人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-三角形有關的線段（解析版）

第01講三角形有關的線段

學習目標

課程標準學習目標

1.認識三角形并了解三角形的相關元素，并能根據(jù)三

①三角形的認識與分類角形的特點對其進行分類。

②三角形的三邊關系2.掌握三角形的三邊關系，能夠利用三邊關系解題。

③三角形的中線、高線以及角平分線3,掌握三角形的中線、高線、角平分線以及他們的性

④三角形的穩(wěn)定性質(zhì)。

4.掌握三角形的穩(wěn)定性并了解它在生活中的應用。

思維導圖

認識

知識點01三角形的認識與分類

1.三角形的認識：

如圖：由三條不在同一直線上的線段首位順次連接組成的圖形。用符號A

來表示，表示為4ABC。/\

其中：點A、點B、點C時三角形的頂點。/\

BC

線段AB、BC、AC是三角形的邊。

NA、NB、NC是三角形的角。

AB、AC與/A相鄰，所以是/A的鄰邊，BC與NA相對，所以是/A的對邊；

同理可得NB、NC的鄰邊與對邊。

題型考點：①判斷認識三角形。

2.三角形的分類：

三角形可按邊或角進行分類。

①按邊分類：

網(wǎng)等

三田（8等（三*H

②按角分類:

題型考點：三角形的分類。

【即學即練1】

1.圖中共有三角形個，其中以/E為邊的三角形有個.

AA

'O

BC

D

【解答】解：(1)①△8。。，AABO,△/(?￡,共3個;

②△/m4ADC,2個；

③△ABE,ABCE,2個；

?△ABC,1個；

綜上，圖中共有共8個三角形；

(2)以/￡1為邊的三角形有：/XAOE,/XABE,2個；

故答案為：8；2.

【即學即練2】

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲、乙兩種分法均錯誤

C.甲的分法錯誤，乙的分法正確

D.甲的分法正確，乙的分法錯誤

【解答】解：甲分法正確，乙正確的分類應該為:

乙

故選：D.

知識點02三角形的三邊關系

1.三角形的三邊關系：

由兩點之間線段最短可知，三角形的任意兩邊之和大于第三邊。任意兩邊之差小于第三邊。

解題時常用兩邊之差小于第三邊小于兩邊之和建立不等式。

題型考點：①判斷能否構成三角形。②求第三邊的范圍。

【即學即練1】

3.將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,3,5D.3,5,9

【解答】解：/、1+2=3,不能組成三角形，故不符合題意；

B、3+4=7>5,能組成三角形，故符合題意；

C、2+3=5,不能組成三角形，故不符合題意；

D、3+5=8<9,不能組成三角形，故不符合題意.

故選：B.

【即學即練2】

4.若一個三角形兩邊的長分別為2和6,則這個三角形第三邊的長可以是（）

A.3B.4C.6D.9

【解答】解：設第三邊的長為X,

則6-2cx<6+2,

故4Vx<8.

故選：C.

【即學即練3】

5.已知三角形的三邊長分別為3,5,x,則x不可能是（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：*.,3+5=8,5-3=2,

.\2<x<8.

故選：D.

6.若三角形三邊長為3,2x+l,10,則x的取值范圍是3Vx<6.

【解答】解：由三角形三邊關系定理得：10-3<2x+l<10+3,且2x+l>0

解得：3Vx<6,

即x的取值范圍是3<xV6.

故答案為：3Vx<6.

知識點03三角形的中線

1.三角形中線的定義：

如圖，三角形的頂點與對邊中點的連線段叫做三角形的中線。

2.三角形中線的性質(zhì)：///

①AM是三角形的中線OM是BC的中點OBM=CM=IBC。BM

②中線平分三角形的面積。即：

SAABM=SAACM

③中線分三角三角形的周長差等于對應另兩邊的差。即：

C^ABM-CACM=AB-AC

④三角形有3條中線,且三條中線交于一點，叫做三角形的重心。

題型考點：①利用中線的性質(zhì)進行與周長與面積有關的計算。

【即學即練1】

7.如圖，己知△N8C中，點、D、E分別是邊3C、的中點.若△/BC的面積等于8,則△出用的面積等

于（）

【解答】解：?.?點。是邊3c的中點，△43C的面積等于8,

是AB的中點,

SABDE=—S/^ABD=—X4=2,

22

故選：A.

【即學即練2】

8.如圖，4。是△ABC的中線，AB=5,AC=4,若△4CZ）的周長為10,則△45。的周長為（

C.10

【解答】解：??,△48的周長為10,

：.AC+AD+CD=\0,

??7。=4,

：.AD+CD=6,

??Z。是△45C的中線，

：.BD=CD,

?；4B=5,

???/\ABD的周長=Z5+4Q+CD=11,

故選：D.

知識點04三角形的高線

1.三角形高線的定義：

如圖，過三角形的頂點作對邊的垂線，頂點與垂足之間的線段是三角形的高線。

BD是4ABC的高=BDLAC

2.銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形所有高線的畫法：

3.三角形的垂心:

三角形有條高線，且三條高線交于一點，這個點叫做三角形的垂心

4.高線與垂心的位置與三角形形狀的關系：

銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，垂心在三角形內(nèi)。

直角三角形有兩條高是三角形的邊，垂心在三角形上。

鈍角三角形有兩條高在三角形外，垂心在三角形外。

題型考點：①三角形高線的判斷與作圖。②根據(jù)高線與垂心的位置判斷三角形的形狀。

【即學即練1】

9.如所示的四個圖形中，線段3。是△48C的高的圖形是（）

A.

C.

【解答】解：/、圖形中，線段8。不是△4BC的高，不符合題意；

B、圖形中，線段8。不是△4BC的高，不符合題意；

C、圖形中，線段2。不是的高，不符合題意；

D、圖形中，線段3。是△43C的高，符合題意；

故選：D.

【即學即練2】

10.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

【解答】解：/、銳角三角形，三條高線交點在三角形內(nèi)，故錯誤；

8、鈍角三角形，三條高線不會交于一個頂點，故錯誤；

C、直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，可以得出這個三角形是直角三角形，故正確;

。、能確定C正確，故錯誤.

故選：C.

知識點05三角形的角平分線

1.三角形角平分線的定義:

如圖。三角形的一個內(nèi)角平分線與這個角對邊相交，頂點和交點之間

的線段是三角形的角平分線。

2.三角形角平分線的性質(zhì):

①AD是三角形的角平分線Z2o

②三角形的角平分線把三角形分得的兩個小三角形的面積比等于被角平分線分邊分得的兩條線段

比。即S^BD:^\ACD=_BD:CD

③三角形有3條角平分線,三條角平分交于一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心

題型考點：①角平分線的認識。

【即學即練1】

11.如圖，在△/2C中，Nl=/2=/3=N4,則下列說法中，正確的是（）

A.4D是的中線B./￡是△4BC的角平分線

C./尸是的高線D./￡是△D4F的中線

【解答】解：：/1=/2=/3=/4,

.?.Z1+Z2=Z3+Z4,

：.AE是△NBC的角平分線，

故選：B.

知識點06三角形的穩(wěn)定性

1.三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三條邊確定，則這個三角形的形狀和大小就會確定。這就是三角形的穩(wěn)定性。

題型考點：判斷三角形的穩(wěn)定性在生活中的應用。

【即學即練11

12.如圖是位于汾河之上的通達橋，是山西省首座獨塔懸索橋，是連接二青會的水上運動、沙灘排球等項

目及場館的主要通道，被譽為“時代之門”.橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更

加穩(wěn)固.其中運用的數(shù)學原理是（）

A.三角形具有穩(wěn)定性

B.兩點確定一條直線

C.兩點之間，線段最短

D.三角形的兩邊之和大于第三邊

【解答】解：橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固.其中運用的數(shù)學原理

是：三角形具有穩(wěn)定性.

故選：A.

題型精講

題型01利用三角形三邊關系求取值范圍

【典例1】

已知a,b,。是一個三角形的三邊，且a,6滿足4q+（b-2）2=0-則c的取值范圍是（）

A.c>lB.c<2C.1VCW2D.l<c<3

【解答】解：由題意得，a-1=0,6-2=0,

解得q=l,b=2,

???2-1=1,1+2=3,

.,.l<c<3.

故選：D.

變式L

在△ABC中，AB=2n-5,AC=4fBC=\3,則〃的取值范圍是)

A.n<\\B.7<w<llC.9<w<17D.〃〉7

【解答】解：在△45。中，AB=2n-5,AC=4f5C=13,

又TBC-AC<AB<BC+AC,

f2n-5>13-4

2n-5<13+4

解得：7<?<11,

故選：B.

變式2：

已知三角形三邊分別為2,5,那么。的取值范圍是（)

A.2<a<5B.3<a<6C.3<a<7D.4V〃V8

【解答】解：依題意得：5-2Va-1V5+2,

即：3<a-1<7,

A4<tz<8.

故選：D.

題型02利用三角形三邊關系化簡

【典例1】

已知q,b,。是三角形的三條邊，貝>J|c-Q-b|+|c+b-M的化簡結(jié)果為（

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b-2c

【解答】解：:〃，b,c是三角形的三條邊,

a+b>c,b+c>a,

^?c-a-b<Ofc+b-tz>0,

\c-a-b\+\c+b-a\

=-(c-a-b)+(c+6-a)

=a+b-c+c+b-a

=2b,

故選：C.

變式1:

已知a,b,c是二角形的二邊長，化簡：\a-b-c|+|Z?_c+a|+|c-a-b\—

【解答】解：；a、6、c是三角形的三邊長，

a+b>c,b+c>a,a+b>c,

?\a-b-c<0,b-c+a>0,c-a-b<0,

\a-b-c|+|b-c+a|+|c-a-b\=~a+b+c+b-c+a-Qc-a-b)=a+3b-c.

故答案為：a+3b-c.

變式2：

已知三角形的三邊長分別為2,a-l,4,則化簡|a-3|-|a-7|的結(jié)果為.

【解答】解：由三角形三邊關系定理得4-2<。-1<4+2,

即3<a<7.

??\a~3|^\a~l\=a~3-7+a=2a-10.

故答案為：2a-10.

題型03三角形三邊關系與等腰三角形

【典例1】

等腰三角形的兩邊長分別為4和9,這個三角形的周長是()

A.17B.22C.17或22D.17和22

【解答】解：分兩種情況：

①當4為底邊長，9為腰長時，4+9>9,

，三角形的周長=4+9+9=22；

②當9為底邊長，4為腰長時，

V4+4<9,

不能構成三角形；

,這個三角形的周長是22.

故選：B.

變式1：

在等腰△N8C中，AB=AC,其周長為161?加，則邊的取值范圍是()

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB〈8cmD.5cm<AB<10cm

【解答】解：；在等腰△NBC中，AB^AC,其周長為16cm,

二設/8=4C=xc〃z,貝!]3C=（16-2x）cm,

,，2x>16-2x

16-2x>0'

解得4cm<x<8cm.

故選：C.

變式2：

等腰三角形的周長為26c%,一邊長為6c〃?，那么腰長為（）

A.6cmB.10cmC.6cm或10c〃？D.14cm

【解答】解：①當6c機為腰長時，則腰長為6CTM,底邊=26-6-6=14C",因為14>6+6,所以不能構

成三角形；

②當6c〃?為底邊時，則腰長=（26-6）4-2=10cm,因為6-6<10<6+6,所以能構成三角形；

故選：B.

變式3：

已知。，6是等腰三角形的兩邊長，且a,6滿足“2a-3b+5+（20+36-13）2=0,則此等腰三角形的周長

為（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

【解答】解：vV2a-3b+5+（2a+3b-13）2=0,

.（2a~3b+5=0

"l2a+3b-13=0，

解得：卜=2,

lb=3

當6為底時，三角形的三邊長為2,2,3,周長為7；

當。為底時，三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8,

...等腰三角形的周長為7或8.

故選：D.

題型04三角形的中線與周長與面積的關系

【典例1】

如圖，△/BC中，/8=16,3。=10,3。是/C邊上的中線，若△48。的周長為30,則△瓦力的周長是（）

C

BA

A.20B.24C.26D.28

【解答】解：是/C邊上的中線，

：.CD=AD,

/\ABD的周長為30,

：.AB+AD+BD^30,

；.16+CZ)+2D=30,

：.CD+BD=14,

:ABCD的周長=BC+CZ)+3￡?=14+10=24,

故選：B.

變式1：

在中，是8c邊上的中線，△/￡>(?的周長比△48。的周長多3,48與/C的和為13,則/C的

長為()

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：???/〃是8C邊上的中線，

：.BD=DC,

由題意得，(/C+CD+4D)-(.AB+BD-AD)=3,

整理得，AC-AB=3,

則［AC-AB=3,

(AC+AB=13

解得，產(chǎn)8,

lAB=5

故選：D.

【典例2】

已知：如圖所示，在△/8C中，點。，E,尸分別為3C,AD,CE的中點，且麋/8。=4°加2,則陰影部分的

面積為cm2.

【解答】解：為8C中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等,

S/\ABD~S/\ACD~—S/\ABC=—X4=2（。冽?），

22

同理SABDE=SACDE=LS^BCE=上義2=15的,

22

:.SABCE=2（c冽2）,

???尸為EC中點,

**?S/^BEF——S^BCE=—X2=1（cm2）.

22

故答案為1.

強化訓練

1.如圖，圖中三角形的個數(shù)共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【解答】解：圖中是三角形的有：△/OC、△BOD、△/。8、LABC、4ABD.

故選：C.

2.下列關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）

甲乙

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲分法正確，乙分法錯誤

C.甲分法錯誤，乙分法正確

D.甲、乙兩種分法均錯誤

m口

不

夠

ffi三

相

形

的

角

【解答】解：甲正確的分類應該為乙分法正確;

故選：C.

3.圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.以上都有可能

【解答】解：從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個

直角.

故選：D.

4.下列長度的三條線段中，能圍成三角形的是（）

A.5cm,6cm,\2cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6cm,10cmD.3cm,4cm,8cm

【解答】解：A,5+6<12,所以不能圍成三角形；

B、3+4>5,所以能圍成三角形；

C、4+6=10,所以不能圍成三角形；

D、3+4<8,所以不能圍成三角形.

故選：B.

5.在△N3C中，AB=2cm,AC=5cm,若8C的長為整數(shù)，則8c的長可能是（）

A.2cmB.3C.6cmD.7cm

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得

5-2<BC<5+2,

即3cBe<7.

又BC的長為整數(shù)，則BC的長可能是6cm.

故選：C.

6.若a,b,c為△48C的三邊長，化簡：\b-a-c\-\a-b-c\=.

【解答】解：:a、b、c分別為△NBC的三邊的長，

a+c>b,a<b+c,

'.b-a-c<0,a-b-c<0,

".\b-a-c\-\a-b-c\—-b+a+c+a-b-c--2b+2a.

故答案是：-2b+2a.

7.用三角板作△/BC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）

A.BCB.B

【解答】解：B,C,D都不是△/8C的邊5。上的高，

故選：A.

8.三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）

A.形狀相同的三角形B.面積相等的三角形

C.直角三角形D.周長相等的三角形

【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形.

故選：B.

9.如圖，在△N8C中，點￡是的中點，/B=7,NC=10,的周長是25,則△N3E的周長是

【解答】解：的周長是25,

：.AC+AE+CE=25,

\"AC=W,

：.AE+CE=\5,

:點E是2c的中點，

:.BE=CE,

：.AABEJi=AB+BE+AE=AB+CE+AE=7+15=22,

故答案為：22.

10.如圖，在生活中，我們經(jīng)常會看見如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利

用了三角形的（)

B

A.穩(wěn)定性B.靈活性C.對稱性D.全等性

【解答】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性.故選4.

11.一個三角形3條邊長分別為xc用、(x+1)cm、(x+2)c加，它的周長不超過39cm,則x的取值范圍是

【解答】解：二?一個三角形的3邊長分別是xc加，(x+1)cm,(x+2)cm,它的周長不超過39c加，

.(x+(x+l)>x+2

tx+(x+1)+(x+2)439

解得1<XW12.

故答案為：1<XW12.

12.如圖，直角三角形4