高考數學人教A版2019選擇性必修第一冊專題3.10圓錐曲線的方程全章八類必考壓軸題(原卷版+解析)

專題3.10圓錐曲線的方程全章八類必考壓軸題【人教A版（2019）】考點1考點1曲線與方程1．（2023·全國·高三對口高考）若θ是任意實數，方程x2sinθ+A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線2．（2023春·上海黃浦·高二?？计谥校┤鐖D，線段AB與平面α斜交于點B，且直線AB與平面α所成的角為60°，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點PA．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線一支3．（2023·全國·高三專題練習）已知MN是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0中垂直于長軸的動弦，4．（2023春·湖南長沙·高二?？茧A段練習）在直角坐標系xOy中，動點Q到直線l:x=?4的距離與到點F(?1,0)的距離之比為2，動點Q的軌跡記為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)P是直線l上一點，過點P作曲線C的兩條切線PA、PB，切點為A、B，求tan∠APB的最大值．5．（2023·安徽安慶·校考模擬預測）如圖，E,F,G,H分別是矩形ABCD四邊的中點，F(xiàn)2,0,C2,1(1)求直線ER與直線GS交點M的軌跡方程；(2)過點I1,0任作直線與點M的軌跡交于P,Q兩點，直線HP與直線QF的交點為J，直線HQ與直線PF的交點為K，求△IJK考點考點2橢圓的弦長與“中點弦”問題1．（2023春·寧夏吳忠·高二?？计谥校┻^點M(1,1)的直線與橢圓x24+y23=1交于A,B兩點，且點M平分弦A．4x+3y?7=0 B．3x+4y?7=0C．3x?4y+1=0 D．4x?3y?1=02．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且斜率為1的直線lA．247 B．127 C．1223．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓x29+y2=1，過左焦點F作傾斜角為π6的直線交橢圓于A4．（2023春·甘肅蘭州·高二?？茧A段練習）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l:y=kx+2交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為?235．（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓C經過點(2(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點(2,1)且傾斜角為π4的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求線段AB考點考點3雙曲線的弦長與“中點弦”問題1．（2023·高二課時練習）已知雙曲線C:2x2?y2=2，過點P(1,2)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段A．423 B．334 C．2．（2023·高二課時練習）已知雙曲線方程x2?y23=1，則以A．6x+y?11=0 B．6x?y?11=0 C．x?6y?11=0 D．x+6y+11=03．（2023·高二課時練習）過雙曲線x23?y26=1的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A4．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.(1)求C的標準方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.5．（2023·江蘇·高二專題練習）雙曲線的焦點F1,F2的坐標分別為?5,0和(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點，且A,B中點P5,1考點考點4拋物線的弦長問題1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為π3的弦AB，則|AB|A．837 B．163 C．82．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F的直線l交地物線C于A,B兩點，若AF=λBFA．1 B．32 C．3 3．（2023·湖南長沙·周南中學校考二模）根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線y2=2x，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則AB4．（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點a,2(1)求C的方程；(2)若斜率為3的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段AB的長度．5．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線l與拋物線C:y2=8x相交于A(1)若直線l過點Q4,1，且傾斜角為45°，求(2)若直線l過點Q4,1，且弦AB恰被Q平分，求AB考點考點5圓錐曲線中的面積問題1．（2023·安徽六安·?？寄M預測）已知雙曲線C:x216?y29=1的左、右焦點分別為F1、F2，直線y=kx與雙曲線C交于A．18 B．10 C．9 D．62．（2023秋·重慶九龍坡·高二?？计谀┮阎狥為拋物線y2=4x的焦點，過點F作兩條直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，若A．48 B．32 C．16 D．83．（2023春·安徽·高三?？茧A段練習）過點Px0，y0作拋物線C:y=ax2(a>0)的兩條切線，切點分別為A，B，作AA1，BB1垂直于直線4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C1:y2a2+x2(1)求C1(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x1<0<x2，分別以A,B為切點，作5．（2023春·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F2,0，過點F的直線l與橢圓M交于(1)求橢圓M的方程；(2)作BC⊥x軸于點C，作AD⊥x軸于點D，直線BD交直線x=4于點E．①求證：C，A，E三點共線；②求△ECD與△EAB的面積之比．考點考點6圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題1．（2023春·江西宜春·高二?？计谀┮阎獧E圓C:x24+y2=1的左右頂點分別為A,B，上頂點為D,M為橢圓C上異于四個頂點的任意一點，直線AM交BD于點P(1)求△MBD面積的最大值；(2)記直線PM,PQ的斜率分別為k1,k2．（2023春·江蘇南京·高二?？计谀┮阎p曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的實軸長為22，C的一條漸近線斜率為?2(1)若直線l過C的右焦點，且斜率為?1，求△PMQ的面積；(2)設P，Q為雙曲線C上異于點M2a,b的兩動點，記直線MP，MQ的斜率分別為k1，k2，若3．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，A（1）求橢圓C的方程；（2）若過點F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個不同的點，證明：直線AM與BN4．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0，(1)求拋物線的標準方程；(2)過點4,0作動直線l與拋物線C交于M，N兩點，直線OM，ON分別與圓x?12+y2=1交于點P，Q兩點（異于點O），設直線OM，ON①求證：k1②求證：直線PQ恒過定點．5．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0，圓B:x2+（1）求p和b的值；（2）若點A的坐標為?2,0，過點A且斜率為23的直線l1與拋物線C分別相交于P、Q兩點（點Q在點P的右邊），過點A的直線l2與拋物線C分別相交于M、N兩點，直線l1與l2不重合，直線PM與直線QN考點考點7圓錐曲線中的最值問題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）已知橢圓E:x2a2+y2(1)求E的方程；(2)直線y=kx+12(k>0)與E交于A，B兩點，直線PA，PB分別交直線l于C，D2．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線Γ：x2a2?y(1)求雙曲線Γ的方程；(2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大值.3．（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為6(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為32，求△AOB4．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1，（(1)求C的標準方程；(2)過點M(?2,0)且斜率不為0的直線l與C的左、右兩支分別交于點A,B，點N在線段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P為線段AB的中點，記直線OP，ON（O為坐標原點）的斜率分別為k15．（2023春·上海寶山·高二校考期中）直線l與拋物線y2=4x交于A、B兩點，O為坐標原點，直線OA、OB的斜率之積為?1，以線段AB的中點為圓心，2為半徑的圓與直線l交于P、（1）求證：直線l過定點；（2）求AB中點的軌跡方程；（3）設M6,0，求MP考點考點8圓錐曲線綜合1．（2023春·天津和平·高三校考階段練習）雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，拋物線yA．y2=4x B．y2=6x C．2．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：x2=?2pyp>0的焦點F與y28+x24=1的一個焦點重合，過焦點F的直線與C交于A，B兩不同點，拋物線C在A，A．12 B．14 C．15 D．163．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預測）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點與拋物線y2=2pxp>04．（2023春·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1、F2，且F2(1)求橢圓C的方程；(2)設動直線l與橢圓C交于R，S兩點，存在一點T4,0使∠OTS=∠OTR，判斷直線l5．（2023春·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C1:x2a2?y2(1)求C1，C(2)設A是C1與C2在第一象限的公共點，作直線l與C1的兩支分別交于點M，N，使得AM⊥AN.求證：直線專題3.10圓錐曲線的方程全章八類必考壓軸題【人教A版（2019）】考點1考點1曲線與方程1．（2023·全國·高三對口高考）若θ是任意實數，方程x2sinθ+A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【解題思路】利用特殊角可判斷ACD；討論θ的取值可判斷B.【解答過程】對于A，當cosθ=sinθ=22對于B，當θ是第一象限角時，cosθ>0,sinθ>0當θ是第二象限角時，cosθ<0,sinθ>0當θ是第三象限角時，cosθ<0,sinθ<0當θ是第四象限角時，cosθ>0,sinθ<0當θ的角的終邊落在x軸正半軸上時，cosθ=1，sinθ=0，得當θ的角的終邊落在y軸正半軸上時，cosθ=0，sinθ=1，得當θ的角的終邊落在x軸負半軸上時，cosθ=?1，sinθ=0，得當θ的角的終邊落在y軸負半軸上時，cosθ=0，sinθ=?1，得對于C，當θ=π3時，由x2sinθ+對于D，當θ=2π3時，由x2sinθ+故選：B.2．（2023春·上海黃浦·高二?？计谥校┤鐖D，線段AB與平面α斜交于點B，且直線AB與平面α所成的角為60°，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點PA．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線一支【解題思路】根據題意，∠PAB=30°為定值，可得點P的軌跡為一以AB為軸線的圓錐側面與平面【解答過程】用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，且平面與軸線所成角大于母線與軸線所成角時得到橢圓；當平面與軸線所成角小于母線與軸線所成角時得到雙曲線，當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線．平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則P在以母線與AB所在直線(中軸線)的夾角為30°，然后用平面α去截圓錐，使直線AB與平面α的夾角為60°，則平面α與圓錐側面的交線為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知MN是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0中垂直于長軸的動弦，A,B是橢圓長軸的兩個端點，則直線AM和NB【解題思路】設M(x1,y1),N(x1,?y1)，直線【解答過程】設M(x因為橢圓x2a2設直線AM和NB的交點為P(x,y)，因為A,M,P三點共線，所以yx+a=y因為N,B,P三點共線，所以yx?a=?兩式相乘得y2x2因為x12a2+所以y2x2?a所以直線AM和NB的交點P的軌跡方程x2a2故答案為：x2a24．（2023春·湖南長沙·高二?？茧A段練習）在直角坐標系xOy中，動點Q到直線l:x=?4的距離與到點F(?1,0)的距離之比為2，動點Q的軌跡記為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)P是直線l上一點，過點P作曲線C的兩條切線PA、PB，切點為A、B，求tan∠APB的最大值．【解題思路】（1）設動點Q的坐標為x,y，根據題意得到x+4x+1（2）設切線方程y=kx+4+t，聯(lián)立方程組，由Δ=0，得出方程12k2+8tk+t2?3=0【解答過程】（1）解：設動點Q的坐標為x,y，因為動點Q到直線l:x=?4的距離與到點F（?1，0）的距離之比為2，可得x+4x+12+即所求曲線C的方程為x2（2）解：根據題意，設點P?4,t，顯然，過P點的切線斜率均存在，設切線方程：y=k聯(lián)立方程組y=kx+4+tx由Δ=64k2設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則則tan∠APB=k所以tan∠APB的最大值為45．（2023·安徽安慶·校考模擬預測）如圖，E,F,G,H分別是矩形ABCD四邊的中點，F(xiàn)2,0,C2,1(1)求直線ER與直線GS交點M的軌跡方程；(2)過點I1,0任作直線與點M的軌跡交于P,Q兩點，直線HP與直線QF的交點為J，直線HQ與直線PF的交點為K，求△IJK【解題思路】（1）利用已知可得直線ER，GS的方程，消去參數，根據交點M的變化即可求出其軌跡方程.（2）設PQ方程：x=my+1，代入x2+4y2?4=0，利用韋達定理表示出y1+y2=?4mm2+4,y1【解答過程】（1）由已知，R2λ,0,S2,1?λ，E當λ≠0時，直線ER方程：y=1直線GS方程：y=?λ聯(lián)立上述兩方程消去λ得：x2當λ=0時，交點M0,1又交點M不可能為0,?1，故所求的軌跡方程為x24+（2）設PQ方程：x=my+1（依題意m存在)，代入x2+4yΔ=16m2y1+yHP方程：y=y1x1+2聯(lián)立上述兩方程消去得：x+2x?2∴x=4，所以J4,yJ同理直線HQ與直線PF的交點K4,yKyJS△IJK=1故△IJK的面積最小值為33，此時直線PQ的方程為x=1考點考點2橢圓的弦長與“中點弦”問題1．（2023春·寧夏吳忠·高二校考期中）過點M(1,1)的直線與橢圓x24+y23=1交于A,B兩點，且點MA．4x+3y?7=0 B．3x+4y?7=0C．3x?4y+1=0 D．4x?3y?1=0【解題思路】設Ax1,【解答過程】設Ax1,y1,Bx①-②得x1因為點M為AB中點，則x1所以x1?x所以直線l的方程為y?1=?34故選：B.2．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且斜率為1的直線lA．247 B．127 C．122【解題思路】利用弦長公式求解即可.【解答過程】設直線AB方程為y=x?1，聯(lián)立橢圓方程x整理可得：7x2?8x?8=0則x1+xAB=1+k2故選：A.3．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓x29+y2=1，過左焦點F作傾斜角為π6的直線交橢圓于A【解題思路】設點Ax1,y1、B【解答過程】在橢圓x29+y2=1中，a=3，設點Ax1,y1、Bx2聯(lián)立x=3y?22x2由韋達定理可得y1+y所以，AB=故答案為：2.4．（2023春·甘肅蘭州·高二?？茧A段練習）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l:y=kx+2交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為?23【解題思路】（1）根據焦點坐標求得c，根據長軸和短軸的對應關系，以及a2=b（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去y并化簡，寫出韋達定理，根據AB中點的橫坐標求得k的值，進而求解.【解答過程】（1）由橢圓C的長軸長是短軸長的2倍，可得a=2所以2b又F1,0，所以2b2所以a=2所以橢圓C的標準方程為x2（2）設Ax1,由x22+則x1+x因為線段AB中點的橫坐標為?2所以x1解得k2=1所以直線l的方程為y=±15．（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓C經過點(2(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點(2,1)且傾斜角為π4的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求線段AB【解題思路】（1）根據橢圓的幾何性質即可求解，（2）由弦長公式即可求解.【解答過程】（1）由題意設橢圓C的方?為x2因為橢圓經過點(2,0)且短軸長為2，所以a=所以橢圓C的標準方程為x2（2）由已知得直線l的方程為y=x?1，設Ax1,y1得3x2?4x=0，易得Δ>0，所以x所以AB=考點考點3雙曲線的弦長與“中點弦”問題1．（2023·高二課時練習）已知雙曲線C:2x2?y2=2，過點P(1,2)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段A．423 B．334 C．【解題思路】設直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立雙曲線方程，應用韋達定理及中點坐標公式求k值，利用弦長公式求解即可.【解答過程】由題設，直線l的斜率必存在，設過P(1,2)的直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立雙曲線：(2?設M(x1,y1),N(x則x1+x弦長|MN|=1+故選：D.2．（2023·高二課時練習）已知雙曲線方程x2?y23=1，則以A．6x+y?11=0 B．6x?y?11=0 C．x?6y?11=0 D．x+6y+11=0【解題思路】利用點差法可求得直線l的斜率，利用點斜式可得出直線l的方程.【解答過程】設直線l交雙曲線x2?y23=1于點由已知得x12?所以，y1?y2x故直線l的斜率為y?1=6x?2，即6x?y?11=0故選：B.3．（2023·高二課時練習）過雙曲線x23?y26=1的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B【解題思路】根據直線與雙曲線相交，由韋達定理以及弦長公式即可求解.【解答過程】雙曲線x23?y26=1的右焦點為F23,0，所以直線l的方程為y=33(x?3)．由所以AB=1+故答案為：1634．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.(1)求C的標準方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.【解題思路】（1）根據雙曲線的準線方程公式，結合雙曲線的離心率公式進行求解即可.（2）根據題意設出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數關系、雙曲線弦長公式進行求解即可.【解答過程】（1）因為直線l經過C的右焦點，所以該雙曲線的焦點在橫軸上，因為雙曲線C兩條準線之間的距離為1，所以有a2又因為離心率為2，所以有ca=2?ac=∴C的標準方程為：x2（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為y=±3所以直線l的斜率為±33，由于雙曲線和兩條直線都關于所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.又因為直線斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設直線l的斜率為33方程為y=3x2設Ax1,AB5．（2023·江蘇·高二專題練習）雙曲線的焦點F1,F2的坐標分別為?5,0和(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點，且A,B中點P5,1【解題思路】（1）由題意可得c的值，再由離心率，可得a的值，進而求出b的值，由此可求出雙曲線的方程以及漸近線方程；（2）設直線l：y=kx?5【解答過程】（1）由題意可得c=5,e=ca=54所以b2所以雙曲線的方程為：x216?（2）由于A,B中點P5,1不在x設直線l：y=kx?5+1，A聯(lián)立y=kx?5消去y得9?16則x1x2=?400則AB==1+考點考點4拋物線的弦長問題1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為π3的弦AB，則|AB|A．837 B．163 C．8【解題思路】求出拋物線的焦點坐標F(1,0)，用點斜式設出直線方程：y=3(x?1)，與拋物線方程聯(lián)解得一個關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系結合曲線的弦長的公式，可以求出線段【解答過程】解：根據拋物線y2=4x方程得：焦點坐標直線AB的斜率為k=tan由直線方程的點斜式方程，設AB:y=3將直線方程代入到拋物線方程中，得：3(x?1)整理得：3x設A(x1，y1)，由一元二次方程根與系數的關系得：x1+x所以弦長|AB|=1+故選：B．2．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F的直線l交地物線C于A,B兩點，若AF=λBFA．1 B．32 C．3 【解題思路】由拋物線的定義求得B點的橫坐標，代入拋物線得B點坐標，從而求得直線AB的方程，聯(lián)立拋物線與直線即可得A點的橫坐標，求得AF，從而可得λ的值.【解答過程】如圖，過A作AA1準線于A1，過B作B

由拋物線C:y2=3x的焦點F由拋物線的定義可得BF=BB1若B14,32，直線AB的斜率為kAB聯(lián)立y=?3x+334y2則AF=若B14,?32，直線AB的斜率為kAB聯(lián)立y=3x?334y2則AF=綜上，λ=3.故選：C.3．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃└鶕佄锞€的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線y2=2x，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則AB=【解題思路】由題意求出A點坐標，由于直線AB過焦點，利用點斜式方程求出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達定理求出點B坐標，利用兩點間的距離求出AB即可.【解答過程】由條件可知AQ與x軸平行，令yA=2，可得xA=2，故因為lAB經過拋物線焦點F12,0，所以整理得4x?3y?2=0，聯(lián)立y2=2x4x?3y?2=0，得y2?又yA=2，所以yB所以|AB|=2?故答案為：2584．（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點a,2(1)求C的方程；(2)若斜率為3的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段AB的長度．【解題思路】（1）由拋物線過點a,2a（2）由直線過拋物線的焦點與已知斜率可求出直線AB，將直線AB與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理結合拋物線的定義可得答案.【解答過程】（1）∵拋物線C:y2=2px(p>0)∴2p?a=4a．又∵a>0，∴2p=4，上故C的方程為y2（2）設Ax1,由（1）知，拋物線C的焦點為F1,0∵直線AB的斜率為3，且過點F，∴直線AB的方程為y=3x?1聯(lián)立y=3x?1,y2=4x,∴AB=故線段AB的長度為163．5．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線l與拋物線C:y2=8x相交于A(1)若直線l過點Q4,1，且傾斜角為45°，求(2)若直線l過點Q4,1，且弦AB恰被Q平分，求AB【解題思路】（1）先求直線l的方程，聯(lián)立拋物線的方程，用弦長公式可得AB.（2）可用點差法解決中點弦問題.【解答過程】（1）因直線l的傾斜角為45°，所以直線l的斜率k=又因直線l過點Q4,1所以直線l的方程為：y?1=x?4，即y=x?3，聯(lián)立y2=8x得設AxA,所以xA+x所以AB（2）因A、B在拋物線C:y所以yA2=8兩式相減得：yA得yA故直線l的斜率為4，所以直線l的方程為：y?1=4x?4，即4x?y?15=0考點考點5圓錐曲線中的面積問題1．（2023·安徽六安·校考模擬預測）已知雙曲線C:x216?y29=1的左、右焦點分別為F1、F2，直線y=kx與雙曲線C交于A．18 B．10 C．9 D．6【解題思路】由已知可得四邊形AF1BF2為矩形，從而可得AF1⊥BF【解答過程】直線y=kx與雙曲線C交于A，B兩點，若AB=則四邊形AF1BF2

由雙曲線C:x216?y29所以AB=F1又AF所以AF12所以S△AB故選：C．2．（2023秋·重慶九龍坡·高二校考期末）已知F為拋物線y2=4x的焦點，過點F作兩條直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，若A．48 B．32 C．16 D．8【解題思路】依題意，l1⊥l2，設直線l1的斜率為k(k≠0)【解答過程】依題意，l1⊥l2，設直線l1的斜率為k(k≠0)，則直線l2的斜率為?1k，設Ax1,聯(lián)立y2=4x,y=kx?1,所以AB=同理DE=從而S=12AB故選:B.3．（2023春·安徽·高三?？茧A段練習）過點Px0，y0作拋物線C:y=ax2(a>0)的兩條切線，切點分別為A，B，作AA1，BB1垂直于直線【解題思路】設Ax1,ax12，Bx2,ax22，由導數的幾何意義求得切線方程，再根據兩切線的交點為【解答過程】設Ax1,ax12，所以切線lPA:y?ax則有y0?ax由兩式相減得x0=x1+設直角梯形ABB1A則S1所以S1+(當且僅當S1=S所以，S2S故答案為：4.4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C1:y2a2+x2(1)求C1(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x1<0<x2，分別以A,B為切點，作【解題思路】（1）根據題意可得曲線過點6,?2，然后根據曲線的離心率和a,b,c（2）設直線AB的方程為y=kx+m(m>0),Ax1,【解答過程】（1）由題知C1過點6,?2，則e=c∴C（2）設直線AB的方程為y=kx+m(m>0),Ax

聯(lián)立y=kx+mx2=8yx1則AB=1+k2x故以A為切點的切線為y?y1=同理以B為切點的切線為y=x24由y=x14x?x兩式求和得：2y=x所以點P4k,?m,由P在橢圓上m2點P到直線AB的距離d=4所以S△ABP=1S====[13?(m?6)而y=13?(m?6)24、y=10?則S在m∈0,4上遞增，S∈5．（2023春·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F2,0，過點F的直線l與橢圓M交于(1)求橢圓M的方程；(2)作BC⊥x軸于點C，作AD⊥x軸于點D，直線BD交直線x=4于點E．①求證：C，A，E三點共線；②求△ECD與△EAB的面積之比．【解題思路】（1）利用橢圓的通徑及a2=b（2）①先設直線AB方程為：x=ty+2，聯(lián)立橢圓，將每個點的坐標表示出來，要找C，A，E三點共線，只需證明kAE②因為AD//BC，先找到S△ADB=S【解答過程】（1）由題，直線AB:x=c，代入x2a2故AB=2b又因為c=2，a2=b解得a=2±322，即所以橢圓M的方程為x2（2）如圖所示：

①設Ax1,y1，BAB直線方程為：x=ty+2，x=ty+2xy1+y直線BD的方程為y=y令x=4，得y=y所以E4,kAE=yk=t所以A，C，E三點共線.（2）因為AD//△ECD與△EAB的面積之比1:1.考點考點6圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題1．（2023春·江西宜春·高二?？计谀┮阎獧E圓C:x24+y2=1的左右頂點分別為A,B，上頂點為D,M為橢圓C上異于四個頂點的任意一點，直線AM交BD于點P(1)求△MBD面積的最大值；(2)記直線PM,PQ的斜率分別為k1,k【解題思路】（1）方法1：設出點M的坐標，計算點M到直線BD的距離，運用輔助角公式轉化為求三角函數的最大值，進而可求得結果.方法2：聯(lián)立橢圓方程及與BD平行的直線的方程，令Δ=0（2）分別求出交點M、Q、P坐標，計算k1【解答過程】（1）方法1：如圖所示，由題意知，A(?2,0)，B(2,0)，D(0,1)，設M2則|BD點M到直線BD的距離為：d=2所以d=2所以S△MDB故△MBD面積的最大值為：2+1方法2：設與BD平行的直線l:x+2y+t=0，聯(lián)立x+2y+t=0x2+4令Δ=16顯然當t=22時l與橢圓的切點與直線BDdmax所以S△MDB故△MBD面積的最大值為：2+1（2）如圖所示，設直線lAM聯(lián)立x2+4y則點M的坐標為2m設點Q為t,0，則kQD所以1?t=4m所以Q2m+2聯(lián)立x=my?2y=?12x+1得點所以k1=4m所以k1故k1?2k2．（2023春·江蘇南京·高二校考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的實軸長為22，C的一條漸近線斜率為?2(1)若直線l過C的右焦點，且斜率為?1，求△PMQ的面積；(2)設P，Q為雙曲線C上異于點M2a,b的兩動點，記直線MP，MQ的斜率分別為k1，k2，若【解題思路】（1）根據雙曲線離心率公式，結合雙曲線焦距定義求出雙曲線的方程聯(lián)立進行求解即可；（2）設出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據一元二次方程根的判別式、根與系數關系，結合直線斜率公式進行求解即可.【解答過程】（1）如圖：

因為雙曲線C:x2a所以2a=22，即a=2.又因為C的一條漸近線斜率為所以?ba=?22則其右焦點坐標為3,0，因為直線l過C的右焦點，且斜率為?1所以直線l的方程為：y=?x+3，設Px1聯(lián)立y=?x+3x2所以由韋達定理得：x1+x所以PQ=點M2,1到直線l的距離為：d=所以S△PMQ（2）證明：如圖

設直線PQ的方程為：x=my+n，設Px1,聯(lián)立x=my+nx22Δ=4m所以：y1+y而M2,1，則k1=因為k1+整理的：y1所以y1所以：y1所以y1整理得：2m?2y代入韋達定理得：2m?2n所以2m?2n整理得：m2即m?nm+n?2=0，則m=n或當m=n時，直線線PQ的方程為：x=ny+n=ny+1，所以過定點0,?1當m=2?n時，直線線PQ的方程為：x=2?ny+n=n1?y即為M2,1，因為P，Q為雙曲線C上異于點M故直線PQ過的定點為0,?1.3．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，A（1）求橢圓C的方程；（2）若過點F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個不同的點，證明：直線AM與BN【解題思路】（1）△PF1F2的周長為2a+2c，△PF（2）設直線MN方程為x=my+1，M(x1,y1),N(x【解答過程】（1）由橢圓定義知△PF1F2的周長為2a+2c=6，當P是橢圓短軸端點時，由2a+2c=6bc=消去a,b得2c3?3c2+1=0，∴a=2c=1∴橢圓方程為x2（2）由（1）A(?2,0),B(2,0)，F(xiàn)由直線MN斜率不為0，設直線MN方程為x=my+1，設M(x由x=my+1x24+y∴y1+y2=?直線AM方程為：y=y直線BN方程為：y=y聯(lián)立方程組y=y1x1+2x+2x?2=y∴x=4．故直線AM,BN的交點在直線x=4上．4．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0，(1)求拋物線的標準方程；(2)過點4,0作動直線l與拋物線C交于M，N兩點，直線OM，ON分別與圓x?12+y2=1交于點P，Q兩點（異于點O），設直線OM，ON①求證：k1②求證：直線PQ恒過定點．【解題思路】（1）先求出拋物線的焦點坐標，進而得到p2=1（2）①設直線MN方程為x=my+4，Mx1,y1，Nx2②設直線PQ方程為x=ty+n，Px3,y3，Qx4【解答過程】（1）易知直線2x+4y?1=0與x軸交于12即焦點坐標為12所以p2=1則拋物線方程為y2（2）①設直線MN方程為x=my+4，Mx1,聯(lián)立方程組x=my+4y2=2x所以y1y2所以y12y則k1②設直線PQ方程為x=ty+n，Px3聯(lián)立方程組x=ty+nx?12+所以y3+yk1整理得n?2n=?12，n=45．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0，圓B:x2+（1）求p和b的值；（2）若點A的坐標為?2,0，過點A且斜率為23的直線l1與拋物線C分別相交于P、Q兩點（點Q在點P的右邊），過點A的直線l2與拋物線C分別相交于M、N兩點，直線l1與l2不重合，直線PM與直線QN【解題思路】（1）根據圓心到直線的距離等于半徑可得b=1，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據判別式等于零可得p=2；（2）聯(lián)立直線l1與拋物線，解得點P的坐標為1,2，點Q的坐標為4,4，設直線l2的方程為y=kx+2k≠0，點M的坐標為x2,y2，點N的坐標為x1,y1，聯(lián)立直線l2與拋物線方程，根據韋達定理可得y【解答過程】（1）圓B的標準方程為x?32+y2=8，可知圓B由直線x?y+b=0與圓B相切，可得b+32=22，解得b=1聯(lián)立方程y2=2pxx?y+1=0，消去x因為直線與拋物線相切，所以Δ=4p2?8p=0故p=2，b=1.（2）證明：直線l1的方程為y=聯(lián)立方程y2=4xy=23則點P的坐標為1,2，點Q的坐標為4,4，設直線l2的方程為y=k點M的坐標為x2,y2聯(lián)立方程y2=4xy=kx+2，消去有x1+xy1由Δ=4k2?42直線PM的斜率為y2直線QN的斜率為y1直線PM的方程為y?2=2y1直線QN的方程為y?4=4y1聯(lián)立直線PM、QN的方程消去y后得2y得2y1?2y1+4x=4y故點T在定直線x=2上.考點考點7圓錐曲線中的最值問題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）已知橢圓E:x2a2+y2(1)求E的方程；(2)直線y=kx+12(k>0)與E交于A，B兩點，直線PA，PB分別交直線l于C，D【解題思路】（1）利用長軸的長度以及點到直線的距離公式求解；（2）設點Ax1,y1，Bx2,y2，將直線y=kx+12(k>0)與橢圓聯(lián)立利用韋達定理求得x1和x2【解答過程】（1）由已知條件得2a=4，解得a=2，上頂點坐標為P0,b，d=2b?65=4由于a>b>0，則b=1，所以E的方程為x2（2）由（1）得P0,1，設Ax1聯(lián)立y=kx+12x24x1+x設直線PA的方程為y=y聯(lián)立y=y1點Ax1,y1在直線y=kx+同理可得xD所以CD2====20×令4k+1=tt>1，則CD2=20×此時0<1t<1，當12．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線Γ：x2a2?y(1)求雙曲線Γ的方程；(2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大值.【解題思路】（1）根據P點坐標以及焦點到漸近線的距離求得a,b，從而求得雙曲線的方程.（2）根據直線AB的斜率是否存在進行分類討論，結合PA⊥PB以及點到直線的距離公式、基本不等式求得點P到直線AB距離的最大值.【解答過程】（1）不妨設Fc,0，到雙曲線的一條漸近線bx?ay=0的距離為bc雙曲線x2a2?y所以雙曲線方程為x2（2）當直線AB的斜率不存在時，設Ax0,PA=依題意PA?x0?22由x02?4x0所以A6,17,B6,?17，此時P當直線AB的斜率存在時，設Ax1,y1由y=kx+mx22?yΔ=16x1依題意PA?所以x==k整理得m2即m+2k?1m+6k+3=0，由于P?直線AB，所以m+6k+3=0,m=?6k?3，函數y=?6k?3判別式為?362所以直線AB的方程為y=kx?6k?3，即kx?y?6k?3=0，所以P到AB的距離d=2k?1?6k?3d4當k≤0時，1+2kk2+1≤1當且僅當k=1所以d4綜上所述，點P到直線AB的距離的最大值為423．（2023春·廣東河源·高二校考期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為6(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為32，求△AOB【解題思路】（1）根據已知條件，結合橢圓的性質，即可求解；（2）先求出當AB⊥x軸時AB=3，當AB與x軸不垂直時，設出直線【解答過程】（1）設橢圓的半焦距為c，依題意有ca=63，∴c=2，a=3，∴所求橢圓方程為x2（2）設Ax1,①當AB⊥x軸時，AB=②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，坐標原點O到直線l的距離為32則m1+k2把y=kx+m代入橢圓方程，整理得3kΔ=36AB=k結合4m2=3k2+1，消去當且僅當m2=3m2?2，即m又當k不存在時，AB=綜上所述，AB的最大值為2，所以△AOB的面積的最大值為S△AOB4．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1，（(1)求C的標準方程；(2)過點M(?2,0)且斜率不為0的直線l與C的左、右兩支分別交于點A,B，點N在線段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P為線段AB的中點，記直線OP，ON（O為坐標原點）的斜率分別為k1【解題思路】（1）根據題意列式求解a,b,c即可；（2）設直線l的方程及交點坐標，利用韋達定理求P,N的坐標，進而可得k1【解答過程】（1）因為雙曲線C:x2a由雙曲線過點(e,3)，且e=ca=c即c2?9故雙曲線C的標準方程為x2（2）設直線l:my=x+2(m≠0)，Ax1,由題意可知x1聯(lián)立方程x=my+2x2?由題意可得3m2?1≠0Δ=144則y1+y可得y4=y則P23m因為|MA||MB|=|AN||NB|，則則x3即N?12所以k1k2∴k1+k2≥2k1此時m=1或?1，均滿足l與C的左、右兩支分別相交．∴k15．（2023春·上海寶山·高二校考期中）直線l與拋物線y2=4x交于A、B兩點，O為坐標原點，直線OA、OB的斜率之積為?1，以線段AB的中點為圓心，2為半徑的圓與直線l交于P、（1）求證：直線l過定點；（2）求AB中點的軌跡方程；（3）設M6,0，求MP【解題思路】（1）設直線l的方程為x=my+t，設點Ax1,y1、Bx2（2）設線段AB的中點為Nx,y，可得出x=2m2+4y=2m（3）利用平面向量的數量積推導出2MP2+【解答過程】（1）設直線AB的方程為x=my+t，設點Ax1,由y2=4xx=my+t所以Δ=4m2+16t=16t+m所以x1+x因為直線OA、OB的斜率之積為?1，所以OA?所以x1x2所以直線AB的方程為x=my+4，過定點4,0；（2）∵x1+x2設線段AB的中點為Nx,y，可得x=2m2+4y=2m因此，線段AB的中點的軌跡方程為x=1（3）如下圖所示，易知圓心O′為線段PQMO所以，2M所以，4M即2=44所以MP2所以當m=±22時，MP2考點考點8圓錐曲線綜合1．（202