北師大版高中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何

第三章空間向量與立體幾何

1空間直角坐標(biāo)系.......................................................-1-

1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)....................................-1-

1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式...........................................-6-

2空間向量與向量運(yùn)算..................................................-10-

2.1從平面向量到空間向量.........................................-10-

2.2空間向量的運(yùn)算（一）............................................-10-

2.2空間向量的運(yùn)算（二）............................................-14-

2.2空間向量的運(yùn)算（三）............................................-18-

3空間向量基本定理及向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算...............................-23-

3.1空間向量基本定理..............................................-23-

3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用.................................-26-

4向量在立體幾何中的應(yīng)用......................................-31-

4.1直線的方向向量與平面的法向量.................................-31-

4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系...........................-34-

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系...........................-42-

第1課時(shí)空間中的角..........................................-42-

第2課時(shí)空間中的距離問(wèn)題....................................-47-

5數(shù)學(xué)探究活動(dòng)（一）：正方體截面探究...................................-52-

1空間直角坐標(biāo)系

1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

1.空間直角坐標(biāo)系的建立

（1）空間直角坐標(biāo)系：

過(guò)空間任意一點(diǎn)。，作三條兩兩垂直的直線，并以點(diǎn)。為原點(diǎn)，在三條直線

上分別建立數(shù)軸：x軸、y軸和z軸,這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

（2）空間直角坐標(biāo)系的建系原則——右手螺旋法則：

①伸出右手，讓四指與大拇指垂直.

②四指先指向工軸正方向.

③讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90。指向y軸正方向.

④大拇指的指向即為z軸正方向.

（3）有關(guān)名稱

如圖所示,

%0z平面

yOz平面

%Oy平面

①0_叫作原點(diǎn).

②x,y,z軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.

③由坐標(biāo)軸確定的平面叫作坐標(biāo)平面.x,y軸確定的平面記作xOy平面,y>

z軸確定的平面記作yOz平面，x,z軸確定的平面記作xOz平面.

2.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)空間直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P的位置，可用唯一的一個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組來(lái)

刻畫(huà).

(2)三元有序?qū)崝?shù)組Q,y,z)叫作點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作P(x,

y,z).x叫作點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y叫作點(diǎn)P的級(jí)坐標(biāo)，z叫作點(diǎn)尸的豎坐標(biāo).

(3)空間直角坐標(biāo)系中：點(diǎn)與三元有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng).

強(qiáng)考&如何確定空間中點(diǎn)P坐標(biāo)？

［提示］過(guò)點(diǎn)尸分別向坐標(biāo)軸作垂面，與三條坐標(biāo)軸分別交于A、3、C,若點(diǎn)

A、B、C的坐標(biāo)分別為(羽0,0)、(0,y,0)、(0,0,z),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,

z).

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置

【例1】在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)”(2，-6,4).

［思路點(diǎn)撥］可以先確定點(diǎn)(2,-6,0)在xOy平面的位置，再由豎坐標(biāo)確定

在空間直角坐標(biāo)系中的位置.

［解］法一：先確定點(diǎn)M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置，因?yàn)辄c(diǎn)”的豎坐

標(biāo)為4,

貝力腦01=4,且點(diǎn)”和2軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就可確定點(diǎn)M

的位置了(如圖所示).

M(2,-6,4)

y

法二：以。為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造三條棱長(zhǎng)分別為2,6,4的長(zhǎng)方體，使此長(zhǎng)方

體在點(diǎn)。處的三條棱分別在X軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上，

則長(zhǎng)方體中與頂點(diǎn)。相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)(圖略).

「.......?慶思領(lǐng)悟.............................

1.先確定點(diǎn)(xo,yo,0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(xo,yo,zo)

在空間直角坐標(biāo)系中的位置.

2.以原點(diǎn)。為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造棱長(zhǎng)分別為|xo|、伙)|、|zo|的長(zhǎng)方體(三條棱的位

置要與X0、加、Z0的符號(hào)一致)，則長(zhǎng)方體中與。相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

類(lèi)型2已知點(diǎn)的位置寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)

【例2】已知棱長(zhǎng)為1的正方體A5CD-4QC。，建立如圖所示的不同空間

直角坐標(biāo)系.試分別寫(xiě)出正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］(1)可先寫(xiě)出A,B,C,。的坐標(biāo)，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出4,

B',C,。的坐標(biāo)；

(2)可先寫(xiě)出B',C,。的坐標(biāo)，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出A,B,C,D

的坐標(biāo).

［解］(1)因?yàn)?。是坐?biāo)原點(diǎn)，A,C,。分別在x軸，y軸，z軸的正半軸上，

正方體的棱長(zhǎng)為1,

所以。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1).

因?yàn)?點(diǎn)在xDy平面上，所以3(1,1,0).

同理,4(1,0,1),C(0,1,1).

因?yàn)?方垂直于xDy平面且與z軸正半軸在平面同側(cè)，且⑸=1,所以

B\\,1,1).

(2)因?yàn)?。是坐?biāo)原點(diǎn)，C分別在x軸，y軸的正半軸上，。在z軸的負(fù)

半軸上，且正方體的棱長(zhǎng)為1,

所以4(1,0,0),(7(0,1,0),￡)(0,0,-1),D'(0,0,0).

同⑴得B'(l,1,0),A(l,0,-1),C(0,1,-1),B(l,1,-1).

1........?灰思領(lǐng)悟.............................

1.已知點(diǎn)切的位置，求其坐標(biāo)的方法

作加VT垂直平面xOy,垂足為AT,求〃，的x軸坐標(biāo)，y軸坐標(biāo)，即點(diǎn)M的x

軸坐標(biāo)，y軸坐標(biāo)，再求M點(diǎn)在z軸上射影的z軸坐標(biāo)，即點(diǎn)M的z軸坐標(biāo)，于

是得到Af點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z).

2.在空間直角坐標(biāo)系中，三條坐標(biāo)軸和三個(gè)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)形式如下

表所示.其中x,y,zGR.

坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面

分類(lèi)

X軸y軸Z軸xOy平面yOz平面xOz平面

坐標(biāo)形

(X,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,?z)(x,0,z)

式

類(lèi)型3空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，空間直角坐標(biāo)系中，線段

的中點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么？

［提示］若A(xi,yi,zi),Bgyi,22),

?(x\+xiyi+v2Zl+z2)

則線段AB的中點(diǎn)、坐標(biāo)為L(zhǎng)~2—，~2~;2),

2.類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中，三角形的重心坐標(biāo)公式，空間直角坐標(biāo)系中，三

角形的重心坐標(biāo)公式是什么？

［提示］若A(xi,yi,Zl),3(X2,yi,Z2),C(X3,”，Z3),

—A,八?(xi+xi+x^iyi+y2+y321+22+23^

則△ABC的重心坐標(biāo)為［---------，―=1匕----3----

命題角度1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【例3】點(diǎn)M(xo，加，zo)關(guān)于點(diǎn)3,b,c)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

［思路點(diǎn)撥］類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)求解，其中線段的對(duì)稱中

心是線段的中點(diǎn).

(2?—xo,2b-yo,2c—zo)［由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)M(xo,yo,zo)關(guān)于點(diǎn)(a,

c)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為W(2a—xo,2b-yo,2c—zo).］

命題角度2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

【例4】求點(diǎn)M(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］從分析對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)入手.

［解］關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Mo的坐標(biāo)為(a,~b,—c),

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Mi的坐標(biāo)為(一a,b,—c),

關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)Mz的坐標(biāo)為(一兄~b,c).

命題角度3關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱

【例5】求點(diǎn)M(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］從分析對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)入手.

［解］點(diǎn)M關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)Mi的坐標(biāo)為(a,b,—c),

關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(a,-b,c),

關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)般3的坐標(biāo)為(一出b,c).

1....????慶思領(lǐng)悟.......................

1.關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有以下特點(diǎn)：

2.點(diǎn)的對(duì)稱可簡(jiǎn)單記為“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)不變，其他的變?yōu)橄喾磾?shù)；關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，都變

歸納總結(jié)

1.確定空間定點(diǎn)M的坐標(biāo)的步驟

(1)過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于

P、Q和R.

(2)確定P、。和R在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)x,y和z.

(3)得出點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,y,2).

2.已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)確定點(diǎn)M位置的步驟

(1)在x軸、y軸和z軸上依次取坐標(biāo)為x,y和z的點(diǎn)P、Q、R.

⑵過(guò)P、Q、H分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面.

(3)三個(gè)平面的唯一交點(diǎn)就是M.

3.建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)單、便于計(jì)算,

一般是①要根據(jù)圖形對(duì)稱性建立空間直角坐標(biāo)系；②要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸

上.

1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式

空間兩點(diǎn)間的距離公式

(1)在空間直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P(x,y,z)與原點(diǎn)間的距離|0P|=

-\/x2+j2+z2.

(2)空間中P(xi,yi,zi),Q(X2,*,Z2)之間的距離\PQ\=

4(X2一X1)2+(>2一y1)2+(22—21)2.

思考r方程X2+y2+z2=l表示什么圖形？

［提示］以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的球面.

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1求空間中兩點(diǎn)間的距離

【例1】如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，\CxC\=\CB\=\CA\=2,

AC±CB,D,E分別是棱A3,31cl的中點(diǎn)，R是AC的中點(diǎn)，求DE,ER的長(zhǎng)度.

［解］以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4、CB、CC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

'：\CiC\=\CB\=\CA\=2,

/.C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,2,0),Ci(0,0,2),Bi(0,2,2),由中點(diǎn)

坐標(biāo)公式，可得

D(l,1,0),E(0,1,2),F(l,0,0),

：.\DE\=^/(l-0)2+(l-l)2+(0-2)2=V5,

\EF\=^/(0-l)2+(l-0)2+(2-0)2=^/6.

「.....思領(lǐng)悟????......................

利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度問(wèn)題的一般步驟為:

類(lèi)型2由距離公式求空間點(diǎn)的坐標(biāo)

【例2】已知點(diǎn)A(4,5,6),3(—5,0,10),在z軸上有一點(diǎn)P,使|以尸

\PB\,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

(0,0,6)［設(shè)P(0,0,z),

^\PA\=\PB\,

得、(4—Op+(5—0)2+(6—z)2=^(-5-0)2+(0-0)2+(10-Z)2,

解得z=6.

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,6).]

［母題探究］

1.若本例中“在z軸上”改為“在y軸上”，其他條件不變，結(jié)論又如何？

［解］設(shè)P(0,y,0),

^\PA\=\PB\,

得一(4—oy+(5—y>+(6—0>=^(-5-0)2+(0-y)2+(10-0)2,

24

解得y=一亍.

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,—y1,0).

2.求到A,3兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件.

［解］因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y,z)到A,B的距離相等,

所以■(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2=N(x+5)2+(y-0)2+(z-10)2.

化簡(jiǎn)得9x+5y—4z+24=0,

因此，到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是9x+5y

—4z+24=0.

1.....&思領(lǐng)悟.....................

1.空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間的距離公式的推廣，而平面上兩點(diǎn)

間的距離公式又可看成空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的特例.

2.到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段A5的中垂面，

P是線段A3的中垂面與z軸的交點(diǎn).

類(lèi)型3距離公式的應(yīng)用

【例3】如圖所示，正方體棱長(zhǎng)為1,以正方體的同一頂點(diǎn)上的三條棱所在

的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)尸在正方體的體對(duì)角線A3上，點(diǎn)Q

在正方體的棱CD上.當(dāng)點(diǎn)P為體對(duì)角線A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

IPQ的最小值.

[解]由題圖可知，pfl,I

：Q點(diǎn)在CD上,

，設(shè)。(0,1,z),zG[0,1],

「....思領(lǐng)悟..........................

本題首先設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離公式表示|PQ,從而將其轉(zhuǎn)化為函

數(shù)最值問(wèn)題，最后通過(guò)配方求其最小值，這體現(xiàn)了解析法解決空間問(wèn)題的一般思

路.

歸納總結(jié)

1.空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間距離公式的推廣，它可以求空間直

角坐標(biāo)系下任意兩點(diǎn)間的距離，其推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了化空間為平面的轉(zhuǎn)化思想.

2.若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離，則直接代入公式即可.若已知兩點(diǎn)間距離求參數(shù)

或點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)利用公式建立相應(yīng)方程求解.

2空間向量與向量運(yùn)算

2.1從平面向量到空間向量

2.2空間向量的運(yùn)算(一)

1.空間向量

⑴定義：在空間中，把具有大小和方向的量叫作空間向量.

(2)長(zhǎng)度：向量的大小叫作向量的長(zhǎng)度或模.

(3)表示法

B

用有向線段獲表示，4叫作向量獲的起點(diǎn)，￡叫作向量獲的終點(diǎn)，也可記作

a,其模記為|蕊|或⑷.

(4)特殊向量

1~~|零向量：模為。的向量叫作零向量，記為o|

方向相同且模相等的向量稱為相

:空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示

戈相等向量

相反向量：與向量。長(zhǎng)度相等而方向相反的

向量，稱為4的相反向量，記為-a

(5)共線向量：當(dāng)表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合時(shí),稱這兩

個(gè)向量互為共線向量或平行向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行.

思考1.向量獲與向量茂的長(zhǎng)度和方向之間有什么關(guān)系？

［提示］向量獲與向量應(yīng)長(zhǎng)度相等，但方向相反，即應(yīng)=一獲.

2.共面向量

⑴共面向量的概念

平行于同一個(gè)平面的向量，叫作共面向量.

(2)三個(gè)向量共面的充要條件

如果兩個(gè)向量a,不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存在

惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使。=刈+〉瓦

3.空間向量的加減法與運(yùn)算律

空間向

加法OB=OA+AB=a+bc

量的運(yùn)

減法

算CA=OA-OC=a-b0aA

(1)交換律：a+b=b+a；

空間向量的加法的運(yùn)算律(2)結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(Z>+c)

思考2.空間向量的減法是否也有交換律與結(jié)合律？

［提示］沒(méi)有.

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1空間向量的有關(guān)概念

【例1】如圖所示，在正六棱柱ABCDERAECDEE中,

(1)與獲相等的向量有哪些？

(2)而與目力是相反向量嗎？

(3)與ib平行的向量有多少個(gè)？

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，分析各線段的相互關(guān)系，從而得到向

量之間的關(guān)系.

［解］(1)ED,A'B',E'D'.

⑵是.

(3)11個(gè).

廠....??,?慶思領(lǐng)悟................、........

特殊向量的特性

(1)零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的.

(2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.

(3)兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不

僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們互為相反向量.

類(lèi)型2空間向量的加減運(yùn)算

【例2】如圖所示，已知長(zhǎng)方體A3CD-AEC。.化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并

在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果.

(1)A4，一C&

(2)AA'+AB+RC'.

［解］(1)AA,-CB=AA'-DA=AA'+AD=AA'+A'D'=AD'.

(2)A4'+A3+3'C'=(AA'+A3)+3'C'=A3'+3'C'=AC.

向量A/y,AC如圖所示.

[■母題探究1

1.在例2的條件下，下列各式運(yùn)算結(jié)果為3。的是()

?A'D'-A'A-AB；②BC+BB'—D'C；?AD-AB-DD'；@B'D'-A'A+DD'.

A.①②B.②③

C.③④D.①④

A［⑴府，一春一獲=啟一獲=擊；

(2)BC+BB'~DiC,=BC'+cb'=Bb,;

(3)Ab-^-Db'=Bb-Db'=Bb-BB'=BT>^Bb';

(4)詬，一花+而，=ib+看，+而，=訪，+看，/由，，故選A.］

2.在例2的條件下，用向量看，，AB,病表示向量戰(zhàn)".

［解］在平行四邊形ACC4中，由平行四邊形法則可得

在平行四邊形ABCD中，由平行四邊形法則可得元=獲+而，

故前=蕊+石+啟.

「......?QJS思領(lǐng)悟........................

1.向量加法的三角形法則：“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法

則：”起點(diǎn)重合，指向被減向量”.

2.靈活應(yīng)用相反向量可使向量的減法轉(zhuǎn)化為加法.

類(lèi)型3空間向量加、減運(yùn)算的應(yīng)用

【例3】在四棱錐。-A3CD中，底面A3CD是平行四邊形，求證：OA+OC

=OB+OD.

［證明］法一：因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以，BA=CD,

又前—而，cb=OD-OC,

所以晶一防=5b一元，

所以示+女=而+亦.

法二：設(shè)點(diǎn)E是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)(圖略)，則點(diǎn)E分別是對(duì)角

線AC,3。的中點(diǎn)，

所以示+女=2宓，0B+0D=20E,

所以04+0C=03+00.

「......思領(lǐng)悟????.......................

求解這類(lèi)問(wèn)題，一定要靈活應(yīng)用向量加法、減法的運(yùn)算法則，并注意向量的

起點(diǎn)和終點(diǎn).

(1)當(dāng)向量首尾相連求和時(shí)，用三角形法則，當(dāng)兩向量起點(diǎn)相同求和時(shí)，用平

行四邊形法則.

(2)求兩向量的差時(shí)，常考慮：

①通過(guò)相反向量，把向量減法轉(zhuǎn)化為加法；②通過(guò)平移向量，使兩向量起點(diǎn)

相同，再使用減法的三角形法則.

歸納總結(jié)

1.空間向量的概念和平面向量類(lèi)似，向量的模、零向量、單位向量、相等向

量等都可以結(jié)合平面向量理解.

2.向量可以平移，任意兩個(gè)向量都是共面向量.因此空間兩個(gè)向量的加減法

運(yùn)算和平面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.

2.2空間向量的運(yùn)算(二)

1.向量的數(shù)乘運(yùn)算

與平面向量類(lèi)似，實(shí)數(shù)丸與空間向量a的乘積癡仍然是一個(gè)囪量，

定義

稱為向量的數(shù)乘

A>0%與向量a方向相同

幾何癡的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的回

A<0筋與向量a方向相反

定義倍

2=0%=0,其方向是任意的

運(yùn)算結(jié)合律

律分配律(丸+〃)a=/la+〃a；A(a+Z>)=/la+AZ>

2.共線向量基本定理

空間兩個(gè)向量a,b(b中0),共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)九使得a=74

思考(1)若a〃4b//c,那么一定有a〃c嗎？

(2)在空間向量中，與非零向量。共線的單位向量有幾個(gè)，分別是什么？

［提示］(1)不一定，若〃=0,此時(shí)必有a〃乩Z>〃c成立，但a與c不一定共

線.

(2)有2個(gè)，分別是解瑞.

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

【例1】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ALBCLDI中，。為AC的中點(diǎn).

—>11

⑴化簡(jiǎn)：AiO—/AB—1AD；

——?—?,—?—?—?

(2)設(shè)E是棱DDi上的點(diǎn)，^.DE=^DDi,試用A3,AD,A41表示EO.

［解］［\y：AB+AD=AC,

—>1—>1—>—>1—>—>—>1—>—>—>—>

**.AiO——~^AD=A\O—1(AB+AZ))=AiO—~^AC=AiO—AO=A\A.

(2)*：EO=ED+DO

2121

=/。+手用=押。+］。4+明

=|AIA+|DA+|AB

2—

一^AAi.

「......七反思領(lǐng)悟...........................

1.在例1中，利用向量加法的結(jié)合律以及數(shù)乘向量的分配律簡(jiǎn)化了計(jì)算.

2.對(duì)向量式的化簡(jiǎn)，要結(jié)合圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì).

類(lèi)型2向量共線問(wèn)題

【例2】如圖，在平行六面體ABCD-AIBCLDI中，M,N分別是CLDI,AB

1—>

的中點(diǎn)，E在AA1上且AE=2E4i,R在CCi上且CR=/Ci,判斷ME與NE是否共

線.

［解］由已知可得,

—A—?—?—A1—A—?1—?—A—?1—A—A—A

ME=MDI+DIAI+AIE=^BA+CB+^AIA=-NB+CB+^CIC=CN+FC=

FN=-NF.

所以ME=-NF,

故癥與赤共線.

「......思領(lǐng)悟??????......................

向量共線的判定方法

判定向量a,8共線就是充分利用已知條件、結(jié)合圖形特點(diǎn)找到實(shí)數(shù)人使萬(wàn)

=加(</#0)成立.

類(lèi)型3點(diǎn)共線問(wèn)題

【例3】如圖所示，在正方體ABCD-ALBCLDI中,E在ALDI上，且與k=2詬1,

—2-

R在對(duì)角線A1C上，且求證：E,F,3三點(diǎn)共線.

［證明］設(shè)AB=a,AD=b,AA\=c.

-~>—>2-

因?yàn)锳iE=2EDi,AiF=^FC,

—>2—>2

所以Ai￡=pi￡)i,AiF=2AiC.

一2一2一2一一2f一一222

所以4￡=養(yǎng)。=予，AiF=^AC—AAi)=^AB+AD—AA\)=-^a+-^b—^c.

———2422r2、

所以EF=Ai尸一AiE=§a一石力-5c=耳0—求—cj.

—>—>—>—>22

入EB=EAi+AiA+AB=~~^b—c~\~a=a—~^b—c,

一2一

所以EF=^EB,

所以E,F,5三點(diǎn)共線.

「......思領(lǐng)悟............................

證明空間三點(diǎn)共線的三種思路

對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,5可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線.

⑴存在實(shí)數(shù)九使6=7法成立；

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，有近=而+蕊QGR)；

⑶對(duì)空間任一點(diǎn)。，有晶=工的+'而，其中x+y=l.

歸納總結(jié)

1.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算和平面向量完全相同.

2.證明(或判斷)三點(diǎn)A,B,C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)九使獲=2/(或

獲=汴即可；也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)。，有次一扇+(1—/)而”來(lái)證明三

點(diǎn)共線.

2.2空間向量的運(yùn)算(三)

1.空間向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)。，作d=a,OB=b,則

定義

ZAOB叫作向量。與8的夾角

記法〈〃，〉〉

范圍OW〈a,〉〉W兀

向量當(dāng)〈a,b〉=鄂寸，a.Lb；a-b=O

垂直

規(guī)定：零向量與任意向量垂直

思考1.{a,b)={b,a)嗎？〈a,b)與〈一a,b),{a,—b},{—a,

-b)有什么關(guān)系？

［提示］〈a,b〉=〈。，a〉，<—a,b)=〈a,-b)=兀一〈a,b),<—a,

―b)=〈a,b).

2.空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)空間向量a,b,則|a||Z>|cos(a,b)叫作a與的數(shù)量積,

記作a-b.

(2)數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(2a)協(xié)=2(。協(xié))?￡R)

交換律a-b=b-a

分配律。?(辦+c)=a?A+a?c

(3)數(shù)量積的性質(zhì)

若a,8是非零向量，則a_L〃臺(tái)a協(xié)=0

若a與b同向，則a協(xié)=|@憫；

兩個(gè)向量

若反向，則a仍=一|旬憫.

數(shù)量積的

特別地：a-a=\a\2^\a\=\[a^a

性質(zhì)

a，b

cos〈a,b〉一bWO)

|a協(xié)|W］a卜回

3.投影向量與投影數(shù)量

①如圖，已知兩個(gè)非零向量a,b,作d=a,OB=b,過(guò)A向直線作垂線,

垂足為點(diǎn)4,稱向量晶，為向量a在向量方方向上的投影向量，其長(zhǎng)度等于11aleos

〈a,b)|.

②如圖，lalcos〈a,b〉稱為向量a在向量〃方向上的投影數(shù)量,可以表示為

b

~\b[-

|a|cos04bB

③數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a協(xié)等于a的長(zhǎng)度⑷與〃在a方向上投影數(shù)量|A|cos

〈a,b〉的乘積，或8的長(zhǎng)度|四與a在方向上投影數(shù)量|a|cos〈a,b)的乘積.

思考k、2.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律嗎？

［提示］數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律.

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

［例1］已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCbDi中，AB=AAi=2,AD=4,E為側(cè)面

AALBLB的中心，R為ALDI的中點(diǎn).

求⑴病而1；(2)BFABi.

［解］如圖所示，設(shè)AB=a,AD=b,AAi=c,

則|a|=|c|=2,|Z>|=4,a-b=b-c=c-a=O.

-------------------?-?]

(y)BCED\=BC-(EAi+A\D\)=b-1(c—a)+/>=|Z>|2=42=16.

(2)BF-ABi=(BAi+AUD-(AB+AAi)=^-a+|z>J(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.

[.....?思領(lǐng)悟...................................

求空間向量的數(shù)量積可仿照平面向量的數(shù)量積的求法進(jìn)行，注意觀察空間向

量的方向，正確求出其夾角是求解的關(guān)鍵.

類(lèi)型2利用數(shù)量積求夾角

［探究問(wèn)題］

1.若向量獲與己的夾角為a,直線A3與CD所成的角為人則a=A一定成

立嗎？

［提示］不一定.a=￡或。+夕=兀.

2.怎樣利用數(shù)量積求兩直線的夾角a?

［提示］先求cosa=|cos〈a,b)|再結(jié)合a的范圍確定其值.

\U\'\D\

3.如何利用數(shù)量積證明兩個(gè)非零向量a和8互相垂直？

［提示］a山=0臺(tái)a_LZ>.

【例2】已知空間四邊形0ABe各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E,R分別為A3,

0c的中點(diǎn)，

(1)求向量器與赤'所成角的余弦值；

(2)求直線OE與所成角的余弦值.

［解］(1)設(shè)屈=a,OB=b,OC=c,且同=|四=|c|=l,

0

7T

易知NAOB=ZBOC=ZA0C=2,

貝a-b=b-c=c-a=^.

—A]—A—A]—A—A—A]—A—A]—A—A

因?yàn)镺E=](Q4+OB)=](a+3,BF=OF-OB=^OC~OB=^c~b,\OE\=\BF

V3

2，

一—1111111

所以0E3尸=5(a+力(5。-A)=za?c+9?c-5。協(xié)―5辦2=-

--

乙乙iI乙乙乙

*2

->->OE,BF-

遇iOE與BF所成的角為e,則cos0=f一二23

V3

\OE\\BF\2

——2

所以向量OE與向量3R所成角的余弦值是一7

,,2

(2)直線0E與3R所成角的余弦值為|cos61|=-.

「.......?國(guó)思領(lǐng)悟.............................

求兩個(gè)向量的夾角的兩種方法

(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來(lái)求，但要注意向量夾角

的范圍.

(2)先求a山，再利用公式cos(a,b)=而而求cos〈a,b),最后確定〈a,b).

類(lèi)型3利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離

【例3】如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a,M,N分別

是棱A3,CD上的點(diǎn)，且MB=2AM,CN=^ND,求MN的長(zhǎng).

A

-~~>—>2~—>—>1—>—>1—>I

[解]因?yàn)榘?也+3。+3=養(yǎng)3+（4。-45）+3（4。一4。）=-145+8

2

AD+^AC,

所以“產(chǎn)=1—%3+京￡>+|/102

1—>2——4——4——1—>4—

=gAB2-gAD-AB-gABAC+gACAD+gAD2+gAC2

一\[5\[5

所以|MN|=+-a,即MN的長(zhǎng)為3-a.

,….??￡>S思領(lǐng)悟........................

求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)度的方法

⑴將此線段用向量表示.

⑵利用|a|=而，計(jì)算出⑷，即得所求距離.

歸納總結(jié)

1.本節(jié)課的重點(diǎn)

(1)空間向量的數(shù)量積的求法；

(2)利用空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)求兩向量的夾角、求向量的模及判斷兩向量

垂直.

2.在運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，觀察分

析各向量在圖形中的表示，然后運(yùn)用運(yùn)算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決,

并要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)為止.

3空間向量基本定理及向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

3.1空間向量基本定理

1.空間向量基本定理

條件三個(gè)不共面的向量a,b,c和空間任二向量p

結(jié)論存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z),使得〃=xa+y)+zc

2.基

⑴條件：三個(gè)向量a,b,c不共面.

⑵結(jié)論：Q,b,￡1叫做空間的一組基?其中向量a，b,c都叫作基向量.

思考鼠(1)0能不能作為一個(gè)基向量？

⑵空間向量的基唯一嗎？

［提示］(1)由于0與任何兩個(gè)向量都共面，因此0不能作為基向量.

⑵不唯一，只要三個(gè)向量不共面，都可以作為空間中所有向量的一組基.

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1空間向量的基

【例1】已知｛ez，e2，03｝是空間的一組基，且。4=ei+2e2—e3,OB=~~3e\

+e2+2e3,OC=ei+e2-e3,試判斷｛a，OB,況｝能否作為空間的一組基.

［解］假設(shè)屈，OB,又共面，

由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x,y,使得而+y5b成立，即ei

+2e2-e3=x(—3ei+e2+2e3)+y(ei+e2—e3)=(—3x+y)ei+(A-+y)C2+(2X—y)e3.

因?yàn)椋?，€2,63｝是空間的一組基，

所以勿，€2,03不共面，

f—3x+y=1

所以<x+y=2,此方程組無(wú)解.即不存在實(shí)數(shù)x,y,使得晶=》而十

12x—>=-1

yOC成立，

所以豆，OB,決不共面.

故｛d，OB,次｝能作為空間的一組基.

「.....思領(lǐng)悟..................................

基的判斷思路

判斷給出的三個(gè)向量能否構(gòu)成一組基，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面.首

先應(yīng)考慮三個(gè)向量中是否有零向量，其次判斷三個(gè)非零向量是否共面.如果從正

面難以入手判斷，可假設(shè)三個(gè)向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，

若方程組有解，則三個(gè)向量共面；若方程組無(wú)解，則三個(gè)向量不共面.

類(lèi)型2空間向量基本定理及應(yīng)用

【例2】如圖，在三棱柱中，已知看-a,AB=b,/=c，點(diǎn)

M,N分別是BC,夕C的中點(diǎn)，試用基｛a,b,c｝表示向量嬴，A7V.

［解］連接4N(圖略).

~A~>1—>—>1—>—>—>1—>1—>—>1—>—>I

AM=AB+TBC,=AB+5(BC+CC,)=AB+TBC+TCC=AB+T(AC-AB)+T

~A-~>—>1—>—>—>1—>—>1I

AN=AA'+A'N=AA'+^A'B'+A'C')=AA'+^AB+AC)=a+^b+^c.

［母題探究］

若把本例中的“￡^=a”改為“4白=?！?，其他條件不變，則結(jié)果是什么？

［解］因?yàn)椤盀?c的中點(diǎn)，N為EC的中點(diǎn)，

-*■1--11

所以AM=1(AB+AC)=/a+/Z>.

1111-1->1->1

A^=T(AB,+AC,)=T(AB+BB,+AC,)=TAB+TCC,+5AC=5AB+5(AC-AC)

乙乙乙乙乙乙乙

1—*-1―^―^1->11

+^AC'=^AB+AC'—^AC=^b+a—^c.

乙乙乙乙乙

廠......七反思領(lǐng)悟.......S

對(duì)空間向量基本定理的兩點(diǎn)說(shuō)明

(1)任意性：用空間三個(gè)不共面的向量可以線性表示出空間中任意一個(gè)向量.

(2)唯一性：基確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組｛x,y,z｝是唯一的.

空間向量基本定理為用基本量法研究空間向量提供了理論依據(jù).

類(lèi)型3四點(diǎn)共面

【例31如圖，已知平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，E,R分別是BBi和

12

上的點(diǎn)，并且5月=于51,DF=^DDi.

(1)證明：A,E,Ci,尸四點(diǎn)共面;

(2)^EF=xAB-\-yAD-\~zAAi,求x+y-\-z的值.

—A—A—A—A—A—A—A—A—A1—A2,—A

［解］(1)證明：ACi=AB+BC+CCi=AB+AD+AAi=AB^AD+^AA\+^AAi

=AB+BE+AD+DF=AE+AF,

故A,E,Ci,R四點(diǎn)共面.

—A—A—A—A—A—A—A—A2,—A—A1—A—A—A

(2)VEF=AF-AE=AD+DF-AB-BE=AD+^AAi-AB-^AAi=-AB-\-AD

1—*?

+gAAi,

-i,尸

.??x+y+z=§.

「....思領(lǐng)悟...........................

1.三個(gè)向量共面的充要條件

若向量仇C不共線，則向量a,b,c共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)X,?使

得a=xb+yc.

2.利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明向量共面，解題的關(guān)鍵是熟練地

進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件.

歸納總結(jié)

1.空間向量基本定理的應(yīng)用，即用三個(gè)不共面的向量作為基底表示空間中的

任意向量，需依據(jù)圖形特點(diǎn)，結(jié)合向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，運(yùn)用平行四

邊形法則及三角形法則將待求向量轉(zhuǎn)化為三個(gè)基向量的線性組合.

2.設(shè)演，0B,元是不共面向量，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,存在唯一的有序?qū)崝?shù)

組(x,y,z),使辦d+z5h當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=l時(shí)，P,A,B,C四

點(diǎn)共面.

3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

1.空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

在空間直角坐標(biāo)系。-盯z中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位

標(biāo)準(zhǔn)正交

向量i,j,k,這三個(gè)互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組

基

基｛i,j,k],這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基

空間直角以i,女的公共起點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以i,左的方向?yàn)閤軸、y

坐標(biāo)系軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

空間向量對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z),使得p=xi

的坐標(biāo)表+yj+zk,則把為y,z稱作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基｛i,j,A｝下的坐

示標(biāo)，記作〃=(x,y,z).單位向量i,j,左都叫作坐標(biāo)向量

2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量。=(尤1，yi9Zl),b=(X2,-2,Z2)9

貝！J(l)a+6=(xi+12,yi+y2,zi+z2)；

(2)a—6=(xi-%2,yi-y2,zi—zi)；

(3)2。=(2xi,Ayi,Azi)f%￡R；

(4)a?。=%i%2+yi\2+ziz2?

3.空間向量的平行、垂直及模、夾角

設(shè)?Zl),b=(X2,丁2,Z2).

貝Ua〃辦臺(tái)°=/18臺(tái)元1=&2,券=制2,ZI=2Z2(2^R)；

a_Lb0a、b—00%。2+yi*+@Z2=0；

\a\=\［a^a=\JjA+yi+^；

若點(diǎn)A(QI,bi,ci),BQ,歷，C2),貝！J

\AB\=\AB\=^/(<22-<7i)2+(/?2—Z?i)2+(C2—ci)2.

/、承xz+yiyz+zi迎

COSe”二瓶；.+沖n("3"。)，

周考k空間向量的加法的坐標(biāo)表示是如何推導(dǎo)的？

［提示］設(shè)a=(a\,〃2,(23),b=(Jb\,bz,bi),貝1a=a\i+ay+a?,k,b=bii+

by+b?>k,

所以〃+辦=(。1，+旬+。3A)+(》1，+4+634)=(。1+61?+(。2+岳)/+(。3+63)

k={a\~\~b\,02+62,43+63).

疑難問(wèn)題

類(lèi)型1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例1】(1)已知a=(2,—1,—2),Z>=(0,—1,4),求a+方，a—b,a-b,

(2a)