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文檔簡(jiǎn)介
PA-PB最大值模型
一、方法突破:
1.口訣:同側(cè)差最大
2.圖形:如圖1所示,A、B為定點(diǎn),P為I上一動(dòng)點(diǎn),試求\PB-PA\的最大值與最
小值.
解析1:“最大值”
①兩邊只差小于第三邊,<AB,當(dāng)A、2、尸三點(diǎn)共線時(shí),取等號(hào)
②所以連接BA并延長(zhǎng)與I的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)
解析2:“最小值”
①絕對(duì)值具有非負(fù)性—>0,當(dāng)AP=PB時(shí)成立
②P為AB中垂線與/的交點(diǎn).
二、典例精析:
例一:如圖,拋物線y=-M-x+Z的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)艮
4
(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)8的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),求證:朋-PBWAB;
(3)當(dāng)外-P2最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【分析】(D把拋物線解析式的一般式寫成頂點(diǎn)式,可求頂點(diǎn)4坐標(biāo),令x=0,y=2,
可得B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)4、B、尸三點(diǎn)共線時(shí),PA-PB^AB,當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí),根據(jù)“三角形的兩邊
之差小于第三邊”可證結(jié)論;
(3)通過分析可知,R4-P8最大時(shí),4、3、P三點(diǎn)共線,求直線A3解析式,令y=0,
可得尸點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】(1)解:拋物線¥=-12_*+2與了軸的交于點(diǎn)-
4
令x=0得y=2.
:.B(0,2)
?;y=-Ax2-x+2=-—(x+2)2+3
44
:.A(-2,3)
(2)證明:當(dāng)點(diǎn)P是48的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)時(shí),
PA-PB=AB.
當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上又異于的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)時(shí),
在點(diǎn)尸、4、5構(gòu)成的三角形中,PA-PB<AB.
綜合上述:PA-PB^AB
(3)解:作直線A8交x軸于點(diǎn)P,由(2)可知:當(dāng)最大時(shí),點(diǎn)P是所求的
點(diǎn)
作AHLOP于H.
':BOLOP,
J.ABOP^AAHP
???A-H=--H-P
BOOP
由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2,
:.OP=4,
故尸(4,0).
注:求出AB所在直線解析式后再求其與x軸交點(diǎn)P(4,0)等各種方法只要正確也相
應(yīng)給分.
V
5」
/HO\尸'、、.?
例二:如圖,拋物線yuL+bx+c與直線y=L+3分別相交于A,B兩點(diǎn),且此拋物線
22
與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸/上找一點(diǎn)使|M3-MC|的值最大,并求出這個(gè)最大值;
【分析】(D①將A(0,3),C(-3,0)代入y=L2+&x+c,即可求解;
2
(2)分當(dāng)點(diǎn)3、C、M三點(diǎn)不共線時(shí)、當(dāng)點(diǎn)3、C、M三點(diǎn)共線時(shí),兩種情況分別求解
即可;
【解答】解:(1)①將A(0,3),C(-3,0)代入了=匕2+公+c得:
2
c=35
9,解得:,2,
5-3b+c=0
...拋物線的解析式是y=lx2+^x+3;
22
(2)將直線y=L+3表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并解得:x=0或-4,
2
VA(0,3),:.B(-4,1)
①當(dāng)點(diǎn)3、C、M三點(diǎn)不共線時(shí),
\MB-MC\<BC
②當(dāng)點(diǎn)5、C、M三點(diǎn)共線時(shí),
\MB-MC\=BC
...當(dāng)點(diǎn)3、C、M三點(diǎn)共線時(shí),也出-取最大值,即為3c的長(zhǎng),
如圖1,過點(diǎn)8作BELx軸于點(diǎn)E,在RtZVBEC中,由勾股定理得居右=
后,
A\MB-MC|取最大值為亞;
三、中考真題對(duì)決:
1.己知拋物線yi=a(尤-2)2-4(aWO)經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),頂點(diǎn)為M,將拋物線yi向上平
移b個(gè)單位可使平移后得到的拋物線中經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線中的頂點(diǎn)為A,與無(wú)軸的
另一個(gè)交點(diǎn)為B.
(2)@b=—,②拋物線”的函數(shù)表達(dá)式是;
(3)①點(diǎn)尸是y軸上一點(diǎn),當(dāng)|以-尸3|的值最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
【分析】(1)將(0,-3)代入力=a(x-2)2-4(“W0)中,即可求得a的值.
(2)拋物線yl經(jīng)過(0,-3),向上平移后經(jīng)過原點(diǎn)即可(0,0),因此拋物線向上平
移了3個(gè)單位,根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律即可得出力的函數(shù)表達(dá)式.
(3)①當(dāng)尸、4、B三點(diǎn)不在同一直線上時(shí),能構(gòu)成△出5,由三角形三邊關(guān)系定理不
難看出|以-尸3|<43;若尸、4、5三點(diǎn)共線時(shí),\PA-PB\=AB,顯然當(dāng)|物-尸引的值
最大時(shí),尸、4、5三點(diǎn)共線,所以直接求出直線45的解析式,該直線與y軸的交點(diǎn)即
為符合條件的尸點(diǎn);
【解答】解:(1)拋物線力=。(x-2)2-4(aWO)經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),可得:
-3=a(0-2)2-4,
解得:a——.
4
(2),經(jīng)過(0,-3)的拋物線yl向上平移,經(jīng)過(0,0)得到拋物線y2,
二向上平移了3個(gè)單位,即。=3;
故拋物線%J2=—(x-2)2-4+3=—(x-2)2-1.
44
(3)\PA-PB\^AB,且當(dāng)且僅當(dāng)尸、4、3共線時(shí)取等號(hào),
的值最大時(shí),P、4、8共線;
由(2)的拋物線解析式知:A(2,-1)、B(4,0),設(shè)直線48的解析式:y=kx+b,
有:
[2k+b=-l,
l4k+b=0'
解得『2
b=-2
故直線AB:y^ljc-2,則尸(0,-2).
2
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(4,1),如圖,
直線y=L與拋物線交于A、8兩點(diǎn),直線/為y=-l.
4
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使出-尸8|取得最大值?若存在,求出點(diǎn)P
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
【分析】(D設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-2)2,將點(diǎn)(4,1)代入,即可求解析式;
(2)聯(lián)立方程求出A(1,1),B(4,1),對(duì)稱軸x=2,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為
4
A'(3,1),當(dāng)點(diǎn)P,A',B共線時(shí),\PA-尸3|取得最大值;待定系數(shù)法求出直線A'B
4
的解析式了=區(qū)-2,即可求點(diǎn)尸;
4
【解答】解:(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-2)2,
將點(diǎn)(4,1)代入,
得到a=l,
4
A(%-2)2,
4
(2)(x-2)2與y=L的交點(diǎn)A(1,1),B(4,1),
444
對(duì)稱軸x=2f
點(diǎn)4關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為4,(3,1),
4
當(dāng)點(diǎn)尸,A,,5共線時(shí),-尸3|取得最大值;
設(shè)直線A'B的解析式為
T
?-7=3k+b
l=4k+b
3.如圖,已知拋物線>=y+云+0與直線y=/+3交于A,8兩點(diǎn),交x軸于C、。兩點(diǎn),
連接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸/上找一點(diǎn)使的值最大,并求出這個(gè)最大值;
【分析】(D根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)對(duì)稱性,可得MC=MZ>,根據(jù)解方程組,可得5點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩邊之差小于
第三邊,可得5,C,拉共線,根據(jù)勾股定理,可得答案;
【解答】解:(1)將4(0,3),C(-3,0)代入函數(shù)解析式,得
rc=3
<9,
3b+c=0
解得「2,
c=3
拋物線的解析式是尸首+/+3;
(2)由拋物線的對(duì)稱性可知,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,
二對(duì)/上任意一點(diǎn)有MD=MC,
1
y丁x+3
聯(lián)立方程組IE,”「,
解得fx=O(不符合題意,舍),fx=-4,
Iy=3Iy=l
:.B(-4,1),
當(dāng)點(diǎn)3,C,拉共線時(shí),也出-MD|取最大值,即為5c的長(zhǎng),
在RtZ\5EC中,由勾股定理,得
BC=22=
VBE-K:E正,
\MB-取最大值為亞;
4.(2021?鄂州)如圖,直線>=-]》+6與x軸交于點(diǎn)5,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸為線段至
的中點(diǎn),點(diǎn)。是線段。4上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。、A重合).
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)3、點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(2)連接PQ,在第一象限內(nèi)將AOP。沿P。翻折得到AEP。,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.若
NOQ£=90。,求線段AQ的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線y=a?_2/x+a3+a+imwo)的頂點(diǎn)為點(diǎn)
①若點(diǎn)C在APQE內(nèi)部(不包括邊),求。的取值范圍;
②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)C,使|CQ-CEI最大?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);
若不存在,請(qǐng)說明理由.
備用圖1備用圖2
【分析】(1)先求出點(diǎn)A,點(diǎn)5坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)P坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)P作尸產(chǎn)_LQ4于尸,由折疊的性質(zhì)可得/OQP=g/OQC=45。,可得
QF=PF=2,即可求解;
(3)①先求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為m,a+1),可得點(diǎn)C是直線y=x+l(x20)上一點(diǎn),即可求解;
②作點(diǎn)E關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)身(4,6),連接?!?交直線y=x+l于點(diǎn)C,此時(shí)
ICQ-CEI最大,利用待定系數(shù)法求出QC的解析式,聯(lián)立方程組可求解.
解:(1)直線y=-萬(wàn)*+6與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)A,
..點(diǎn)4(0,6),點(diǎn)8(4,0),
點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn),
..點(diǎn)尸(2,3);
(2)過點(diǎn)P作尸尸_LQ4于尸,
圖1
將AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,ZOQE=90°,
ZOQP=|ZOQC=45°,OQ=QE,
QF=PF,
點(diǎn)尸(2,3),
:.QF=
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