河南某中學2025屆高三數(shù)學（理）上學期開學摸底考試試題

河南省頂級名校2025屆高三數(shù)學上學期開學摸底考試試題理

本試卷共4頁，23題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

留意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題

卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

5.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.已知幾何A={x|x'—x—ZWO},B={x|x<0},則AAB=

A.{x|—IWxWO}B.{x|-l^x<0}C.{x|—2Wx〈0}D.{x|—2WxW0}

2.已知復數(shù)z滿意z(l+i)=2i,貝"z|=

A.1B.—C.0D.2

2

3.在等差數(shù)列{a?}中，+Go=°，。6+。8=T，。100=

A.212B.188C.-212D.-188

,,..、1.,cos2a

4.已知sin(?+?)=一,則----=

3sincr

3737

A.一一B.——C,-D.-

7373

5.(f+2)6的綻開式中含x，的項的系數(shù)為

X

A.20B.40C.80D.160

6.在《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉席，若某個鱉腌的三視圖均

為直角邊長為2的等腰直角三角形(如圖所示)，則該鱉膈的體積為

正視圖惻視圖

14

A.-B.-CD.4

63-I

7.如圖所示的aABC中，點D、E、F分別在邊BC、AC、AD±,且BD=DC,AE=2EC,DF=2AF,

則向量EF=

1||?1213

A.-AB——ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB--AC

62336334

8.已知三個村莊A、B、C所處的位置恰好位于三角形的三個頂點處，且AB=6km,BC=8km,

AC=10km?現(xiàn)在4ABC內(nèi)任取一點M建一大型的超市，則M點到三個村莊A、B、C的距離都不

小于2km的概率為

3+百7121-A/312—十

A.-------B.—C.--------D.------

24122412

9.若函數(shù)f(x)=ax'+(a—l)x?—2x為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(一1,f(—1))處的切線方

程為

A.y=x+4B.y=x—4C._y=x+2D.y=x—2

10.已知函數(shù)/(%)=2sin(s+0)(G>O,|d<3,滿意/(0)=石，將函數(shù)f(x)的圖象向

右平移2yr個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)的圖象關于直線x37=r%=二對稱，則3的取

64

值可以為

A.1B.2C.3D.4

11.若對隨意的實數(shù)x>0,恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

A.[1,+°0)B.(―0°,1]C.[―1,+°°)D.(―0°,—1]

12.已知拋物線C：y?=2x,過定點M(a,0)的直線與拋物線C相交于點P,Q,若」不+」^

\PM[\QM[

為常數(shù)，則實數(shù)a的值為

A.1B.2C.3D.4

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13?21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第

22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分。

13.已知正項等比數(shù)列｛aj中，q=2,q+%=1°，則。？+%=

x-2y+1>0

14.若x、y滿意約束條件<%+y-1V0,則z=x+2y的最大值為

y>0

15.已知直線1：mx+ny—1=0與圓0：=3相交的弦長=2^/2,則rn^+n=

22

16.在平面直角坐標系xOy中，過x軸上的點P作雙曲線C：二—與=1（?！?］〉0）的一條

ab

漸近線的垂線，垂足為M,若OM=&,PM=幣,則雙曲線C的離心率的值是

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分12分）

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且A=工,a=。

3

（1）求角B、C；

⑵求AABC的面積。

18.（本小題滿分12分）

為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門常常不定期地對產(chǎn)品進行抽查檢測，現(xiàn)對某條生

產(chǎn)線上隨機抽取的100個產(chǎn)品進行相關數(shù)據(jù)的對比，并對每個產(chǎn)品進行綜合評分（滿分100

分），將每個產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評分為80分及以

上的產(chǎn)品為一等。

（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計總體，視頻率作為概率，在該條生產(chǎn)線中隨機抽取3個產(chǎn)品，求所抽取的產(chǎn)品

中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學期望。

19.（本小題滿分12分）

如圖所示，在四棱錐A—BCDE中，底面BCDE為正方形，且BC=2,AB=4,AC=AE=2^?

⑴證明:AB_L平面BCDE；

⑵求二面角C—AD—E_的余弦值。

20.（本小題滿分12分）

22

過原點。作兩條相互垂直的射線，分別交橢圓C：「+[=1（?！?〉0）于「、Q兩點。

ab

（1）證明：「6+二方為定值；

\OP\-\OQ\-

X221

⑵若橢圓C：彳+=v=1（?！?〉0）的長軸長為4,離心率為一，過原點0作直線PQ的垂線,

ab2

垂足為D,求點D的軌跡方程。

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(尤)=Inx-2x+a(aeH)

(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

1_x+l

(2)證明：2x-lnx2(x+,)e2+In21.

請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分。

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

X—1+t

在平面直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為1(t為參數(shù))，以坐標原點0為

〔y=2t

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕side—4cos6=0。

(1)求直線1的一般方程和曲線C的直角坐標方程；

⑵若直線1與曲線C相交于A、B兩點，求

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(尤)=|2%+1|。

⑴求不等式/GOW1的解集；

⑵若\/x&R,f(x2)>乂恒成立，求實數(shù)a的最大值。

理數(shù)參考答案及評分細則

一、選擇題

1.B【解析】丁A==-z-2＜0}={h-1＜工《

2},B=(工工＜0},；.ADB=-1&工＜0}.故

選B.

2i

2.C【解析】V(1+i)=2i.A

214-i

2i?(1-i)2i+2

=1+i,=72.故選c.

(1+i)-(1-i)2

3.D【解析】在等差數(shù)列44}中，;Q?+a1o=2a6,?\%

=0,乂?.?四+/=—4,?*.47=-2,.??公差為d=a「

。6=-2,；.{4}的通項公式為%=。6+(〃-6)d=0

+(〃-6)X(—2)=12—2〃，?二aioo=12-2X100=

-188.故選D.

4.B【解析】sin(a+兀)=二，sina=-4~.cos2a

oJ

7

.cos2a_9_7

=1-2sin2a=1-

**sina_1_3

~~3

故選B.

5.D【解析】Tr+1=3（八）.‘（?）'=C?2'?

r

,當r=3時，12—3「=3,此時系數(shù)為Q2=

亡23=160.故選D.

6.B【解析】根據(jù)三視圖畫出該幾何體的直觀圖為如

圖所示的四面體PABC,PA垂直于等腰直角三角形

ABC所在的平面，將其放置于正方體中（如圖所示）.

可知該正方體的所有棱長為2.所以VP-ABC

?PA=^-X—AB-BC?PA=3X4~X2

oJ乙D乙

4

X2X2=，.故選B.

J

7.A【解析】EF=AF-AE=-1^AD21

Ooo

4-(AC+AB)-^-AC=-^AB-4-AC.故選A.

ZooZ

8.D【解析】?；A3=6km.BC=8km.AC=10km,

...AB2+BC'2=AdAB±BC.根據(jù)題意知點M所

在區(qū)域如圖陰影部分所示.

Sw=4X6X8=24,Sgj期=24-4■灰X4=24-

2“,...P='[=故選D.

9.C【解析】?.?函數(shù)/（工）="3+（。-1）工2—2工為奇

函數(shù),f（—工）=—f（工），?'?a=1,從而f（H）=a"

2工,.,"（］）=3工2-2,"=八一1）=1.且/（一1）

=1....切線方程為y—1=n+1,即y=z+2.故選C.

10.B【解析】?.,/(())=笈，，sin9=4?.乂=夕V

—，?二（p—,從而/(^)=2sin(3工一年).g(_r)

乙O

=2sin3（n—f"）+專.丁g（i）的國象E于直線

對稱，???“可親）+母=3+4/sz,即

4v4O7oZ7r

gX棄=4■+此收SZ.令Q1,得3=2.故選B.

1Zb

11.D【解析】Mn工一工一a20恒成立?即為h

X在（0.+8）上恒成立，記f（H）=Hln工一工,工￡

（0.+8）.則/（工）=In工+1—l=lnz,令In工=0.

得H=1,當工6（0.1）時/（工）＜0.函數(shù)/（工）單調(diào)

遞減，當工￡（1,+8）時./（工）＞0.函數(shù)八工）單調(diào)

遞增,所以/（N'nM/XDn-l，所以a＜-l.故

選D.

12.A【解析】設P（力，y】）.Q（工2,”）,直線PQ：

x=kyA-a?

=>V—2ky-2a=Of

{y1=2x

.,?v+w==-2a,:.pk+=

^_+L__，u+!）

（xi-a）2+yi（5-"￥+/7=無~+11乂員）

=]___./+/=___].（W+山）2-2y皿=

無‘+1yiyz4'+1（兇”產(chǎn)

忐%#為常數(shù)’...a=l?滿足

△=4萬+8>0.故選A.

二、填空題

13.20【解析】由題意可設等比數(shù)列的公比為q,則由

0i+%=10,得”1+”?2=10.乂'；<2i=2，解得q2-

4?,?*g>0,：.q=2.做+”<=（+%）q=10X2=

20.故填20.

14.—【解析】作出約束條件可行域如下圖陰影部分：

y\

目標函數(shù)z=i+2y可化為y=—;工+彳，將y=

乙乙

-；上進行平移.可得在處截距最大,

乙OO

19.5

即1最大，將2=丁，?=下■代人得之刖=故

OOO

idte5

o

15,1【解析】由點到直線的距離公式可知圓心。到直

線的距離為d=1/.弦長AB=

2,/3-J2=2/3-----------，VAB=2：/2,

AVnt+

*7=斤/+/=1.故填L

16.哆【解析】由題意.雙曲線C：4-^=l(a>0,6

Za

>0)的一條漸近線為￥=%,?：()M=而，PM-

a

萬，且PM垂直于漸近線產(chǎn)2r..?.2=需=(

aaOM、R

2a'a，、

匹故掙匹

2*MA.2?

-y/

xTv

三、解答題

17.解：(1)，：A=a=￡,b=&T,

^o、

???由正弦定理si：A-；6.得

nsin13'

sin—

sin6=

解得浮.（3分）

又,.?B￡(0,x),

?3：或5，

乂?.?。＞6二8=4".（5分）

?cL——12,（7分）

（2）△ABC的面積S=CassinC

=；-sin繆=卻立學史=舒咨

Z12Z44

（12分）

18.解：（1）由（0.005+0.010+0.025+a+0.020）X10

=1,

解得a=0.040.（2分）

令中位數(shù)為x,則（0.0054-0.010+0.025）X10+

0.040X（j-80）=0.5,

解得工=82.5,所以綜合評分的中位數(shù)為82.5.

（5分）

（2）由（D與頻率分布直方圖可知.一等品的頻率為

（0.0404-0.020）X10=0.6,

即概率為0.6.設所抽取的產(chǎn)品為一等品的個數(shù)

為X,

則X?3（3,上），（6分）

所以P（X=0）=G（春）；哉.

p（x=i）=cjxfx（f）2=^,

P（X=2）=CX（卷），X―云

P（X=3）=G（S）；法.（8分）

所以X的分布列為

X0123

D8365427

r125125125125

（10分）

所抽取的產(chǎn)品為一等品的數(shù)學期望E（X）=3X4

D

=云.（12分）

□

9.解：（1）因為底面8CDE為正方形，且BC=2,AB=

4,AC=AE=2j5,

所以AC2=AB2+BC,AE2=AB24-B￡/.

所以AB±BC.AB±BE.

乂BCflBE=8,BCU平面BCDE,BECZ平

面BCDE,

所以AB_平面BCDE.（5分）

(2)由(1)知AB_L平面比'DE.乂因為底面BCDE

為正方形，所以分別以6C,BE.8A為工，》.之軸的正

方向建立如圖所示空間直角坐標系.

y

則B(0.0,0),A(0,0.4),C(2,0,0),D(2,2,0).E(0,

2,0),

所以AC=(2,0,—4).AD=(2.2.-4),AE=(0,2.

一4),(6分)

設平面ACD的一個法向量為〃=(l.1y,N).

n?AC=0,f(j:,v,2)?(2.0,—4)=0,

則今一

，n,AD=01(工，、，之),(2,2,—4)=0,

(jr=2z.

即；令z=l.所以〃=(2.0.1).(8分)

(H+y-2z=0?

同理可求得平面AQE的一個法向量m=（0,2.D,

(10分)

〃?m(2.0,1)?(0,2.1)

所以cos<n.m

nm~、氐X底

5?

乂二面角C-AD-E的平面角為鈍侑.

1

故二面角C-AD-E的余弦值為(12分)

5"

20.解：（1）當OP,（）Q分別在坐標軸上時,顯然有

__1_______!=———1—(?zv)

OP2()Q：db，''m

當OP,(>Q不在坐標軸上時,設直線C)P：y=kx,

I丫=卜工、

222222

聯(lián)立方程<1r2J=>(^'a4-ft)JC=ab=>x=

I若+F-I

2222

ab2_kalr

k:a2+b:'y~k2a2

所以7^7T=（3加'（4分）

用一十代替上式中的八可得擊=聲篙聲

（5分）

所IMIi［='+^62

所以()P2+OQ2-(>+1)42加+(>+1)笳加

11,中估、小、

=，，_/,__=/7"(定值).(6分)

(2)由橢圓C：與+4=l(a>6>0)的長軸長為4,

ab~

離心率為:?得橢圓。的方程為++4=1,由(1)

乙*XO

的證明可知/r+l^T—4十十一5(8分)

OP2+()Q2_7_PQ2_7

⑷OP2?(X)2一誦=(OP?()Q)2—12，

即但才占%08T(］。分)

I??

所以點D的軌跡方程為>+；/=竽.(12分)

解：(l)/(i)=InN—2々+。的定義域為(0,+8),

令/(j?)=ln工-2jr+a=0,則a=2i—Ini.

記g(i)=2>r—Inn>0,

則g'(工)=2—工=21~-1,令g，(N)=(),得］=』■,

XXI

(2分)

當/G（0.3~）時，g'（/XO，g（/）單調(diào)遞減，

當（二，+8）時，g'（_r）>0,g（?z）單調(diào)遞增.

（3分）

所以g（工）有最小值，且為g（上）=l+ln2.

乂當工0時.g（N）+8；

當工+8時，g（H）+8;

所以要使函數(shù)八工）有兩個零點，則函數(shù)g（H）的圖

象與y=a有兩個不同的交點.

則a>l+ln2.即實數(shù)。的取值范圍為（1+ln2.

4-oo）.（5分）

（2）由（1）的證明可知2工一由±2l+ln2.

當且僅當■時取等號.

乙

因此要證明2JC—In々2（z+J）c=：In2,

乙r

即只需要證明（_r+J）er++&l,（7分）

記6工）-G+~l"）er+9.

則g，（z）=er+9一（H+9）cr+?

=（"工）…，

令d（N）=。，得工=占，

當工￡（0.；）時.卬'（工）＞0呼（7）中-調(diào)遞增，

當工￡（=,+8）時,-（工）〈0岬（工）單調(diào)遞減.

乙