2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)上冊一元一次方程經(jīng)典例題

班級小組姓名成績（滿分120）

一、認(rèn)識一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

（一）一元一次方程

例1.下列各方程中，方程的個數(shù)是（）

①斤＞3,@x=0,③2+3=5,@x—5,

A.1個B.2個C.3個D.4個

例1.變式1.下列各方程中，是一元一次方程的是（）

A.x-2y=4B.xy=4C.-4D.3_y-1=4

例1.變式2.小明所在城市的“階梯水價”收費(fèi)辦法是:每戶用水不超過5噸，每噸水費(fèi)x元;超過5

噸，超過部分每噸加收2元.小明家今年5月份用水9噸，共交水費(fèi)為44元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的

方程正確的是（）

A.5x+4（x+2）=44B.5x+4（x—2）=44

C.9（x+2）=44D.9（x+2）—4題2=44

例1.變式3.下列方程中解為x=0的是（）

A.x+1=-1B.2x=3xC.2x=2D.**+4=5x

2

（二）等式性質(zhì)（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例2.已知等式a=b,那么下列變形不正確的是（）

A.3a-2=3b~2B.-3a=—3bC.\a=bD.a+}=b-1

例2.變式1.下列說法正確的是（）

A.若Q=b,貝1］二

fd

B.若a=b,貝!Jac-bd

C.若〃=b,貝Uac-be

D,若=be,則a=b

例2.變式2.如果2x—3=—5,則2x=，九二.

___________________一元一次方程經(jīng)典例題

例2.變式3.利用等式的性質(zhì)解方程：f7=4

二、求解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

（一）移項(xiàng)法解方程

例3.解方程6x+l=-4,移項(xiàng)正確的是（）

A.6x=4-1B.-6x=-4-1C.6x=1+4D.6x=-4-1

例3.變式1.下列方程中變形正確的是（）

A.將3%+b=0變形為3%二b

B.將=變形為2%-x=1

C.將2+x-3=2x+1變形為2-3-1=2x-%

D.將4x-2=5+2%變形為4x-2x=5-2

例3.變式2.一元一次方程2%+4=0的解是.

例3.變式3.解方程：2x+l=73x-2=5x+4

（二）去括號解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例4.下列變形中，屬于去括號的是（）

A.將5%+4=0變形為5x二-4

B.將2%=0.6變形為x=0.3

C.將3%-（2-4x）=5變形為3x+4%-2=5

D.將x+3=8%-6變形為x-8%=-3-6

例4.變式1.去括號且合并相同字母的項(xiàng)：

（1）3%+2（x-2）=_________________

（2）8y-6（y_2）=_________________

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一元一次方程經(jīng)典例題

例4.變式2.方程4（2-x）-4（x+l）=60的解是（）

A.x=7B.x=-C.x=--D,x=-7

77

例4.變式3.解方程：5（x-2）=3（2x-7）5（x-3）-2（4x+1）=10

（三）去分母解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例5.方程2-'=一〉去分母得（）

A.2-2（2x-4）=-（x-7）B.12-2（2x-4）=-x-7

C.12-4x-8=-（x-7）D.12-2（2x-4）=x-7

例5.變式1.解方程37-二?=1,去掉分母后，方程變形為

36

例5.變式2.已知"I與互為相反數(shù)，則x的值為------------.

A24284

A--B.--C.—D.-

3393

例5.變式3.解方程：-=-\--1

23

三、一元二次方程的應(yīng)用

（-）等積變形問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例6.一個長方形的周長是40cm,若將長減少8cm,寬增加2cm,長方形就變成了正方形,則正方形

的邊長為（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

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元一次方程經(jīng)典例題

例6.變式1.制作一個如下圖所示（圖中陰影部分為底與蓋,且底的長邊是x的2倍,S,=品）的鋼

盒子,在鋼片的四個角上分別截去兩個相同的正方形與兩個相同的小長方形,然后折合起來即可,求

有蓋盒子的高x.

例6.變式2.一根內(nèi)徑為3cm的圓柱形長試管中裝滿了水,現(xiàn)把試管中的水逐漸滴入一個內(nèi)徑為8

cm、高為1.8cm的圓柱形玻璃杯中，當(dāng)玻璃杯裝滿水時，試管中的水的高度下降了cm.

例6.變式3.將一個長、寬、高分別為15cm、12cm和8cm的長方體鋼塊鍛造成一個底面邊長為

12cm的正方形的長方體零件鋼坯，試問鍛造前長方體的鋼塊表面積大還是鍛造后的長方體零件鋼坯

表面積大？請你計(jì)算比較.

（二）商品銷售問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例7.五一”節(jié)期間,某電器按成本價提高30%后標(biāo)價,再打8折（標(biāo)價的80%）銷售,售價為2080元.

設(shè)該電器的成本價為x元,根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）

A.x(l+30%)x80%=2080B.x.30%.80%=2080

C.2080.30%.80%=xD.x.30%=2080x80%

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一元一次方程經(jīng)典例題

例7.變式1.某種商品進(jìn)價為800元，標(biāo)價1200元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證

利潤率不低于20%,則至少可以打（）

A.6折B.7折C.8折D.9折

例7.變式2.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每件成本為400元,銷售價為510元,本季度銷售了m件,為進(jìn)

一步擴(kuò)大市場，該企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低成本，經(jīng)過市場調(diào)研,預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件

銷售價降低4%,銷售量將提高10%,要使銷售利潤（銷售利潤=銷售價-成本價）保持不變,該產(chǎn)品每件

的成本價應(yīng)降低多少元？

例7.變式3.某企業(yè)向銀行貸款,商定歸還期為兩年,年利率為6%（不計(jì)復(fù)利）.該企業(yè)立即用這筆貸

款購買一批貨物，以高于本金37%的價格出售，兩年內(nèi)售完，用所得收入還清貸款本利后，還余5萬

元.這筆貸款是多少元？

（三）利用各種等量關(guān)系來解決問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例8.甲廠庫存鋼材100噸，每月用去15噸，乙廠庫存鋼材82噸，每月用去9噸，經(jīng)過r個月后，兩廠

剩鋼材82噸,每月用去9噸,經(jīng)過x個月后，兩廠剩下的鋼材相等,則x=

例8.變式1.已知有大、小兩種紙杯與甲、乙兩桶果汁,其中小紙杯與大紙杯的容量比為2:3,甲桶

果汁與乙桶果汁的體積比為4：5,若甲桶內(nèi)的果汁剛好裝滿小紙杯120個，求乙桶內(nèi)的果汁最多可裝

滿幾個大紙杯？

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一元一次方程經(jīng)典例題

例8.變式2.我國民間流傳著許多趣味題,它們多以順口溜的形式表述,請大家看這樣的一個數(shù)學(xué)問

題:一群老頭去趕集,半路買了一堆梨,一個一個多一個，一人兩個少倆梨,請問君子知道否,幾個老頭

幾個梨?請你猜想一下:幾個老頭幾個梨？（）

A.3個老頭4個梨B.4個老頭3個梨

C.5個老頭6個梨D.7個老頭8個梨

例8.變式3.學(xué)校大掃除,某班原分成兩個小組,第一組26人打掃教室,第二組22人打掃包干區(qū).

這次根據(jù)工作需要，要使第二組人數(shù)是第一組人數(shù)的2倍，那么應(yīng)從第一組調(diào)多少人到第二組？

（四）行程問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例9.小華和小玲同時從相距700米的兩地相對走來，小華每分鐘走60米,小玲每分鐘走80米.

幾分鐘后兩人相遇？

例9.變式1.七年級某班同學(xué)清明節(jié)去掃墓,步行的同學(xué)先從學(xué)校出發(fā)1h,然后騎車的同學(xué)從學(xué)校

出發(fā)沿同一路線前行,30min后與步行的同學(xué)同時到達(dá).已知騎車的同學(xué)比步行的同學(xué)每小時多行

10km,求騎車的同學(xué)和步行的同學(xué)的速度.

例9.變式2.6.某船從A地順流而下到達(dá)B地,然后逆流返回，到達(dá)A,B兩地之間的C地，一共航行

了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時.A、C兩地之間的路程為

10千米，求A.B兩地之間的路程.

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一元一次方程經(jīng)典例題

例9.變式3.甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步.甲每秒跑5.5米，乙每秒跑4.5米.

(1)甲、乙同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

(2)乙先跑10米，甲再和乙同向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

(3)乙先跑10米，甲再和乙背向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

四、列方程解決綜合性題目(共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分)

例10.甲、乙兩人騎自行車同時從相距80千米的兩地出發(fā)，相向而行,2小時后相遇，已知甲每小

時比乙多走2.4千米,求甲、乙兩人每小時分別走多少千米？

例10.變式1.三角形三邊長之比為6：4：3,若最長的邊長比其他兩邊長的和少5厘米,求三角形的

周長是多少？

例10.變式2.某行軍縱隊(duì)以7千米/時的速度行進(jìn),隊(duì)尾的通訊員以11千米/時的速度趕到隊(duì)伍前送

一封信,送到后又立即返回隊(duì)尾,共用13.2分鐘,求這支隊(duì)伍的長度.

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元一次方程經(jīng)典例題答案

例10.變式3.用一根長為12米的鐵絲圍成一個長方形.

(1)使得該長方形的長比寬多2米，此時長方形的長、寬各為多少米?面積為多少？

(2)使得該長方形的長比寬多1.6米，此時長方形的長、寬各為多少米?它所圍成的長方形與⑴中所

圍長方形相比,面積有什么變化？

(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少米?它所圍成的正方形

面積與⑵中的長方形面積相比又有什么變化？

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___________________一元一次方程經(jīng)典例題答案______________

班級小組姓名成績（滿分120）

一、認(rèn)識一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

（一）一元一次方程

例1.下列各方程中，方程的個數(shù)是（A）

①斤＞3,@x=0,③2+3=5,④x—5,

A.1個B.2個C.3個D.4個

例1.變式1.下列各方程中，是一元一次方程的是（D）

A.x-2y=4B.xy=4C.-4D.3y-1=4

例1.變式2.小明所在城市的“階梯水價”收費(fèi)辦法是:每戶用水不超過5噸,每噸水費(fèi)x元;超過5

噸，超過部分每噸加收2元.小明家今年5月份用水9噸，共交水費(fèi)為44元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的

方程正確的是（A）

A.5x+4（x+2）=44B.5x+4（x—2）=44

C.9（x+2）=44D.9（x+2）—4題2=44

例1.變式3.下列方程中解為x=0的是（B）

A.尢+1二一1B.2x=3xC.2x=2D.+4=5x

（二）等式性質(zhì)（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例2.已知等式。=b,那么下列變形不正確的是（D）

A.3a—2=3b—2B.-3a=-3bC.a-bD.a+1=b-l

55

例2.變式1.下列說法正確的是（C）

A.若〃=b,貝—=

rd

B.若a=b,貝Uac-bd

C.若Q=b,則ac~be

D.若ac=be,貝［Ja=b

例2.變式2.如果2r——3=——5,則2x=,x=T.

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一元一次方程經(jīng)典例題答案

例2.變式3.利用等式的性質(zhì)解方程：-」x-5=4

3

解：方程兩邊同時加5

--x-5+5=4+5

-?x=9

方程兩邊同時乘（-3）或除以-.

13）根（|（［=（-3/艮9

x--Z1

二、求解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

（一）移項(xiàng)法解方程

例3.解方程6x+l=-4,移項(xiàng)正確的是（D）

A.6%=4-1B.-6x=-4-1C.6x=1+4D.6x=-4-1

例3.變式1.下列方程中變形正確的是（C）

A.將3%+b=0變形為3%二b

B.將2x=x-1變形為2x-x=1

C.將2+x-3=2x+1變形為2-3-1=2x-%

D.將4x-2=5+2%變形為4x-2x=5-2

例3.變式2.一元一次方程2x+4=0的解是_____犬二-2_____

例3.變式3.解方程：2%+1=73x-2=5x+4

解：移項(xiàng)得：2x=7-l解：移項(xiàng)得：3x-5%=4+2

2x=6-2x=6

x=3x=-3

（二）去括號解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例4.下列變形中，屬于去括號的是（C）

A.將5%+4=0變形為5x=-4

B.將2x=0.6變形為x=0.3

C.將3%-（2-4%）=5變形為3x+4x-2=5

D.將x+3=8%-6變形為x-8%=-3-6

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元一次方程經(jīng)典例題答案

例4.變式1.去括號且合并相同字母的項(xiàng)：

（1）3x+2（x-2）=5x-4

（2）8y-6°-2）=2y+12

例4.變式2.方程4（2-x）-4（x+l）=60的解是（D）

66

AX-7X-cX-X

----?

B.7-7D.

例4.變式3.解方程：5（x-2）=3⑵-7）5（x-3）-2（4x+l）=10

解：去括號得：

解：去括號得：5%-10=6%-215x-15-8x-2=10

移項(xiàng)得：

移項(xiàng)得：5x-6x=-21+105x-8x=10+15+2

-3x=27

-x=-11

x=11x=-9

（三）去分母解一元一次方程（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例方程」一=,二去分母得（

5.22D）

1A

A.2-2（2x-4）=-（x-7）B.12-2（2x-4）=-x-7

C.12-4%-8=-（x-7）D.12-2（2x-4）=x-7

例5.變式1.解方程史?-二二1=1,去掉分母后，方程變形為2（2x+l）-（5x-l）=6

■.

例5.變式2.已知七二1與互為相反數(shù)，則x的值為C.

S1

例5,變式3,解方程：紅土1=-1

23

解：去分母得：3（3x+l）=2（2x-2）-6

去括號得：9%+3=4%-4-6

移項(xiàng)得：9x-4%=-4-6-3

5x--13

13

x=------

5

三、一元二次方程的應(yīng)用

（-）等積變形問題（共4小題，每題3分,題組共計(jì)12分）

例6.一個長方形的周長是40cm,若將長減少8cm,寬增加2cm,長方形就變成了正方形,則正方形

的邊長為（B）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

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元一次方程經(jīng)典例題答案

例6.變式1.制作一個如下圖所示（圖中陰影部分為底與蓋,且底的長邊是x的2倍,S,=S〃）的鋼

盒子,在鋼片的四個角上分別截去兩個相同的正方形與兩個相同的小長方形,然后折合起來即可,求

有蓋盒子的高x.

解：由題意得

60-2x=2x

解得：x=15

答：有蓋盒子的高為15.

例6.變式2.一根內(nèi)徑為3cm的圓柱形長試管中裝滿了水,現(xiàn)把試管中的水逐漸滴入一個內(nèi)徑為8

cm、高為1.8cm的圓柱形玻璃杯中，當(dāng)玻璃杯裝滿水時，試管中的水的高度下降了12.8cm.

例6.變式3,將一個長、寬、高分別為15cm、12cm和8cm的長方體鋼塊鍛造成一個底面邊長為

12cm的正方形的長方體零件鋼坯，試問鍛造前長方體的鋼塊表面積大還是鍛造后的長方體零件鋼坯

表面積大？請你計(jì)算比較.

解：設(shè)鍛造后長方體零件鋼坯的高為xcm,由題意得

15x12x8=12x12%

解得：x=10

鍛造后長方體零件鋼坯的高為10cm

鍛造后長方體零件鋼坯的表面積為：2x（12x12+12x10+12x10）=768cm2

鍛造前長方體零件鋼坯的表面積為：2x（15x12+15x8+12x8）=792cM

答：鍛造前長方體的鋼塊表面積大.

（二）商品銷售問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例7.五一”節(jié)期間,某電器按成本價提高30%后標(biāo)價,再打8折（標(biāo)價的80%）銷售,售價為2080元.

設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（A）

A.x（l+30%）x80%=2080B.x.30%.80%=2080

C.2080.30%.80%=xD.x.30%=2080x80%

例7.變式1.某種商品進(jìn)價為800元，標(biāo)價1200元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證

利潤率不低于20%,則至少可以打（C）

A.6折B.7折C.8折D.9折

例7.變式2.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每件成本為400元,銷售價為510元,本季度銷售了m件,為進(jìn)

一步擴(kuò)大市場,該企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低成本，經(jīng)過市場調(diào)研,預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件

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一元一次方程經(jīng)典例題答案

銷售價降低4%,銷售量將提高10%,要使銷售利潤（銷售利潤=銷售價-成本價）保持不變,該產(chǎn)品每件

的成本價應(yīng)降低多少元？

解：設(shè)該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低x元，由題意得

510^（1-4%）-（400-x）.m.（1+10%）=（510-400）m

解得：x=10.4

答：該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低10.4元.

例7.變式3.某企業(yè)向銀行貸款,商定歸還期為兩年,年利率為6%（不計(jì)復(fù)利）.該企業(yè)立即用這筆貸

款購買一批貨物，以高于本金37%的價格出售，兩年內(nèi)售完，用所得收入還清貸款本利后，還余5萬

元.這筆貸款是多少元？

解：設(shè)這筆貸款是x萬元，由題意得

%（1+37%）一1（1+2會6%）=5

解得：x=20

答：這筆貸款是20萬元.

（三）利用各種等量關(guān)系來解決問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例8.甲廠庫存鋼材100噸，每月用去15噸，乙廠庫存鋼材82噸，每月用去9噸，經(jīng)過x個月后，兩廠

剩鋼材82噸,每月用去9噸,經(jīng)過x個月后,兩廠剩下的鋼材相等,則x=3.

例8.變式1.已知有大、小兩種紙杯與甲、乙兩桶果汁，其中小紙杯與大紙杯的容量比為2：3,甲桶

果汁與乙桶果汁的體積比為4：5,若甲桶內(nèi)的果汁剛好裝滿小紙杯120個，求乙桶內(nèi)的果汁最多可裝

滿幾個大紙杯？

解：設(shè)乙桶內(nèi)的果汁最多可裝滿x個大紙杯，

則甲桶內(nèi)的果汁最多可裝滿4x個大紙杯，由題意得

120會2=4x會3

解得：x=100

答：乙桶內(nèi)的果汁最多可裝滿100個大紙杯.

例8.變式2.我國民間流傳著許多趣味題，它們多以順口溜的形式表述,請大家看這樣的一個數(shù)學(xué)問

題:一群老頭去趕集,半路買了一堆梨,一個一個多一個，一人兩個少倆梨,請問君子知道否,幾個老頭

幾個梨?請你猜想一下:幾個老頭幾個梨？（A）

第5頁共8頁

一元一次方程經(jīng)典例題答案

A,3個老頭4個梨B.4個老頭3個梨

C.5個老頭6個梨D.7個老頭8個梨

例8.變式3.學(xué)校大掃除,某班原分成兩個小組，第一組26人打掃教室,第二組22人打掃包干區(qū).

這次根據(jù)工作需要，要使第二組人數(shù)是第一組人數(shù)的2倍，那么應(yīng)從第一組調(diào)多少人到第二組？

解：設(shè)應(yīng)從第一組調(diào)x人到第二組，由題意得

22+x=2（26_x）

解得：x=10

答：應(yīng)從第一組調(diào)10人到第二組.

（四）行程問題（共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分）

例9.小華和小玲同時從相距700米的兩地相對走來，小華每分鐘走60米,小玲每分鐘走80米.

幾分鐘后兩人相遇？

解：設(shè)x分鐘后兩人相遇，由題意得

60x+80%=700

解得：x=5

答：5分鐘后兩人相遇.

例9.變式1.七年級某班同學(xué)清明節(jié)去掃墓,步行的同學(xué)先從學(xué)校出發(fā)1h,然后騎車的同學(xué)從學(xué)校

出發(fā)沿同一路線前行,30min后與步行的同學(xué)同時到達(dá).已知騎車的同學(xué)比步行的同學(xué)每小時多行

10km,求騎車的同學(xué)和步行的同學(xué)的速度.

解：設(shè)步行的同學(xué)的速度為xkm/h,

騎車同學(xué)的速度為（％+I。）初由題意得

（1+0,5）x=（x+10）根0.5

解得：x=5

則x+10=5+10=I5（km/h）

答：步行的同學(xué)的速度為5km/h,

騎車同學(xué)的速度為15km/h.

例9.變式2.某船從A地順流而下到達(dá)B地,然后逆流返回，到達(dá)A,B兩地之間的C地，一共航行了

7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時.A、C兩地之間的路程為10

千米，求A,B兩地之間的路程.

解：設(shè)A,8兩地之間的路程為x而，由題意得

xx10

----+——=7

8+28_2

解得：x=32.5

答：A,3兩地之間的路程為32.5冊.

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一元一次方程經(jīng)典例題答案

例9.變式3.甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步.甲每秒跑5.5米，乙每秒跑4.5米.

(1)甲、乙同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

(2)乙先跑10米，甲再和乙同向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

(3)乙先跑10米，甲再和乙背向出發(fā)，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇？

解：(1)設(shè)經(jīng)過x秒兩人首次相遇，由題意得(3)設(shè)經(jīng)過x秒兩人首次相遇，由題意得

5.5x—4.5%=4005.5%+4.5%=400—10

解得：x=400解得：X=39

答：經(jīng)過400秒兩人首次相遇.答：經(jīng)過39秒兩人首次相遇.

(2)設(shè)經(jīng)過x秒兩人首次相遇，由題意得

5.5x-4.5%=10

解得：X=10

答：經(jīng)過10秒兩人首次相遇.

四、列方程解決綜合性題目(共4小題，每題3分，題組共計(jì)12分)

例10.甲、乙兩人騎自行車同時從相距80千米的兩地出發(fā)，相向而行,2小時后相遇，已知甲每小

時比乙多走2.4千米,求甲、乙兩人每小時分別