河北獅州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題

PAGEPAGE15河北省定州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題考試時間：120分鐘滿分：150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請將正確答案的序號填涂在答題卡上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D2.已知復數(shù)與為共輒復數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位，則（）A.1 B.5 C. D.3.下列命題中，正確的是（）A.，B.，C.命題“，，使得”的否定形式是“，使得D.方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是4.已知函數(shù)，若對隨意，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A. B. C. D.6.設(shè)，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.如圖是一個底面半徑和高都是1的圓錐形容器，勻速給容器注水，則容器中水的體積V是水面高度x的函數(shù)，若正數(shù)a，b滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請將正確答案的序號填涂在答題卡上.）9.已知i是虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A.B.復數(shù)的虛部為C.若復數(shù)z滿意，則z所對應的點在第一象限D(zhuǎn).已知復數(shù)z滿意，則z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為一條直線10.設(shè)正實數(shù)，滿意，則（）A. B.C. D.11.函數(shù)的定義域為R，且與都為奇函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為周期函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)12..半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美。二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的全部棱長都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.與平面EBFN所成角的正弦值為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的橫線上）13.不等式的解集是，則______________.14.已知一個正四棱柱的對角線的長是9cm，表面積等于144cm2，則該正四棱柱的側(cè)面積為___________cm2.15.已知函數(shù)，，若對于隨意的，總存在，使得成立，則實數(shù)的值為_______________.16.一個正三棱柱恰好有一個內(nèi)切球（球與三棱柱的兩個底面和三個側(cè)面都相切）和一個外接球（球經(jīng)過三棱柱的6個頂點），則此正三棱柱的內(nèi)切球與外接球表面積之比為_______________.四、解答題（本大題共6小題，共70.分：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，集合.（1）若，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.18.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19.已知正實數(shù)、滿意.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.20.如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且，.（1）求證：平面；（2）若F為線段BC的中點，求二面角的余弦值.21.定州市民小王新購置了一套住房，擬對新居進行裝修.在裝修中需滿意如下5要求：①窗戶面積應小于地板面積；②窗戶面積不小于地板面積的；③窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好.設(shè)窗戶面積為m平方米，地板面積為n平方米，已知，其中k為常數(shù).已知當窗戶和地板的總面積為22平方米時，窗戶面積恰好是地板面積的.（1）求實數(shù)k的值；（2）在滿意裝修的要求下，求窗戶面積可以取到的范圍；（3）當采光效果最好時，求窗戶的面積.22.如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，當二面角的余弦值為時，求的值定州市2024-2025學年其次學期高二期中考試數(shù)學答案考試時間：120分鐘滿分：150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第I卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請將正確答案的序號填涂在答題卡上.）1.【答案】D【解析】由題意知集合A為點集，集合B為數(shù)集，所以，故選：D.2.【答案】B【解析】由題意得，解得，，所以，，則.故選：B.3.【答案】C【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，恒成立，故B錯誤；對于C，依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“，”，使得的否定形式是“，，使得”，故C正確；對于D，方程有兩個正實數(shù)根，設(shè)為，，則充要條件是，解之得，故D錯誤.故選：C.4.【答案】C【解析】由題意隨意，且，即為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又函數(shù)為二次函數(shù)，故其開口向上，且對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，即，解得.故選：C.5.【答案】C【解析】∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，由得，∴.故選：C.6.【答案】A【解析】由，得當時，或；當時，或，因為“”是“”的充分不必要條件，所以“”是不等式的解集的真子集，所以或，即.故選：A7.【答案】A【解析】因為半徑和高都是1，所以水的半徑和高都是x，∴而，所以，當且僅當時取得等號.故選：A.8.【答案】D【解析】由，∴為R上的偶函數(shù)，又當時，和都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由不等式對隨意恒成立，得在上恒成立，即，也即即，解得.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請將正確答案的序號填涂在答題卡上.）9.【答案】AD【解析】A選項，，故A正確；B選項，z的虛部為-1，故B錯誤；C選項，設(shè)，，則，所以有，解之得或即或，對應的點的坐標為或，即z所對應的點在第一象限或第三象限，故C錯誤；D選項，表示z到和兩點的距離相等，故z的軌跡是線段AB的垂直平分線，故D正確.故選：AD.10.【答案】BCD【解析】設(shè)正實數(shù)、滿意.對于A選項，可得，當且僅當時取得等號，故A錯誤；對于B選項，，當且僅當時取得等號成立，故B正確；對于C選項，，∴，當且僅當時取得等號，故C正確；對于D選項，，而，∴，當且僅當時取得等號，故D正確，故選：BCD.11.【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域為R，且與都為奇函數(shù)，∴，∴，∴，所以函數(shù)是一個周期為2的周期函數(shù)，故B正確；所以為奇函數(shù)、故A正確；所以為奇函數(shù)，故C正確；所以為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：ABC12.【答案】BCD【解析】將二十四等邊體補形成正方體如下圖對于A選項，正方體的體對角線平面EAB，而BF與RS是異面直線，不平行，故A錯誤；對于B選項，該二十四等邊體的全部棱長為，則對應正方體的棱長為2，所以，故B正確；對于C選項，該二十四等邊體的外接球的球心即為正方體的中心，到正方體六個表面的距離都為1，所以，即，故C正確；對于D選項，PN與平面EBFN所成角即PN與正方體前面的表面所成的角，為45°，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的橫線上.）13.【答案】-10【解析】由題意知解得，所以.14.【答案】72或112【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，則，聯(lián)立消可得，即，解得或，當或，當時，側(cè)面積，當時，側(cè)面積，故答案為：72或11215.【答案】【解析】不等式等價于，若對于隨意的，總存在，使得成立，則當時，單調(diào)遞減，所以，當時，先減再增，所以，，所以有，解之得.16.【答案】【解析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，其內(nèi)切球的半徑為r當球內(nèi)切于正三棱柱時，球的半徑r等于正三棱柱的底面正三角形的中心到對邊的距離即，又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為，球外接正三棱柱時，球的球心是正三棱柱高的中點，且球的球心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐，頂點在底面上的投影恰好是底面三角形的中心，到頂點的距離，棱錐的高為。故正三棱錐外接球的半徑滿意，∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.【解析】由己知得：集合，集合（1）因為，所以，所以，即；（2），因為，所以或，所以或.18.【解析】（1）當時，，當且僅當，即時等號成立，所以.（2）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，.設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，，∴∴，解得，所以實數(shù)m的取值范圍.19.【解析】，即，，，，，（1）因為、是正實數(shù)，所以，當且僅當時等號成立，故的最小值為2.（2）因為，，所以，，則，當且僅當，時等號成立，故的最小值為25.（3）因為，，，所以當且僅當，時等號成立，故的最小值為.20.【解析】（1）證明：因為，是等腰直角三角形，，所以，所以，所以，又因為是等腰直角三角形，所以，所以，因為，且，平面，所以平面；（2）解：如圖，以點E為坐標原點，EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸，垂直于平面BEC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè).則，，，，，，，，，設(shè)平面ADE的法向量為由，得令，得平面ADE的一個法向量為，設(shè)平面ADF的法向量由，得令，得平面ADF的一個法向量為，，因為二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.21.【解析】（1）由，得，解得，所以，則；（2）由題意上，即，解得；（3），當且僅當，即時等號成立.所以采光效果最