教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題21

教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題21一、單項選擇題1.

劉徽在注釋《九章算術(shù)》的過程中，提出了許多創(chuàng)造性的見解，值得一提的是，他創(chuàng)造性地發(fā)展了極限思想并加以靈活運用，其例子是______。A.割圓術(shù)（江南博哥）B.解體用圖C.盈不足術(shù)D.齊同變換正確答案：A[解析]“割圓術(shù)”是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法，是對極限思想的靈活運用。

2.

下列數(shù)列收斂的是______。

A．{(-1)n}

B．

C．{n2}

D．正確答案：B[解析]A項中，當n→∞時，{(-1)n}的極限不存在，該數(shù)列發(fā)散；B項中，因為，所以數(shù)列收斂；C項和D項中，因為，，所以數(shù)列(n2}和數(shù)列均發(fā)散。故本題選B。

3.

課程總目標包含①知識與技能；②過程與方法(或數(shù)學思考和問題解決)；③情感態(tài)度與價值觀(或情感態(tài)度)等具體目標。其中正確的是______。A.①②③B.①②C.②③D.①③正確答案：A[解析]《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出，“課程總目標從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面闡述”。

4.

已知隨機變量X～N(μ，σ2)，且E(2X+1)=5，則μ=______。A.0B.-1C.2D.1正確答案：C[解析]已知X～N(μ，σ2)，所以E(X)=μ，于是E(2X+1)=2E(X)+1=2μ+1=5，解得μ=2。故本題選C。

5.

若直線l滿足：①經(jīng)過原點；②垂直于直線l'：；③平行于平面π：2x+3y+4z+5=0，則直線l的方程是______。

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由題意可知，向量m=(1，2，3)是直線l'的一個方向向量；向量n=(2，3，4)是平面π的一個法向量。因為直線l與直線l'垂直，與平面π平行，所以直線l的方向向量與向量m，n都垂直，于是向量就是直線l的一個方向向量，再結(jié)合直線l經(jīng)過原點可得，直線l的方程為，也即。故本題選A。

6.

若f(x)的一個原函數(shù)為xlnx，則f'(x)=______。

A．

B．lnx

C．e

D．正確答案：D[解析]已知f(x)的一個原函數(shù)為xlnx，則f(x)=(xlnx)'=lnx+1，從而。故本題選D。

7.

設(shè)，則有______。A.M＜N＜PB.N＜P＜MC.M＜P＜ND.P＜M＜N正確答案：D[解析]根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，，則有P＜M＜N。故本題選D。

8.

若線性方程組有唯一解，則______。A.λ=1B.λ≠1C.λ=2D.λ≠2正確答案：B[解析]非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，且等于未知數(shù)的個數(shù)。對題干中線性方程組的增廣矩陣作初等變換，，只有當λ-1≠0，即λ≠1時，r(A)=r(A，b)=3，此時方程組有唯一解。

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

已知，則A，B，C中至少發(fā)生一個的概率是多少?A，B，C都不發(fā)生的概率是多少?正確答案：A，B，C至少發(fā)生一個的概率是P(A∪B∪C)，根據(jù)加法公式可得，。由于P(ABC)≤P(AB)，而P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是。

A，B，C都不發(fā)生的概率是。

2.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，滿足。證明：存在x0∈[a，b]，使得f(x0)=x0。正確答案：若f(a)=a或f(b)=b，只需令x0=a或b即可，下面假設(shè)f(a)≠a，f(b)≠b。

令F(x)=f(x)-x，則F(x)在[a，b]上連續(xù)。由于，且f(a)≠a，f(b)≠b，所以F(a)=f(a)-a＞0，F(xiàn)(b)=f(b)-b＜0，于是由零點存在定理可知，存在x0∈[a，b]，使得F(x0)=0，即f(x0)=x0。

3.

請簡述“勾股定理”在中學數(shù)學課程中的作用。正確答案：“勾股定理”是中學數(shù)學中一個非常重要的定理，在中學數(shù)學課程中具有重要作用：

①“勾股定理”很好地解釋了直角i角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，將學生對幾何的感性認識精確化，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，使幾何學中有關(guān)直角三角形的計算及證明問題迎刃而解；

②“勾股定理”在中學數(shù)學中有廣泛應(yīng)用，如線段求長問題，圖形折疊問題，解三角形問題等，所以“勾股定理”的學習是對中學數(shù)學課程其他幾何問題的鋪墊和深化；

③“勾股定理”與生活實際相結(jié)合，在中學數(shù)學課程的教學中使學生得以感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系。

4.

簡述一元一次方程在中學數(shù)學課程中的作用。正確答案：一元一次方程在中學數(shù)學課程中的作用：

①一元一次方程是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是后續(xù)學習二元一次方程和一元二次方程的基礎(chǔ)；

②一元一次方程的教學是以生活實際為背景的教學，可以讓學生真正經(jīng)歷模型化的過程，從而初步培養(yǎng)學生的模型思想；

③方程、不等式、函數(shù)等是對生活實際問題做符號化的表述和研究，而一元一次方程的學習是培養(yǎng)學生符號化思想的基礎(chǔ)，為不等式、函數(shù)的學習做鋪墊；

④通過一元一次方程的教學，可以提升學生分析問題、解決問題的能力，使其體會研究數(shù)學的規(guī)律。

5.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，證明：在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使得。正確答案：令，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，同時F(a)=0，因此，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈[a，b]，使得F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)，即。

三、解答題(本大題共10分)直線方程的系數(shù)滿足什么條件才能使：1.

直線與x軸相交；正確答案：解：直線與x軸相交等價于存在x軸上唯一一點(x0，0，0)滿足直線方程，等價于方程組有唯一解，等價于A1，A2不全為0，且。

2.

直線與x軸重合；正確答案：解：直線與x軸重合等價于x軸上任意一點(x，0，0)都滿足直線方程，等價于方程組有無窮多解，等價于A1=A2=D1=D2=0。

3.

直線與x軸平行。正確答案：解：直線與x軸平行等價于存在不全為0的ΔD1，ΔD2使得直線與x軸重合(這里直線方程中的兩個平面分別與原直線方程中的兩個平面重合或平行)，由(2)知這等價于A1=A2=D1+ΔD1=D2+ΔD2=0，再結(jié)合ΔD1，ΔD2不全為0得，A1=A2=0，且D1，D2不全為0。

四、論述題(本大題共15分)1.

敘述數(shù)學教育評價的含義，并闡述數(shù)學教育評價的作用。正確答案：數(shù)學教育評價是全面收集和處理數(shù)學課程教育學的設(shè)計、實施過程中的信息，從而做出價值判斷、改進教育決策的過程。

數(shù)學教育評價的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)管理作用。數(shù)學教育評價以國家數(shù)學課程標準為基準，評價的目的是實現(xiàn)國家數(shù)學課程標準的各項要求，達到教育目標。只有科學的數(shù)學教育評價，才能有效地對數(shù)學教育過程進行科學的管理。

(2)導向作用。不同的教育價值觀有不同的評價標準，不同的評價標準，對數(shù)學實踐起著不同的導向作用。被評價者把教育評價所依據(jù)的價值標準作為自己的價值標準，把教育評價所依據(jù)的目標作為自己努力達到的目標。

(3)調(diào)控作用。所謂調(diào)控作用是指調(diào)節(jié)與控制教學。在數(shù)學教育評價的過程中，要收集大量的教育信息，并通過信息反饋，調(diào)節(jié)教學，控制教學，使之盡快地達到目標要求，這樣可以成功地獲得教育或教學的理想效果。

(4)激發(fā)作用。通過數(shù)學教育評價，可以幫助教師及時獲得大量的信息，使其認識到自己的成就和不足，進一步發(fā)現(xiàn)成功與失敗的原因，了解個人自身教與學存在的差距，從而達到激勵先進，鞭策后進的目的。通過反饋信息的調(diào)節(jié)與控制可以激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，使學生熱愛數(shù)學，獲得最佳的學習效果。

(5)診斷作用。數(shù)學教育評價的診斷功能是由教育評價自身決定的，通過教育上的診斷，可以為改進和提高下一階段的學習提供依據(jù)，及時了解存在問題的癥結(jié)和弊端，以便有針對性地改變策略和方法，促進學生的發(fā)展。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問題。案例：

下面是某學生的作業(yè)：

按要求進行計算并說明理由，的算術(shù)平方根是什么?

答案：4，因為。

的平方根是什么?

答案：2，因為。

問題：1.

請指出該生在解題時出現(xiàn)的錯誤，并分析原因；正確答案：①第一題中等于4，因此可以將題目理解為4的算術(shù)平方根是什么?結(jié)果應(yīng)為2；②第二題中等于2，因此可以將題目理解為2的平方根是什么?結(jié)果應(yīng)為。

該生出現(xiàn)錯誤的原因：讀題過程中對題目的審讀不夠嚴謹；未能掌握和理解平方根的概念，平方根與算術(shù)平方根概念混淆。

2.

給出解答此類題的一般方法，幫助學生解除疑惑；正確答案：一般解法如下：

①仔細審讀題目，一字一句讀清楚讀明白，理清題意，若遇到題目中含有根式，一定要化到最簡形式；

②第一個題目中，化簡后是4的算術(shù)平方根是多少?，且算術(shù)平方根為正值，不含負值，故為2。第二個題目中，化簡后是2的平方根是多少?2開根號為，因為平方根有正值也有負值，故結(jié)果為。

3.

簡述在初中階段常用到的數(shù)學思想方法(至少列出三種)，在根式化簡過程中可以用哪些數(shù)學方法呢?正確答案：幻中階段常用到的數(shù)學思想方法主要有：

①化歸思想

化歸思想是在研究和解決某一數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化為簡單問題，進而得以解決的一種思想方法。在根式的求解中可以應(yīng)用到這種思想方法，將根式等值變換到最簡形式，再對題目進行求解，比如的算術(shù)平方根是多少?將根式化到最簡，即16的算術(shù)平方根是多少?故結(jié)果為4。

②類比思想

類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義，它能觸類旁通，啟發(fā)思考，不僅是解決日常生活中大量問題的基礎(chǔ)，而且是進行科學研究和發(fā)明創(chuàng)造的有力工具。比如在二次根式的加減運算中，指出“合并同類二次根式與合并同類項”相類似，因此二次根式的加減可以對比整式的加減，例如：。

③分類思想

分類思想主要是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。在根式的計算中，我們可以將其劃為算術(shù)平方根和平方根麗類，比如的算術(shù)平方根是2，平方根是±2。

六、教學設(shè)計題(本大題共30分)針對“勾股定理”的內(nèi)容，請你完成下列任務(wù)：1.

敘述勾股定理的內(nèi)容；正確答案：勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2.

設(shè)計“勾股定理”的教學過程(只要求寫出新課導入、定理形成與證明過程)，并說明設(shè)計意圖；正確答案：教學過程

1．復(fù)習舊知

教師帶領(lǐng)學生復(fù)習直角三角形的相關(guān)概念。

2．情境導入

教師設(shè)置問題情境：如圖(多媒體展示)，設(shè)每個小方格的面積均為1，請分別算出正方形A，B，C的面積，你能得出什么結(jié)論?

活動：教師讓學生在草稿紙上繪制如多媒體展示的網(wǎng)格圖，按照上述要求算出正方形A，B，C的面積，觀察其中的關(guān)系，給學生進行分組，預(yù)留時間供其合作探究，教師巡視指導。

【設(shè)計意圖】新課之前復(fù)習舊知，幫助學生鞏固舊知，在舊知的基礎(chǔ)上發(fā)展新知，貫徹鞏固與發(fā)展相結(jié)合的原則；教師設(shè)置情境，讓學生對新知進行自主探究，充分體現(xiàn)課標的要求；在教學過程中以學生為主體，同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力；小組交流，培養(yǎng)了學生的合作交流意識。

3．明確定理

學生根據(jù)計算和討論，得出猜想，教師進行適當點評，并板書定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。

教師講授定理：經(jīng)過活動探究可知，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，我們稱這一結(jié)論為勾股定理。

【設(shè)計意圖】教師結(jié)合導入的問題，介紹定理的概念，并進一步明確定理的內(nèi)容，對定理進行詳細的描述，通過幾何直觀的方式使得學生能夠很好地理解定理，并對定理內(nèi)容形成深刻記憶。

4．定理證明

教師引導學生分析“已知”和“求證”：已知為“在一個直角三角形ABC中，三個角所對應(yīng)的邊分別為兩條直角邊a，b和斜邊c”，要證結(jié)論為“a2+b2=c2”。

教師引導學生將定理內(nèi)容符號化，并抽象成數(shù)學問題：如圖，在三角形ABC中，AC⊥BC，角A，B，C，所對應(yīng)的邊為a，b，c，求證：a2+b2=c2。

活動：教師預(yù)留時間讓學生思考，并小組交流如何證明勾股定理，教師巡視，并做如下啟發(fā)。

教師：證明勾股定理的方法有很多種，下面我們試著用古人趙爽的證法，利用“趙爽弦圖”證明。觀察下面的趙爽弦圖，完成填空。

圖中一個三角形的面積為______；

小正方形的面積為______；

大正方形的面積為______；

大正方形的面積還可以表示為______。

教師讓學生自主完成填空，之后核對答案，引導學生根據(jù)已有的信息嘗試證明定理。

教師巡視指導，之后講解該定理的證明思路，并板書證明過程：

以a，b為直角邊，c為斜邊的4個全等直角三角形，每個三角形的面積都為，小正方形的面積為(b-a)2，大正方形的面積為c2，觀察趙爽弦圖可以看出，四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即，化簡左邊得，a2+b2=c2，定理得證。

【設(shè)計意圖】教師引導學生將定理內(nèi)容與學習過的三角形、正方形面積聯(lián)系起來，將定理內(nèi)容符號化為數(shù)學問題；教師啟發(fā)學生思考，獨立自主證明命題，提高分析問題和解決問題的能力；教師在板書證明的過程中，幫助學生規(guī)范數(shù)學語言和證明思路。

3.

借助“勾股定理”，簡述如何提高學生對幾何圖形的認識和積累?正確答案：借助“勾股定理”，提高學生對幾何圖形的認識和積累主要有以下幾