1.2 空間向量基本定理（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.2空間向量的基本定理知識點一空間的基底【【解題思路】基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷．【例1-1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）（多選）已知空間向量，，不共面，則以下每組向量能做基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【例1-2】（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）若是空間的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則k=（

）A． B．5 C． D．【變式】1．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）（多選）若是空間的一個基底，則下列向量中可以和，構(gòu)成空間一個基底的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）已知向量能構(gòu)成空間的一組基底，則能與向量構(gòu)成空間另一組基底的向量是（

）A． B．C． D．知識點二空間向量基本定理【【解題思路】用基底表示向量的步驟(1)定基底：確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有基底的向量，不能含有其他形式的向量．【例2-1】（23-24高二下·上海閔行·期末）如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，為與的交點，若，則（

）A． B．C． D．【例2-2】（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，空間四邊形OABC中，點M是OA的中點，點N在BC上，設(shè)，則（

）

A． B． C． D．1【變式】1．（22-23高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四面體OABC中，，點在線段OA上，且為BC中點，則等于（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陜西榆林·期中）如圖所示的三棱錐A-BCD中，令，，，且M，G分別是BC，CD的中點，則等于（

）A． B． C． D．3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四邊形，點E在線段DC上，滿足，，則（）A．- B． C． D．4．（23-24高二上·北京·期中）平行六面體的所有棱長都是1，為中點，，，則（

）A．， B．，C．， D．，知識點三證明平行、共面問題【【解題思路】證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行．(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行．【例3】（2023高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，分別是的中點，在上且，在上且，判斷與是否共線？【變式】1．（2024江西南昌·期中）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.(1)求證：四點共面；(2)平面平面.2．（2024廣東云?。┤鐖D,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點.(1)求證:EG∥AC;(2)求證:平面EFG∥平面AB1C．知識點四夾角、證明垂直【【解題思路】求夾角、證明線線垂直的方法利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，進而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況．【例4-1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點，設(shè)，，.(1)用，，表示，并求出；(2)求證：.【例4-2】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，平行六面體中，.(1)用向量表示向量，并求；(2)求直線與直線所成角的余弦值.【變式】1．（23-24高二下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設(shè)，，．(1)求的長；(2)求異面直線和夾角的余弦值．2．（23-24高二上·陜西咸陽·期末）如圖，在平行六面體中，，．設(shè)，，．(1)用基底表示向量，，；(2)證明：平面．3．（2024山東青島·期末）如圖所示，在三棱柱中，，是的中點.(1)用表示向量；(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，請說明理由.知識點五距離(長度)問題【【解題思路】求距離(長度)問題的思路選擇已知長度和夾角的三個向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離(長度)問題轉(zhuǎn)化為向量的模的問題．【例5】（23-24吉林延邊·階段練習(xí)）平行六面體中.則=（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）在棱長為的正四面體中，點在上，且，為中點，則為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）在三棱臺中，，，的重心為，的中點為，與相交于點，則的長為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·廣東清遠·期中）如圖，平行六面體的各棱長均為，則（

）A． B． C． D．【題組一空間的基底】1．（23-24高二下·四川成都·開學(xué)考試）（多選）已知是三個不共面的向量，則下列向量組中，可以構(gòu)成基底的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（多選）設(shè)，且是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（）A． B．C． D．3．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可以是（

）A． B．C． D．4．（22-23高二下·江蘇·階段練習(xí)）（多選）空間四個點O，A，B，C，為空間的一個基底，則下列說法正確的是（）A．O，A，B，C四點不共線B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點中任意三點不共線D．O，A，B，C四點不共面5．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）下列命題中正確的是（

）A．若三個非零向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則必定共面B．若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則共線C．若是空間的一個基底，仍是空間的另一個基底D．若是空間的一個基底，是空間的另一個基底【題組二空間向量基本定理】1．（23-24重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·福建龍巖·期末）在三棱錐中，D是的中點，E是的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·河南焦作·期末）如圖所示，在三棱錐中，，，，點M，N滿足，，則（

）A． B．C． D．4．（2024安徽蕪湖·期中）在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點，則可以表示為（

）

A． B．C． D．5（23-24天津·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，點在上，且，點為中點，則等于（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為的中點，F(xiàn)為的中點，，，，則（

）

A． B．C． D．7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體中，為的中點，若，則（

）A．3 B． C． D．【題組三證明平行、共面】1．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知O、A、B、C為空間四點，且對空間中任意一個向量，若存在唯一的一組實數(shù)、、，使得不成立，則（

）A．、、共線 B．、共線C．、共線 D．O、A、B、C四點共面2.（2024·江蘇·高二課時練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．3．（2024廣東）如圖，三棱柱中，，，點，分別在和上，且滿足，.(1)證明：平面；(2)若為中點，求的長.【題組四夾角、證明垂直】1．（22-23高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，⊥，⊥，⊥，，分別是的中點，分別是的中點，證明：⊥．2．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖：三棱柱中，，是的中點．(1)求的長；(2)若點是棱所在直線上的點，設(shè)，當時，求實數(shù)的值．3．（23-24高二上·四川涼山·期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，．

(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．4．（2024湖北）已知空間四邊形中，，且分別是的中點，是的中點，用向量方法證明．5．（23-24高二上·山西太原·期中）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．6．（23-24高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，在所有棱長都為2的正三棱柱中，為的中點．

(1)用以為空間的一組基底表示向量．(2)線段上是否存在一點，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由．【題組五距離(長度)問題】1．（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，且任意兩個之間的夾角均為，，，則（

）

A． B． C． D．22．（2023高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M，N分別為AB，B1C的中點，若AB＝a，則MN的長為（

）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)3．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖，兩個正方形，的邊長都是2，且，則的長為.4．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，，，，則．

5．（2024四川成都·期中）如圖，在平行六面體中，，，，