河北省邢臺(tái)市四校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷含答案

河北省邢臺(tái)市四校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.下列直線(xiàn)方程是兩點(diǎn)式方程的是（）

A.y=kx+bB.y-y0-k^x—2x^

-=1=）

x

alby2~々-i

2.在棱長(zhǎng)為2的正方體A5CD-中，以某個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，則點(diǎn)A，G的坐標(biāo)可能為（）

A.4（0,0,0）,G（2,0,2）B.4（2,0,0）,。（2,2,2）

C.A（0,-l,0）,q（2,l,2）D.A（0,0,-2）4（2,2,2）

3.點(diǎn)A（2,3）至！!直線(xiàn)3x-4y-11=0的距離為（）

A.EB.HC.lD.Z

525525

4.若｛a,仇c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A，a-b，a+b-c，2a-ca-b^a+b-ca+4b—3c

C?a-b，a+b-c，2b-c^-a-b^a+b-c^5a+b-3c

5,已知圓M：（x+l）2+（y—2a）2=（后—I-與圓N:（x—a）2+y2=（0+i）2相交，則a的取

值范圍是（）

A.（T1）B.?曲[C｛T|]D.gl]]|,1]

6.一條光線(xiàn)從點(diǎn)P（5,8）射出，與x軸相交于點(diǎn)。（-1⑼，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)在y軸上的

截距為（）

A.-3-B.3-C.-4lD.Z4-

4433

7.某學(xué)校塑膠跑道的寬為2米，以跑道最左側(cè)內(nèi)輪廓半圓弧的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立

如圖所示的直角坐標(biāo)系，跑道內(nèi)輪廊上半部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

A/72X-X2,0<X<36

y-<36,36<x<236-36兀，跑道由兩個(gè)半圓環(huán)和兩個(gè)矩形組

J1296-（%+36兀-236）2,236-36n<x<272-36兀

成，現(xiàn)需要重新翻新塑膠跑道，每平方米的價(jià)格為100元，則翻新跑道共需要投入的資金

C.（0.4兀+6）萬(wàn)元D.（0.04兀+6）萬(wàn)元

8.在四棱錐p—ABCD中，底面A3CD為菱形,pg,底面ABCD,AC=8,BD=PB=4后

為棱PB的中點(diǎn)下為線(xiàn)段CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)R到平面PAD的距離為（）

575

A.rB.lC.2D.-

332

二、多項(xiàng)選擇題

9.若直線(xiàn)/的斜率為療一百，則直線(xiàn)/的傾斜角可能為（）

A.—B.—C.—D.—

9939

10.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，若4（1,2,3）,5（2,-1,0）,C（-1,2,0）,。四點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)

平行四邊形，則。的坐標(biāo)可以為（）

A.（0,-1,-3）B.（-2,5,3）C.（4,-l,3）D.（3,-2,0）

11.在正四面體A3CD中,分別是AD,3C的中點(diǎn),43=2幾，則（）

A-MNAB=24BMNAB=12

C.^BM,CD）>^D.異面直線(xiàn)MN與3D所成的角為g

12.一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20km的圓形區(qū)

域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西25km處，為確保輪船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，則該輪船的行駛路

線(xiàn)可以是（）

A.南偏西45。方向B.南偏西30。方向C.北偏西30。方向D.北偏西25。方向

三、填空題

13.若直線(xiàn)x+6y-1=0與直線(xiàn)wx+2y-7=0垂直，則.

14.在空間直角坐標(biāo)系。町z中，⑷3=（2,1,0）,AC=0,1,四）則點(diǎn)3到直線(xiàn)AC的距離為

15.寫(xiě)出一個(gè)既與y軸相切又與直線(xiàn)=0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

16.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖1是某同學(xué)繪制“十字貫穿

體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體,

其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別

有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若

該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為4貶的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀(guān)圖

中建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

四、解答題

17.已知點(diǎn)M（2,—1）,N（4,5）.

（1）求圓心為點(diǎn)M且過(guò)點(diǎn)N的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)〃且與直線(xiàn)3x+y-1=0平行的直線(xiàn)方程（結(jié)果用一般式方程表示）.

18.在如圖所示的斜三棱柱ABC-44cl中,5。=氏4=55]=3.

（1）設(shè)R4=a，BC=），B4=c，用a，），c表示5G，AG；

2i、

(2)若85乙鉆。=§,85乙鉆4=85/。34=-§,求4。1的長(zhǎng).

19.在△ABC中，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-3,-3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,-0,BC邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)

的方程為3x-y-2=0,直線(xiàn)AC的傾斜角為型.

4

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/與x軸的正半軸,y軸的正半軸分別交于M,N兩點(diǎn)，求△MON(。

為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值.

20.如圖，在四棱錐p—ABC。中,平面43。。,？6=47=4￡)=2,出=35。=3.

(1)證明:平面PAC_L平面P3C.

(2)若ADLA3,求平面P3C與平面總。夾角的余弦值.

21.已知圓。：/+(2—2)%+/+2；1丁+1—；［=0.

(1)證明:圓C過(guò)定點(diǎn).

(2)當(dāng)a=2時(shí),求直線(xiàn)丁=%被圓C截得的弦長(zhǎng).

(3)當(dāng)a=2時(shí),若直線(xiàn)/：y=6-1與圓C交于M,N兩點(diǎn)，且OM.ON<-2,其中。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，求k的取值范圍.

22.如圖A氏C為圓柱底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn),A4,BBX,CQ分別為半圓柱的三條母

線(xiàn)，且C是A3的中點(diǎn),。E分別為AB,8月的中點(diǎn).

（1）證明：〃平面ACE.

（2）若A4]=4A3=81是上的動(dòng)點(diǎn)（含弧的端點(diǎn)），求與平面ACE所成角的

正弦值的最大值.

參考答案

1.答案：D

解析:y^kx+b是斜截式方程,y-y=k[x-2x）是點(diǎn)斜式方程,二+2=1是截距式方

0Qa2b

程土產(chǎn)%）是兩點(diǎn)式方程.

為一%%2一%

2.答案：C

解析：在棱長(zhǎng)為2的正方體A3CD-A5CQ中，|ACj=2石，故選C.

3.答案：A

|3x2-4x3-ll|_17

解析：點(diǎn)4（2,3）到直線(xiàn)3x-4y-11=0的距離為

#+(-4)25

4.答案：B

解析因?yàn)?/p>

a-3+a+》-c=2a-c，—(a—沙)+a+人一c-2b—c,2(a—Z?)+3(a+b)=5a+b—3c,以

a-ba+b-c^2a-a-b^a+b-ca-b^a+b-c^5a+b—3c共面?

不存在實(shí)數(shù)x,y,使得x(a-A)+y(a+A-c)=a+4c-3c,所以a-b,a+)—c,a+4b-3c不

共面.

5.答案：D

解析：圓Af的圓心為1,2a）泮徑為0一1，圓N的圓心為N（a,0）,半徑為血+1.依

題意可得行+l-（后-1）<|^V|<行+1+行-1,即2<7（?+l）2+（-2a）2<2V2，解得

ae-T14

6.答案：C

解析：P（5,8）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（5,-8）,則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)為PQ.因?yàn)?/p>

七0=三于=—g，所以反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y=—g（X+l）.令％=0,得反射光線(xiàn)

所在直線(xiàn)在y軸上的截距為-上

3

7.答案：B

解析：當(dāng)0<x<36時(shí)，由y=472x-尤2,得（x—36）2+/=362（y》0），則曲線(xiàn)

y=j72xY（0Wx<36）表示半徑為36的四分之一個(gè)圓；

當(dāng)236-3671<%<272-3671時(shí)，由y=J1296-（x+36兀-236y，得

（x+36TI-236）2+/=362（y>0），貝U曲線(xiàn)

y=J1296-（x+36兀一236）2（236—36兀4尤4272—36兀）表示半徑為36的四分之一個(gè)圓?

所以塑膠跑道的面積5=兀（382—362）+（200—36兀）><2><2=（4兀+800）1112,貝1］翻新跑道共

需要投入的資金為（4兀+800卜100=（0.04兀+8）萬(wàn)元

8.答案：C

解析：設(shè)AC與3。交于點(diǎn)。，連接DF以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則A（4,0,0）,C（T,0,0）,￡>（0,2,0）,P（0,-2,4）,E（0-2,2）,AD=（-4,2,0）,PA=（4,2,-4）-

設(shè)平面PAD的法向量為m=（尤,yZ廁］""°=-4x+2y=0，令X=1,得加=（1,2,2）.

m-PA=4x+2y-4z=09

因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2,-1,1）,所以￡>E=（-2,-3,1）,故點(diǎn)F到平面PAD的距離為

DF6

斤于2.

9.答案：ACD

解析：因?yàn)椤?療—/..一百,所以直線(xiàn)/的傾斜角ae

10.答案：ABC

解析：AB=（l,-3,-3）,AC=（-2,0,—3）,=（―3,3,0）?設(shè)。的坐標(biāo)為（x,y,z）.

若四邊形ABDC為平行四邊形，則AB=C。,則（L-3,-3）=（x+l,y-20,此時(shí)D的坐標(biāo)

為(0,-1,-3).右四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=DC，則

(1,—3,—3)=(―x—1,—y+2,—z),此時(shí)。的坐標(biāo)為(-2,5,3).

若四邊形ADBC為平行四邊形，則AO=CB，則(％-Ly-2,z-3)=(3,-3,0),此時(shí)D的坐

標(biāo)為(4,—1,3).

11.答案：BC

解析：MNAB=^MA+AB+BN)AB=-^ADAB+AB2

+|BCAB=-1x(2府xcos|+(2府_|xQ府

xcos—=12,A錯(cuò)誤,B正確.

3

在正四面體ABCD中，可證AB±CD,則

BMCD=-(BA+BD}CD=--ABCD+-BDCD=-BDCD=-X(2A/6)2XCOS-=6，

2、)22223

則cos,BM,CD)=,~W<；所以缶&CD)〉殳,C正確.

2屈/義2屈X/3

取CD的中點(diǎn)為E,連接ME,NE,則ME//AC,NE//BD,

且ME=工AC=&,NE==&.因?yàn)锳C，,所以ME，NE,所以AMEN是以

22

NMEN為直角的等腰直角三角形,所以異面直線(xiàn)"N與所成的角為/肱VE,且

NMNE=三,D錯(cuò)誤.

4

12.答案：BCD

解析：如圖,以小島的中心為原點(diǎn)。，正東方向?yàn)閤軸,1km為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的

直角坐標(biāo)系，

則輪船所在的位置為A(25,0),受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為

x2+y2=400.設(shè)輪船航線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y=左(％—25),即kx-y-25k=G.由

」2文>20,得上〉d或左〈—土因?yàn)閠an45=1<±<tan60。=若,所以該輪船的行駛路

333

線(xiàn)可以是南偏西30。方向,北偏西30。方向,北偏西25。方向.

13.答案：-12

解析：因?yàn)橹本€(xiàn)x+6y-1=0與直線(xiàn)mr+2y-7=0垂直，所以〃zxl+2x6=0,解得

m=—12?

14.答案：—

2

/、AC(11亞、,?.3

解析：Wa=AB=(2,l,0),"=p^=[e，e，yJ,則a=5,?-?=-,

所以點(diǎn)3到直線(xiàn)AC的距離為=半.

故答案為：叵.

2

15.答案：(%—3)2+(y—A/3)2=9

解析：本題答案不唯一，只要所寫(xiě)方程形如(》_4+1_無(wú)力=/或

13J

(x-a)2+(y+6a)2=/即可.

16.答案：卜2,2,2收)

解析：其俯視圖如圖所示,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(—2,2,2五).

c

17.答案：(1)(x—2)2+(>+1)2=40

(2)3x+y-5=0

解析：(1)因?yàn)閨MN『=(2—4y+(—1—5)2=40,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+l)2=40.

(2)設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x+y+wi=0,

將點(diǎn)”的坐標(biāo)代入得6-1+加=0,解得加=-5，

所以所求直線(xiàn)方程為3x+y-5=0.

18.答案：(1)見(jiàn)解析

⑵V15

解析：(1)在三棱柱ABC-44cl中，側(cè)面BCG4為平行四邊形，

所以=b+c，

則AC}=BC}-BA=b+c-a-

(2)依題意可得a.b=3x3xg=6,b-c=a-c=3x3x]-g]=-3,

rnil-2-：2?2?2,-2<2-2

用AG=(b+c-a)~o=b+c+a+2b-c—2a-b—2a-c=b+c+a—2ab

=32*3—2x6=15，

所以的長(zhǎng)為店.

19.答案：(1)(1,1)

(2)2

解析：(1)因?yàn)橹本€(xiàn)AC的傾斜角為電，所以直線(xiàn)AC的斜率為_(kāi)i.

4

又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,-6所以直線(xiàn)AC的方程為y+l=_(x-3),

即x+y-2=0.

由3%-y-2=0與x+y-2=0,解得x=y=l,

因?yàn)?C邊上的中線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1).

(2)依題意可設(shè)直線(xiàn)/的方程為二+2=1(a>0/>0),

ab

ab

因?yàn)閍>0，Z?>0,所以工+'=122^^,

ab\ab

則必N4,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以△MQV面積的最小值為工x4=2.

2

20.答案：(1)見(jiàn)解析

(2)正

15

解析：(1)證明:因?yàn)镻BJ_平面ABCD,所以PBJ_A8.

在Rt/XPAB中可求得AB="-2?=6

在△ABC中，因?yàn)锽C=1，AC=2,所以402+502=5=452,

所以

又PB，平面ABCD,^以AC，Pfi.

因?yàn)?。=3,所以4。，平面依。.

又ACu平面PAC,所以平面PAC,平面PBC.

(2)因?yàn)锳B,AD，PB,平面ABCD,所以分別以ADBVB尸的方向?yàn)橛鹫蛰S的正方

向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

C

X-D

則P僅拽，—述,0,D（2,0,0）,A￡>=（2,0,0）,AP=（0,-^,2）.

I55J

由（1）知AC,平面P8C,所以AC=撞，—撞,0為平面PBC的一個(gè)法向量.

、55,

2x=0,

設(shè)平面PAD的法向量為n=（x,y,z>可得<

-迅y+2z=0,

令丫=2,得〃=（0,2,6）.

設(shè)平面P3C與平面尸4。的夾角為0,

貝1Jcos6=cos（n,Ac\=?

、/nAC15

21.答案：（1）見(jiàn)解析

⑵273

（3）（-1,1）

解析：（1）證明:由f+（；l—2）x+y2+2Xy+l-;1=0,

Wx2—2x+l+y2+2（x+2y-1）=0,

令x+2y-l=0,得（％一1）2+J=0,解得％=1,y=0,

所以圓C過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）.

（2）當(dāng)；［=2時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+（y+2）2=5,則圓C的圓心（0,-2）到直線(xiàn)y=x

的距離d=0，

所以直線(xiàn)y=x被圓C截得的弦長(zhǎng)為2氐彳=26.

（3）將y=fcv-1代入/+（y+2）2=5，得（1+產(chǎn)產(chǎn)+2Ax-4=0.

2k4

設(shè)M（%,yJ,N（X2，%），則%+々=立法辦馬=77記，

△=4左2+160+左2）=16+20左2>0恒成立，

所以O(shè)M.QN=XxX2+y%=為%2+（腦-1）（AX2-1）=（1+左2）芯%2+%2）+1

=曲士’至整理得左2<1，

1+k21+k2

所以上的取值范圍是（-1,1）.

22.答案：（1）見(jiàn)解析

（2）8A+2^^

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