2023-2024學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)經(jīng)典題型（四大題型）（含答案與解析）

專題05數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)經(jīng)典題型(四大題型)

一名丸臣女蚣獨(dú)______________________________

【題型1最值問(wèn)題】

【題型2線段的和倍差問(wèn)題】

【題型3數(shù)軸與行程相遇綜合問(wèn)題】

【題型4數(shù)軸上新定義問(wèn)題】

___潘一紀(jì)始鬃_________________________

【題型1最值問(wèn)題】

【典例1】［問(wèn)題提出］|。-1|+|。-2\+\a-3|+…+H+202”的最小值是多少？

［閱讀理解］

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手，⑷的幾何意義是。這個(gè)數(shù)在

數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么|a-1|可以看作。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)到1的距離；H-1|+|?-2|就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2

兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究-l|+|a-2|的最小值.

我們先看。表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：

(1)如圖①，。在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和

大于L

(2)如圖②，。在1,2之間(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距

離

之和等于1.

(3)如圖③，。在2的右邊，從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和

大于1.

因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)。在1,2之間(包括在1,2±)時(shí)，\a-l|+|a

-2|有最小值1.

［問(wèn)題解決］

(1)請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸探究：|。-4|+|。-7|的最小值是.

(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究|a-l\+\a-2|+|a-3|的最小值是.

(3)\a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|o-5|的最小值為.

(4)\a-l|+|a-2|+|a-3|+…+|a-2021|的最小值為.

［拓展應(yīng)用］已知（|〃+1|+|。-2|）X（步-2|+|升1|）X（|c-3|+|c+l|）=36,則

〃+2辦+3c的最大值為15,〃+25+3c的最小值為.

??」：?????

-2-101234

圖①

a

???i.i???

-2-101234

圖②

-2-101234

圖③

???????A

-2-101234

圖④

【變式1-1］我們知道，在數(shù)軸上，同表示數(shù)。的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值

的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)/、B,分別用a,6表示，那么2、B

兩點(diǎn)之間的距離為：AB=\a-b\.利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：

（1）數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)N、5之間的距離是.

（2）代數(shù)式|x+l|+|x+3|的最小值是.

（3）代數(shù)式|x-l|+M+|x+2|+|x-4|的最小值為,此時(shí)符合條件的整數(shù)x

為.

（4）代數(shù)式k-1|-|x-3|的最小值為,最大值為.

【變式1-2】閱讀：數(shù)軸揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基

礎(chǔ).我們知道|2|=|2-0|,它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)2的點(diǎn)與原點(diǎn)(即表示0

的點(diǎn))之間的距離，|5-2|也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間

的距離；|5+2|可以看做|5-(-2)|,表示5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩

點(diǎn)之間的距離.一般地，點(diǎn)幺、點(diǎn)3在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,那么點(diǎn)

/、點(diǎn)5之間的距離可表示為|。-臼.結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)解決下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示2和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示x和-5的

兩點(diǎn)之間的距離是;

(2)若|x-1|+|"3|=6,則》=；

(3)求|x-1|--2|的最大值.

【變式1-3】閱讀下列材料.

x(x>0)

我們知道！x|=0(x=0),現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的

-x(x<0)

代數(shù)式.例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+l|+|x-2|時(shí)，可令x+l=O和%-2=0,分別求

得x=-l和x=2(稱-1,2分別為|"1|與|x-2|的零點(diǎn)值).在有理數(shù)范圍

內(nèi)，零點(diǎn)值.*=-1和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情

況：xV-1；-1WXV2；x，2.從而在化簡(jiǎn)|x+l|+|x-2|時(shí)，可分以下三種情

況：①當(dāng)xV-1時(shí)，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+l；②當(dāng)-l〈xV

2時(shí)，原式=(x+1)-(x-2)=3；③當(dāng)x22時(shí)，原式=(x+1)+(x-

2)=2x-1.

-2x+l(x<-1)

.?.|x+l|+|x-2|=-3(-l<x<2),通過(guò)以上閱讀，解決問(wèn)題：

,2x-l(x>2)

(1)|x-3|的零點(diǎn)值是x=(直接填空)；

(2)化簡(jiǎn)|x-3|+k+4|;

(3)直接寫出［x-1|-4附1|的最大值.

【變式1-4］如圖，在數(shù)軸43上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-40、20,數(shù)軸上一點(diǎn)尸

對(duì)應(yīng)的數(shù)為X.

4L2Q尸r

^40020

(1)若點(diǎn)尸在2、5兩點(diǎn)之間，則點(diǎn)P到N、臺(tái)兩點(diǎn)的距離的和為.

(2)如圖，數(shù)軸上一點(diǎn)。在點(diǎn)尸的右側(cè)，且與點(diǎn)P始終保持相距18個(gè)單位

長(zhǎng)度.當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)尸的距離、點(diǎn)3與點(diǎn)。的距離的和為48?

(3)結(jié)合對(duì)前面問(wèn)題的思考，若(|x+4|+|x-2|)?(ly|+|y-5|)W30,求x-

2y的最大值和最小值.

【變式1-5】同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也

可以理解為5與-2數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離，即|5-(-2)|=

7.試探索：

（1）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)的點(diǎn)到-1008和

1005所對(duì)兩點(diǎn)距離相等，則》=—；

（2）類似的,+5|+,-2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)點(diǎn)到-5和2所對(duì)的兩點(diǎn)距

離之和，請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+5|+|x-2|=7,這樣的整數(shù)

有;

（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有,

寫出最小值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

【變式1-6］我們知道，⑷可以理解為-0］,它表示：數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)到原

點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)Z,B,分別

用數(shù)a,6表示，那么48兩點(diǎn)之間的距離為=-臼，反過(guò)來(lái)，式子-

臼的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.利用此結(jié)

論，回答以下問(wèn)題：

（1）數(shù)軸上表示數(shù)-5的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是；

（2）數(shù)軸上點(diǎn)Z用數(shù)。表示，若同=5,那么。的值為；

（3）數(shù)軸上點(diǎn)/用數(shù)。表示，探究以下幾個(gè)問(wèn)題：

①若-3|=5,那么a的值是；

②滿足|a+2|+|a-3|=5整數(shù)。有個(gè)；

③-3|+|a+2022||有最小值，最小值是：；

求|a+l|+|a+2|+|a+3+......|a+2021+|a+2022|+|a+2023|的最小值.

【變式1-7］（2022秋?龍華區(qū)期中）在學(xué)習(xí)絕對(duì)值后，我們知道，⑷表示數(shù)。

在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.如：|5|表示5在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的

距離.而|5|=|5-0|,即|5-0|也可理解為5、0在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距

離.類似的，|5-3|表示5與3之差的絕對(duì)值，也可理解為5與3兩數(shù)在數(shù)軸

上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.如|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點(diǎn)

與表示數(shù)x的點(diǎn)之間的距離，一般地，點(diǎn)/、5在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b,

那么N、5之間的距離可表示為|a-升

請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示苴和-5的兩

6

點(diǎn)之間的距離是;

(2)數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)是2,尸、。兩點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)。表示的數(shù)

是;

(3)相居|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)之間

的距離；

(4)若卜〃-3|+|〃z+2|=7,則7〃=；

(5)數(shù)軸上有一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)則|〃+1|+口-3|+|〃+8|的最小值為.

????1111111111111A

—8—7—6—5—4—3—2—1012345678

【題型2線段的和倍差問(wèn)題】

【方法技巧】

1、兩點(diǎn)之間的距離：大的數(shù)減去小的數(shù)

注：(1)已知兩點(diǎn)的距離和較大數(shù)，較小數(shù)=較大數(shù)一距離；

(2)已知兩點(diǎn)的距離和較小數(shù)，較大數(shù)=較小數(shù)+距離.

2、兩點(diǎn)的中點(diǎn)公式：土a.

2

3、解題方法：

(1)遇動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題注意動(dòng)點(diǎn)的起始位置以及方向和速度；

(2)當(dāng)無(wú)法比較兩數(shù)大小的時(shí)候，求兩者之間的距離時(shí)需要添加絕對(duì)值；

(3)若遇相遇或追擊問(wèn)題，通常抓路程作為列等量關(guān)系的依據(jù).

【典例2】(2022秋?泉港區(qū)期末)如圖，已知點(diǎn)。為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、

C、。在數(shù)軸上，其中/、3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-1、3.

(1)填空：線段48的長(zhǎng)度43=；

(2)若點(diǎn)N是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在點(diǎn)幺的右側(cè)，且點(diǎn)尸在線段

8上運(yùn)動(dòng).問(wèn)：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當(dāng)尸點(diǎn)在這條線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),

PA+PB的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而沒(méi)有發(fā)生變化？

(3)若點(diǎn)尸以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)。向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)幺以5個(gè)

單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)廠從點(diǎn)5以20個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，M、N

分點(diǎn)別是尸E、O尸的中點(diǎn).點(diǎn)尸、E、尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，空空的值是否發(fā)生

MN

變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

_________>

O

【變式2-1］如圖，數(shù)軸上三點(diǎn)/、B、C表示的數(shù)分別為-10、5、15,點(diǎn)P為

數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為X.

(1)點(diǎn)力到點(diǎn)。的距離為；

(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到點(diǎn)4、點(diǎn)3的距離之和為25個(gè)單位長(zhǎng)

度？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)設(shè)點(diǎn)尸到幺、B、。三點(diǎn)的距離之和為S.在動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/開(kāi)始沿?cái)?shù)軸

的正方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)。這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出S的最大值與最小值.

APBC

-100515

【變式2-2］如圖，有兩條線段，AB=2(單位長(zhǎng)度)，8=1(單位長(zhǎng)度)在

數(shù)軸上，點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12,點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)是15.

(1)點(diǎn)3在數(shù)軸上表示的數(shù)是—，點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)是一；

(2)若線段45以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CZ)以2

個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)/為何值時(shí)，點(diǎn)

B與點(diǎn)、C之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？

(3)若線段/5、線段CD分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度

同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸從-15出發(fā)，以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速

度向右勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)0V/V5時(shí)，24C-1叨的值是否發(fā)

3

生變化？若不變化，求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AB0CD

【變式2-3】如圖一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)力重合，右端

與點(diǎn)5重合.

(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到5點(diǎn)時(shí)，它的右端

在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為24；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移

動(dòng)到/點(diǎn)時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為6(單位：cm},由此可得

到木棒長(zhǎng)為cm.

(2)圖中/點(diǎn)表示的數(shù)是—，3點(diǎn)表示的數(shù)是—.

(3)由題(1)(2)的啟發(fā)，請(qǐng)你能借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助小紅解決下

列問(wèn)題：?jiǎn)栴}：一天，小紅去問(wèn)曾當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g,

爺爺說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要38年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，

我已經(jīng)118歲，是老壽星了，哈哈！”，請(qǐng)求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？

_____._____「……——”……1_____?

06AB24

【變式2-4】如圖，已知數(shù)軸上45兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1,3,點(diǎn)尸為數(shù)軸

上一動(dòng)點(diǎn)，其表示的數(shù)為X.

AR

][]][Cj]]?[I

-6-5-4-3-2-1012345

(1)若點(diǎn)尸為45的中點(diǎn)，則x的值為；

(2)若點(diǎn)尸在原點(diǎn)的右側(cè)，且到點(diǎn)4,5的距離之和為8,則x的值為—；

(3)某時(shí)刻點(diǎn)5分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

同時(shí)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)尸以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從表示數(shù)1的點(diǎn)

向左運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)5之間的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)尸表示的數(shù).

【變式2-5】數(shù)軸上有N、B、C三點(diǎn)，如圖1,點(diǎn)4、5表示的數(shù)分別為〃/、〃

G〃V〃)，點(diǎn)C在點(diǎn)5的右側(cè)，AC-AB=2.

(1)若用=-8,〃=2,點(diǎn)。是4C的中點(diǎn).

①則點(diǎn)。表示的數(shù)為.

②如圖2,線段瓦'=。（E在尸的左側(cè)，<7>0）,線段￡廠從2點(diǎn)出發(fā)，以1

個(gè)單位每秒的速度向5點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)產(chǎn)不與5點(diǎn)重合），點(diǎn)”是EC的中點(diǎn)，N

是加?的中點(diǎn)，在訪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)度始終為1,求。的值；

（2）若〃-m>2,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，若4tH3m=4,試求線段48的

長(zhǎng).

-------------------------——>--------?--------------?-?

ADBCAEFBC

圖1圖2

-----------?A

AB

備用圖

【變式2-6]（2022秋?惠陽(yáng)區(qū)期末）如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是4,

點(diǎn)5位于點(diǎn)/的左側(cè)，與點(diǎn)/的距離是10個(gè)單位長(zhǎng)度.

（1）點(diǎn)3表示的數(shù)是—，并在數(shù)軸上將點(diǎn)5表示出來(lái).

（2）動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)

動(dòng).經(jīng)過(guò)多少秒點(diǎn)尸與點(diǎn)2的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度？

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)尸出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)。也從點(diǎn)力出發(fā)，沿著數(shù)軸的

負(fù)方向，以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)。到點(diǎn)5的距離是點(diǎn)尸

到點(diǎn)N的距離的2倍？

iiiiI????11d1,

-7-6-5-4-3-2-1O12345x

11111111111dI,

-7-6-5-4-3-2-1O12345x

【變式2-7]（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期中）已知力是最大的負(fù)整數(shù)，且0、蟲c

滿足Ca+2b）2+上卷|=0,請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)直接寫出a、b、c的值：a=,b=,c=；

（2）a、Ac在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為/、B、C,點(diǎn)/、B、。開(kāi)始在數(shù)軸

上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)5以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)/、點(diǎn)C都以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)/秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)/與點(diǎn)3之間的

距離為48,點(diǎn)5與點(diǎn)C之間的距離為5C,請(qǐng)問(wèn)：N5-5C的值是否隨著/的

變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出45-5C的值.

【變式2-8］（2022秋?橋西區(qū)期中）在一條不完整的數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每

相鄰兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長(zhǎng)度，其中點(diǎn)/,B,。對(duì)應(yīng)的分別是整數(shù)a,b,c.

（1）若以5為原點(diǎn)，寫出a,c的值；

（2）若c-2a=14,判斷并說(shuō)明月，B,。中哪個(gè)點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，m點(diǎn)從/點(diǎn)以每秒0.5個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N

從點(diǎn)C以每秒L5個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸從點(diǎn)5以每秒2個(gè)單位的速

度先向左運(yùn)動(dòng)碰到點(diǎn)〃后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，碰到點(diǎn)N后又立即返回向左運(yùn)

動(dòng)，碰到點(diǎn)”后又立即返回向右運(yùn)動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三個(gè)點(diǎn)聚于

一點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).直接寫出點(diǎn)尸在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，移動(dòng)了多少個(gè)單位.

【題型3數(shù)軸與行程相遇綜合問(wèn)題】

【典例3】（2022秋?鄴城縣期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)幺表示的數(shù)為6,5是

數(shù)軸上在/左側(cè)的一點(diǎn)，且N,5兩點(diǎn)間的距離為10.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)，

以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fa>o）

秒.

（1）數(shù)軸上點(diǎn)5表示的數(shù)是—，點(diǎn)尸表示的數(shù)是—（用含/的代數(shù)式表

示）；

（2）動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)5出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),

若點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā).求：

①當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)0相遇？

②當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度？

-<—--Q?B?-------0?---<-—---P?---?A----?

06

【變式3-1］（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）數(shù)軸上給定兩點(diǎn)/、3,點(diǎn)4表示的

數(shù)為-1,點(diǎn)5表示的數(shù)為3,若數(shù)軸上有兩點(diǎn)M、N,線段九W的中點(diǎn)在線

段48上（線段MV的中點(diǎn)可以與/或5點(diǎn)重合），則稱M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于線

段48對(duì)稱，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E表示的數(shù)分別為-3、6、7,則點(diǎn)

與點(diǎn)O關(guān)于線段48對(duì)稱；

（2）數(shù)軸上，點(diǎn)尸表示的數(shù)為x,G為線段N5上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸與點(diǎn)G關(guān)于

線段4s對(duì)稱，則x的最小值為,最大值為;

（3）動(dòng)點(diǎn)尸從-9開(kāi)始以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸正方向移動(dòng)時(shí)，同時(shí)，

線段48以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸正方向移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從5開(kāi)始以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸負(fù)方向移動(dòng)；當(dāng)尸、。相遇時(shí)，分別以原速立即返回起點(diǎn),

回到起點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為力貝卜滿足時(shí)，P與。始終

關(guān)于線段4B對(duì)稱.

CABDE

IIIIIIIIIIIIIII

—6—5—4—3—2—1012345678

【變式3-2］（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)/、5在數(shù)軸上表示的數(shù)分別

為-12和8,兩只螞蟻“、N分別從N、3兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行.M的速

度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，N的速度為3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒.

(1)運(yùn)動(dòng)一秒鐘時(shí)，兩只螞蟻相遇在點(diǎn)P;點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是一；

(2)若運(yùn)動(dòng)，秒鐘時(shí)，兩只螞蟻的距離為10,求出/的值(寫出解題過(guò)

程).

MN

,I1.

A0B

【變式3-3](2022秋?新泰市期中)如圖./、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上，/表示的

數(shù)為-10,3表示的數(shù)為14,點(diǎn)。在點(diǎn)/與點(diǎn)3之間，且4C=5C.

(1)求/、5兩點(diǎn)間的距離；

(2)求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(3)甲、乙分別從力、5兩點(diǎn)同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/s,乙

的速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/s,

求相遇點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù).

g_p、

-10014

【變式3-4](2022秋?永安市月考)已知，如圖N、5分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-10,3點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為90.

AMB

-------------------1---------------------------------------J-----------------------------------------1------------->

-1090

(1)與/、5兩點(diǎn)距離相等的〃點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是一；

(2)現(xiàn)在有一只電子螞蟻尸從5點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以5個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),

同時(shí)另一只電子螞蟻。恰好從幺點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)

兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的。點(diǎn)相遇，則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是—;

(3)若當(dāng)電子螞蟻尸從5點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以5個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

另一只電子螞蟻0恰好從Z點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多

長(zhǎng)的時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距24個(gè)單位長(zhǎng)度？

【變式3-5](2021?新華區(qū)校級(jí)三模)已知45是數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)/在原點(diǎn)左

側(cè)且距原點(diǎn)20個(gè)單位，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)且距原點(diǎn)100個(gè)單位.

(1)點(diǎn)/表示的數(shù)是：—;點(diǎn)3表示的數(shù)是：—.

(2)A,3兩點(diǎn)間的距離是一個(gè)單位，線段中點(diǎn)表示的數(shù)是—.

(3)現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從點(diǎn)5出發(fā)以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

另一只電子螞蟻。恰好從點(diǎn)幺出發(fā)以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)兩只電

子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)。處相遇，求點(diǎn)。表示的數(shù).

—?-------------------------------------------1_?

.4B

【變式3-6](2021秋?方城縣期中)如圖，/、5分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，/點(diǎn)對(duì)

應(yīng)的數(shù)為-20,3點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100.

-20100

---------------------1----------------------------------------------------1-----------------------------?

AB

(1)請(qǐng)寫出與/、5兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從5點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)另一只電子螞蟻。恰好從幺點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩

只電子螞蟻在數(shù)軸上的。點(diǎn)相遇，你知道。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少嗎？

(3)若當(dāng)電子螞蟻尸從5點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

另一只電子螞蟻。恰好從幺點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)：

當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長(zhǎng)度？

【變式3-7](2022秋?太湖縣期末)已知，如圖5分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn),

點(diǎn)月對(duì)應(yīng)的數(shù)是-20,點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的數(shù)為80.

B

80

(1)請(qǐng)直接寫出N5的中點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的數(shù).

(2)現(xiàn)在有一只電子螞蟻尸從3點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)另一只電子螞蟻。恰好從幺點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)

兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇.請(qǐng)解答下面問(wèn)題：

①試求出點(diǎn)。在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

②何時(shí)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距15個(gè)單位長(zhǎng)度？

-4________.15甲8

—金二1---岔---

圖3

4九415左」

一2。邳8。

QC^PB

^2080

圖I

【變式3-8](2022秋?陽(yáng)新縣期末)如圖，在數(shù)軸上每相鄰兩點(diǎn)間的距離為一

個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)4、B、C、。對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、d,且d-3a=20.

(1)a=,b=,c=.

(2)點(diǎn)4以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，1秒后點(diǎn)5以4個(gè)單

位/秒的速度也沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)5到達(dá)。點(diǎn)處立刻返回，返回時(shí),

點(diǎn)/與點(diǎn)5在數(shù)軸的某點(diǎn)處相遇，求這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).

(3)如果N、C兩點(diǎn)分別以2個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度同時(shí)向數(shù)軸的負(fù)

方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)3從圖上的位置出發(fā)向數(shù)軸的正方向以1個(gè)單位/秒的速

度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滿足時(shí)，點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？

2

Illi：111111111A

BACD

【變式3-9](2022秋?工業(yè)園區(qū)期末)如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)月表示-10,點(diǎn)B

表示11,點(diǎn)。表示18.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向以每秒2個(gè)單位的速

度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度

勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（1）當(dāng)/為何值時(shí)，尸、。兩點(diǎn)相遇？相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？

（2）在點(diǎn)0出發(fā)后到達(dá)點(diǎn)3之前，求，為何值時(shí)，點(diǎn)尸到點(diǎn)O的距離與點(diǎn)0

到點(diǎn)5的距離相等;

（3）在點(diǎn)尸向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，N是4P的中點(diǎn)，在點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C之前，求

2CW-尸C的值.

--->

AP0

4±~c■?

A>POBg%

-io*Sii-■?

備用圖

【變式3-10]（2022秋?柯城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。為數(shù)軸的原點(diǎn)，N,3在

數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點(diǎn)5表示的數(shù)為7,AB=12.

（1）直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù).

（2）動(dòng)點(diǎn)尸、0分別從幺、3同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)尸以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒卷個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng).

①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)尸是線段。。的中點(diǎn)？

②在尸、。兩點(diǎn)相遇之前，點(diǎn)”為尸O的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段O。上，且QV=

件.

問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒，在尸、M.N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的

線段的三等分點(diǎn)？（把一條線段分成1：2的兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的三

等分點(diǎn)）

1O

【題型4數(shù)軸上新定義問(wèn)題】

【典例4】（2022秋?海門市期末）對(duì)于數(shù)軸上的線段45與不在線段上的點(diǎn)

P,給出如下定義：若點(diǎn)尸與線段N5上的一點(diǎn)的距離等于a（o>0）,則稱

點(diǎn)尸為線段力5的距點(diǎn)”.

已知：數(shù)軸上點(diǎn)/,5兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是7〃，7〃+1.

(1)當(dāng)〃/=1時(shí)，在-2,-1,2.5三個(gè)數(shù)中，是線段48的“2距點(diǎn)”

所表示的數(shù)；

(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)尸為線段幺3的“。距點(diǎn)”，則。的最大值與最小值的差

為;

(3)若數(shù)軸上-2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是線段的“。距點(diǎn)”，且。的最大值與最小

值的比為2：1,求〃,的值.

-3-2-10123456789

【變式4-1】已知點(diǎn)尸、點(diǎn)N、點(diǎn)5是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn).若點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離等

于點(diǎn)/、點(diǎn)6到原點(diǎn)距離的和的一半，則稱點(diǎn)尸為點(diǎn)N和點(diǎn)3的“關(guān)聯(lián)

點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)N表示1,點(diǎn)5表示-3,下列各數(shù)-2、-1、0、2在數(shù)軸上所

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是B、尸2、尸3、尸4,其中是點(diǎn)4和點(diǎn)5的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是;

(2)已知點(diǎn)N表示3,點(diǎn)3表示〃?，點(diǎn)尸為點(diǎn)N和點(diǎn)5的''關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且點(diǎn)

產(chǎn)到原點(diǎn)的距離為5,求加的值.

【變式4-2］對(duì)于數(shù)軸上的B,C三點(diǎn)、,給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它

兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟

點(diǎn)”.例如：數(shù)軸上點(diǎn)2,B,C所表示的數(shù)分別為1,3,4,此時(shí)點(diǎn)5是點(diǎn)

/,C的“聯(lián)盟點(diǎn)”.

（1）若點(diǎn)/表示數(shù)-2,點(diǎn)5表示的數(shù)4,下列各數(shù)，3,2,0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分

別G，C2,C3.其中是點(diǎn)45的“聯(lián)盟點(diǎn)”的是;

（2）點(diǎn)/表示的數(shù)-10,點(diǎn)5表示的數(shù)30,尸為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在

點(diǎn)5的右側(cè)，點(diǎn)尸，A,5中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求

出此時(shí)點(diǎn)尸表示的數(shù).

ABC

—?--------1----------i--------1----------X------1-----------

-1012345

【變式4-3】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)Z,B,其中/表示的數(shù)為-3,5表示的數(shù)為2.給

出如下定義：若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)C,使得NC+5C=〃?，則稱點(diǎn)。叫做點(diǎn)力,

B的“7〃和距離點(diǎn)”.如圖，若點(diǎn)。表示的數(shù)為0,有AC+BC=5,則稱點(diǎn)C

為點(diǎn)/,5的“5和距離點(diǎn)”.

（1）如果點(diǎn)N為點(diǎn)43的和距離點(diǎn)”，且點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù)為-

4,那么"I的值是；

（2）如果點(diǎn)D是數(shù)軸上點(diǎn)N,3的8和距離點(diǎn)”，那么點(diǎn)。表示的數(shù)為；

（3）如果點(diǎn)E在數(shù)軸上（不與Z,5重合），滿足且此時(shí)點(diǎn)后為

2

點(diǎn)3的“7〃和距離點(diǎn)”，求7〃的值.

ACB

-I——I——1——?——X——?——I-------1——

-4-3-2-101234

【變式4-4]（2022秋?東城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料：

我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合的兩點(diǎn)43以及一條線段尸0,（1）

若數(shù)軸上存在一點(diǎn)使得點(diǎn)M到點(diǎn)/的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)5的距離，則稱

點(diǎn)M為點(diǎn)Z與點(diǎn)3的“中位點(diǎn)”；（2）若點(diǎn)幺與點(diǎn)3的“中位點(diǎn)”M在線

段尸。上（點(diǎn)〃可以與點(diǎn)尸或。重合），則稱點(diǎn)幺與點(diǎn)3關(guān)于線段尸0“中

位對(duì)稱”.如圖1,點(diǎn)/表示的數(shù)為-3,點(diǎn)3表示的數(shù)為1,點(diǎn)〃表示的數(shù)

為-1,點(diǎn)〃到點(diǎn)/的距離等于2,點(diǎn)”到點(diǎn)5的距離也等于2,那么點(diǎn)M

為點(diǎn)/與點(diǎn)5的“中位點(diǎn)”；點(diǎn)尸表示的數(shù)為-2,點(diǎn)。表示的數(shù)為2,點(diǎn)/

與點(diǎn)3的''中位點(diǎn)”〃在線段尸。上，那么點(diǎn)/與點(diǎn)5關(guān)于線段尸。”中位對(duì)

稱”.

根據(jù)以上定義完成下列問(wèn)題：

已知：如圖2,點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)/表示的數(shù)為-2,點(diǎn)火表示的數(shù)為

3.

（1）①若點(diǎn)5表示的數(shù)為-5,點(diǎn)”為點(diǎn)N與點(diǎn)5的“中位點(diǎn)”，則點(diǎn)〃

表示的數(shù)為—;

②若點(diǎn)月與點(diǎn)5的“中位點(diǎn)””表示的數(shù)為1,則點(diǎn)5表示的數(shù)為—；

（2）①點(diǎn)5,C.。分別表示的數(shù)為1,居，6,在5,C,。三點(diǎn)中，點(diǎn)/

與關(guān)于線段。？“中位對(duì)稱”；

②點(diǎn)N表示的數(shù)為戈，若點(diǎn)N與點(diǎn)N關(guān)于線段以“中位對(duì)稱”，則x的取

值范圍是;

③點(diǎn)E表示的數(shù)為加，點(diǎn)尸表示的數(shù)為〃/+2,若線段”上至少存在一點(diǎn)與

點(diǎn)N關(guān)于線段石尸“中位對(duì)稱”，直接寫出機(jī)的取值范圍.

o4

APMBQAlI-IIII

―I_I_I_i_I_i_X__I__I_I_i_L->

O234567

—4—3—2—101234—5—4—3—2—1

圖1圖2

【變式4-5］（2022秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）在數(shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O,表示數(shù)1

的點(diǎn)記作點(diǎn)4對(duì)于數(shù)軸上任意一點(diǎn)。（不與點(diǎn)O,點(diǎn)Z重合），將線段尸。

與線段PN的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)尸的特征值，記作p,即P喘，例如：當(dāng)點(diǎn)尸

是線段。4的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槭?尸幺，所以p=i

(1)若點(diǎn)N為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N表示的數(shù)是-1,則N=—；

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)M滿足。攸=2。4,求兒；

(3)數(shù)軸上的點(diǎn)尸表示有理數(shù)夕，已知2W|P|W100且p為整數(shù)，則所有滿足

條件的:的和.

OA-

----------?---------?-----------??~~A

-1012

【變式4-6](2022秋?商河縣期中)閱讀下列材料：

我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合兩點(diǎn)/,B,若數(shù)軸上存在一點(diǎn)使

得點(diǎn)〃到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離,則稱點(diǎn)M為點(diǎn)、4與點(diǎn)B的“平

衡點(diǎn)”.

解答下列問(wèn)題：

經(jīng)驗(yàn)反饋：

(1)若點(diǎn)4表示的數(shù)為-3,點(diǎn)5表示的數(shù)為1,點(diǎn)”為點(diǎn)力與點(diǎn)5的“平

衡點(diǎn)”，則點(diǎn)M表示的數(shù)為—；

(2)若點(diǎn)/表示的數(shù)為-3,點(diǎn)力與點(diǎn)6的“平衡點(diǎn)表示的數(shù)為1,則

點(diǎn)5表示的數(shù)為—；

操作探究：

如圖，已知在紙面上有一條數(shù)軸.

-5-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

操作一：

折疊數(shù)軸，使表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，則表示-5的點(diǎn)與表示

的點(diǎn)重合.

操作二：

折疊數(shù)軸，使表示1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，在這個(gè)操作下回答下列問(wèn)題：

①表示-2的點(diǎn)與表示—的點(diǎn)重合；

②若數(shù)軸上N,5兩點(diǎn)的距離為7（N在3的左側(cè)），且折疊后5兩點(diǎn)重

合，則點(diǎn)/表示的數(shù)為—，

【變式4-7］（2021秋?如皋市期末）定義：數(shù)軸上有月，B兩點(diǎn),若點(diǎn)N到原

點(diǎn)的距離為點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的兩倍，則稱點(diǎn)Z為點(diǎn)6的2倍原距點(diǎn).

已知點(diǎn)N,M,N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為4,〃1,〃.

（1）若點(diǎn)N是點(diǎn)”的2倍原距點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸正半軸上時(shí)，則7〃=；

②當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸負(fù)半軸上，且為線段3的中點(diǎn)時(shí)，判斷點(diǎn)N是否是點(diǎn)力的

2倍原距點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)M,N分別從數(shù)軸上表示數(shù)10,6的點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

河每秒運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N每秒運(yùn)動(dòng)速度為a個(gè)單位長(zhǎng)度.若點(diǎn)M

為點(diǎn)/的2倍原距點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)/恰好也是點(diǎn)N的2倍原距點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a所

有可能的值.

24-682

-12-10-S-6-4-2010

【變式4-8］（2022秋?黃陂區(qū)期末）在數(shù)軸上，對(duì)于不重合的三點(diǎn)M、N、P,

我們給出如下定義：

若點(diǎn)尸到點(diǎn)跖、N的距離之和為10（即PA什PN=10）,我們就把點(diǎn)〃、N叫

做點(diǎn)尸的“伴隨點(diǎn)”.

例如：如圖1,若尸點(diǎn)表示的數(shù)為-1,點(diǎn)尸到表示數(shù)-4的點(diǎn)M與表示數(shù)6

的點(diǎn)N的距離之和尸M+PN=3+7=10,則點(diǎn)〃、N為點(diǎn)尸的“伴隨點(diǎn)”.

己知：不重合的點(diǎn)/、B、C在數(shù)軸上，點(diǎn)/表示數(shù)2.

（1）數(shù)軸上有三點(diǎn)〃、G、K,它們表示的數(shù)分別為5、7、9,其中，有兩個(gè)

點(diǎn)為點(diǎn)Z的“伴隨點(diǎn)”,則這兩個(gè)點(diǎn)分別是;

（2）如圖2,若點(diǎn)3表示的數(shù)為8,點(diǎn)5、C為4點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”.

①請(qǐng)直接寫出：點(diǎn)Z的“伴隨點(diǎn)”C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為；（直接

寫出結(jié)果）

②若C在點(diǎn)N的左側(cè)，點(diǎn)E表示的數(shù)為〃/,點(diǎn)尸表示的數(shù)為〃計(jì)3,點(diǎn)E、產(chǎn)

為點(diǎn)。的“伴隨點(diǎn)”，求〃,的值；

（3）若點(diǎn)"、N為點(diǎn)4的“伴隨點(diǎn)”，點(diǎn)“在點(diǎn)力的左側(cè)，點(diǎn)尸為NN的中

點(diǎn)，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，若尸。=4,求點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù).

MPNAB

-------1―L--------1—>—?----------------2_>

-4-1628

圖1圖2

【變式4-9］（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)5處各折一

下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點(diǎn)/表示-10,點(diǎn)6表示10,點(diǎn)C

表示18.我們稱點(diǎn)/和點(diǎn)C在數(shù)軸上的“友好函數(shù)”為28個(gè)單位長(zhǎng)度.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，以2單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運(yùn)

動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O與點(diǎn)5之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.經(jīng)過(guò)點(diǎn)5后立刻恢復(fù)

原速；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以1單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”

向其負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5與點(diǎn)O之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，經(jīng)過(guò)O

后也立刻恢復(fù)原速.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

(1)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要秒，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)力需

要秒；

(2)P,。兩點(diǎn)相遇時(shí)，求出相遇點(diǎn)〃在“折線數(shù)軸”上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(3)是否存在，值，使得點(diǎn)尸和點(diǎn)。任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于

點(diǎn)N和點(diǎn)5在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出，的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

專題05數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)經(jīng)典題型(四大題型)

一名丸臣女蚣獨(dú)______________________________

【題型1最值問(wèn)題】

【題型2線段的和倍差問(wèn)題】

【題型3數(shù)軸與行程相遇綜合問(wèn)題】

【題型4數(shù)軸上新定義問(wèn)題】

___潘一紀(jì)始鬃_________________________

【題型1最值問(wèn)題】

【典例1】［問(wèn)題提出］|。-1|+|。-2\+\a-3|+…+H+202”的最小值是多少？

［閱讀理解］

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手，⑷的幾何意義是。這個(gè)數(shù)在

數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么|a-1|可以看作。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)到1的距離；H-1|+|?-2|就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2

兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究-l|+|a-2|的最小值.

我們先看。表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：

(1)如圖①，。在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和

大于L

(2)如圖②，。在1,2之間(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距

離

之和等于1.

(3)如圖③，。在2的右邊，從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和

大于1.

因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)。在1,2之間(包括在1,2±)時(shí)，\a-l|+|a

-2|有最小值1.

［問(wèn)題解決］

(1)請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸探究：-4|+|a-7|的最小值是3.

(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究|a-l\+\a-2|+|a-3|的最小值是2.

(3)\a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|的最小值為6

(4)\a-l|+|a-2|+|a-3|+…+舊-2021|的最小值為1021110.

［拓展應(yīng)用］已知(|〃+1|+|〃-2|)X(|*-2|+|i+l|)X(|c-3|+|c+l|)=36,則

〃+2辦+3。的最大值為15>〃+25+3c的最小值為-6.

?1gl????

-2-101234

圖①

a

??i?；???A

-2-101234

圖②

iiiiii」iA

-2-101234

圖③

iiiiiii?

-2-101234

圖④

【答案】(1)3；

(2)2；

(3)4；

(4)2020；

［拓展應(yīng)用］15,-6.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知，|。-4|表示的是。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

到4的距離，|a-7|表示的是。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到7的距離，

則|a-4|+|a-7|表示的是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之

和，

數(shù)軸如圖所示：

a

—?—.__?—>_—.~~?一一.」__*_。

-3-2-1012345678

圖①a

----1------：_!_?_?_*-------1_

-3-2-1012345678

圖②

|“，ii—?~?—???1??〉

-3-2-1012345678

圖③

如圖①所示：。在4的左邊，從圖中很明顯可以看出。到4和7的距離之和

大于3；

如圖②所示，。在7的右邊，從圖中很明顯可以看出。到4和7的距離之和

大于3；

如圖③所示，當(dāng)。在4、7之間（包括4和7上）時(shí)，距離之和最小，最小值

為3；

故答案為：3；

（2）根據(jù)題意得，|a-l|+|o-2|+|a-3|表示的是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到

1、2、3三個(gè)點(diǎn)的距離之和，

如圖所示：

a

1--------1-------------------------------------------L->

-2-101234

圖①

a

I--------1--------1------4-------4------L>

-2-101234

圖②

a

I--------1--------1----------------L>

-2-101234

圖③

a

?--------1--------1--------?-------??/-------

-2-101234

圖④

a

1--------1--------1-------*------*------*-------

-2-101234

圖⑤

如圖①所示：。在1的左邊，從圖中很明顯可以看出。到1、2、3的距離之

和大于2；

如圖②所示，。在3的右邊，從圖中很明顯可以看出。到1、2、3的距離之

和大于2；

如圖③所示，當(dāng)a在1、2之間（包括1上）時(shí)，距離之和大于2；

如圖④所示，當(dāng)。在2、3之間（包括3上）時(shí)，距離之和大于2；

如圖⑤所示，當(dāng)。在2上時(shí)，距離之和最小，最小值為2；

綜上所述：當(dāng)。在2上時(shí)，距離之和最小，最小值為2；

故答案為：2；

（3）