2025年江西省萍鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年江西省萍鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

（本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號，并將

條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改

動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答

案無效.

4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再做答.

5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（5分）己知函數(shù)/（x）定義域為1,M為常數(shù)，則“Vxe/,/（無）是“M為于3在/上最大值”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（5分）下列四個命題：

①｛0｝是空集；

②若則-aCN；

③集合｛xCRk2-2x+l=0｝中有2個元素；

④集合｛xCQ&N｝是無限集.

X

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

3.（5分）當(dāng)尤＞1時，不等式x+12a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.aW2B.C.D.

4.（5分）化簡式子：以?貨+廢?廢+或+廢G的結(jié)果為（）

A.仁B.■C.D.此0

5.（5分）設(shè)實系數(shù)一元二次方程〃2，+〃1%+〃0=0（Q2W0）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為XI、X2,則由42（X-XI）

2

（X-X2）=a2X-a2（X1+X2）X+6Z2X1X2=O,可得％1+%2=—強，XrX2=—.類比上述方法：設(shè)實系數(shù)一

a2a2

元三次方程/+2%2+3%+4=0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為XI,X2,X3,則/+—+/的值為（

A.-2B.0C.2D.4

6.（5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=CCi=2,BC=1,則異面直線A8i與BCi

所成角的余弦值為（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2543

7.（5分）已知函數(shù)/（x）與g（x）=/加+1存在公切線，則實數(shù)〃的最小值（）

2111

A.-B.-C.—D.—

ee2e3e

8.（5分）如圖，已知橢圓。和雙曲線C2具有相同的焦點尸1（-c,0）,F2（00）,A、B、C、。是它

們的公共點，且都在圓/+/=C2上，直線AB與1軸交于點P,直線。尸與雙曲線C2交于點Q,記直

,則紅乂2的值為（）

A.2B.-C.一D.4

33

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

（多選）9.（6分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且已知a=2,貝l|（）

A.若A=45°,且AABC有兩解，則6的取值范圍是（2,2位）

B.若4=45°,且b=4,則△ABC恰有一解

C.若c=3,且△ABC為鈍角三角形，則6的取值范圍是（VH,5）

D.若c=3,且△ABC為銳角三角形，則人的取值范圍是（遍，V13）

（多選）10.（6分）已知/（%）=譏（2%+今），則（）

A.f（n+x）=f（x）B./（等—%）=/（%）

TfTT

C.xE（0,/）,f（無）>1D.%e（0,》，f（尤）<0

（多選）11.（6分）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款，月利率0.3%,

分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配到

每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另

一部分是利息，即貸款本金與己還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額的本息

和，利息以復(fù)利計算.下列說法正確的是（）

A.等額本金方案，所有的利息和為2340元

B.等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元

C.等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列

D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）方程log2（#-3）=尤+1的解集為.

13.（5分）已知圓C：?+j2=l,直線/：x+y+2=0,尸為直線/上的動點，過點尸作圓C的兩條切線，切

點分別為A,B,則直線A8過定點.

14.（5分）切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5?1894.12）在研究統(tǒng)計規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，

其內(nèi)容是：對于任一隨機變量X,若其數(shù)學(xué)期望E（X）和方差。（X）均存在，則對任意正實數(shù)c,有

P（|X-￡（X）|<e）一號.根據(jù)該不等式可以對事件|x-E（X）|<E的概率作出估計，在數(shù)字

通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號〃次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是

等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為隨機變量X,為了至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)

間（0.4,0.6）內(nèi)，估計信號發(fā)射次數(shù)〃的值至少為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知三棱錐A-BCD,△AB。和△BCD是邊長為2的等邊三角形，平面A3。_L平面BCD

(I)求證：ACLBD-,

(II)設(shè)G為89中點，”為△ACQ內(nèi)的動點(含邊界)，且GH〃平面ABC,求直線G”與平面AC。

所成角的正弦值的取值范圍.

16.(15分)已知數(shù)列｛z｝滿足41=1,an>0,S”是數(shù)列｛劭｝的前〃項和,對任意"CN*,有2s〃=2成

-1.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項公式；

(2)設(shè)加=(-1)nlan,求｛加｝的前100項的和.

17.(15分)已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進(jìn)行檢驗，篩查出該種疾

病攜帶者.

(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01,未患病但檢測顯示患病的

概率為0.05.

①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；

②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.(保留四位有效數(shù)字)

(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按4人一組分組，然后將人個人的血樣混

合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這女人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別

化驗一次(每一小組都要按要求獨立完成)，左取何值時，總化驗次數(shù)最少？

說明：函數(shù)/(x)=1-0.98x(x>0)先減后增.

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

18.（17分）已知函數(shù)/（無）=2"+提一（。-2）尤-4（aCR）.

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若℃（-8,2e）,求函數(shù)/（無）在區(qū)間xe（-8,2］上的零點個數(shù).

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式匕=0久”乎①（其中a,b,c,d為常數(shù)），將點P（x,

y）變換為點P'（x',y'）的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公

式①可由a,b,c,d組成的正方形數(shù)表（:唯一確定，我們將（:稱為二階矩陣，矩陣通常用大

寫英文字母A,3,…表示.

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點P（x,y）繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到點P'（/,

/）（到原點距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣A；

7T

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求雙曲線孫=1繞原點。按逆時針旋轉(zhuǎn)一（到原點距離不變）得到的

4

雙曲線方程C；

（3）已知由（2）得到的雙曲線C,上頂點為。，直線/與雙曲線C的兩支分別交于A,8兩點（B在

第一象限），與無軸交于點T（孚，0）.設(shè)直線D4,的傾斜角分別為a,p,求證：a邛為定值.

2025年江西省萍鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（5分）已知函數(shù)/（無）定義域為/,M為常數(shù)，貝“八日，/（尤）WM”是“M為于3在/上最大值”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解：：由“V無6/,f（x）WM”不能得到為/（x）在/上最大值”，

反過來，由“M為于3在/上最大值”能得到“也日，于（x）WM”,

...”vxe/,f（x）是“M為于⑺在/上最大值”的必要不充分條件.

故選：B.

2.（5分）下列四個命題：

①｛0｝是空集；

②若a€N,則-aCN；

③集合｛xCR*-2x+l=0｝中有2個元素；

④集合｛xeQI&N｝是無限集.

X

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

解：①｛0｝中有元素0,不是空集，故①不正確；

②若aCN,則-40N,不正確，例如a=0,0GN,而-06N；

③集合A=｛xeR|7-2尤+1=0｝=｛1｝有1個元素，故③不正確；

④當(dāng)尤為正整數(shù)的倒數(shù)時，-GN,故集合｛尤CQUCN｝是無限集，故④正確.

XX

故選：A.

3.（5分）當(dāng)比＞1時，不等式x2a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

x—1

A.aW2B.C.D.

1_1

解：不等式式+~。怛成立（一min9

%>1,x—1xZ—1x+—

*?*xd—士j"=（x-1）H—+122/（X—1）,+1=3（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號），

JL~~-L人.L^J.

1

???當(dāng)%>時,（不一不）min—

1x+x—13,

故選：D.

4.（5分）化簡式子：酸?第+廢?廢+C，廢+廢G的結(jié)果為（）

A.仁B.■C.D.盤0

解:或?第+程?廢+或?廢+廢6=第+3第+3c及+C：=4的++3得+G=210=

故選：C.

5.（5分）設(shè)實系數(shù)一元二次方程〃2%2+〃11+〃0=0（Q2W0）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為XI、XI,則由42（X-XI）

（X-X2）=〃2脛-42（X1+X2）x+a2nx2=0,可得Xl+%2=—幺，XrX2=—.類比上述方法：設(shè)實系數(shù)一

a2a2

元三次方程1+2%2+3%+4=0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為XI,X2,X3,則X/+X22+X32的值為（）

A.-2B.0C.2D.4

解：,?+2x^+3x+4

=（X-Xl）（X-X2）（X-X3）

=X3—（11+%2+%3）%2+（X1X2+X1X3+X2X3）X-X1X2X3

3

=a3X—a3（%i+%2+%3）%2+〃3（X1X2+X1X3+X2X3）-〃3%1爾3,

由對應(yīng)系數(shù)相等知：

X1+X2+X3=-2,xixi+xm+xm—3,

.\X12+X22+X32=（X1+X2+X3）2-2（X1X2+X1X3+X2X3）=4-6=-2.

故選：A.

6.（5分）已知直三棱柱ABC-A181G中，ZABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,則異面直線ABi與BQ

所成角的余弦值為（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2543

解：如圖所示，將直三棱柱A3C-481G補成直四棱柱ABCD-AiBiCDi,

連接A01,BiDi,則AZ）i〃BCi,

所以N31AD1或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角，

因為NA8C=120°,AB=CC\=2,BC=1,

所以421=2近，ADI^V5,

在△B1D1C1中，ZBiCi￡)i=60°,81cl=1,01cl=2,

所以8101=JB1CJ+Def-2B1Q.DiC]Cos60。=Jl+4-2xlx2x|=V3,

_5+8-310

2AD^,B2A

7.(5分)已知函數(shù)/(x)與g(x)=/依+1存在公切線，則實數(shù)〃的最小值()

2111

A.-B.-C.—D.——

ee2e3e

解：設(shè)/(x)=〃/和g(x)=玩狂1的切點分別為(m,aem\(九，加i+l),

x

由f(x)=。/的導(dǎo)數(shù)為/(x)=aefg(x)=加計1的導(dǎo)數(shù)為(x)=

1

則/(x)和g(x)切線方程分別為y—aem=aem(x—m),y—(Inn+1)=-(%—n),

即)/=ae7n%+(—nt+y=-%+Inn,/(%)與g(x)存在公切線，

Tn_

則方程anep--有解，

(1—7n)aem=Inn

BPlna=(〃-1)Inn-L

i

設(shè)h(x)=(x-1)lnx-L￥(x)=Inx--+1/h(%)在(0,1)上遞減，在(1,+°°)遞增,

h(x)在x=l處取到最小值-1,；?仇。的最小值為-1,

1

即a的最小值為一.

e

故選：B.

8.（5分）如圖，已知橢圓G和雙曲線。2具有相同的焦點尸1（-c,0）,F2（。，0）,A、B、C、。是它

們的公共點，且都在圓/+/=C2上，直線A5與1軸交于點尸，直線。尸與雙曲線C2交于點Q,記直

2A/5

Cl的離心率為丁，則kl-k2的值為（）

4

A.2B.-C.一D.4

33

x2y2

解：由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為/+京=1，（4Q0），

工2y2

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”=1,則/-廿=$2+』2,

由一=46Z2=5C2,

a5

VC2=4Z2-b2,b2=w?，

故橢圓方程為/+5y2=〃2,聯(lián)立W+y2=c2,可得：4y2=a2-c2=b2,

：.y=+h,^=c2-^b2=^-b2,

…V151

貝!JA（---b,一b）,

22

由對稱性可知A、C兩點關(guān)于原點對稱，A、3兩點關(guān)于x軸對稱，

則8（手6,_奶，C（一孚6，—奶，

V15

AP（---b,0）,

2

故松?=離=貴'直線CP>=盤（X一孚%）.

將A點代入馬-m=1中得，磐-2=1.①

sztz4sz4tz

s2+t2=a2-b2=4b2,②

②①結(jié)合得到$2=3序或5戶，

Va2=5b2,顯然sV〃，

故52=3Z?2,.*.Z2=4/72-3b1=b2

x2y2

故雙曲線的方程為3=1.

3b2b2

聯(lián)立cp>=熹（”—孚°）與余—1=i'

化為76x2+4V15ta-255廿=0,

解得X0=yo=—表

設(shè)Q(xo,yo),

17V15

???Q-----b,

38

17_7_10

??kik-AC—^=,k2=kAQ=_,

k\k2=

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

（多選）9.（6分）在△A3C中，角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,且已知a=2,貝|（）

A.若4=45°,且△ABC有兩解，則b的取值范圍是（2,2夜）

B.若A=45°,且6=4,則AABC恰有一解

C.若c=3,且AABC為鈍角三角形，則6的取值范圍是（g,5）

D.若c=3,且AABC為銳角三角形，則6的取值范圍是（小，V13）

解：A中，三角形有兩解的充要條件為：bsinA<a<b,而。=2,4=45°,

即fb<2<b,解得be（2,2V2）,所以A正確；

,、,bah4V2/-

5中，右A=45°,且Z?=4,由正弦定理可得----=-----，即sin5=-sinA=k一=72>1,

sinBsinAaz2

顯然不可能成立，即△ABC不存在，所以5不正確；

。中，c=3,且△ABC為鈍角三角形，

〃2_|_人2_「2

當(dāng)c為鈍角三角形時，由余弦定理可得cosC=。啜b<°，

4+匕2―9

即-------<0,解得0<6<通，

2x2b

由a+6>c,可得b>c-a=l,即（1,V5）,

當(dāng)3為鈍角時，cosB=a2+2acb<0,即戶>/+o2=4+9=13,所以

所以b的范圍為（1,V5）U（V13,+8）,所以C不正確;

。中，c=3,且△ABC為銳角三角形，當(dāng)C為最大角時，由余弦定理可得cosC=%

可得廿>°2-“2=9-4=5,可得6>瓶，且c>b,可得be(V5,3),

當(dāng)2為最大角時，cosB=吧塞包>0,即廬</+°2=4+9=13,所以3<6<同，

綜上所述6的范圍為(*，V13),所以O(shè)正確.

故選：AD.

(多選)10.(6分)已知/'(%)=譏(2x+今)，貝!J()

A.f(n+x)—f(x)B./(手—久)=f(x)

TTTT

C.xE(0,/),f(x)>1D.xe(0,/),f(x)<0

解：因為/(%)=&sin(2%+今的周期T=ir,故A正確；

/(—)=V2sin—,此時了(無)不能取得最值，即函數(shù)圖象不關(guān)于犬=梨對稱，B錯誤；

16816

,IT,7TTC37rTC

當(dāng)0(x<4時，—<2x+1<T—,—<sin(2x+—)<1,

所以f(x)>1,C正確；

,TT,TC7T37r、斤rr

當(dāng)0<x<4時，—<2x+——三<cos(2%+4)<2，

則((無)=2A/2COS(2X+J)G(-2,2),D錯誤.

故選：AC.

(多選)11.(6分)某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款，月利率0.3%,

分12個月還清(每月購買車的那一天分期還款).有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配到

每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另

一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額的本息

和，利息以復(fù)利計算.下列說法正確的是()

A.等額本金方案，所有的利息和為2340元

B.等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元

C.等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列

D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案

解：對于A,利息和為(120000+110000+000000+…+10000)義0.003=12x(l00°/+12°00°)義

0.003=2340（元），故A正確;

對于B,倒數(shù)第二個月還款后，剩余本金10000(%),一個月利息為30(元)，本息和應(yīng)為10030(元)，

故2正確；

對于C和等額本息還款的每月還款額是一個固定值，包括本金和利息，

其中：記/是每月還款額，P是貸款總額，i是月利率，〃是還款期數(shù)，

則每月還款額公式為：時=學(xué)空聲-,120000(元)，i=0.3%=0.003,"=12(期)，

(1+0-1

將這些值代入公式計算每月還款額利息和為MX”-尸=2352.84(元)，

記f是當(dāng)月的還款期數(shù)，對每月的本金部分3,本金部分b=加-/「，

利息部分〃可以表示為剩余本金乘以月利率i,

P

剩余本金可以表示為貸款總額P減去已還本金，已還本金可以表示為一x(n-t+l),

n

因此，利息部分/r可以表示為：4=(P-'，X(71—t+1))Xi,

將/〃代入本金部分歷的公式中，我們得到：

將/，的表達(dá)式代入，我們得到：Bt=M-(P-^x(n-t+l))xi,這不是等比數(shù)列的通項公式，C錯

誤；

兩種貸款方案各有優(yōu)劣.等額本息還款利息和為2352.84(元)，比等額本金高，

但等額本金方案起初還款金額高，還款壓力大，還款金額逐年遞減，

等額本息每月還款金額相同，低于等額本金方案前半段時間還款額，高于后半段時間還款額，

還有通貨膨脹等諸多經(jīng)濟因素影響兩種方案的收益，故不能簡單認(rèn)為某種貸款方案優(yōu)于另一種方案，故

。錯誤.

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)方程log2(4X-3)=尤+1的解集為{1Og23}.

解:Vlog2(4X-3)=x+l,

：.2x+i=4x-3,

：.⑵)2-2?2A-3=0,

解得2、=3,或2"=-l(舍)，

??X=log23.

方程10g2(4X-3)=x+l的解集為{log23}.

故答案為：{log23}.

13.(5分)已知圓C：x2+y2^l,直線/：x+y+2=0,尸為直線/上的動點，過點尸作圓C的兩條切線，切

點分別為A,B,則直線Afi過定點(—

解：根據(jù)題意，尸為直線/：x+y+2=0上的動點，設(shè)尸的坐標(biāo)為G,-2-力，

過點尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則B4LAC,PB1BC,

則點A、B在以PC為直徑的圓上，

又由C(0,0),P(f,-2-f),則以尸C為直徑的圓的方程為x(尤-f)+y(y+2+f)=0,

變形可得：J^+y1-tx+(f+2)y=0,

則有朽+曰=1,。、八，聯(lián)立可得：—x+(f+2)y=0,變形可得：l+2y7(x-y)=0,

lxz+y"-優(yōu)+(t+2)y=0

即直線AB的方程為l+2y-tCx-y)=0,

r__1

變形可得：l+2y-f(x-y)=0,則有［tjLU解可得「―一彳，故直線AB過定點(4-1).

故答案為:(―^>—

14.(5分)切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫(1821.5?1894.12)在研究統(tǒng)計規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，

其內(nèi)容是：對于任一隨機變量X,若其數(shù)學(xué)期望E(X)和方差。(X)均存在，則對任意正實數(shù)c,有

P(|X-E(X)|<e)N1—嘩.根據(jù)該不等式可以對事件|尤-E(X)|<￡的概率作出估計，在數(shù)字

通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號”次，每次發(fā)射信號“0”和“I”是

等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為隨機變量X,為了至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)

間(0.4,0.6)內(nèi)，估計信號發(fā)射次數(shù)〃的值至少為1250.

1

解：由已知X?B(n,分，所以E(X)=0.5"，D(X)=0.25”，

若0.4<鼻<0.6,則0.4〃<X<0.6w,BP-O.ln<X-0.5n<0An,

即|X-0.5川

由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<O.ln)>1-就節(jié)，

要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，

則1一0,2嗎20.98,解得“21250,

(O.ln)

所以估計信號發(fā)射次數(shù)n的最小值為1250.

故答案為：1250.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知三棱錐A-BCD,△A3。和△BCD是邊長為2的等邊三角形，平面45。_L平面BCD

（I）求證：AC±BD；

（II）設(shè)G為8。中點，”為△ACD內(nèi)的動點（含邊界），且GH〃平面ABC,求直線G"與平面AC。

所成角的正弦值的取值范圍.

解：（I）證明：取2。中點G,連接AG,CG,

,：AABD和△BCD是邊長為2的等邊三角形，

：.AG±BD,CGLBD,

：AGCCG=G,.，.臺"平面ACG,

；ACu平面ACG,：.AC±BD.

(II)解：分別取CD、的中點E,F,連接GE,EF,DF,

由題意知GF//AB,GE//BC,

,：GEHGF=G,BCC\AB=B,平面ABC〃平面GEF,

GH//平面ABC,：.H一定在平面GEF中,

在平面AC。內(nèi)，的軌跡是線段EF,

:平面ABO_L平面BCD,又AG_LBD,

；.AG_L平面BCD,：.AG.LGC,

由題意知AC=V6,

由中位線關(guān)系得EF=苧，GF=1,GE=1,

在AGEF中，由幾何知識得：—<GH<1,

4

設(shè)，G到平面ACD的距離為d,

11

由VG-ACD=VA-CDG,得］xS^ACDxd=-xS^CDGxAG

an，SACDGXAG=11X儻埼=理

2

S&ACD|XV3+3Xj4-(^)§，

設(shè)直線GH與平面ACD所成角為a,

,V152V6

貝nijsina=前日―^―,—

直線GH與平面AC。所成角的正弦值的取值范圍是［卓，等］.

16.(15分)已知數(shù)列｛板｝滿足m=l,an>0,5是數(shù)列｛.｝的前w項和，對任意w€N*,有25=2忌+珈

-1.

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項公式；

(2)設(shè)加=(-1)一一〃,求｛加｝的前100項的和.

解：(1)由2szi=+a九一1,①得2szi+i=2a^+1+a九+1—1,②

(2)-?2a九+1—2s九+i—2s九=2a九+a九+1—2。九？一。九=2(q〃+i—(〃〃+i+〃〃)+(a〃+i-〃〃),

所以2(a〃+i-an)(〃九+1+〃及)-(。九+1+即)=0,即(〃九+1+即)(2即+1-2an-1)—0,

因為〃〃>0,所以2?！?1--1=0,即。n+1—=2，

1

又m=l,所以數(shù)列｛斯｝是以1為首項，a為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛?｝的通項公式為與=嬰；

nx

(2)因為氏=(-1)~an,

所以瓦+力2=%—02=-1，

人3+Z?4=03—04=—5，；

人99+瓦00=。99—a100=-2，

所以｛加｝的前100項的和為加+歷+加+?+加9+加00=(。1-。2)+(〃3-〃4)+?+(。99-(2100)=一'X50=-25.

17.(15分)已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進(jìn)行檢驗，篩查出該種疾

病攜帶者.

(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01,未患病但檢測顯示患病的

概率為0.05.

①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；

②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.(保留四位有效數(shù)字)

(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按4人一組分組，然后將上個人的血樣混

合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這女人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別

化驗一次(每一小組都要按要求獨立完成)，左取何值時，總化驗次數(shù)最少？

說明：函數(shù)/(x)=i-0.98x(x>0)先減后增.

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

解：(1)設(shè)A表示患病，8表示檢測結(jié)果顯示患病，貝!］：

①P(B)=P(4B)+P(AB)=P(a)P(B|2)+P(Z)P(B回)=0.02x0.99+0.98x0.05=0.0688,

②P⑷8)=需=喘翳=0.2878-

(2)設(shè)總居民人數(shù)為每小組檢驗次數(shù)為X,X的可能取值為1,什1,

P(X=l)=0.98%,P(X=A+1)=1-0.9/，

則E(X)=k+l-kX0.98k,

總化驗次數(shù)為絲(k+l-kx0.98fc)=M(1+--0.98fc),

kk

根據(jù)附表計算，笈=8時，化驗次數(shù)最少.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=2"+翁一(a-2)尤-4(aGR).

(1)求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若尤(-8,2e),求函數(shù)/(x)在區(qū)間在(-8,2］上的零點個數(shù).

解：(1)定義域為R,由題意得口(乃=(2一?(二+1),

當(dāng)aWO時，f'(x)>0恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)”>0時，由/(無)>0,得%>億全由/(x)<0,得久<7嗎，

所以/(x)在(-8,伍》上單調(diào)遞減，在()會+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)aWO時，無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間,

當(dāng)。>0時，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,嗚)，單調(diào)遞增區(qū)間為(嗚，+00);

⑵,Q）=（2e，U?e，+l）,

由（1）知當(dāng)oWO時，f（x）>0在（-8,2）］上恒成立，所以/（x）在（-8,2］上單調(diào)遞增，

因為/（0）=a-2<0,/（2）=2e2+a（^-2）>0,

由零點存在性定理知，函數(shù)/（x）在（-8,2］上有1個零點；

當(dāng)0<a<2e時，若x6（—8,嗚）,則，3<0,若在（1吟2］,則/（x）>0,

所以/（x）在（—8,嗚）上單調(diào)遞減，在。吟2］上單調(diào)遞增,可得/（:0mm=/（嗚）=（a—2）（1—

In務(wù)（1—In務(wù)，

當(dāng)a=2時，f（x）min=0,此時/（尤）在（-8,2］上有1個零點，

當(dāng)0<a<2時，fmin（x）<0,因為當(dāng)L-8時，f（x）一+8,/⑵=2（e2—a）+*>0,

所以此時/（x）在（-8,2］上有2個零點；

當(dāng)2ca<2e時，f（x）min>0,此時了（無）在（-8,2］上無零點.

綜上，當(dāng)aWO或a=2時，/（無）在（-8,2］上有1個零點，當(dāng)0<a<2時/（無）在（-8,2］上有

2個零點，當(dāng)2<°<2e時，/（x）在（-8,2］上無零點.

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式匕=口比考?①（其中a,b,c,d為常數(shù)），將點P（x,

y）變換為點P'（無'，y'）的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公

式①可由a,b,c,d組成的正方形數(shù)表，唯一確定，我們將《稱為二階矩陣，矩陣通常用大

寫英文字母A,8,…表示.

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點尸（x,y）繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到點P'（/,

/）（到原點距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣4