由

(x2+y2=16,

《221化簡得xox+yoy=16,此方程即直線CD的方程，

((T)+(y-?)得(焉+泓

又點(diǎn)P是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，所以次)=xo+8,所以直線CD的方程為xox+(xo+8)y=l6,

即xo(x+y)+8y=16.當(dāng)x+y=0,8y=16時(shí)，y=2,x=—2.故直線CD過定點(diǎn)(一2,2).

令定點(diǎn)為尸，由OA/_LCD知，OMLMF,又IO尸I=2應(yīng)，所以點(diǎn)M在以O(shè)尸為直徑的圓

上，其軌跡方程為(x+1)2+(y-1)2=2,設(shè)圓心為N,則N(—l,1).又/(-8,

0),\AN\=J(—1+8)2+l2=5V2,故I/Ml的最小值為5魚一魚=4夜.

解法二依題意，設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(xo,x0+8),貝CD:xox+(x0+8)y=16.(二級(jí)結(jié)

論：從圓外一點(diǎn)尸(xo,次)，引圓/+/=”的兩條切線，切點(diǎn)弦所在直線的方程為xox+

yoy=r2')

后同解法一.

(2)[2021天津高考]若斜率為皆的直線與y軸交于點(diǎn)/,與圓r+(y—i)2=i相切于

點(diǎn)B,則IABI=W.

解析設(shè)直線48的方程為>=岳+6,則點(diǎn)/(0,b),由于直線48與圓好+

=1相切，且圓心為C(0,1),半徑為1,則“21?=1,解得b=-1或6=3,

I22

所以INCI=2,因?yàn)?3cl=1,所以II=JIACI~\BC\=V3.

命題點(diǎn)4圓與圓的位置關(guān)系

角度1圓與圓位置關(guān)系的判斷

_22

例5[2023安徽省十校聯(lián)考]已知直線/：小+y一3%—2=0與圓M:(x—5)+(y-4)=

25交于4,3兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓M與圓N：(x+2機(jī))2+產(chǎn)=9的位置關(guān)系是

(B)

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交

解析易知直線/:mx~\-y—3m—2=0即加(x—3)~\-y—2=0,可知/過定點(diǎn)尸(3,2),

因?yàn)?3-5)2+(2-4)2<25,故尸(3,2)在圓(工一5)2+(歹一4)2=25內(nèi).故弦

45最短時(shí)直線/垂直于W,入kpM=---=1,所以IX(一加)=—1,解得加=1,此時(shí)

5—3

圓N的方程是(x+2)2+/=9.兩圓圓心之間的距離

=J(5+2)2+(4—0)2=相，兩圓半徑分別為5,3,又聞>鬧=5+3,所以這兩圓

外離.故選B.

角度2兩圓的公切線問題

例6[2022新高考卷I]寫出與圓/+產(chǎn)=1和(x—3)2+⑶—4)2=16都相切的一條直線

的方程x=—1(答案不唯一).

解法一如圖，因?yàn)閳Ax2+y2=1的圓心為。(0,0),半徑n=l,]

圓(x—3)2+(y—4)2=16的圓心為4(3,4),半徑-2=4,所

以I04I=5,n+r2=5,所以IOAI=n+r2,所以兩圓外切，公

切線有三種情況：①易知公切線/1的方程為X=-1；②另一條公切

/If

線/2與公切線/1關(guān)于過兩圓圓心的直線/對(duì)稱，易知過兩圓圓心的直

A(%=-1,\X=-1,4

線/的方程為歹=京，由4得4由對(duì)稱性可知公切線，2過點(diǎn)(T,一￡),

3\y=sXf3=一“

設(shè)公切線心的方程為(x+1),則點(diǎn)。(0,0)到/2的距離為1,所以1=

Ik_4I

；,解得人=工，所以公切線/2的方程為/+±=工(x+1),即7x—24v—25=0;③還

V/c2+l24324

有一條公切線/3與直線/：尸會(huì)垂直，設(shè)公切線/3的方程為尸一|x+f,易知f>0,則點(diǎn)

O(0,0)到/3的距離為1,所以1=-^=⑴，解得/=§或/=一2(舍去)，所以

J(哼2+(7244

公切線/3的方程為y=—|x+],即3x+4y—5=o.綜上，所求直線方程為x=-1或7x—

24y—25=0或3x+4y—5=0.

解法二若兩圓公切線的斜率不存在，則設(shè)其方程為x=冽，由題意得I冽1=1,且I加一

3I=4,解得加=—1,所以此時(shí)兩圓公切線的方程為x=-l.

若兩圓公切線的斜率存在，則設(shè)其方程為y=fcc+6,由題意得一工=1,當(dāng)聿”=4,

'Vfc2+iVfc2+i

所以有I3左一4+bI=4IbI,所以可得3-4+b=±4b,即6=左一(或6=3一|上

將—9弋入&==1化簡可得后=(，6=—奈

3Vfc2+12424

將b=-k代入1化簡可得k=6=3

55jH+i44

則可得兩圓公切線的方程為尸方一II或尸-；x+|,

即7工一24'一25=0或3%+4歹一5=0.

綜上，可知兩圓公切線的方程為x=-l或7%—24^—25=0或3x+4j—5=0.

角度3兩圓相交的公共弦問題

例7圓Ci：x2-i-y2—2x+10y—24=0和圓C2：x2-\-y2-\-2x-\-2y—8=0的公共弦所在直線的

方程為x—2》+4=0,公共弦長為,迷

解析聯(lián)立兩圓的方程，得［c'+、’兩式相減并整理得%—2》+4=

ix2+y2+2%+2y—8=0,

0,所以兩圓公共弦所在直線的方程為x~2y+4=0.

解法一設(shè)兩圓相交于點(diǎn)4(xi,yi),B(%2,歹2),貝寸4,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

「f+4=°,解得卜i=—%或卜2=。，所以|切=

1%2+y2+2%+2y—8=0,(7i—。(72=2.

/22

J(0+4)+(2—0)=2遙，即公共弦長為2V1

解法二由丫2+產(chǎn)一2x+10y—24=0,得(%-1)2+(y+5)2=50,其圓心坐標(biāo)為(1,

-5),半徑廠=5近，圓心到直線x—2y+4=0的距離/=上詈叁詈?=3代.設(shè)公共弦

長為2/,由勾股定理得戶=解+/2,即50=(3V5)2+/2,解得/=遮，故公共弦長2/=

2V5.

方法技巧

1.判斷兩圓的位置關(guān)系常用的方法是幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間

的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

2.兩圓的公切線問題實(shí)質(zhì)為直線與圓的相切問題，利用兩圓圓心到公切線的距離分別等于

兩圓的半徑列方程組求解.

3.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.

訓(xùn)練4(1)［2023湖南省六校聯(lián)考］在平面直角坐標(biāo)

系xQy中，圓C的方程為/+/一8工+15=0,若直線了=履一2上至少存在一點(diǎn)，使得以

該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則后的最大值是(B)

43

A.OB.?C.4D.7

34

解析圓C的方程為N+y2—8x+15=0,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4)2+j^2=l,則圓C

是以。(4,0)為圓心，1為半徑的圓.若直線》=而一2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓

心，1為半徑的圓與圓。有公共點(diǎn)，則圓心C到直線＞=點(diǎn)一2的距離1W2,即

I4/C-2IW2,解得0W后即左的最大值為(故選B.

(2)［多選Z2023海南省文昌中學(xué)模擬」已知圓5：y2+儼一2^—3=0和圓。2：x2+y2-

2y—1=0的交點(diǎn)為/,B,直線/：x+y+九=0與圓。1交于C,。兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確

的是(CD)

A.直線AB的方程為x—了+應(yīng)=0

B.圓。2上存在兩點(diǎn)尸和Q，使得IP0I>IABI

C.圓。1上的點(diǎn)到直線48的最大距離為2+&

D.若。iC_LOiZ),貝隊(duì)=—3或入=1

解析圓。1的圓心為(1,0),半徑口=2,圓。2的圓心為。2(0,1),半徑廠2=

I22

V2,所以|OQ2I=1(1—0)+(0—1)=V2,n—尸2VI。1。2I<片+尸2,所以兩圓

相交，所以將兩圓的方程作差可得直線的方程，為X—y+l=0,故A錯(cuò)誤；

圓心5到直線48的距離為由=專=&,所以IABI=2］亦-青=2魚,對(duì)于圓。2上的

任意兩點(diǎn)P,Q,IPQI<2廠2=\AB\,故B錯(cuò)誤；

圓。1上的點(diǎn)到直線48的距離的最大值為4+n=2+企，故C正確；

因?yàn)镺iC_L。。，所以圓心Q到直線CD的距離為魚,所以以沙=魚,故九=一3或九=

V2

1,故D正確.故選CD.

1.［命題點(diǎn)1,2/多選4024甘肅酒泉聯(lián)考］下列關(guān)于直線/：>=履+6與圓C：N+f=l的

說法正確的是(ABD)

A.若直線/與圓C相切，則尻一爐為定值

B.若4〃一后2=1,則直線/被圓C截得的弦長為定值

C.若4〃一a=1,則圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線I的距離為日

D.當(dāng)6三時(shí)，直線與圓相交

解析圓C:/+產(chǎn)=1的圓心為(0,0),半徑為1,

對(duì)于A選項(xiàng)，若/：與圓C：N+y2=i相切，

則可得爐一左2=1,A正確；

V/c2+l

對(duì)于B選項(xiàng)，若4加一乃=1,則圓心到直線的距離為工，此時(shí)直線被圓截得的弦長為

V/c2+l2

2J12-(1)2=V3,B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，圓心到直線的距離為］=1一也此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線/的距

離為C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為尸船+也即直線過定點(diǎn)(0,5,又02+(?。?/p>

1,可得點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，D正確.

故選ABD.

2.［命題點(diǎn)1,4/多選/2024河源中學(xué)模擬］已知圓。：N+f=4和圓c：3)2+⑶一

3)2=4,P,0分別是圓。，圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是(AC)

A.圓。與圓C相交

B.\PQ\的取值范圍是［3近一4,3V2+4］

C.x—y=2是圓。與圓C的一條公切線

D.過點(diǎn)。作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,則存在點(diǎn)。，使得NM0N=9O。

解析對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可得，圓。的圓心為。(0,0),半徑打=2,圓C的圓心為

C(3,3),半徑々=2,因?yàn)閮蓤A的圓心距IOCI=3應(yīng)＞2+2=n+/2,所以兩圓外

離，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，IP。I的最大值為IOCI+n+/2=3a+4,最小值為IOCI一口一/2=

3V2-4,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，顯然直線x-y=2與直線。。平行，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以其外公切線

與圓心的連線平行，由直線。C:y=x,設(shè)外公切線為＞=》+/,則兩平行線間的距離為

2,即曇=2,f=±2&,故y=x±2近，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)/MQV=90°時(shí)，四邊形OMQV為正方形，故當(dāng)IQOI=2/時(shí)，

NMQN=90。,因?yàn)閳A/+儼=8與圓。相交，所以圓C上存在點(diǎn)0,使得NM0N=9O。.故

D正確.故選AC.

3.［命題點(diǎn)22023高三名校聯(lián)考(一)］若直線區(qū)一7+1-2左=0與圓工2+產(chǎn)=9分別交于

M,N兩點(diǎn)，則弦兒W長度的最小值為4.

解析由fcc—y+l—2左=0,得左(x—2)+(-j+1)=0,所以直線fcc-y+1—2左=0過

定點(diǎn)/(2,1).圓工2+y=9的圓心。(0,0),半徑r=3,易知/(2,1)在圓/+產(chǎn)=

9的內(nèi)部，連接CM,則當(dāng)直線依一y+1—2后=0與。/垂直時(shí)，弦的長度最小，連接

/22

OM,則IOM\=r=3,又I0/I=1(2-0)+(1-0)=代，所以IMNImin=

2J32—(V5)2=4,所以弦長度的最小值為4.

4.［命題點(diǎn)3,4］過點(diǎn)。(1,-2)作圓C：(x-1)2+產(chǎn)=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,則弦A3所在直線的方程為(B)

A.2j-l=0B.2y+l=0

C.x+2y—l=0D.x—2y+l=0

解析解法一由圓C：(x—1)2-\~y2=1的方程可知其圓心為C(1,0),半徑為1.

連接CO,易得以線段CD為直徑的圓的方程為(X-1)2+3+1)2=1.

將兩圓的方程相減，可得公共弦Z8所在直線的方程為2y+l=0.故選B.

解法二由與圓的切線有關(guān)的結(jié)論，得弦AB所在直線的方程為(1-1)(x—1)+(-

2)y—1,即2y+l=0.

5.[命題點(diǎn)4角度1]己知圓G：N+(y-2)2=4與圓C2：x2+2mx+y2+m2-1=0

三條公切線，則小的取值范圍是(D)

A.(—8,—V5]B.[V5,+0°)

C.E-V5,V5]D.(-8,-V5]U[V5,+8)

解析圓G的圓心為G(0,2),半徑n=2.把圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x+加)2

+y2=l,所以圓C2的圓心為C2(-W,0),半徑廠2=1.因?yàn)閳AC1與圓C2至少有三條公切

線，所以圓C1與圓。2相離或外切，所以IC1C2|2廠1+廠2,即?血2+423,解得zwW—4

或m^y/5.

6.[命題點(diǎn)4角度3/多選/2023江西省五校聯(lián)考]已知圓。：(x-2)2+(y-2)2=2,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，以。。為直徑作圓。，交圓。于4,3兩點(diǎn)，則△0/2的面積為(A)

A.—B.—C.3D.-

242

解析如圖，根據(jù)題意，圓。的圓心為。(2,2),則II=

2V2,以。0為直徑作圓。，則。，為。。的中點(diǎn)，則。(1,1),圓

。的半徑為I。。I=應(yīng)，故圓。的方程為(x-1)2+