專(zhuān)題08函數(shù)與方程（重難點(diǎn)突破）

專(zhuān)題08函數(shù)與方程考點(diǎn)一、函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．注意：函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是f(x)＝0的實(shí)數(shù)解．程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，f(a)·f(b)＜0不一定成立．4.若連續(xù)不斷的曲線y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．考點(diǎn)二、二分法1.對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間eq\o(□,\s\up1(03))一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2.二分法求方程近似解的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下：(1)、確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0.(2)、求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)C．(3)、計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)＜0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a＝C．(4)、判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．考點(diǎn)三、函數(shù)模型1.函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)、利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題．(2)、建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)eq\o(□,\s\up1(04))進(jìn)行預(yù)測(cè)．2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)、審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，初步選擇模型．(2)、建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．(3)、求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)、還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中．可將這些步驟用框圖表示如下：擬合(1)、定義：通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合．(2、數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；②依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測(cè)這些點(diǎn)所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗(yàn)重難點(diǎn)題型突破1二分法求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1.（1）、（2022·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可；【詳解】解：因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，，，即，所以的零點(diǎn)位于內(nèi)；故選：C（2）、（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C【變式訓(xùn)練11】．（2019·浙江湖州高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),故函數(shù)是上的增函數(shù).,,則時(shí),;時(shí),,因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選:B.【變式訓(xùn)練12】．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性直接判斷可得.【詳解】易知增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一零點(diǎn)，且.故選：C.重難點(diǎn)題型突破2求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程的解個(gè)數(shù)例2．（1）、（2023秋·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)與圖象，利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)作答.【詳解】由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有唯一公共點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B（2）、（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）方程解的個(gè)數(shù)為.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，或者函數(shù)與方程的思想判斷函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出答案.【詳解】解法一：令，則；在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)與的圖象，如圖所示.由圖可知函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).故原方程只有1個(gè)解.解法二：因?yàn)?，，所以，說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以原方程只有一個(gè)解.故答案為：1【變式訓(xùn)練21】．（2020·張家口市第一中學(xué)高一月考）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象即可求解【詳解】函數(shù)，由，可得，作出和的圖象，由圖象可得它們有2個(gè)交點(diǎn)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選：C.【變式訓(xùn)練22】．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，由分段函數(shù)，當(dāng)時(shí)，解方程可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出圖像可得.【詳解】令得，，只有符合題意；令得，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出的圖像，觀察知交點(diǎn)有個(gè)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故答案為：2.重難點(diǎn)題型突破3根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，求參數(shù)的范圍例3．（1）、（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.（2）、（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，然后分及討論即可．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，又對(duì)任意，都有，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個(gè)不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．【變式訓(xùn)練31】、（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)根，討論和兩大類(lèi)情況，結(jié)合根的分布，列式求解.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)根，若，則方程可化為：，得，不成立；若時(shí)，設(shè)方程的兩根為，且，得，且，當(dāng)時(shí)，有故，，不符合題意；若時(shí)，則函數(shù)圖象開(kāi)口向上，又，若函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，所以.綜上：.故答案為：【變式訓(xùn)練32】、（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的變換可作出的圖像，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像即可得到的取值范圍.【詳解】由于的圖像是由的圖像保留軸上方的圖像的同時(shí)，將軸下方的圖像關(guān)于軸向上翻折得到的圖像，故由此作出函數(shù)的圖像，如圖，.若方程有四個(gè)不同的根，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以在上的最大值為，所以結(jié)合圖像，可得，即.故答案為：．重難點(diǎn)題型突破4根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，求零點(diǎn)之間的關(guān)系例4．（1）、（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析給定的函數(shù)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的部分圖象，確定a的取值范圍，進(jìn)而求出范圍作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，方程有四個(gè)不同的根，不妨令，即直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象知，，，顯然有，且，由得，即，則有，因此，所以的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.（2）．（2021·安徽安慶·高三月考（文））已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且滿足：，則的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】畫(huà)出與的圖象，結(jié)合圖象求得，從而求得正確結(jié)論.【詳解】函數(shù)的四個(gè)不同零點(diǎn)，，，，就是函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出與的函數(shù)圖象如下：由圖象知，，∴.所以.故選：B.【變式訓(xùn)練41】．（2022秋·遼寧遼陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且方程的6個(gè)解分別為，，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后結(jié)合條件，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，，的圖像如圖所示，因?yàn)橛腥齻€(gè)解，所以有三個(gè)解，則，A錯(cuò)誤．令，得，，，所以，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，得，C正確．因?yàn)?，，所以，D錯(cuò)誤．故選：C【變式訓(xùn)練42】．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根、、、，且，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，計(jì)算得出，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性得出，求出的取值范圍，可求得的取值范圍，由此求得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：方程有四個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，由圖可知，只有當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，，所以，，即，即，所以，，當(dāng)時(shí)，，表示對(duì)稱(chēng)軸為直線，開(kāi)口向上的拋物線，，，所以，，，且，則，所以，，所以，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．重難點(diǎn)題型突破5“自我嵌套”函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例5．（1）、（2021·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（理））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分、兩種情況討論，由可得出的值或取值范圍，再分、兩類(lèi)討論，利用代數(shù)法或數(shù)形結(jié)合思想，利用關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則.①當(dāng)時(shí)，若，；若，，得.所以，由可得或.如下圖所示：滿足的有無(wú)數(shù)個(gè)，方程只有一個(gè)解，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，，得.所以，由可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程在時(shí)無(wú)解，若且時(shí)，，故；若且時(shí)，，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.（2）、（2023秋·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖象，進(jìn)行分析，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)最多4個(gè)零點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結(jié)果.【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解；因?yàn)樽疃嘤袃蓚€(gè)解.因此，要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，設(shè)為，.則存在下列幾種情況：①有2個(gè)解，有4個(gè)解，即或，，顯然，則此時(shí)應(yīng)滿足，即，解得，②有3個(gè)解，有3個(gè)解，設(shè)即，，則應(yīng)滿足，無(wú)解，舍去，綜上所述，的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，常用數(shù)形結(jié)合分析，分析各種情況后，往往會(huì)用到零點(diǎn)的存在性定理或根的分布情況來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.【變式訓(xùn)練51】．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用分段函數(shù)，分類(lèi)討論，即可求出函數(shù)的所有零點(diǎn)，從而得解．【詳解】解：時(shí)，，，由，可得或，或；時(shí)，，，由，可得或，或；函數(shù)的所有零點(diǎn)為，，，，所以所有零點(diǎn)的和為故答案為：．【變式訓(xùn)練52】．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】令，根據(jù)分別求出函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；【詳解】令．①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得；②當(dāng)時(shí)，，由，解得，．作出函數(shù)，直線，，的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．故選：D．重難點(diǎn)題型突破6與其它函數(shù)“嵌套”函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例6．（1）、（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)出的圖象，根據(jù)并討論t研究其實(shí)根的分布情況，將問(wèn)題化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】如圖，畫(huà)出的圖象，設(shè)結(jié)合圖象知：當(dāng)或時(shí)有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)有2個(gè)實(shí)根；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而，解得.故選：D（2）、（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則非零實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖像，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像得出其范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖像如下：數(shù)，且函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有6個(gè)解，等價(jià)于或共有6個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，由圖可得與有三個(gè)交點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn)則直線應(yīng)位于之間，所以故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.【變式訓(xùn)練61】．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】令，，則，分別作出函數(shù)和直線的圖象，得到，，再分別作出函數(shù)和直線的圖象，得到方程和方程的根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】令，，則，即，分別作出函數(shù)和直線的圖象，如圖所示，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為，，則，，對(duì)于，分別作出函數(shù)和直線的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，即方程有兩個(gè)不相等的根，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和直線有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不相等的根，綜上可得的實(shí)根個(gè)數(shù)為，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.故選：B.【變式訓(xùn)練62】、（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖象分析方程的解的個(gè)數(shù)與的關(guān)系，結(jié)合二次方程根的分布的相關(guān)結(jié)論求t的取值范圍.【詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示．所以函數(shù)的圖象與函數(shù)（c為常數(shù)）的圖象最多3個(gè)交點(diǎn)，且有3個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所以有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于一元二次方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以解得或．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于作出函數(shù)圖象，通過(guò)圖象觀察確定方程的解的個(gè)數(shù)與的關(guān)系，從而將條件轉(zhuǎn)化為二次方程的區(qū)間根問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和圖象求解.重難點(diǎn)題型突破7指對(duì)冪函數(shù)模型例7．（1）、（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，（為時(shí)間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開(kāi)水溫度℃，環(huán)境溫度℃，常數(shù)，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40℃（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】根據(jù)冷卻模型公式可以將數(shù)據(jù)代入直接就算即可【詳解】由題意可知所以所以故選：C（2）．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）據(jù)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥(niǎo)類(lèi)以平均每年4%的速度增加.按這個(gè)增長(zhǎng)速度，大約經(jīng)過(guò)年以后，這種鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的4倍或4倍以上.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：)【答案】60【解析】設(shè)濕地公園某種珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的數(shù)量為，可得不等式，兩邊取對(duì)數(shù)解不等式，即可得到答案；【詳解】設(shè)濕地公園某種珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的數(shù)量為，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算、換底公式，考查運(yùn)算求解能力.【變式訓(xùn)練71】．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類(lèi)的熱潮，垃圾分類(lèi)已經(jīng)成為新時(shí)尚，假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類(lèi)的資金為5000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)增長(zhǎng)模型列式求解.【詳解】設(shè)2020后第x年該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元，則，即，解得，則該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1.28億元的年份是2026．故選：C．【變式訓(xùn)練72】．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是______小時(shí).【答案】24【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)，代入條件，得再求時(shí)的保鮮時(shí)間.【詳解】由題意得：，所以時(shí)，.故答案為：例8．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）隨著科技的發(fā)展，上各種APP層出不窮，其中抖音就是一種很火爆的自媒體軟件，抖音是一個(gè)幫助用戶(hù)表達(dá)自我，記錄美好生活的視頻平臺(tái)．在大部分人用來(lái)娛樂(lè)的同時(shí)，部分有商業(yè)頭腦的人用抖音來(lái)直播帶貨，可謂賺得盆滿缽滿，抖音上商品的價(jià)格隨著播放的熱度而變化．經(jīng)測(cè)算某服裝的價(jià)格近似滿足：，其中（單位：元）表示開(kāi)始賣(mài)時(shí)的服裝價(jià)格，J（單位：元）表示經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t（單位：天）后的價(jià)格，（單位：元）表示波動(dòng)價(jià)格，h（單位：天）表示波動(dòng)周期．某位商人通過(guò)抖音賣(mài)此服裝，開(kāi)始賣(mài)時(shí)的價(jià)格為每件120元，波動(dòng)價(jià)格為每件20元，服裝價(jià)格降到70元每件時(shí)需要10天時(shí)間．(1)求h的值；(2)求服裝價(jià)格降到60元每件時(shí)需要的天數(shù)．（結(jié)果精確到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)10；(2)14.【分析】（1）把給定的數(shù)據(jù)代入，解指數(shù)方程作答.（2）由（1）求出函數(shù)關(guān)系，再由函數(shù)值求出自變量值作答.【詳解】（1）在中，，則有，整理得，即，解得，所以h的值為10.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，即有，取常用對(duì)數(shù)得：，解得，而，則，所以服裝價(jià)格降到60元每件時(shí)需要14天.【變式訓(xùn)練81】．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技術(shù)，光電芯片，信息技術(shù)，新材料，新能源，智能制造等為代表的高精尖技術(shù)，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需長(zhǎng)期投入，持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù)，具有極高技術(shù)門(mén)檻和技術(shù)壁壘，難以被復(fù)制和模仿.最近十年，我國(guó)的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的科技品牌，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的高級(jí)設(shè)備，并從2024年起全面發(fā)售，假設(shè)該高級(jí)設(shè)備的年產(chǎn)量為x百臺(tái)，經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該高級(jí)設(shè)備每年需投入固完成本1500萬(wàn)元，最多能夠生產(chǎn)80百臺(tái)，每生產(chǎn)一百臺(tái)臺(tái)高級(jí)設(shè)備需要另投成本萬(wàn)元，且，每臺(tái)高級(jí)設(shè)備售價(jià)為2萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的高級(jí)設(shè)備能夠全部售出.(1)求企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？并求最大年利潤(rùn).【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為60百臺(tái)時(shí)，公司獲利最大，且最大利潤(rùn)為1250萬(wàn)元【分析】（1）由條件根據(jù)利潤(rùn)和銷(xiāo)售收入，成本之間的關(guān)系求出年利潤(rùn)與年產(chǎn)量之間的關(guān)系；（2）分區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求年利潤(rùn)的最大值.【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.綜上所述，.（2）由（1）得∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.又.故當(dāng)年產(chǎn)量為60百臺(tái)時(shí)，公司獲利最大，且最大利潤(rùn)為1250萬(wàn)元.1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B2．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為、B．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)可能無(wú)零點(diǎn)D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2【答案】D【分析】由零點(diǎn)的定義判斷A；討論、確定對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B、C、D.【詳解】由函數(shù)的零點(diǎn)是時(shí)對(duì)應(yīng)值，而不是坐標(biāo)，A錯(cuò)；若時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以B、C錯(cuò)，D對(duì).故選：D3．（2023秋·吉林·高一吉林一中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，其中，則的值為（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用換元法化簡(jiǎn)題目所給方程，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意可知，由整理得①，即關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，令，則或，則①轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個(gè)根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)雜方程的跟有關(guān)的問(wèn)題求解，可根據(jù)題目所給已知方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方向是熟悉的函數(shù)類(lèi)型，即將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.對(duì)鉤函數(shù)是函數(shù)題目中常見(jiàn)的函數(shù)，對(duì)其性質(zhì)要注意總結(jié).4．（2022秋·新疆和田·高一和田地區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由可得出或，數(shù)形結(jié)合可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可知直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖形可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力．草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài)．根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為4個(gè)等級(jí)，其等級(jí)x與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，若花同樣的錢(qián)買(mǎi)到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)為20元/千克，則3級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)最接近（參考數(shù)據(jù)：，）（

）【答案】B【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，解得，由，可得，故選：B．6．（202