2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等式與不等式的性質(zhì) 專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

2.1-等式與不等式的性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

基礎(chǔ)鞏固練

1.設(shè)P=2a2—4a+3,Q=（a—1）［CL—3）,aGR,則有（）.

A.P>QB.P>QC.P<QD.P<Q

2.若a,b,c為實(shí)數(shù)，且O0,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）.

11

A.ac>beB.-<-C.a+c<b+cD.b—a>c

ab

3.若久,y滿足一：<%<）/<%則為一y的取值范圍是（）.

A.（一叔）B.（一時(shí)C.（-J0）D.（一衿

4.如果a<0,-1<b<0,那么下列不等式一定成立的是（）.

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

5.若實(shí)數(shù)a,匕滿足a6<a5b,則下列不等式一定成立的是（）.

A.a<bB.a3<b3C.ea-b>1D.In-<0

b

6.若數(shù)列｛a。｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是

（）.

A.+b4<b2+b3B.b4-<b3-b2C.a±a4>

a2a3D.<1遂4<a2a3

7.已知a<5,則（）.

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln（|a|+1）<ln（\b\+1）D.a\a\<b\b\

8.若a<0<0,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.a2<p2B.§+￡>2C.0<（J，D.sina<sin?

綜合提升練

9.（多選題）若工〉;>0,則下列四個(gè)不等式成立的是（）.

ab

A.a3<b3B,y[ab<

2

C.Vb—y[a<y/b—aD.a3+b3>2ab2

10.（多選題）已知a,b分別是方程2*+%=0,3久+%=0的實(shí)數(shù)根，則下列

不等式成立的是（）.

A.-1<b<a<0B.-1<a<b<0C.b-3a<a-3bD.a-2b<b-2a

11.己知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c-0,則^的取值范圍是.

a

12.設(shè)二次函數(shù)/(%)=zn/-2%+eR),若函數(shù)/(%)的值域?yàn)椋?,+8),

22

且/(1)W2,則給+品的取值范圍為.

應(yīng)用情境練

13.若％,yER,設(shè)M=--2%y+3y2-%+y,則M的最小值為.

14.己知某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，第一次投入本金磯a>0)元，得到的利潤(rùn)是

/匕>0)元，收益率為2假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上，此機(jī)構(gòu)每次都定期追加投

a

資%(%>0)元，得到的利潤(rùn)也每次都增加了％元，若要使得該項(xiàng)投資的總收益率

是增加的，則a〉b.(選填“〉”“2""<”或“<”)

創(chuàng)新拓展練

15.(2024?九省適應(yīng)性測(cè)試)以maxM表示數(shù)集”中最大的數(shù)設(shè)0<a<6<c<l,已知

b>2a或。+后1,則max{0-a,c也1-c}的最小值為.

16.設(shè)二次函數(shù)/(%)=a/+2匕％+c(c>b>a),其圖象過點(diǎn)(1,0),且與直線

y--a有交點(diǎn).

(1)求證：0￡2<1.

a

(2)若直線y=-a與函數(shù)y=|/(無)|的圖象從左到右依次交于4B,C,。四點(diǎn)，

且線段2B,BC,CD能構(gòu)成鈍角三角形，求2的取值范圍.

a

2.1-等式與不等式的性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練(解析版)

基礎(chǔ)鞏固練

1.設(shè)P=2a2—4a+3,Q=(a—1)［CL—3),aGR,則有(A).

A.P>QB.P>QC.P<QD.P<Q

［解析了.，P—Q=2a2—4a+3—(a—l)(a—3)—a?N0,

???P>Q.故選A.

2.若a,b,c為實(shí)數(shù)，且C>0,則下列不等關(guān)系一定成立的是(C).

11

A.ac>beB.-a<-bC.a+c<b+cD.b—a>c

［解析］對(duì)于A,由不等式的基本性質(zhì)知，若c>0,a<b,則acVbe,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由不等式的基本性質(zhì)知，若a=—2,b=-1,則工〉工，故B錯(cuò)誤;

ab

對(duì)于C,由不等式的基本性質(zhì)知，a<bna+c〈b+c,故C正確；

對(duì)于D,b-a>0,c>0,無法比較，故D錯(cuò)誤.故選C.

3.若久,y滿足一；<為<y<%則%—)7的取值范圍是(A).

A.(一即)B.(一^)C.(-=0)D.(一衿

［解析］由％<y,可得％-y<0,

由一三<y<:可得一E<—y<-,

4^44/4

因?yàn)橐?<%〈二所以一三V式一y<三

442,2

可得一］<x-y<0,即第一y的取值范圍是(一會(huì)0).故選A.

4.如果a<0,-1<b<0,那么下列不等式一定成立的是(D).

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

［解析］由選項(xiàng)可知，僅需要比較。,出?,就2三個(gè)數(shù)的大小，

顯然ab>0,ab2<0,所以ab最大，

由一l<b<0,可得0<爐<1,

所以。按—a=a(b2—1)>0,即ab?>a,

故ab>ab2>a.故選D.

5.若實(shí)數(shù)a,b滿足小〈小心則下列不等式一定成立的是(D).

33ab

A.a<bB.a<bC.e~>1D.In-b<0

ss5

［解析］因?yàn)閍，<ab,所以d—ab=a(a—b)<0,

顯然aW0,所以—b)<0,

所以尸c或解得0<a<b或b<avo.

Ia-b<0ia-b>0,

若0<a<b,則a<b,a3<b3,ea~b<e°=1,In-<Zn1=0；

b

若b<a<0,則a>b,a3>b3,ea~b>e°=1,In-<In1=0.故選D.

6.若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列｛星｝為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是

(D).

A.+b4<b2+b3B.b4-br<b3-b2C.a±a4>

a2a3D.a%<a2a3

［解析］若b=(一力，則瓦=1力2=-|,Z?3=/4=一,

n\Z/Z4o

可得瓦+b=->b+b=故A錯(cuò)誤；

48423

n

若bn=2,則瓦=2,b2—4,-=8,Z?4=16,可得/-bx-14>b3-b2-4,

故B錯(cuò)誤；

若a葭-7i?則a1-1,。2-2,&3-3,。4—4,可彳于a1a4-4<a2a3-6,故C錯(cuò)

、口

沃；

不妨設(shè)｛“九｝的首項(xiàng)為“1，公差為d,則“I%=%.(%+3d)=宙+3ald,

a2G3=(ai+d)(Gi+2d)=+2d2+3ald,所以a2a3—％.。4=2d2>0,故

D正確.故選D.

7.已知a<b,貝U(D).

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln(|a|+1)<ln(\b\+1)D.a\a\<b\b\

［解析］對(duì)于A,若a=-16=0,則標(biāo)>爐，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)閍<b,所以—a>—b,又丫=a為增函數(shù)，所以e-a>ef,故

B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若a=-1,二=0,則ln(|a|+1)=In2>濟(jì)(網(wǎng)+1)=In1=0,故C

錯(cuò)誤.

對(duì)于D,若a<b<0,則a|a|=—〃2乃網(wǎng)=—b?,函數(shù)y=—/在(一泡0)上

單調(diào)遞增,所以Q|Q|=-a2<-b2=b\b\；若0<a<b,a\a\=a2,b\b\=b2,

函數(shù)y=/在?+8)上單調(diào)遞增，所以a|a|=a2<b2=b\b\；

若a<0<6,則a|a|=-a2<0<b2=b\b\,故D正確.故選D.

8.若a<S<0,則下列結(jié)論正確的是(B).

A.a2<p2B.§+￡>2C.G)<0D.sina<sin0

［解析ra<p<0,/.-a>—￡>0,?,.a2>儼,故A錯(cuò)誤；

a<?<0,.?.1>0,2〉0,叁+?〉21^1=2,故B正確；

pa0cB7aB

V0<j<l,a<jg,g)a>，故C錯(cuò)誤；

令a=—TT,?=—5，此時(shí)sina=0,sinp——1,則sina>sinp，故D錯(cuò)誤.故

選B.

綜合提升練

9.（多選題）若工>：>0,則下列四個(gè)不等式成立的是（ABC）.

ab

A.a3<b3B.Vab<

2

C.Vb-Va<7b—aD.a3+b3>2ab2

［解析］???工>工>0,0<a<b,/.a3<b3>VS瓦故A,B正確;

ab92

2____2__

b>a>0,Vb—y［a>0,(Vb—Va)—(Vb—a)—2a—24ab—

2y/a（yfa—VF）<0,Vb—y［a<7b—a,故C正確；

當(dāng)a=2力=3時(shí)，a?+〃一2山）2=—1<0,故D不正確.故選ABC.

10.（多選題）已知a,b分別是方程2*+%=0,3久+%=0的實(shí)數(shù)根，則下列

不等式成立的是（BD）.

A.-1<b<a<0B.-1<a<b<0C.b-3a<a-3bD.a-2b<b-2a

［解析］作出函數(shù)y-2x,y-3x,y-一%在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,

由圖可知一1<a<匕<0,

所以2a<2b,3a<3b,0<-b<-a,

所以一匕-2a<(-a)-2%—b-3a<(-a)-3b,

所以a?2b<b-2a,b-3a>a-3b.

故選BD.

11.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c-0,則2的取值范圍是(一2.-3.

a7:

［解析］因?yàn)閍>b>c9且。+b+c=0,

所以a>0,c<0,b=-ci—c,所以一CL—cVa,即2a>—c,即一a>—2,又一CL—

c>c,所以一a>2c,即￡<—5所以￡的取值范圍是(一2,—］).

2

12.設(shè)二次函數(shù)/(%)=mx-2%+n(jnfnER),若函數(shù)/(%)的值域?yàn)椋?,+8),

22

且/(1)工2,則言+品的取值范圍為昵L

［解析］依題意得，二次函數(shù)/(%)圖象的對(duì)稱軸為直線％=5,

???/(')的值域?yàn)椋?,+oo),

???m>0且f(2)=0,即TH?f—)——+n=0,/.n=—,即？7m=1,n>0,

\m/\m/mm

由/(I)<2,即m—2+n<2,得TH+n<4.

m2+"2_m2(m2+l)+n2(n2+l)

n2+lm2+l(m2+l)(n2+l)

m4+n4+m2+n2

m2n2+m2+n2+l

(m2+n2>)2-2m2n2+m2+n2

m2+n2+2

(m2+n2)2+(m2+n2)-2

m2+n2+2

_(m2+n2+2)(m2+n2-l)

m2+n2+2

=m2+n2—1,

且根2+九2-i22血八一1=1(當(dāng)且僅當(dāng)m=幾=1時(shí)，等號(hào)成立)，

m2+n2—1=(m+n)2—3<42—3=13,

4^+4—e[L13].

n2+lm2+lLJ

應(yīng)用情境練

13.若％,yER,設(shè)M=--2%y+3y2-尤+y,則M的最小值為二

[解析]因?yàn)镸=/—2xy+y2—x+y+2y2

=(%—y)2-(%-y)+2y2

當(dāng)且僅當(dāng)％=5y=0時(shí)，等號(hào)成立,

所以M的最小值為一士

4

14.已知某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，第一次投入本金a(a>0)元，得到的利潤(rùn)是

匕伯>0)元，收益率為必假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上，此機(jī)構(gòu)每次都定期追加投

a

資%(%>0)元，得到的利潤(rùn)也每次都增加了％元，若要使得該項(xiàng)投資的總收益率

是增加的，則a>5.(選填“〉”“2""<”或"V”)

[解析]由題意得，設(shè)追加了n(neN*)次投資，則律次投資后收益率為鬻，

若該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則竺三>竺”半對(duì)任意nGN*成立，

a+nxa+{n-l)x

即4_半羋=_m-0>0對(duì)任意nGN*成立，

a+nxa+{n-l)x(a+nx)[a+(n-l)x]

???x>0,a+nx>0,a+(n—l)x>0,??.a—b>0,即a>b.

創(chuàng)新拓展練

15.(2024?九省適應(yīng)性測(cè)試)以max般表示數(shù)集”中最大的數(shù)設(shè)0<a<0<c<l,已知

b>2a或。+后1,則！112*{6-〃,。61-。}的最小值為_3.

［解析］令0-。=m,。6=凡1?。二2,其中m,n,p>0,

貝啜U"p,

(a=1-m-n-p.

若尼2。,則。=1-〃-〃之2(1-祇-〃-〃),故2m+〃+pNl,

令^=max{b-a,c-b,1-c}=max{m.n.p］,

(2k>2m,

因止匕,>n,故4心2加+〃+/?21,貝！J

U>p,

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=p時(shí)，等號(hào)成立.

若〃+店1,則1-n-p+1-m-n-p<1,BPm+2n+2/7>l,

令^=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},

k>m,

2k>2幾,得5心帆+2〃+2pNl,則

(2k>2p,

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=p時(shí)，等號(hào)成立.

綜上可知,max{b-a,c-O,l-c}的最小值為點(diǎn)

16.設(shè)二次函數(shù)/(%)=a/+2b%+c(c>b>a),其圖象過點(diǎn)(1,0),且與直線

y=-a有交點(diǎn).

(1)求證：0W2VL

a

(2)若直線y=—a與函數(shù)y=|/(%)|的圖象從左到右依次交于4B,C,。四點(diǎn)，

且線段ZB,BC,CD能構(gòu)成鈍角三角形，求2的取值范圍.

a

［解析］(1)依題意得,a+2b+c=0,c>b>a,

所以a<0,c>Q,c=-a—2b,

所以一CL—2b>b>a,

所以一工v,v1.

3a

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(%)的圖象與直線y=—。有交點(diǎn)，

所以方程a%2+2bx+c=—a,即a/+2bx+c+a=0有實(shí)根，

即4=4b2—4a(c+a)=4b2+Sab>0,

所以4+8,—09解得‘<-2或2>0.

\aja