2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖象

第七節(jié)函數(shù)的圖象

最新考綱

1.在實(shí)際情境中，會(huì)依據(jù)不同的須要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，并運(yùn)用函數(shù)的圖象解簡(jiǎn)潔的方程（不等式）問題.

學(xué)問梳理

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；（3）探討函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、

對(duì)稱性等）；（4）列表（尤其留意特別點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，

連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換

⑵對(duì)稱變換

①尸f（x）也例遒尸“I

②尸『3巨巫遹尸上也

③尸加）空遮皿>尸3

@y=a”（a〉0且aW1）關(guān)于上y=logaX（a>0且a#l）.

（3）伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

①尸f⑺-------------------i--------?尸f（ax）.

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉硎馈丁?）倍

Ei、橫坐標(biāo)不變—

②y—"X）各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（心0）悟了一“⑴.

（4）翻轉(zhuǎn)變換

入軸下方部分翻折到上方

勤=『（x）的圖象y=4(x)1的圖象;

X軸及上方部分不變

6々,囪缶丁由右側(cè)部分翻折到左側(cè)._“??%囪缶

②y—F（x）的圖象原用由左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變y—魚㈤）的圖象?

3.關(guān)于對(duì)稱的三個(gè)重要結(jié)論

⑴函數(shù)尸F(xiàn)（X）與y=f（2a—x）的圖像關(guān)于直線x=3對(duì)稱.

（2）函數(shù)尸F(xiàn)（x）與y=2b—f{2a—x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,6）中心對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=F(x)對(duì)定義域內(nèi)隨意自變量x滿意：/'(a+x)=F(a—x),則函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于

直線x=a對(duì)稱.

其中(1)(2)為兩函數(shù)間的對(duì)稱，(3)為函數(shù)自身的對(duì)稱.

4.易錯(cuò)防范

(1)圖象左右平移僅僅是相對(duì)x而言的，即發(fā)生改變的只是x本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作.假

如x的系數(shù)不是1,須要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換.

(2)圖象上下平移僅僅是相對(duì)y而言的，即發(fā)生改變的只是y本身，利用“上加下減”進(jìn)行操作.但

平常我們是對(duì)y=f(x)中的f(x)進(jìn)行操作，滿意“上加下減”.

(3)要留意一個(gè)函數(shù)的圖象自身對(duì)稱和兩個(gè)不同的函數(shù)圖象對(duì)稱的區(qū)分.

典型例題

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

【例1】作出下列函數(shù)的圖象：

⑴;(2)y=|log2(jr+l)|；

⑶尸?”(4)y=/—2|-1.

X—1

【解析】⑴先作出T；)的圖像，保留尸七)圖像中心0的部分，再作出尸曲的圖像中X

>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得'的圖像，如圖⑴實(shí)線部分.

(2)將函數(shù)y=logzx的圖像向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函

數(shù)y=1logz(x+l)］的圖像，如圖⑵.

(3)???尸2+士，故函數(shù)圖像可由圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖

⑷?“?\x+—22x—11,,x<。，且函數(shù)為偶函數(shù),先用描點(diǎn)法作出1°，+8)上的圖像,再依據(jù)對(duì)稱

性作出(一8,0)上的圖像，得圖像如圖(4).

規(guī)律方法畫函數(shù)圖象的一般方法

⑴干脆法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出

圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出.

(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換

作出，并應(yīng)留意平移變換與伸縮變換的依次對(duì)變換單位及解析式的影響.

【變式訓(xùn)練1】分別畫出下列函數(shù)的圖象：

⑴y=x一1]；⑵尸|f—4x+3|；

(3)y=elnA；⑷尸logzlx-1|.

fL1,

【解析】(1)依據(jù)肯定值的意義，可將函數(shù)式化為分段函數(shù)尸0|八可見其圖象是由兩

[2x1,X\],

條射線組成，如圖(1)所示.

X，—4x+3,或

(2)函數(shù)式可化為尸圖象如圖(2)所示.

—x~+4x—3,1</3,

(3)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閁|x>0},

且y=/*=X,所以其圖像如圖(3)所示.

圖(3)圖(4)

(4)作y=logz|x|的圖像，再將圖像向右平移一個(gè)單位，如圖(4),即得到y(tǒng)=logz|x-l|的圖像.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)

【例2】⑴(2024?全國I卷)函數(shù)尸2x2——在［—2,2］的圖象大致為()

【答案】D

【解析】ftx)=2y—e*,2,2］是偶函數(shù)，

又r(2)=8-es€(0,1),排除選項(xiàng)A,B.

設(shè)，(*)="-1,+0,則，'W=4jr-e\

又/(0)<0,/(2)X>,

在9,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，

.?."r)=2?-e*在(0,2)內(nèi)至少存在T極值點(diǎn),，刈聆.C,故選D.

⑵(2024?唐山模擬)函數(shù)/UXlnQ-0的圖象是()

【答案】B

【解析】因?yàn)閄—；>0,解得￡>1或一1〈-0,

所以函數(shù)f(x)=ln(x—9的定義域?yàn)?一1,0)U(1,+8).所以選項(xiàng)A,C不正確.

當(dāng)xG(—1,0)時(shí)，g(x)=矛一：是增函數(shù)，因?yàn)閥=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)/"(x)=ln(x—:是增函

數(shù).所以D不正確，B正確.

-

Q1riV

(3)[2024?全國卷III]函數(shù)尸1+x+r的部分圖象大致為()

X

【答案】D

sinx1I〔Isinx

【解析】當(dāng)L+8時(shí),2-f0,1+xf+00，y—1+x-v2-'8,故解除選項(xiàng)B.

xx

JIQiDy

當(dāng)0<x<*p時(shí)，y=l+x+工廠>°，故解除選項(xiàng)A,C.故選D.

規(guī)律方法函數(shù)圖像的.辨識(shí)可從以下方面入手

(1)從函數(shù)的定義域,推斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖像的上下位置;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,推斷圖像的改變趨勢(shì);

⑶從函數(shù)的奇偶性，推斷圖像的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的周期性，推斷圖像的循環(huán)往復(fù);

⑸從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖像.

【變式訓(xùn)練2](1)函數(shù)尸log2([x|+l)的圖象大致是()

【答案】B

【解析】尸log2(|x|+1)是偶函數(shù)，當(dāng)x'O時(shí)，y=log2(x+l)是增函數(shù)，且過點(diǎn)(0,0),(1,1),

只有選項(xiàng)B滿意.

(2)(2024?北京海淀區(qū)期末)函數(shù)尸f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以為()

A.F(x)=~-/B.F(x)=--x

XX

C.f(x)='一e"D.f{x)Inx

xx

【答案】C

【解析】由函數(shù)圖像知，函數(shù)f(x)在(一8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，A中，?.?/?(—1)=—2,A-

9

2)=--<r(-l),不滿意題意；B中，A-D=0,不滿意題意；C中，易知函數(shù)在(一8,0),(0,

+8)上單調(diào)遞減；D中函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),不滿意題意，故選C.

(3)已知a是常數(shù)，函數(shù)人王)=[^+：(1—a)f—ax+2的導(dǎo)函數(shù)(x)的圖象如圖所示，則函

數(shù)g(x)=|a*—2]的圖象可能是()

【答案】D

【解析】由廣(x)—血/一ax+2,得/(x)=*+(l—a)x—8

1-O

依據(jù)y=f(x)的圖象知一——>0,：..a>l.

則函數(shù)g(x)=|a-2|的圖象是由函數(shù)尸a'的圖象向下平移2個(gè)單位，然后將x軸下方的圖象翻折

到x軸上方得到的，故選D.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題角度一探討函數(shù)的零點(diǎn)

f11gx\,x>0,

【例3】已知f(x)=m則函數(shù)y=2「(x)—3f(x)+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

【答案】5

【解析】由2^(x)—3f(x)+l=0得f(x)=1或f(x)=l

作出函數(shù)y=f(x)的圖象.

由圖象知了=(與尸f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，y=l與尸f(x)的圖象有3

個(gè)交點(diǎn).

因此函數(shù)尸2/(x)—3f(x)+l的零點(diǎn)有5個(gè).

命題角度二求不等式的解集

【例4】函數(shù)F(x)是定義在［―4,4］上的偶函數(shù)，其在［0,4］上的圖象如圖所

f(

示，那么不等式-----<0的解集為

cosx

【答案】VT)u(i，T)

【解析】當(dāng)x￡(0,5)時(shí),7=cosx>0.

當(dāng)4)時(shí)，y=cosT<0.

結(jié)合P=F(x),[0,4]上的圖象知，當(dāng)IVxC?時(shí)，,(")〈0.

2cosx

f(x)

又函數(shù)y=------為偶函數(shù)，

cosX

.?.在[―4,0].上，」f(x^)〈0的解集為，一方兀，-I、,

cosX\zJ

所以〈0的解集為1-9，—-yj.

‘co°sLX\z)\LJ

命題角度三求參數(shù)的取值或范圍

1

logr^r,x〉0,

【例5】)已知函數(shù)/<x)=j2若關(guān)于x的方程f(x)=#有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

2，x(0,

數(shù)人的取值范圍是.

【答案】(0,1]

【解析】作出函數(shù)y=F(x)與y=4的圖像，如圖所示，

由圖可知Ae(0,1].

規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的圖象探討函數(shù)的性質(zhì)，肯定要留意其對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：圖象的左右范圍對(duì)應(yīng)

定義域，上下范圍對(duì)應(yīng)值域，上升、下降趨勢(shì)對(duì)應(yīng)單調(diào)性，對(duì)稱性對(duì)應(yīng)奇偶性.

(2)探討方程根的個(gè)數(shù)或由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)問題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求.解.

⑶探討不等式的解：當(dāng)不等式問題不.能用代數(shù)法求解，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式

問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

【變式訓(xùn)練3】(1)已知函數(shù)/"(x)=x|x|—2x,則下列結(jié)論正確的是()

A.F(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0,+8)

B.F(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(一8,1)

C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(一1,1)

D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(一8,0)

【答案】C

[x~2x,x>0,

【解析】將函數(shù)F(x)=x|x|-2x去掉肯定值得f(x)=2畫出函數(shù)/1(x)的圖象,

\—x—2x,x<0,

如圖,

V

視察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(一1,1)上單調(diào)遞減.

(2)(2015唾國I卷)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2，+"的圖象關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且/'(—2)+F(一

4)=1,則a=()

A.-1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】設(shè)(工,方是由數(shù)尸六工)圖象上任逋一點(diǎn)，它關(guān)于直線廣一”的對(duì)稱息為(一尸，一力，由

尸找*)的蹣與尸廠,的醵關(guān)于直線產(chǎn)一上對(duì)稱，可知(-%-X)在尸L的圖象上，即一*

=2-L)解譯產(chǎn)一log：(-jr)+e,2)+ft-4)=—loe：2+?—loc：4+a=l>解得a=2,

選C.

(3)已知函數(shù)y=F(x)的圖象是圓V+/=2上的兩段弧，如圖所示，則不等式/'(x)>f(—x)—2x的

解集是

【答案】(-1,0)U(1,72]

【解析】由圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為/1(x)〉一工

在同始終角坐標(biāo)系中分別畫出了=H分與/=-x的圖象，由圖象可知不等式的解集為(-1,0)U(1,

口

7，

XlL

/\jJ2

-A<w*

TX

⑷已知函數(shù)f(x)=|x—2|+l,g(x)=#x.若方程￡(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)次的取

值范圍是.

【答案】1)

【解析】先作出函數(shù)f(入)=*—2|+1的圖像，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=Ax與直線平行時(shí)斜

率為1,當(dāng)直線g(x)="x過4點(diǎn)時(shí)斜率為今，故f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，A的取值范圍

為生1).

課堂總.結(jié)

[易錯(cuò)防范]

(1)函數(shù)圖象中左、右平移變換可記口訣為“左加右減”，但要留意加、減指的是自變量.

(2)留意含肯定值符號(hào)的函數(shù)的對(duì)稱性，如y=f(|x|)與y=|『(x)|的圖象是不同的.

(3)混淆條件“f(x+l)=f(x—1)”與“f(x+l)=f(l—x)”的區(qū)分，前者告知周期為2,后者告知

圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

課后作業(yè)

1.將函數(shù)f(x)=(2x+l)2的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象的函數(shù)解析式為.

【答案】y=(2x+3)2

【解析】f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是y=[2(x+l)+1]2=(2x+3)2的圖象.

2.把函數(shù)f(x)="x圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式是.

【答案】y=*x

【解析】依據(jù)伸縮變換方法可得新函數(shù)的解析式為y=7^x.

3.若關(guān)于x的方程|=a—x只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,+8),,=1.1

【解析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)了=區(qū)與了=@—X的圖象，如圖所

示.由圖象知當(dāng)〃>0時(shí)，方程|x|=2—X只有一個(gè)解.

4.函數(shù)*x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線尸6”關(guān)于p軸對(duì)稱，則/<x)的解析式

為()

A.f{x)=ex+lB.f{x}=e"T

C.f{x)=e~x+iD.f{x)=e~x~x

【答案】D

【解析】依題意，與曲線尸e*關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線是尸e)，于是F(x)相當(dāng)于尸e-'向左平移

1個(gè)單位的結(jié)果，；"(x)=「"=「1.

5.(2024?浙江卷)函數(shù)y=sinY的圖象是()

ya

A

CI)

【答案】D

【解析】Vy=sin(—A)2=sin/,且入￡比

兀兀2

.?.函數(shù)為偶函數(shù)，可解除A項(xiàng)和C項(xiàng)；當(dāng)了=萬時(shí)，sin/=sin^-#L解除B項(xiàng)，只有D滿意.

6.若函數(shù)y=F(x)在xe[—2,2]的圖象如圖所示，則當(dāng)xd[—2,2]時(shí)，f{x}+f{-x)=.

【答案】0

【解析】由于y=Hx)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱+f(—x)=f(x)—f(x)=0.

U2-l

7.已知函數(shù)y=J~~>的圖象與函數(shù)/=履的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)在的取值范圍是.

【答案】(0,l)u(l,2)

【解析】將函數(shù)y=J——化成分段函數(shù)，并作出其圖象如圖所示.

x—1

)1/

2/

|1：

-4-J-2Z|\bI2147

y-I

/-3

<可

利用圖象可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,1)U(1,2).

8.設(shè)函數(shù)F(x)=|x+a|,g(x)=x—1,對(duì)于隨意的xdR,不等式f(x)與g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

【答案【［—1，+8)

【解析】如圖，要使廣(x)2g(x)恒成立，則一aWl,???石2—1.

A*)3

C.水0,b>0,c<0D.a〈0,ZXO,c<0

【答案】C

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xW—c},結(jié)合圖象知一c>0,，水0.令x=0,得F(0)=i又由圖象

bb

知F(0)>0,「?6〉0.令_f(x)=0,得x=--，結(jié)合圖象知—>0,水0.故選C.

aa

10.如圖，函數(shù)“x)的圖象為折線力⑶，則不等式F(x)》log2(x+1)的解集是()

A.{x|-IVxWO}B.{x|—

C.{x|—lVxWl}D.{x|—1VXW2}

【答案】C

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),作出函數(shù)g(x)圖象如圖.

結(jié)合圖象知，不等式f（x）》log2（x+l）的解集為{x|—Idl}.

~F（v）—~F（—v）

11.設(shè)奇函數(shù)/5）在（0,+8）上為增函數(shù)，且F⑴=0,則不等式?一一^<0的解集為（）

X

A.(-1,0)U(1,+8)B.(-8,-1)U(0,1)

C.(—8,—1)U(1,+°0)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】D

-f（v）--力2f(x)

【解析】因?yàn)?"（X）為奇函數(shù)，所以不等式上一—<0可化為——<0,即xf(x)VO,f(x)的

Xx

大致圖像如圖所示

所以xf(x)<0的解集為(-1,0)U(0,1).

12.當(dāng)0cxwg時(shí)，4"VlogaX,則己的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=4"和g（x）=logax,當(dāng)a>\時(shí)不滿意條件，當(dāng)0<a<l時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)

,1

在即2<log，，則a>坐，所以