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第11講基本不等式的證明【蘇教版2019必修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01基本不等式的推導與證明 2題型02用基本不等式證明不等式 4題型03用基本不等式求最值 7易錯歸納 1分層練習 23夯實基礎 12能力提升 18創(chuàng)新拓展 18基本不等式的推導與證明基本不等式:如果a,b是正數,那么eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2),當且僅當a=b時,等號成立.我們把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)(a,b≥0)稱為基本不等式.對于正數a,b,我們把eq\f(a+b,2)稱為a,b的算術平均數,eq\r(ab)稱為a,b的幾何平均數.注意點:(2)兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數,當兩個正數相等時,兩者相等題型01基本不等式的推導與證明【解題策略】在基本不等式應用過程中要注意“一正、二定、三相等”.一正:a,b均為正數;二定:不等式一邊為定值;三相等:不等式中的等號能取到,即a=b有解【典例分析】【例1】(1)若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)+eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(2)不等式a+1≥2eq\r(a)(a>0)中,等號成立的條件是()A.a=0 B.a=eq\f(1,2)C.a=1 D.a=2答案(1)D(2)C解析(1)對于A,當a=b時,應有a2+b2=2ab,故A錯誤;對于B,C,條件ab>0,只能說明a,b同號,當a,b都小于0時,B,C錯誤;對于D,因為ab>0,所以eq\f(b,a)>0,eq\f(a,b)>0,所以eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))=2,當且僅當a=b時,等號成立,故D正確.(2)因為a>0,根據基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2),當且僅當a=b時,等號成立,故a+1≥2eq\r(a)中,當且僅當a=1時,等號成立.(3)下列不等式的推導過程正確的是________.(填序號)①若x>1,則x+eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))=2;②若x<0,則x+eq\f(4,x)=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-x+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,x)))))≤-2eq\r(-x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,x))))=-4;③若a,b∈R,則eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))=2.答案②解析①中忽視了基本不等式等號成立的條件,當x=eq\f(1,x),即x=1時,等號成立,因為x>1,所以x+eq\f(1,x)>2;③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數這一條件.【變式演練】【變式1】(2223高一上·河南·階段練習)若,且,則下列不等式中不恒成立的是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】用特殊值判斷B,根據基本不等式,判斷ACD.【詳解】解:,即,故A恒成立,取,此時,故B不恒成立,因為,所以,所以,故C恒成立,因為,所以,所以,故D恒成立,故選:B【變式2】(2324高一上·江蘇·課前預習)一般地,對于正數,總有,當且僅當時等號成立,這個不等式常稱為基本不等式.【答案】【解析】略【變式3】(2223高一·全國·課堂例題)對任意三個正實數,,,求證:,當且僅當時等號成立.【答案】證明見解析【分析】運用基本不等式進行證明即可.【詳解】因為,,,所以由基本不等式,得,,,當且僅當,,時成立,把上述三個式子的兩邊分別相加,得,即.當且僅當時等號成立.題型02用基本不等式證明不等式【解題策略】利用基本不等式證明不等式的策略從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最后轉化為所求問題,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”【典例分析】【例2】已知a,b,c均為正實數,且a+b+c=1.求證:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)-1))≥8.證明因為a,b,c均為正實數,a+b+c=1,所以eq\f(1,a)-1=eq\f(1-a,a)=eq\f(b+c,a)≥eq\f(2\r(bc),a),同理eq\f(1,b)-1≥eq\f(2\r(ac),b),eq\f(1,c)-1≥eq\f(2\r(ab),c).上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)-1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)=8.當且僅當a=b=c=eq\f(1,3)時,等號成立.【變式演練】【變式1】(2324高一上·安徽宿州·期中)已知,,均為正實數.求證:.【分析】利用基本不等式證得不等式成立.【詳解】證明:,∴,,,∴,,,∴,當且僅當“”時等號成立【變式2】(2324高一上·陜西西安·階段練習)已知a,b為正實數.(1)若,求證:;(2)若,求證:.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)根據基本不等式證明即可.(2)對不等式左邊變形,然后根據基本不等式證明即可.【詳解】(1)因為a,b是正實數,則,當且僅當時,等號成立,故.(2),當且僅當時,即,時,取等號【變式3】(2324高一下·山東淄博·期中)(1)已知,求證:;(2)求證:.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析【分析】(1)根據重要不等式可得,從而得到,同理得到其余兩式,再將三式相加即可得證;(2)利用作差法證明即可.【詳解】(1)因為(當且僅當時取等號),,所以①;同理可得②;③;①、②、③相加得,所以,又,所以,所以,當且僅當時取等號.(2)因為,當且僅當時取等號,所以,所以,即,又,當時取等號,所以,當且時取等號題型03用基本不等式求最值【解題策略】拼湊法求解最值,其實質就是先通過代數式變形拼湊出和或積為常數的兩項,然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值時,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意驗證等號成立的條件【典例分析】【例3】(2023高二下·福建·學業(yè)考試)已知,則的最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】,當且僅當“”時取等.故的最小值為.故選:D.【變式演練】【變式1】(2324高一上·廣東廣州·期中)設均為正數,且,則的最小值是.【答案】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】因為均為正數,且,所以,當且僅當,即時取等,所以的最小值是.故答案為:【變式2】(2324高一上·天津·期中)已知,,且,則的最小值為.【答案】/【分析】由題意可得代入,結合不等式求解即可.【詳解】由可得:,所以,當且僅當即.故答案為:【變式3】(2223高一上·云南大理·期末)設,且.(1)求的最大值;(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由基本不等式即可求出的最大值;(2)由,再由基本不等式求解即可.【詳解】(1)法一:,當且僅當且時等號成立.∴ab的最大值為法二:,,當且僅當,即,時等號成立.∴ab的最大值為.(2),當且僅當時等號成立,∴的最小值為易錯點1忽略變量的取值范圍致錯【例1】求的最大值.【錯解】令,則當且僅當,即時,等號成立,則所求最大值為【錯因分析】此解答過程錯誤,當時,,忽視了對符號的討論.【正解】由知當時,,當且僅當,即時,等號成立;當或時,;當時,.綜上所述,的最大值為易錯點2忽略定值的條件致錯【例2】[黑龍江大慶實驗中學2023高一月考]已知,則的最小值為()【錯解】,當時,即時,取最小值【錯因分析】此解答過程錯誤,它沒有找出定值條件,只是機械地套用公式.【解析】因為,即,所以,當且僅當時,即時,有最小值.故的最小值為.【答案】易錯點3多次應用基本不等式致錯【例3】已知,,且,求的最小值.【錯解】的最小值為【錯因分析】上述解法錯誤的原因是兩次使用基本不等式時,兩個等號成立的條件不同,即第一次等號成立的條件為,即;第二次等號成立的條件為,故取不到最小值.【正解】當且僅當,,即時,等號成立.解得故當時,取得最小值.【夯實基礎】一、單選題1.(2324高一上·安徽·期末)若正數滿足,則的最大值為(

)A.6 B.9 C. D.【答案】C【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】解:因為,所以,當且僅當時取等號.故選:C.2.(2122高二上·廣西桂林·階段練習)若,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是(

)A.B.C.D.【答案】C【分析】根據,利用基本不等式逐項求解判斷.【詳解】A.因為,,當且僅當時,等號成立,故錯誤;B.因為,所以,當且僅當時,等號成立,故錯誤;C.由A知,所以,故正確;D.,當且僅當,即時,等號成立,故錯誤;故選:C3.(2021高一·全國·課后作業(yè))若且,則下列不等式中恒成立的是(

).A. B.C. D.【答案】D【分析】根據基本不等式判斷,錯誤的不等式可舉反例.【詳解】當時,,A錯;時,滿足,但,B錯;時,滿足,,C錯.,則,,當且僅當時等號成立.D正確.故選:D.4.(2021高二下·云南昭通·期中)“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據充分不必要條件的定義,結合基本不等式,可得答案.【詳解】當時,顯然成立,反之不成立;當時,則,故,充分性成立;令,由推不出,故”是“”的充分不必要條件,故選:A.二、多選題5.(2024高一上·全國·專題練習)若,則下列不等式成立的是(

)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】利用基本不等式及不等式的性質即可得出選項A、B、D正確,選項C,取特殊值即可排除.【詳解】對于選項A,因為,則,所以,故選項A正確;因為,所以,,又,得到故,所以選項B和D正確,對于選項C,取,滿足,但,所以選項C錯誤,故選:ABD.6.(2324高一上·廣東珠?!て谥校┤?,則(

)A. B.C. D.【答案】AD【分析】利用作差法判斷A;利用特值法判斷B,利用不等式的性質判斷C;利用不等式的性質及基本不等式判斷D.【詳解】∵,∴,∴,故A正確;取,則,此時,故B錯誤;∵,∴,故C錯誤;∵,,∴,∴,故D正確.故選:AD.三、填空題7.(2324高一上·河南南陽·階段練習)基本不等式應用條件

公式

取等條件【答案】一正二定三相等【分析】略【詳解】略8.(2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測)已知正數,滿足,若,則.【答案】6【分析】化簡不等式,利用基本不等式求出,即可得出的值.【詳解】由題意,由,得,即,故.又,所以,當且僅當即時,等號成立,此時,解得或,則,所以.故答案為:.9.(2122高一上·河南濮陽·階段練習)已知,,給出下列四個不等式:①;②;③;④.其中正確的不等式有.(填上所有正確的序號)【答案】①②③【分析】利用基本不等式比較各項不等式左右兩邊的大小關系,注意等號成立的條件.【詳解】∵a>0,b>0,∴①a+b+≥2≥2=2,當且僅當a=b=時取等號,正確;②(a+b)()≥4·=4,當且僅當a=b時取等號,正確;③∵≥,而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b),∴≥a+b,當且僅當a=b時取等號,正確;④a+=(a+4)+4≥24=2,當且僅當a+4=,即(a+4)2=1時等號成立,而a>0,則(a+4)2≠1,∴不能取等號,顯然存在a=,有a+<a+,不正確.故答案為:①②③四、解答題10.(2324高一上·安徽池州·期中)(1)已知,,且,證明:;(2)若a,b,c是三角形的三邊,證明:.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析【分析】(1)由題意可得,則,結合基本不等式計算即可證明;(2)利用作差法可得,同理可得,相加即可證明.【詳解】(1)證明:由,得,所以,當且僅當即,時等號成立,所以;(2)證明:由題意知,,且,所以,即.同理可得,所以,即證.11.(2021高一上·江蘇南通·階段練習)(1)描述并證明基本不等式;(2)已知a、b、c為正數,且滿足abc=1,證明:;【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.【分析】(1)基本不等式:當且僅當a=b時,等號成立,用作差法證明;(2)利用(1)中的基本不等式兩項兩項組合得三個不等式相加后可得結論.【詳解】證明:(1)當且僅當a=b時,等號成立.對于,有,當且僅當,即時等號成立.所以,當且僅當時,等號成立.(2)由條件得,當且僅當時等號成立,當且僅當時等號成立,當且僅當時等號成立以上三個不等式相加可得:,當且僅當時等號成立得證【能力提升】一、單選題1.(2021高一上·江蘇常州·期中)下列不等式恒成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】利用,展開整理,可對A選項進行判斷,對B、C選項舉反例可進行判斷,利用基本不等式,可對D選項進行判斷,即可得答案.【詳解】A選項:對于任意,,即,當且僅當等號成立,故A錯誤;B選項:當,,,,故B錯誤;C選項:當時,,故C錯誤;D選項:對于任意,,所以,即,當且僅當等號成立,故D正確.故選:D2.(2021高一·全國·單元測試)已知,均為正數,且,則(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】由基本不等式判斷C.ABD可通過舉反例說明、【詳解】正數滿足,若滿足已知,但,,若滿足已知,但,,則,所以,,所以,,即,當且僅當時等號成立.故選:C.3.(2122高一上·河南·階段練習)不等式中,等號成立的條件是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】由基本不等式可知,當且僅當,即時等號成立,故選:.4.(2021高一上·全國·單元測試)若a,b,,且,則下列不等式成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用綜合法證得A選項錯誤.利用基本不等式判斷BD選項的正確性,利用特殊值判斷C選項錯誤.【詳解】由,,,于是,故A錯;而,故D項正確,B項錯誤;令,則,但,故C項錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值,屬于基礎題.二、多選題5.(2324高一上·廣東深圳·期中)若,且,則下列不等式中,恒成立的是(

)A. B. C. D.【答案】AD【分析】利用基本不等式分析判斷AD;舉例說明判斷BC.【詳解】對于A,,不等式成立,A正確;對于B,由于,且,當時,,而,不等式不成立,B錯誤;對于C,由于,且,當時,,而,不等式不成立,C錯誤;對于D,由,且,得,則,當且僅當時取等號,D正確.故選:AD6.(2324高一上·浙江金華·階段練習)若,則(

)A. B. C. D.【答案】ABD【分析】利用不等式的性質及基本不等式一一判定即可.【詳解】對于A項,,因為,所以,即A正確;對于B項,,由上可知,即B正確;對于C項,,即C錯誤;對于D項,,當且僅當時取得等號,又,所以,即D正確.故選:ABD7.(2223高一上·湖南衡陽·期中)若,,,則下列不等式恒成立的是(

)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】根據基本不等式可判斷A正確,B正確,C正確;取特值可判斷D錯誤.【詳解】因為,,,對于A,,當且僅當時,等號成立,所以,故A正確;對于B,,當且僅當時,等號成立,所以,故B正確;對于C,,故C正確;對于D,取,,得,故D錯誤.故選:ABC三、填空題8.(2324高一上·全國·課后作業(yè))下列不等式的推導過程正確的是.①若,則;②若,則;③若,則.【答案】②【分析】根據基本不等式成立的條件進行判斷即可.【詳解】①中忽視了基本不等式等號成立的條件,當,即時,等號成立,因為,所以,故①錯誤;②因為,所以,所以,當且僅當,即時,等號成立,故②正確;③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數這一條件,當時,,故③錯誤.故答案為:②.9.(2324高一上·河南南陽·階段練習)基本不等式的公式為,此公式的適用范圍是;當且僅當時等號成立.【答案】;均為正數;.【詳解】略四、解答題10.(2324高一上·北京·期中)已知a,b都是正實數,(1)試比較與的大小,并證明;(2)當時,求證:.【答案】(1),證明見詳解(2)證明見詳解【分析】(1)利用做差法可得答案;(2)利用基本不等式可得答案.【詳解】(1)結論:,當且僅當時,等號成立.證明:,因為a,b都是正數,所以,當且僅當時,等號成立,即,當且僅當時,等號成立;(2)因為a,b,c都是正數,且,所以,當且僅當時,等號成立.11.(2324高一上·安徽阜陽·期中)已知是實數,且滿足,證明下列命題:(1)“”是“”的充要條件;(2)“”是“”的充分條件.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)由三個數的完全平方公式,結合充要條件的定義即可證明.(2)由等式、不等式的性質、基本不等式,結合充分條件的定義即可證明.【詳解】(1)∵,充分性:∵,,∴充分性可得;必要性:∵,又,∴,可得.∴是的充要條件.(2)由,且,則,∵,,當且僅當時等號成立,所以,,,可得,解得,∴是的充分條件【創(chuàng)新拓展】一、單選題1.(2122高一上·安徽蕪湖·階段練習)

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