函數(shù)零點的綜合性的應用

...wd......wd......wd...高中數(shù)學函數(shù)零點的綜合應用編稿教師王東一校張小雯二校黃楠審核孫溢【考點精講】二次函數(shù)零點分布：設(shè)〔a〕二次方程的兩個根滿足函數(shù)兩個零點為滿足〔b〕方程的兩個根滿足二次函數(shù)兩個零點滿足〔c〕〔d〕二次方程的兩個根滿足函數(shù)的零點滿足〔e〕二次方程的兩個根有且只有一個根在〔p，q〕內(nèi)函數(shù)的兩個零點有且只有一個在區(qū)間〔p，q〕內(nèi)或檢驗f〔p〕=0，f〔q〕=0并檢驗另一根在〔p，q〕內(nèi)?！镜淅觥坷}1關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0〔1〕假設(shè)方程有兩根，其中一根在區(qū)間〔－1，0〕內(nèi)，另一根在區(qū)間〔1，2〕內(nèi)，求m的范圍；〔2〕假設(shè)方程兩根均在區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，求m的范圍。思路導航：設(shè)出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制。答案：〔1〕由條件，拋物線f〔x〕＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間〔－1，0〕和〔1，2〕內(nèi)，如圖〔1即－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)?！?〕拋物線與x軸交點均落在區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，如圖〔2〕所示，列不等式組?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞－\f(1,2)，,m＞－\f(1,2)，,m≥1＋\r(2)或m≤1－\r(2)，,－1＜m＜0.))即－eq\f(1,2)＜m≤1－eq\r(2)。例題2對實數(shù)a和b，定義運算“eq\o\ac(○,×)〞：aeq\o\ac(○,×)b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b＞1.))設(shè)函數(shù)f〔x〕＝〔x2－2〕eq\o\ac(○,×)〔x－1〕，x∈R。假設(shè)函數(shù)y＝f〔x〕－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是〔〕A.〔－1，1]∪〔2，＋∞〕B.〔－2，－1]∪〔1，2]C.〔－∞，－2〕∪〔1，2]D.[－2，－1]思路導航：當〔x2－2〕－〔x－1〕≤1時，－1≤x≤2，所以f〔x〕＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤2，,x－1，x＜－1或x＞2，))f〔x〕的圖象如以以下圖。y＝f〔x〕－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，即方程f〔x〕＝c恰有兩個解，由圖象可知當c∈〔－2，－1]∪〔1，2]時滿足條件。答案：B點評：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解。例題3關(guān)于x的函數(shù)y=〔m+6〕x2+2〔m-1〕x+m+1恒有零點．〔1〕求m的范圍；〔2〕假設(shè)函數(shù)有兩個不同零點，且其倒數(shù)之和為-4，求m的值．思路導航:〔1〕當m+6=0時，即m=-6時，滿足條件．當m+6≠0時，由≥0求得m≤且m≠-6．綜合可得m的范圍．〔2〕設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個零點，由條件并利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值．答案：：〔1〕當m+6=0時，m=-6，函數(shù)為y=-14x-5顯然有零點．當m+6≠0時，m≠-6，由△=4〔m-1〕2-4〔m+6〕〔m+1〕=-36m-20≥0，得m≤．∴當m≤且m≠-6時，二次函數(shù)有零點．綜上可得，m≤，即m的范圍為〔-∞，]．〔2〕設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個零點，則有x1+x2=，x1x2=．∵=-4，即=-4，∴=-4，解得m=-3．且當m=-3時，m+6≠0，△＞0，符合題意，∴m的值為-3．點評：此題主要考察函數(shù)的零點的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，表達了分類討論的數(shù)學思想?！究偨Y(jié)提升】1.一元二次方程根的討論在高中數(shù)學中應用廣泛，求解此類問題常有三種途徑：〔1〕利用求根公式；〔2〕利用二次函數(shù)的圖象；〔3〕利用根與系數(shù)的關(guān)系。無論利用哪種方法，根的判別式都不容無視，只是由于二次函數(shù)圖象的不連續(xù)性，有些問題中的判別式已隱含在問題的處理之中?！泊痤}時間：20分鐘〕1.假設(shè)函數(shù)y=x2+〔m－2〕x+〔5－m〕有2個大于2的零點，則m的取值范圍是〔〕A.〔－5，－4〕B.〔－∞，－4〕C.〔－∞，－2〕D.〔－∞，－5〕∪〔－5，－4〕2.關(guān)于x的方程x2+px+2=0一根大于2，一根小于2，則p的取值范圍是______________。3.假設(shè)函數(shù)f〔x〕=2〔m+1〕x2－1與函數(shù)g〔x〕=4mx－2m有兩個交點，則m的取值范圍是_________。4.函數(shù)f〔x〕=ax3－2ax+3a－4在區(qū)間〔－1，1〕上有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍。5.關(guān)于x的二次方程x2+〔m－1〕x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解。求實數(shù)m的取值范圍。6.關(guān)于x的方程3x2－5x+a=0的一根大于－2而小于0，另一根大于1而小于3，求實數(shù)a的取值范圍。7.關(guān)于x的實系數(shù)方程x2－ax+2b=0的一根在區(qū)間[0，1]上，另一根在區(qū)間[1，2]上，求2a+3b的最大值。1.A解析：，－5＜m＜－4。2.p＜－3解析：設(shè)f〔x〕=x2+px+2。由條件得f〔2〕＜0，且△>0，即6+2p＜0。且p2－8>0解得：p<－3。3.m＜1解析：由條件得方程2〔m+1〕x2－1=4mx－2m有兩個不等的實數(shù)根。即2〔m+1〕x2－4mx+2m－1=0，有兩個不等的實數(shù)根，即16m2－8〔m+1〕〔2m－1〕＞0，解得m＜1。4.解：當a=0時，f〔x〕=－4，與題意不符。故a≠0。f〔1〕=2a－4，f〔－1〕=4a－4?！遞〔x〕在〔－1，1〕上有零點，∴f〔1〕·f〔－1〕＜0，即〔2a－4〕〔4a－4〕＜0，解得1＜a＜2。故a的取值范圍為〔1，2〕。5.解：設(shè)f〔x〕=x2+〔m－1〕x+1，x∈［0，2］，〔1〕f〔x〕=0在區(qū)間［0，2］上有一解?！遞〔0〕=1＞0，∴應有f〔2〕≤0m≤。〔2〕f〔x〕=0在區(qū)間［0，2］上有兩解，則∴≤m≤－1。由〔1〕〔2〕知：m≤－1。6.－12＜a＜0解析：運用二分法得出相應的不等式組。設(shè)f〔x〕=3x2－5x+a，則f〔－2〕＞0，f〔0〕＜0，f〔1〕＜0，f〔3〕＞0同時成立，解得－12＜a＜0。7.解：令f〔x〕=x2－ax+2b，據(jù)題意知函數(shù)在