人教版初中八年級數(shù)學(xué)上冊同步講義-三角形有關(guān)的線段（解析版）

第01講三角形有關(guān)的線段

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識三角形并了解三角形的相關(guān)元素，并能根據(jù)三

①三角形的認(rèn)識與分類角形的特點(diǎn)對其進(jìn)行分類。

②三角形的三邊關(guān)系2.掌握三角形的三邊關(guān)系，能夠利用三邊關(guān)系解題。

③三角形的中線、高線以及角平分線3,掌握三角形的中線、高線、角平分線以及他們的性

④三角形的穩(wěn)定性質(zhì)。

4.掌握三角形的穩(wěn)定性并了解它在生活中的應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

認(rèn)識

知識點(diǎn)01三角形的認(rèn)識與分類

1.三角形的認(rèn)識：

如圖：由三條不在同一直線上的線段首位順次連接組成的圖形。用符號A

來表示，表示為4ABC。/\

其中：點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C時(shí)三角形的頂點(diǎn)。/\

BC

線段AB、BC、AC是三角形的邊。

NA、NB、NC是三角形的角。

AB、AC與/A相鄰，所以是/A的鄰邊，BC與NA相對，所以是/A的對邊；

同理可得NB、NC的鄰邊與對邊。

題型考點(diǎn)：①判斷認(rèn)識三角形。

2.三角形的分類：

三角形可按邊或角進(jìn)行分類。

①按邊分類：

網(wǎng)等

三田（8等（三*H

②按角分類:

題型考點(diǎn)：三角形的分類。

【即學(xué)即練1】

1.圖中共有三角形個(gè)，其中以/E為邊的三角形有個(gè).

AA

'O

BC

D

【解答】解：(1)①△8。。，AABO,△/(?￡,共3個(gè);

②△/m4ADC,2個(gè)；

③△ABE,ABCE,2個(gè)；

?△ABC,1個(gè)；

綜上，圖中共有共8個(gè)三角形；

(2)以/￡1為邊的三角形有：/XAOE,/XABE,2個(gè)；

故答案為：8；2.

【即學(xué)即練2】

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤

C.甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確

D.甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤

【解答】解：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為:

乙

故選：D.

知識點(diǎn)02三角形的三邊關(guān)系

1.三角形的三邊關(guān)系：

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，三角形的任意兩邊之和大于第三邊。任意兩邊之差小于第三邊。

解題時(shí)常用兩邊之差小于第三邊小于兩邊之和建立不等式。

題型考點(diǎn)：①判斷能否構(gòu)成三角形。②求第三邊的范圍。

【即學(xué)即練1】

3.將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,3,5D.3,5,9

【解答】解：/、1+2=3,不能組成三角形，故不符合題意；

B、3+4=7>5,能組成三角形，故符合題意；

C、2+3=5,不能組成三角形，故不符合題意；

D、3+5=8<9,不能組成三角形，故不符合題意.

故選：B.

【即學(xué)即練2】

4.若一個(gè)三角形兩邊的長分別為2和6,則這個(gè)三角形第三邊的長可以是（）

A.3B.4C.6D.9

【解答】解：設(shè)第三邊的長為X,

則6-2cx<6+2,

故4Vx<8.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

5.已知三角形的三邊長分別為3,5,x,則x不可能是（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：*.,3+5=8,5-3=2,

.\2<x<8.

故選：D.

6.若三角形三邊長為3,2x+l,10,則x的取值范圍是3Vx<6.

【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：10-3<2x+l<10+3,且2x+l>0

解得：3Vx<6,

即x的取值范圍是3<xV6.

故答案為：3Vx<6.

知識點(diǎn)03三角形的中線

1.三角形中線的定義：

如圖，三角形的頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線段叫做三角形的中線。

2.三角形中線的性質(zhì)：///

①AM是三角形的中線OM是BC的中點(diǎn)OBM=CM=IBC。BM

②中線平分三角形的面積。即：

SAABM=SAACM

③中線分三角三角形的周長差等于對應(yīng)另兩邊的差。即：

C^ABM-CACM=AB-AC

④三角形有3條中線,且三條中線交于一點(diǎn)，叫做三角形的重心。

題型考點(diǎn)：①利用中線的性質(zhì)進(jìn)行與周長與面積有關(guān)的計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

7.如圖，己知△N8C中，點(diǎn)、D、E分別是邊3C、的中點(diǎn).若△/BC的面積等于8,則△出用的面積等

于（）

【解答】解：?.?點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，△43C的面積等于8,

是AB的中點(diǎn),

SABDE=—S/^ABD=—X4=2,

22

故選：A.

【即學(xué)即練2】

8.如圖，4。是△ABC的中線，AB=5,AC=4,若△4CZ）的周長為10,則△45。的周長為（

C.10

【解答】解：??,△48的周長為10,

：.AC+AD+CD=\0,

??7。=4,

：.AD+CD=6,

??Z。是△45C的中線，

：.BD=CD,

?；4B=5,

???/\ABD的周長=Z5+4Q+CD=11,

故選：D.

知識點(diǎn)04三角形的高線

1.三角形高線的定義：

如圖，過三角形的頂點(diǎn)作對邊的垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段是三角形的高線。

BD是4ABC的高=BDLAC

2.銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形所有高線的畫法：

3.三角形的垂心:

三角形有條高線，且三條高線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心

4.高線與垂心的位置與三角形形狀的關(guān)系：

銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，垂心在三角形內(nèi)。

直角三角形有兩條高是三角形的邊，垂心在三角形上。

鈍角三角形有兩條高在三角形外，垂心在三角形外。

題型考點(diǎn)：①三角形高線的判斷與作圖。②根據(jù)高線與垂心的位置判斷三角形的形狀。

【即學(xué)即練1】

9.如所示的四個(gè)圖形中，線段3。是△48C的高的圖形是（）

A.

C.

【解答】解：/、圖形中，線段8。不是△4BC的高，不符合題意；

B、圖形中，線段8。不是△4BC的高，不符合題意；

C、圖形中，線段2。不是的高，不符合題意；

D、圖形中，線段3。是△43C的高，符合題意；

故選：D.

【即學(xué)即練2】

10.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

【解答】解：/、銳角三角形，三條高線交點(diǎn)在三角形內(nèi)，故錯(cuò)誤；

8、鈍角三角形，三條高線不會交于一個(gè)頂點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

C、直角三角形的直角所在的頂點(diǎn)正好是三條高線的交點(diǎn)，可以得出這個(gè)三角形是直角三角形，故正確;

。、能確定C正確，故錯(cuò)誤.

故選：C.

知識點(diǎn)05三角形的角平分線

1.三角形角平分線的定義:

如圖。三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與這個(gè)角對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間

的線段是三角形的角平分線。

2.三角形角平分線的性質(zhì):

①AD是三角形的角平分線Z2o

②三角形的角平分線把三角形分得的兩個(gè)小三角形的面積比等于被角平分線分邊分得的兩條線段

比。即S^BD:^\ACD=_BD:CD

③三角形有3條角平分線,三條角平分交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心

題型考點(diǎn)：①角平分線的認(rèn)識。

【即學(xué)即練1】

11.如圖，在△/2C中，Nl=/2=/3=N4,則下列說法中，正確的是（）

A.4D是的中線B./￡是△4BC的角平分線

C./尸是的高線D./￡是△D4F的中線

【解答】解：：/1=/2=/3=/4,

.?.Z1+Z2=Z3+Z4,

：.AE是△NBC的角平分線，

故選：B.

知識點(diǎn)06三角形的穩(wěn)定性

1.三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三條邊確定，則這個(gè)三角形的形狀和大小就會確定。這就是三角形的穩(wěn)定性。

題型考點(diǎn)：判斷三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。

【即學(xué)即練11

12.如圖是位于汾河之上的通達(dá)橋，是山西省首座獨(dú)塔懸索橋，是連接二青會的水上運(yùn)動(dòng)、沙灘排球等項(xiàng)

目及場館的主要通道，被譽(yù)為“時(shí)代之門”.橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更

加穩(wěn)固.其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）

A.三角形具有穩(wěn)定性

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.兩點(diǎn)之間，線段最短

D.三角形的兩邊之和大于第三邊

【解答】解：橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固.其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理

是：三角形具有穩(wěn)定性.

故選：A.

題型精講

題型01利用三角形三邊關(guān)系求取值范圍

【典例1】

已知a,b,。是一個(gè)三角形的三邊，且a,6滿足4q+（b-2）2=0-則c的取值范圍是（）

A.c>lB.c<2C.1VCW2D.l<c<3

【解答】解：由題意得，a-1=0,6-2=0,

解得q=l,b=2,

???2-1=1,1+2=3,

.,.l<c<3.

故選：D.

變式L

在△ABC中，AB=2n-5,AC=4fBC=\3,則〃的取值范圍是)

A.n<\\B.7<w<llC.9<w<17D.〃〉7

【解答】解：在△45。中，AB=2n-5,AC=4f5C=13,

又TBC-AC<AB<BC+AC,

f2n-5>13-4

2n-5<13+4

解得：7<?<11,

故選：B.

變式2：

已知三角形三邊分別為2,5,那么。的取值范圍是（)

A.2<a<5B.3<a<6C.3<a<7D.4V〃V8

【解答】解：依題意得：5-2Va-1V5+2,

即：3<a-1<7,

A4<tz<8.

故選：D.

題型02利用三角形三邊關(guān)系化簡

【典例1】

已知q,b,。是三角形的三條邊，貝>J|c-Q-b|+|c+b-M的化簡結(jié)果為（

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b-2c

【解答】解：:〃，b,c是三角形的三條邊,

a+b>c,b+c>a,

^?c-a-b<Ofc+b-tz>0,

\c-a-b\+\c+b-a\

=-(c-a-b)+(c+6-a)

=a+b-c+c+b-a

=2b,

故選：C.

變式1:

已知a,b,c是二角形的二邊長，化簡：\a-b-c|+|Z?_c+a|+|c-a-b\—

【解答】解：；a、6、c是三角形的三邊長，

a+b>c,b+c>a,a+b>c,

?\a-b-c<0,b-c+a>0,c-a-b<0,

\a-b-c|+|b-c+a|+|c-a-b\=~a+b+c+b-c+a-Qc-a-b)=a+3b-c.

故答案為：a+3b-c.

變式2：

已知三角形的三邊長分別為2,a-l,4,則化簡|a-3|-|a-7|的結(jié)果為.

【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得4-2<。-1<4+2,

即3<a<7.

??\a~3|^\a~l\=a~3-7+a=2a-10.

故答案為：2a-10.

題型03三角形三邊關(guān)系與等腰三角形

【典例1】

等腰三角形的兩邊長分別為4和9,這個(gè)三角形的周長是()

A.17B.22C.17或22D.17和22

【解答】解：分兩種情況：

①當(dāng)4為底邊長，9為腰長時(shí)，4+9>9,

，三角形的周長=4+9+9=22；

②當(dāng)9為底邊長，4為腰長時(shí)，

V4+4<9,

不能構(gòu)成三角形；

,這個(gè)三角形的周長是22.

故選：B.

變式1：

在等腰△N8C中，AB=AC,其周長為161?加，則邊的取值范圍是()

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB〈8cmD.5cm<AB<10cm

【解答】解：；在等腰△NBC中，AB^AC,其周長為16cm,

二設(shè)/8=4C=xc〃z,貝!]3C=（16-2x）cm,

,，2x>16-2x

16-2x>0'

解得4cm<x<8cm.

故選：C.

變式2：

等腰三角形的周長為26c%,一邊長為6c〃?，那么腰長為（）

A.6cmB.10cmC.6cm或10c〃？D.14cm

【解答】解：①當(dāng)6c機(jī)為腰長時(shí)，則腰長為6CTM,底邊=26-6-6=14C",因?yàn)?4>6+6,所以不能構(gòu)

成三角形；

②當(dāng)6c〃?為底邊時(shí)，則腰長=（26-6）4-2=10cm,因?yàn)?-6<10<6+6,所以能構(gòu)成三角形；

故選：B.

變式3：

已知。，6是等腰三角形的兩邊長，且a,6滿足“2a-3b+5+（20+36-13）2=0,則此等腰三角形的周長

為（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

【解答】解：vV2a-3b+5+（2a+3b-13）2=0,

.（2a~3b+5=0

"l2a+3b-13=0，

解得：卜=2,

lb=3

當(dāng)6為底時(shí)，三角形的三邊長為2,2,3,周長為7；

當(dāng)。為底時(shí)，三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8,

...等腰三角形的周長為7或8.

故選：D.

題型04三角形的中線與周長與面積的關(guān)系

【典例1】

如圖，△/BC中，/8=16,3。=10,3。是/C邊上的中線，若△48。的周長為30,則△瓦力的周長是（）

C

BA

A.20B.24C.26D.28

【解答】解：是/C邊上的中線，

：.CD=AD,

/\ABD的周長為30,

：.AB+AD+BD^30,

；.16+CZ)+2D=30,

：.CD+BD=14,

:ABCD的周長=BC+CZ)+3￡?=14+10=24,

故選：B.

變式1：

在中，是8c邊上的中線，△/￡>(?的周長比△48。的周長多3,48與/C的和為13,則/C的

長為()

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：???/〃是8C邊上的中線，

：.BD=DC,

由題意得，(/C+CD+4D)-(.AB+BD-AD)=3,

整理得，AC-AB=3,

則［AC-AB=3,

(AC+AB=13

解得，產(chǎn)8,

lAB=5

故選：D.

【典例2】

已知：如圖所示，在△/8C中，點(diǎn)。，E,尸分別為3C,AD,CE的中點(diǎn)，且麋/8。=4°加2,則陰影部分的

面積為cm2.

【解答】解：為8C中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等,

S/\ABD~S/\ACD~—S/\ABC=—X4=2（。冽?），

22

同理SABDE=SACDE=LS^BCE=上義2=15的,

22

:.SABCE=2（c冽2）,

???尸為EC中點(diǎn),

**?S/^BEF——S^BCE=—X2=1（cm2）.

22

故答案為1.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【解答】解：圖中是三角形的有：△/OC、△BOD、△/。8、LABC、4ABD.

故選：C.

2.下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）

甲乙

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲分法正確，乙分法錯(cuò)誤

C.甲分法錯(cuò)誤，乙分法正確

D.甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤

m口

不

夠

ffi三

相

形

的

角

【解答】解：甲正確的分類應(yīng)該為乙分法正確;

故選：C.

3.圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.以上都有可能

【解答】解：從圖中，只能看到一個(gè)角是銳角，其它的兩個(gè)角中，可以都是銳角或有一個(gè)鈍角或有一個(gè)

直角.

故選：D.

4.下列長度的三條線段中，能圍成三角形的是（）

A.5cm,6cm,\2cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6cm,10cmD.3cm,4cm,8cm

【解答】解：A,5+6<12,所以不能圍成三角形；

B、3+4>5,所以能圍成三角形；

C、4+6=10,所以不能圍成三角形；

D、3+4<8,所以不能圍成三角形.

故選：B.

5.在△N3C中，AB=2cm,AC=5cm,若8C的長為整數(shù)，則8c的長可能是（）

A.2cmB.3C.6cmD.7cm

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

5-2<BC<5+2,

即3cBe<7.

又BC的長為整數(shù)，則BC的長可能是6cm.

故選：C.

6.若a,b,c為△48C的三邊長，化簡：\b-a-c\-\a-b-c\=.

【解答】解：:a、b、c分別為△NBC的三邊的長，

a+c>b,a<b+c,

'.b-a-c<0,a-b-c<0,

".\b-a-c\-\a-b-c\—-b+a+c+a-b-c--2b+2a.

故答案是：-2b+2a.

7.用三角板作△/BC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）

A.BCB.B

【解答】解：B,C,D都不是△/8C的邊5。上的高，

故選：A.

8.三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)（）

A.形狀相同的三角形B.面積相等的三角形

C.直角三角形D.周長相等的三角形

【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.

故選：B.

9.如圖，在△N8C中，點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，/B=7,NC=10,的周長是25,則△N3E的周長是

【解答】解：的周長是25,

：.AC+AE+CE=25,

\"AC=W,

：.AE+CE=\5,

:點(diǎn)E是2c的中點(diǎn)，

:.BE=CE,

：.AABEJi=AB+BE+AE=AB+CE+AE=7+15=22,

故答案為：22.

10.如圖，在生活中，我們經(jīng)常會看見如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利

用了三角形的（)

B

A.穩(wěn)定性B.靈活性C.對稱性D.全等性

【解答】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性.故選4.

11.一個(gè)三角形3條邊長分別為xc用、(x+1)cm、(x+2)c加，它的周長不超過39cm,則x的取值范圍是

【解答】解：二?一個(gè)三角形的3邊長分別是xc加，(x+1)cm,(x+2)cm,它的周長不超過39c加，

.(x+(x+l)>x+2

tx+(x+1)+(x+2)439

解得1<XW12.

故答案為：1<XW12.

12.如圖，直角三角形4