2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破：二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題

類型二二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-X2+bx+c與x

4

軸交于點A,B,與了軸交于點C,其中8（3,0）,C（0,-3）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點P是直線/C下方拋物線上一動點，過點尸作尸。14C于點。，求即的最大值及此時

點尸的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點E為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物

線與了軸交于點尸，。為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.寫出所有使得以。尸為腰的

△。斯是等腰三角形的點。的坐標(biāo)，并把求其中一個點Q的坐標(biāo)的過程寫出來.

［答案】（1?=卜2+%-3；（2）PD取得最大值為:尸［2,-：）；（3）0點的坐標(biāo)為（KT）

或俘5）或閡）

【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

3

（2）直線NC的解析式為>=-彳X-3,過點p作尸軸于點￡,交NC于點。，設(shè)

尸0,>2+）-3）,則00-3-3）,則尸￡）=9。，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出〉=：0-斗2-1，對稱軸為直線x=g，點尸］一2,-（）向右平

移5個單位得到￡（3,-j］,尸（0,2）,勾股定理分別表示出斯2,。私,0尸2,進(jìn)而分類討論即

可求解.

【詳解】（1）解：將點8（3,0）,。（0,-3）.代入了=；X2+6x+c得，

1x32+36+。=。

.4

。=一3

1

b=—

解得：4,

c=-3

二拋物線解析式為：>=%2+%-3,

(2)?.,y=；x2+：x-3與x軸交于點A,B,

當(dāng)>=0時，1X2+1X-3=0

解得：x=-4,x=3,

12

.-.^(-4,0),

C(0,-3).

設(shè)直線NC的解析式為了=6-3,

-4)1-3=0

3

解得：k=-%

3

.??直線AC的解析式為尸-丁-3,

如圖所示，過點尸作尸Elx軸于點交4。于點。,

ZAQE=ZPQD,ZAEQ=/QDP=90。，

ZOAC=ZQPD,

OA=4,OC=3,

AC=5,

PDAO4

?cosZQPD=—=cosZOAC=一=_

PQAC5?

2

.?.當(dāng)2時，尸。取得最大值為：，>+,3=3(-2%+白(-2)-3=1,

111<1Y49

(3)拋物線了=了尤2+彳尤_3=x+_

444(2)16

將該拋物線向右平移5個單位，得至ljy=』\(x-：0^2-49對稱軸為直線％=9

412)162

點戶(一2，一^)向右平移5個單位得到《3，4)

...平移后的拋物線與了軸交于點尸，令x=0,貝1]7=71、(：Q>2-=49=2,

4\2J16

.?.尸(0,2),

EF2=3I+（2+1|2117

4

。為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.

則。點的橫坐標(biāo)為2.

2

設(shè)仆),

QEz=@一3，+卜+＜，，QF1=@]+（"一2）2,

當(dāng)。尸=E尸時，Q2+(m-2>=H1,

解得：加=-1或加=5,

當(dāng)尸時，3-3)+(加+習(xí)2=0+(加—2)2,

解得：冽=a

綜上所述，0點的坐標(biāo)為(KT)或([s)或(C).

3

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的

平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知拋物線與x軸交于/(1,0)和8(-5,0)兩點，

與y軸交于點C直線y=-3x+3過拋物線的頂點P.

尸-3片3

mx

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線》=機(jī)(-5＜加＜0)與拋物線交于點E,與直線BC交于點尸.

①當(dāng)EF取得最大值時，求m的值和EF的最大值；

②當(dāng)△￡網(wǎng)?是等腰三角形時，求點E的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-x2-4x+5;(2)①當(dāng)加=-1■時，所有最大值，最大值為?；②(-3,8)或(T,5)

(72-5,672-2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先求出C(0,5),進(jìn)而求出直線BC的解析式為V=x+5,則

E^m,-mi-4m+5)E邛m+5),進(jìn)一步求出斯=-5+1+號,由此即可利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線》=機(jī)與x軸交于“，先證明是等腰直角三角形，得

4

至1」乙成（=/3。/=45。；再分如圖3所示，當(dāng)EC=FC時，如圖3所示，當(dāng)EF=EC時,

如圖3所示，當(dāng)成=C尸時，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：1,拋物線與x軸交于*,0）和8（-5,0）兩點，

二.拋物線對稱軸為直線x=亨1=-2,

在y=-3x+3中，當(dāng)x=-2時，y=9,

二拋物線頂點P的坐標(biāo)為（-2,9）,

設(shè)拋物線解析式為y=。（x+2%+9,

a（1+2》+9=0,

CL——1,

二拋物線解析式為V=-（X+2）2+9=-xi-4x+5

（2）解：①?.?拋物線解析式為y=f2-4x+5,點C是拋物線與y軸的交點，

C（0,5）,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b^,

\-5k+b=0

A[6:51，

i]

\k=\

「人=5，

直線BC的解析式為V=x+5,

?.?直線》=冽（-5〈冽〈0）與拋物線交于點石，與直線5。交于點尸

E\m,-mi-4m+5）,F（m+5）,

EF=-mi-4m+5-（m+5）

=-mi-5m

l2j4

----l<0,

5

575

二當(dāng)加=-2時，E尸有最大值，最大值為王;

②設(shè)直線x=機(jī)與x軸交于”,

,BH=m+5,HF=m+5,

BH=HF,

：.ABHF是等腰直角三角形，

AEFC=^BFH=45°;

如圖301所示，當(dāng)EC=FC時，

過點C作CG,即于G,則G（因5）

.,.點G為EF的中點，

由（2）得￡*（加，一加2-4m+5）,F（TH,加+5）

-mi-4m+5+m+5一

.?=5,

2

/.冽2+3加=0,

解得加=-3或加=0(舍去),

.”(-3,8)；

圖3-1

如圖302所示，當(dāng)￡F=EC時，貝UAEFC是等腰直角三角形,

乙FEF=90°,BPCELEF,

6

.,.點E的縱坐標(biāo)為5,

-mi-4m+5=5,

解得加=-4或加=0（舍去）,

￡（-4,5）

如圖3口3所示，當(dāng)斯=CF時，過點。作CGL斯于G,

同理可證△CFG是等腰直角三角形，

FG=CG=—m,

'.CF=42CG=-y/2m,

-m2-5m=-yj2m,

解得冽=JZ-5或加=0（舍去）,

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函

數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

3.小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1,

杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑4s=4,且點A,B關(guān)

于y軸對稱，杯腳高CO=4,杯高。0=8,杯底MN在x軸上.

(1)求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式(不必寫出x的取值范圍).

(2)為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2,杯體4c9所在拋物線形狀不變,

杯口直徑45'//45,杯腳高CO不變，杯深與杯高之比為0.6,求4。的長.

【答案】⑴y=X2+4；(2)2/

【分析】

(1)確定B點坐標(biāo)后，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用杯深CD與杯高之比為0.6,求出0D,接著利用拋物線解析式求出

或A，橫坐標(biāo)即可完成求解.

【詳解】

解：(1)設(shè)＞=以2+4,

?.?杯口直徑AB=4,杯高D0=8,

...5(2,8)

將x=2,y=8代入，得。=1,

二.y=X2+4.

8

..CD'

(2),.0.6,

CD,

=0.6

4+CD1

CD'=6，3=10，

當(dāng)y=10時，10=%2+4

I=心或工=_/,

A'B'=29

即杯口直徑的長為2c.

【點睛】

本題考查了拋物線的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線上的點的坐標(biāo)等內(nèi)

容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出相等關(guān)系列出等式等.

4.(2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖，直線與x軸，歹軸分別交于點48,

拋物線的頂點尸在直線上，與x軸的交點為C,。，其中點C的坐標(biāo)為(2,0).直線8c與

直線尸。相交于點瓦

(1)如圖2,若拋物線經(jīng)過原點O.

RF

①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求學(xué)的值.

(2)連接尸C/CPE與/胡。能否相等？若能，求符合條件的點尸的橫坐標(biāo)；若不能，試說明

理由.

【答案】⑴①尸-￥加+3內(nèi)；②;；(2)能,6或|■或-，或

【分析】(1)①先求頂點的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；

9

②過點E作E"1OC于點a.設(shè)直線8C為>=履+6，把C（2,0）代入，得0=2上+4,

解得左=-乎，直線BC為了=-乎》+口.同理，直線。為了=￥底聯(lián)立兩直線解析

式得出心￥）

,根據(jù)￡以〃30,由平行線分線段成比例即可求解;

（2）設(shè)點p的坐標(biāo)為，爭+0,則點。的坐標(biāo)為（2—2,0）.①如圖2J當(dāng)空2時,

存在NCPE=NBAO.記NC尸E=N3/O=ci,N/PC=B，則4尸D=ct+B.過點尸作尸尸_Lx

/尸2

軸于點F，則/尸=r+2.在RtA4P尸中，COSN3/0=R=N，進(jìn)而得出點P的橫坐標(biāo)為6.②

Ai3

如圖22當(dāng)0<Y2時，存在NCP￡=NA4O.記NCPE=NB4D=Q,ZAPD=B.過點尸作

AF2

尸F(xiàn)ix軸于點/，則4b=，+2.在Rtzk/PF中，cosZBAO==得出點尸的橫坐標(biāo)

AP3

7

為③如圖2-3,當(dāng)-2<ZWO時，存在NCPE=ZBAO.記NA4O=a.過點p作尸

Ap96

軸于點尸，則/尸=:+2.在RtANPF中，/=cosNA40=w，得出點尸的橫坐標(biāo)為一］.④

如圖24當(dāng)仁一2時，存在NCP￡=NA4。.記/氏4O=a.過點尸作P尸1x軸于點尸，

竺=cosNPAF=414

貝i]4F=V-2.在RtA/P/中得出點尸的橫坐標(biāo)為

AP3

【詳解】（1）解：①「OC=2,

二頂點尸的橫坐標(biāo)為L

.,.當(dāng)x=l時，了=邪x+邪=3爐,

2、2

點P的坐標(biāo)是

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-6+羊，把（0,0）代人,

得0=。+￥，

解得°=

2

,該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為了=-芋"-1）2+苧，

即y=尤2+3px.

②如圖1,過點E作昉'1OC于點石.

10

設(shè)直線8C為了=丘+妻，把C（2,0）代入，得0=2上+百,

解得上=-無，

2

二直線8c為廣一冬+/.

同理，直線O尸為了=苧工.

y=-^-x+y/5,

由r-

3/

V=—2_x.

2

.1

解得,市

?「EH//BO,

BEOH

'^C~UC~T

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為卜§+同，則點。的坐標(biāo)為（2/2,0）.

①如圖2-1,當(dāng)/>2時，存在NCPE=NB40.

記NCPE=NB4O=a,ZAPC=B,貝ij心尸。=a+B.

「/PC。為△尸ZC的外角，

...NPCD=a+B.

11

PC=PD.

ZPDC=/PCD=a+B.

AAPD=NADP.

AP=AD=2t.

過點尸作尸尸工無軸于點尸，則/尸=f+2.

AF2

在RM4P尸中，cosZBAO=—=_,

.?.萼=],解得"6.

②如圖22當(dāng)0＜七2時，存在NCPE=NA40.

記ZCPE=ABAD=a,AAPD=p.

?「NPDC為AP/D的外角，

...APDC=a+p.

...NPCD=NPDC=a+B

NAPC=NACP.

：.AP=AC=4.

過點尸作尸尸Lx軸于點尸，貝|4F=f+2.

AF2

在Rt&4P尸中，cosABAO=_=_,

AP3

%+222

可，解得

~T~

12

圖2-2

③如圖23當(dāng)一2＜々0時，存在NC尸￡=Z8/0.記Z8/0=a.

PC=PD,

-APDC=4PCD=14CPE=la.

22

-ZAPD=ZBAO-ZPDC=a-L=La.

-22

AAPD=ZPDA.

AD=AP=—2t.

過點尸作尸尸工無軸于點尸，則/尸=f+2.

4F2

在RtA/P尸中，—=cosZBAO=^,

/+226

.??石二,解得"-亍

.,.點P的橫坐標(biāo)為-

④如圖24當(dāng)tv-2時，存在NCPE=N"O.記N"O=a.

,1PC=PD,

■/PCD=NPDC=LNCPE=LQ

22

13

圖2-4

-AAPC=ZBAO-ZPCD=a-La=la.

-22

:.PA=CA=4.

過點尸作尸尸Lx軸于點尸，則/尸=V-2.

AF2

在RUAPF中，-jp=cosZPAF=_,

二點尸的橫坐標(biāo)為一下.

綜上，點尸的橫坐標(biāo)為

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以

上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，

另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點.

⑴求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建ITI型或型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所

14

示占尸，尸在x軸上，MN與矩形PPPP的一邊平行且相等.柵欄總長1為圖中粗線段尸尸，

'八'、14123412

PP,PP,MN長度之和.請解決以下問題：

2334

(i)修建一個"m型柵欄，如圖2,點<，4在拋物線AED上.設(shè)點4的橫坐標(biāo)為

沉(0<?7V6),求柵欄總長1與m之間的函數(shù)表達(dá)式和1的最大值；

(ii)現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建|TI型或型柵型

兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形尸「尸尸面積的最大值，及取最大值

1234

時點。的橫坐標(biāo)的取值范圍(。在。右側(cè)).

1

【答案】(l)y=_-gx2+8

(2)(i)1=Jm2+2m+24,1的最大值為26；(ii)方案一：-回+9WP】橫坐標(biāo)W同；

方案二：-JJT+|wP］橫坐標(biāo)wQ

【分析】(1)通過分析A點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

1

(2)(i)結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出口的坐標(biāo)為(m,-/m2+8),然后列出函數(shù)關(guān)系式，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；

(ii)設(shè)P2P「n,分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值,

從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍.

⑴由題意可得：A(-6,2),D(6,2),

又rE(0,8)是拋物線的頂點，

設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+8,將A(-6,2)代入，

1

(-6)2a+8=2,解得：a=-

1

拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-/X2+8；

O

(2)(i)?.?點P］的橫坐標(biāo)為m(0vmS6),且四邊形P】P2P3P彳為矩形，點P?，P3在拋物線

AED上，

一1

...p的坐標(biāo)為(m,--m2+8),

20

1

.,.PP=PP=MN=_-7m2+8,PP=2m,

1234623

111

.-.1=3(一下mz+8)+2m=-Km2+2m+24=一不z(m-2)2+26,

o22

15

.?.當(dāng)m=2時，1有最大值為26,

即柵欄總長1與m之間的函數(shù)表達(dá)式為1=Jm2+2m+24,1的最大值為26；

(ii)方案一：設(shè)P?P］=n,則P2P3=18-3n,

矩形PF2P3P4面積為(18-3n)n=-3na+18n=-3(n-3)2+27,

-3<0,

.?.當(dāng)n=3時，矩形面積有最大值為27,

1L

此時P?P］=3,P2P3=9,令一&X2+8=3,解得:x=±y/30,

，此時P］的橫坐標(biāo)的取值范圍為-同+9WP］橫坐標(biāo)W回?

方案二：設(shè)PzPjn,貝UP2P3=9-n,

g81

矩形PPPP面積為(9-n)n=-n2+9n=-(n----)2+

123424

Q81

???-1vO,.?.當(dāng)n=W時，矩形面積有最大值為K，

24

qQ1q

此時P,P,=?,PP=-,令_3*2+8=匕解得：x=+VTT,

21223262

,此時P］的橫坐標(biāo)的取值范圍為-6T+|wP］橫坐標(biāo)w/T.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識圖，確定關(guān)鍵點

的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

6.(2023?江西?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt448C中，ZC=90°,。為NC上一點，

CD=F,動點尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C-8fN勻速運

動，到達(dá)點/時停止，以。P為邊作正方形DPE尸設(shè)點尸的運動時間為，S,正方形。尸EF的

而積為S,探究S與f的關(guān)系

16

圖1圖2

（1）初步感知：如圖1,當(dāng)點尸由點C運動到點8時，

①當(dāng)f=l時，S=.

②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為.

（2）當(dāng)點尸由點3運動到點/時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于f的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示

的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于/的函數(shù)解析式及線段的長.

（3）延伸探究：若存在3個時刻（t<t<t）對應(yīng)的正方形OPE尸的面積均相等.

123123

①％+t=；

12-------

②當(dāng)［=4（時，求正方形DPEF的面積.

【答案】⑴①3;②S=h+4;（2”=公-8f+18（2W8）,AB=6-,（3）①4;②?

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出DP=?,最后根據(jù)正方形面積公式求

解即可；②仿照（1）①先求出。尸=/,進(jìn)而求出DP2=/2+2,則S=D尸2=h+2;

（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點尸運動到2點時，S=DP2=6,由此求出當(dāng)"2時，s=6,

可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為S=aQ-4）2+2,利用待定系數(shù)法求出S=h-8t+18,進(jìn)而求

出當(dāng)S=h-8/+18=18時，求得f的值即可得答案；

（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)S=G-41+2可以看作是由函數(shù)S=這+2向右平移四個單位

得到的，設(shè)P（m，"），。（加,"）（別>加）是函數(shù)S=l2+2上的兩點，則+4,力），

12211

（加+4,"）是函數(shù)S=。-4）2+2上的兩點，由此可得加+加=0,m<m<m+4<m+4,

2121212

貝+m+4=4,根據(jù)題意可以看作f=〃？，f=機(jī)+4,Z+4,貝心+f=4；②由（3）

2112213212

17

4

①可得/=/+4,再由/=4/,得到/=才，繼而得答案.

313113

【詳解】（1）解：??,動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C-8f4

勻速運動，

.,.當(dāng)f=l時，點尸在BC上,且。尸=1,

ZC=90°,CD=p,

.DP=JCA+CDz=73，

S=DP1=3,

故答案為：3;

②?.?動點尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在8C勻速運動，

CP=t,

-：ZC=90°,CD=72,

DPi=CPi+CDi=t2+2,

/.S=DPi=￡2+2;

（2）解：由圖2可知當(dāng)點P運動到3點時，S=DP2=6,

../2+4=6,

解得f=2,

.?.當(dāng)/=2時，5=6,

由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（4,2）,

可設(shè)S關(guān)于f的函數(shù)解析式為S=aG-4%+2,

把（2,6）代入S=a（t-4）2+2中得：6=。（2—4方+2,

解得4=1,

...S關(guān)于［的函數(shù)解析式為S=（f—4）2+2=/2—8/+18（2W%8）,

在S=f2-&+18中，當(dāng)S=/2-8/+18=18時,解得f=8或1=0,

/8=8-2=6；

（3）解：①?.?點P在3C上運動時，S=f2+2,點尸在A8上運動時S=0—4>+2,

.?.可知函數(shù)S=Q-41+2可以看作是由函數(shù)S=h+2向右平移四個單位得到的，

設(shè)尸（加，"），Q［m,?）（m>機(jī)）是函數(shù)S=h+2上的兩點，貝！］（加+4,"）,（/〃+4,〃）是

122112

18

函數(shù)S=(%-41+2上的兩點,

：,m+m=0,m<m<m+4<m+4,

121212

m+m+4=4,

21

,存在3個時刻,t<t<t)對應(yīng)的正方形OPE尸的面積均相等.

123123

可以看作看=m,t=m+4,t=m+4,

122132

t+t=4,

12

故答案為：4;

②由(3)①可得\=(+4,

t=4t,

31

4,=，+4,

ii

"i3'

「MV、34

.,.S=，2+2=—+2=—.

⑺9

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等

等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)和點B(0,3),

頂點為C,點D在其對稱軸上,且位于點C下方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,

點C落在拋物線上的點P處.

19

⑴求拋物線的解析式；

(2)求點P的坐標(biāo)；

⑶將拋物線平移，使其頂點落在原點0,這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴戶-x2+2x+3

⑵尸(2,3)

⑶存在，M(0,p

【分析】(1)根據(jù)點4B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；

(2)先求出拋物線的對稱軸，再設(shè)點。的坐標(biāo)為。(1,。)(。＜4),則8=4-根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可得NC。尸=90。,尸。=CO=4-a,從而可得尸(5-a,“)，將點尸代入拋物線的解析式求

出0的值，由此即可得；

(3)先根據(jù)點坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點作點E關(guān)于V軸的對稱點連接尸"，從

而可得尸E與歹軸的交點即為所求的點再利用待定系數(shù)法求出直線尸日的解析式，由此

即可得出答案.

f—1—6+。=°

⑴解：將點次-1,0),3(0,3)代入y=T2+6x+c得：1=3，

[b=2

解得[=3，

則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

⑵解：拋物線＞=一》2+2x+3=—(x—l)2+4的對稱軸為直線x=l,其頂點C的坐標(biāo)為C(l,4),

設(shè)點。的坐標(biāo)為則C0=4-a,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZCDP=90°,PD=CD=4-a,

20

尸(1+4—a,a),即尸(5-a,a)t

將點P(5—a,a)代入V=TXT)2+4得：-(5-a-1)2+4=a,

解得a=3或。=4(舍去)，

當(dāng)a=3時，5-a=5-3=2,

所以點尸的坐標(biāo)為P(2,3).

⑶解：拋物線y=-x2+2x+3的頂點C的坐標(biāo)為C(l,4),

則將其先向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度恰好落在原點O,

;這時點尸落在點E的位置，且尸(2,3),

.??^(2-1,3-4),即恰好在對稱軸直線尤=1上，

如圖，作點E關(guān)于〉軸的對稱點夕，連接

由兩點之間線段最短可知，尸日與了軸的交點即為所求的點“，此時“P+MT的值最小,

即"尸+ME的值最小，

由軸對稱的性質(zhì)得：￡1(-1,-1),

設(shè)直線尸色的解析式為y=h+，〃，

21

[2左+初=3

將點P(2,3),￡,(-l,-l)代入得：y_k+m=_1

解得1,

I3

41

則直線尸的解析式為廣丁+],

1

當(dāng)x=o時，『，

故在V軸上存在點M,使得MP+ME的值最小，此時點M的坐標(biāo)為"（0,；）.

【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點坐標(biāo)的

平移規(guī)律等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1,拋物線y=-x2+bx與x軸交于點A,與直線V=-x

交于點8（4,-4）,點C（0,-4）在y軸上.點尸從點B出發(fā)，沿線段80方向勻速運動，運動

⑵當(dāng)3尸=2。時，請在圖1中過點尸作尸。1OA交拋物線于點D,連接PC,OD,判斷

四邊形。的形狀，并說明理由.

（3）如圖2,點P從點3開始運動時，點。從點。同時出發(fā)，以與點尸相同的速度沿x軸正方

向勻速運動，點P停止運動時點。也停止運動.連接8。，PC,求C尸+8。的最小值.

【答案】（l）N=f2+3x；（2）四邊形。CP。是平行四邊形，理由見解析；（3）4出

【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）作尸D1GM交拋物線于點。，垂足為連接尸C,OD,由點尸在歹=一“上，可知

22

OH=PH,ZPOH=45°,連接3C,得出08=4/，貝\OH=PH=goP=*2*=2,

當(dāng)X=2時，DH=y=-4+3x2=2,進(jìn)而得出P。=0C,然后證明PO〃OC,即可得出

DD

結(jié)論；

（3）由題意得，BP=OQ,連接BC.在。4上方作AOMQ,使得NMOQ=45。，OM=BC,

證明△CBP^txMOQ（SAS）,根據(jù)CP+BQ=MQ+BQNMB得出CP+BQ的最小值為MB,

利用勾股定理求得"3,即可得解.

【詳解】（1）解：1,拋物線y=-?+云過點8（4,-4）,

/.-16+46=-4,

「.6=3,

/.y=-X2+3x;

（2）四邊形OCP。是平行四邊形.

理由：如圖1,作尸交拋物線于點。，垂足為“，連接尸C,0D.

OH=PH,APOH=45°,

連接BC,

OC=BC=4,

OB=40,

BP=2*,

OP=OB-BP=2y]2,

OH=PH=丑OP=/x2J2=2,

227

當(dāng)X=2時，DH=y=—4+3x2=2,

DD

23

，PD=DH+PH=2+2=4,

■：C（0,-4）,

OC=4,

PD=OC,

■：OCLx^,尸。lx軸，

PD//OC,

.?.四邊形OCPD是平行四邊形；

（3）如圖2,由題意得，BP=OQ,連接BC.

在。4上方作AOMQ,使得乙團(tuán)9。=45。，OM=BC,

-：oc=8C=4,BCLOC,

NCBP=45°,

NCBP=ZMOQ,

BP=OQ,NCBP=ZMOQ,BC=OM,

：,△C8P三△MOQ（SAS）,

：.CP=MQ,

.■,CP+BQ=MQ+BQ>MB（當(dāng)M,Q,8三點共線時最短），

二CP+50的最小值為MB,

?JAMOB=AMOQ+ABOQ=45°+45°=90°,

MB=^OMI+OB2=,42+4/,

即CP+8。的最/］、值為46.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=》2-2》-3與*軸相交于點人、B（點A在點B的

24

左側(cè)），與y軸相交于點C,連接NC,3c.

⑴求線段AC的長；⑵若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)取=PC時，求點P的坐

標(biāo)；

⑶若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)ABCM為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

【答案】⑴加⑵（1,T）⑶（1,-4）或（-2,5）或（與￡,-咨或（于，-乎，

【分析】（1）根據(jù)解析式求出A,B,C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長；（2）求出

對稱軸為x=l,設(shè)P（1,t）,用t表示出PA2和PC2的長度，列出等式求解即可；（3）設(shè)點

M（m,m2-2m-3）,分情況討論，^CMi+BCi=BMi,BMi+BCi=CM2,BM2+CM2=BCi

分別列出等式求解即可.

⑴

y=X2-2x-3與x軸交點:

令y=0,解得％=-1，工=3，

即A(-1.0),B(3,0),

j=X2-2x-3-^y軸交點：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

AO=1,CO=3,

AC=jAO2+CO2=回;

(2)拋物線》=%2—2%—3的對稱軸為：x=l,

設(shè)P(1,t),

.P/2=(1+1)2+"0)=4+/2,=(1-0)2+G+3)2=1+(/+3)2,

-4+/2=1+(/+3)2

25

t=-l,

7.p(1,-1);

⑶設(shè)點M(m,m2-2m-3),

BM2=(加-3)2+(<m2-2m-3-0]=(m-3)2+C

<m2-2m-3

2

CM2=(m-0)+(、nn-2加-3+3)=

m2+\m2—2m

BC2=(3-0)2+(0+3)2=18,

①當(dāng)CM2+BCi=BMi時,

2

C/2一2加1+18=(m-3)+GZ2-2m-3)

mi+

解得，T。（舍）,加尸，

/.M(1,-4)；

②當(dāng)BMi+BCi=CMi時,

(m-3)2+Gz

2—2冽-3力+18=冽2+2-2m

解得,勺=-2,加2=3（舍），

/.M(-2,5)；

③當(dāng)BMi+CMi=BCi時,

（冽一3方+（-2m一3)+加2+(冽2-2m)=18,

解得，

綜上所述：滿足條件的M為（1,-4）或（-2,5）或［1里,

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點、線段求值、存在直角三角形等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題.

10.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）已知（無J）,（x））是拋物C:y=-9x2+6x（b為常

112214

數(shù)）上的兩點，當(dāng)q+x,=O時，總有?=八

（1）求6的值；

26

(2)將拋物線C平移后得到拋物線C:y=-l(x-m)2+l(m>0).

124

探究下列問題：

①若拋物線C與拋物線C有一個交點，求m的取值范圍；

12

②設(shè)拋物線c,與X軸交于4,3兩點，與了軸交于點C,拋物線c2的頂點為點M“BC外

接圓的圓心為點G如果對拋物線￡上的任意一點P,在拋物線上總存在一點。，使得

點尸、。的縱坐標(biāo)相等.求E尸長的取值范圍.

79

【答案】⑴0;⑵①+S②爹,跖明

［分析］⑴根據(jù)y=-%+bx,y=-Lx2+bx,且x+x=0時，總有y=y，變形后即

141124221212

可得到結(jié)論；

(2)按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可.

11

【詳解】(1)解：由題可知：y=--xi+bx,y=-xi+bx

14112422

.x+x=0時，總有v=y,

1212

1717

--X2+bx=--X2+bx.

411422

則+x)(x-x)-Z?(x-x)=0,

4212121

(x-x)J.(x+x)-bi=0

21|_421J1

—b{x—x)=0總成立,且x—xw0,

2121

.".b=0；

(2)①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意

的兩種臨界情形：

(z)當(dāng)拋物線。過點(。，0)時，如圖所示，

2

27

解得加=2+20或2-2#（舍），

綜上，2<m<2+2y2,

②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：

（/）當(dāng)拋物線°過點（。，-1）時，如圖所示,

2

28

綜上2"<m<4,

如圖，由圓的性質(zhì)可知，點￡、尸在線段的垂直平分線上.